2021-2022学年山东省泰安市东平县八年级（上）期末数学试卷（五四学制）（含解析）

(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※
) (
…………○…………外…………○…………装…………○………
…订…………○…………线…………○…………
)
(
…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
) (
学校
:___________
姓名：
___________
班级：
___________
考号：
___________
) (
…………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○…………
)
2021-2022学年山东省泰安市东平县八年级（上）期末数学试卷（五四学制）
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共14小题，共56.0分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
观察下列图案，既是轴对称图形又是中心对称图形的共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
下列因式分解中：；；；，正确的个数为( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
若正多边形的内角和是，则该正多边形的一个外角为( )
A. B. C. D.
在四边形中，是对角线交点，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
如图，在平行四边形中，，，对角线、相交于点，则的取值范围是( )
A. B. C. D.
下列各分式中，是最简分式的是( )
A. B. C. D.
如图，将绕直角顶点顺时针旋转，得到，连接，若，则的度数是( )
A.
B.
C.
D.
某校为了丰富学生的校园生活，准备购进一批篮球和足球，其中篮球的单价比足球的单价多元．李老师购买篮球花费元，购买足球花费元，结果购得的篮球数量是足球数量的倍．设购买的足球数量是个，则下列选项中所列方程正确的是( )
A. B.
C. D.
关于的分式方程有增根，则的值为( )
A. B. C. D.
对于一组统计数据，，，，下列说法错误的是( )
A. 众数是 B. 平均数是 C. 方差是 D. 中位数是
在 中，过对角线的交点，，，，则四边形的周长是( )
A.
B.
C.
D.
若关于的分式方程的解为正数，且关于的不等式组至少两个整数解，则符合条件的所有整数的取值之和为( )
A. B. C. D.
如图，已知点，，将线段平移得到线段，点的对应点恰好落在轴上，且四边形的面积为，则四边形的周长为( )
A.
B.
C.
D.
如图，的周长为，点，在边上，的平分线垂直于，垂足为，的平分线垂直于，垂足为，若，则的长度为( )
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）
因式分解：______．
在平行四边形中，，是边上的高，，则的度数为______ ．
如图，直线，点在上，若，，的面积为，则的面积为______ ．
如图，的边长，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为______．
已知，，则代数式 ______ ．
若分式的值为，则______．
在平面直角坐标系中，点关于原点对称的点为，则______．
如图，长方形的两边，分别在轴、轴上，点与原点重合，点，将长方形沿轴无滑动向右翻滚，经过一次翻滚，点对应点记为；经过第二次翻滚，点对应点记为；；依此类推，经过第次翻滚，点对应点坐标为______．
三、解答题（本大题共6小题，共62.0分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
先化简，再求值：，其中．
本小题分
为弘扬泰山文化，我市某校举办了“泰山诗文大赛”活动，小学、初中部根据初赛成绩，各选出名选手组成小学代表队和初中代表队参加学校决赛．两个队各选出的名选手的决赛成绩满分为分如图所示．
根据图示填写图表；
平均数分 中位数分 众数分
小学部 ______ ______
初中部 ______
计算两队决赛成绩的方差并判断哪一个代表队选手成绩较为稳定．
本小题分
如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别是，，．
将向下平移个单位后得到，请画出；
将绕原点逆时针旋转后得到，请画出；
判断以，，为顶点的三角形的形状．
本小题分
如图，平行四边形的对角线，相交于点，过点与，分别相交于点，．
求证：；
若图中的条件都不变，将转动到图的位置，那么上述结论是否成立？说明理由．
本小题分
某个体经营户了解到有一种盒装商品能畅销市场，就用万元购进这种商品，面市后果然供不应求，他又用万元购进了第二批这种商品，所购数量是第一批购进量的倍，但每盒单价涨了元，他在销售这种盒装商品时每盒定价都是元，最后剩下的盒按八折销售，很快售完，在这两笔生意中，这位个体经营户共赢利多少元？
本小题分
操作发现：如图，小明画了一个等腰三角形，其中，在的外侧分别以，为腰作了两个等腰直角三角形，，分别取，，的中点，，，连接，小明发现了：线段与的数量关系是______；位置关系是______．
类比思考：
如图，小明在此基础上进行了深入思考．把等腰三角形换为一般的锐角三角形，其中，其它条件不变，小明发现的上述结论还成立吗？请说明理由．
深入研究：
如图，小明在的基础上，又作了进一步的探究．向的内侧分别作等腰直角三角形，，其它条件不变，试判断的形状，并给与证明．
答案和解析
1.【答案】
【解析】解：第个是轴对称图形，不是中心对称图形，故不合题意；
第个是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
第个是轴对称图形，也是中心对称图形，故符合题意；
第个不是轴对称图形，是中心对称图形，故不合题意．
故选：．
根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．
此题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转度后两部分重合．
2.【答案】
【解析】解：，故原题分解错误；
，故原题分解正确；
，故原题分解正确；
，故原题分解错误；
正确的个数为个，
故选：．
利用因式分解的方法进行分解即可．
本题考查了提公因式法与公式法分解因式，要求灵活使用各种方法对多项式进行因式分解，一般来说，如果可以先提取公因式的要先提取公因式，再考虑运用公式法分解．
3.【答案】
【解析】解：设这个正多边形的边数为，
一个正多边形的内角和为，
，
解得：，
这个正多边形的每一个外角是：．
故选：．
首先设这个正多边形的边数为，根据多边形的内角和公式可得，继而可求得答案．
此题考查了多边形的内角和与外角和的知识．此题难度不大，注意掌握方程思想的应用，注意熟记公式是关键．
4.【答案】
【解析】解：、根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可以判定，故正确；
B、根据平行四边形的定义即可判定，故正确；
C、一组对边平行，另一组对边相等的四边形，等腰梯形满足条件．故该选项错误．
D、根据对角线互相平分的四边形是平行四边形可以判定．故正确．
故选C．
根据平行四边形的判定：两组对边分别平行的四边形是平行四边形；两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
两组对角分别相等的四边形是平行四边形；对角线互相平分的四边形是平行四边形；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．不能判定四边形是平行四边形的是
此题主要考查对平行四边形的判定掌握的熟练程度．平行四边形共有五种判定方法，记忆时要注意技巧；这五种方法中，一种与对角线有关，一种与对角有关，其他三种与边有关．
5.【答案】
【解析】解：，，
，
四边形是平行四边形，
，
，
故选：．
由，，利用三角形的三边关系，即可求得，然后由四边形是平行四边形，求得的取值范围．
本题考查了对平行四边形的性质，三角形的三边关系定理等知识点的理解和掌握，得到是的一半是解此题的关键．
6.【答案】
【解析】解：．是最简分式；
B.，不符合题意；
C.，不符合题意；
D.，不符合题意；
故选：．
最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，先观察有无相同因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
本题考查了分式的基本性质和最简分式，能熟记分式的化简过程是解此题的关键，首先要把分子分母分解因式，然后进行约分．
7.【答案】
【解析】解：绕直角顶点顺时针旋转，得到，
，，
是等腰直角三角形，
，
，
由旋转的性质得．
故选：．
根据旋转的性质可得，，然后判断出是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出，然后根据旋转的性质可得．
本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，熟记各性质并准确识图是解题的关键．
8.【答案】
【解析】解：设购买的足球数量是个，则购买篮球数量是个，
根据题意，得．
故选：．
设购买的足球数量是个，则购买篮球数量是个，根据“篮球的单价比足球的单价多元”列出方程即可．
此题主要考查了分式方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．
9.【答案】
【解析】解：去分母得，
解得，
因为原方程的增根为，
所以，解得，
即时，分式方程有增根．
故选：．
先去分母得，解得，再利用原方程的增根为得到，然后解关于的方程即可．
本题考查了分式方程的增根：检验增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最简公分母，看最简公分母是否为，如果为，则是增根；如果不是，则是原分式方程的根．
10.【答案】
【解析】解：将这组数据重新排列为、、、、，
这组数据的众数为，
平均数为，
方差为，
中位数为，
故选：．
将这组数据重新排列，再根据众数、平均数、方差和中位数的定义求解即可．
本题主要考查方差，解题的关键是掌握众数、平均数、方差和中位数的定义．
11.【答案】
【解析】解：已知，，，
根据平行四边形的性质，，，
在和中，，，
所以≌，，
则的周长的周长．
故选C．
先利用平行四边形的性质求出、、、的值，可利用全等的性质得到≌，即可求出四边形的周长．
本题考查平行四边形的性质：平行四边形两组对边分别平行；平行四边形的两组对边分别相等；平行四边形的两组对角分别相等；平行四边形的对角线互相平分．
12.【答案】
【解析】解：由方程，解得：，
则
可得：且，
由知，，
由知，，
关于的不等式组至少两个整数解，
和
，
解得：，
所以的整数值为，，
，
故选：．
根据题意可以求得的取值范围，从而可以得到符合条件的的整数值，从而可以解答本题．
本题考查分式方程的解、解一元一次不等式组、一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用不等式的性质解答．
13.【答案】
【解析】解：线段平移得到线段，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形的面积为，
，
解得，
在中，由勾股定理得，，
四边形的周长．
故选B．
根据平移的性质可得四边形是平行四边形，然后根据点、的坐标求出，再利用平行四边形的面积求出，然后利用勾股定理列式求出，再根据平行四边形的周长公式列式计算即可得解．
本题考查了坐标与图形变化平移，勾股定理，平行四边形的判定与性质，熟记性质并求出长度是解题的关键．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是三角形中位线定理、等腰三角形的性质，掌握三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半是解题的关键．
证明≌，得到，即是等腰三角形，同理是等腰三角形，根据题意求出，根据三角形中位线定理计算即可．
【解答】
解：平分，，
，，
在和中，
≌，
，
是等腰三角形，
同理是等腰三角形，
点是中点，点是中点三线合一，
是的中位线，
，
，
．
故选：．
15.【答案】
【解析】解：，
故答案为：．
先提公因式，再利用公式法进行分解即可．
本题考查提公因式法、公式法进行因式分解，求出公因式，掌握公式法的结果特征是正确分解因式的关键．
16.【答案】或
【解析】解：情形一：当点在线段上时，如图所示，
是边上的高，，
，
，
；
情形二：当点在的延长线上时，如图所示，
是边上的高，，
，
，
．
故答案为：或．
首先求出的度数，再利用三角形内角和定理以及等腰三角形的性质，得出的度数．
此题主要考查了平行四边形的性质以及等腰三角形的性质等知识，得出的度数是解题关键．
17.【答案】
【解析】解：过点作于点，
三角形的面积为，，
，
解得，
，
的长是三角形的高，
．
故答案为：．
过点作于点，由三角形的面积为可求出的长，再由可知为三角形的高，由三角形的面积公式即可得出结论．
本题考查的是平行线间的距离及三角形的面积公式，熟知两平行线间的距离相等是解答此题的关键．
18.【答案】
【解析】解：将沿方向平移，得到，
，，，
阴影部分的周长，
故答案为：．
根据平移的性质可得，然后判断出阴影部分的周长的周长，然后代入数据计算即可得解．
本题考查平移的基本性质：平移不改变图形的形状和大小；经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．
19.【答案】
【解析】解：原式，
当，时，原式．
故答案是：．
首先把所求的代数式提公因式，然后利用完全平方公式即可对式子化简，然后把已知的式子代入即可求解．
本题考查了因式分解的应用，分解因式时有提公因式法，公式法分解因式，提取公因式后利用完全平方公式进行二次分解，注意分解要彻底．
20.【答案】
【解析】
【分析】
分式的值是的条件是，分子为，分母不为．
分式的值是的条件中特别需要注意的是分母不能是，这是经常考查的知识点．
【解答】
解：由题意得，
，
即当时，分式的值是．
故答案为：．
21.【答案】
【解析】解：点关于原点对称的点为，
，，
则．
故答案为：．
直接利用两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，进而得出，的值，再利用有理数的乘方运算法则计算得出答案．
此题主要考查了关于原点对称点的性质，正确得出，的值是解题关键．
22.【答案】
【解析】解：如图所示：
观察图形可得经过次翻滚后点对应点一循环，
，
点，长方形的周长为：，
经过次翻滚后点对应点的坐标为，即．
故答案为：．
观察图形即可得到经过次翻滚后点对应点一循环，先求出的商，从而解答本题．
本题考查探究点的坐标的问题，关键是找到点的变化规律．
23.【答案】解：原式
，
把代入得，
原式
．
【解析】首先将括号里面通分运算，进而分解因式化简求出即可．
此题主要考查了分式的化简求值，正确进行分式的通分运算是解题关键．
24.【答案】
【解析】解：填表：小学部平均数：分；
小学部得分中出现的次数最多，则小学部的众数为分；
初中部得分情况为，，，，，则初中部的中位数为分．
，，
，
因此，小学代表队选手成绩较为稳定．
根据平均数，众数，中位数的定义解决问题即可．
根据方差的定义求出方差，方差越小成绩越稳定．
本题考查方差，平均数，众数，中位数等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
25.【答案】解：如图所示，即为所求；
如图所示，即为所求；
的形状为等腰直角三角形，
，，
，
故的形状为等腰直角三角形．
【解析】本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，也考查了平移变换、勾股定理及其逆定理、等腰直角三角形的判定．
利用点平移的坐标特征写出、、的坐标，然后描点连线即可得到；
利用网格特点和旋转的性质画出、、的对应点、、，从而得到；
根据勾股定理和勾股定理逆定理解答即可．
26.【答案】证明：四边形是平行四边形，
，，
，
在和中，
，
≌，
；
解：结论成立，理由如下：
四边形是平行四边形，
，，，
，
在和中，
，
≌，
，
在和中，
，
≌，
．
【解析】证≌，即可得出结论；
证≌，得，再证≌，即可得出结论．
本题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质以及平行线的性质等知识，熟练掌握平行四边形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
27.【答案】解：设第一批进货的单价为元，则第二批进货的单价为元，依题意有
，
解得：，
经检验是原分式方程的解，且符合题意，
则第一次进货件，
第二次进货的单价为元，第二次进货件，
总盈利为：
元．
答：这位个体经营户共赢利元．
【解析】设第一批进货的单价为元，则第二批进货的单价为元，根据第二批进货是第一批购进数量的倍，列方程求出的值，然后求出盈利．
本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程求解．
28.【答案】解：；；
连接，相交于点，
同的方法得，，；
连接，，延长线相交于，
同的方法得，，
同的方法得，≌，
，
，
，
同的方法得，，
是等腰直角三角形．

【解析】
【分析】
此题是三角形综合题，主要考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，平行线的判定和性质，三角形的中位线定理，正确作出辅助线用类比的思想解决问题是解本题的关键．
利用判断出≌，得出，，进而判断出，即：，最后用三角形中位线定理即可得出结论；
同的方法即可得出结论；
同的方法得出，最后利用三角形中位线定理和等量代换即可得出结论．
【解答】
解：连接，相交于，
和都是等腰直角三角形，
，，
，
≌，
，，
，
，
，
点，分别是，的中点，
，，
同理：，，
，，
故答案为：；；
见答案；
见答案．
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