人教A版（2019）高中数学选择性必修第一册第三章圆锥曲线的方程本章复习提升作业（含答案）

本章复习提升
易混易错练
易错点1　求轨迹方程时忽略题中的限制条件而致错
1.(2021江西上高二中高二上月考,)设椭圆E的方程为+y2=1,斜率为1的动直线l交椭圆E于A、B两点,以线段AB的中点C为圆心,|AB|为直径作圆S.
(1)求圆心C的轨迹方程,并描述轨迹表示的图形;
(2)若圆S经过原点,求直线l的方程;
(3)证明:圆S内含或内切于圆x2+y2=3. 易错
易错点2　对圆锥曲线的定义理解不清而致错　　　　　　 　　　　　 　　　　　
2.()动圆与圆x2+y2=1和x2+y2-8x+12=0都外切,则动圆圆心的轨迹是 (　易错　)
A.双曲线的一支 B.圆
C.椭圆 D.双曲线
易错点3　忽视圆锥曲线标准方程的“特征”而致错
3.(2020浙江宁波九校高二上期末,)抛物线y=4x2的焦点坐标是 (　易错　)
A.(1,0) B.(0,1)
C.
4.(2020山东临沂高二上期末,)直线y=x+2与椭圆=1有两个公共点,则m的取值范围是 (　易错　)
A.(-∞,0)∪(1,+∞) B.(0,3)∪(3,+∞)
C.(1,3)∪(3,+∞) D.(1,+∞)
5.()已知m2=4,则圆锥曲线x2+=1的离心率为　　　　.
易错点4　忽略椭圆、双曲线和抛物线的焦点位置而致错
6.(2021吉林长春外国语学校高二上月考,)若椭圆=1的焦距为2,则实数m的值为 (　易错　)
A.1 B.4 C.1或7 D.4或6
7.()已知双曲线的两条渐近线的夹角为60°,则双曲线的离心率为　　　　.
易错点5　忽视直线的斜率不存在的情况而致错
8.(2021江苏无锡一中高二上期中,)已知椭圆C:,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的标准方程;
(2)若S,T是椭圆C上两点(异于顶点),且△OST的面积为,设射线OS,OT的斜率分别为k1,k2,求k1·k2的值;
(3)设直线l与椭圆交于M,N两点(直线l不过顶点),且以线段MN为直径的圆过椭圆的右顶点A,求证:直线l过定点. 易错
思想方法练
一、数形结合思想在圆锥曲线中的应用
1.(2020山东德州高二上期末,)已知O为坐标原点,F1,F2分别为椭圆C:的直线与椭圆C在第一象限交于点P,且|OP|=|OF2|,则椭圆C的离心率为　　　　.
2.()点P是抛物线y2=8x上的任意一点,F是抛物线的焦点,点M的坐标是(2,3),求|PM|+|PF|的最小值,并求出此时点P的坐标.
二、函数与方程思想在圆锥曲线中的应用　　　　　　 　　　　　 　　　　　
3.()过点A(2,-1)的直线与抛物线y2=4x相交于C、D两点,若A为CD的中点,则直线的方程是 (　　)
A.x+2y=0 B.x-2y-4=0
C.2x+y-3=0 D.3x+y-5=0
4.()已知椭圆的两个焦点分别为F1(-1,0),F2(1,0),且直线y=x-与椭圆相切.
(1)求椭圆的方程;
(2)过F1作两条互相垂直的直线l1,l2,与椭圆分别交于点P,Q及M,N,求四边形PMQN的面积的最大值与最小值.
三、转化与化归思想在圆锥曲线中的应用
5.(2020天津一中高二上期末质量调查,)已知直线l:4x-3y+8=0,抛物线C:y2=4x上的一动点到直线l与它到抛物线准线距离之和的最小值为　　　.
6.()已知椭圆E:,且点A(0,1)在椭圆E上.
(1)求椭圆E的方程;
(2)已知P(0,-2),设点B(x0,y0)(y0≠0且y0≠±1)为椭圆E上一点,点B关于x轴的对称点为C,直线AB,AC分别交x轴于点M,N,证明:∠OPM=∠ONP.(O为坐标原点)
四、分类讨论思想在圆锥曲线中的应用
7.(2020广东中山一中高二上第二次统测,)已知抛物线的焦点在直线x-2y-4=0上,则此抛物线的标准方程是 (　　)
A.y2=16x B.x2=-8y
C.y2=16x或x2=-8y D.y2=16x或x2=8y
8.(2021北京首都师范大学附中高二上期中,)已知椭圆C:+y2=1(其中a>0)的右焦点为F(1,0),直线l过点F与椭圆C交于A,B两点,O为坐标原点.
(1)求椭圆C的长轴长和离心率;
(2)求△AOB的面积的最大值;
(3)若△AOB为直角三角形,求直线l的方程.
答案全解全析
易混易错练
1.解析　(1)设斜率为1的动直线l的方程为y=x+t,
联立可得3x2+4tx+2t2-2=0,
则Δ=16t2-12(2t2-2)=24-8t2>0,即-.
设A(x1,y1),B(x2,y2),由根与系数的关系得x1+x2=-,
∴圆心C的轨迹方程为y=-,即轨迹为不含端点的线段.
(2)由(1)可得|AB|=··,
∴圆S的方程为+.
若圆S经过原点,则,
因此,直线l的方程为y=x±.
(3)证明:设圆x2+y2=3的圆心为O(0,0),由☉O的半径为.
|OS|2-,
令=m(0可得|OS|2-(m-2)2≤0,
∴圆S内含或内切于圆x2+y2=3.
易错警示　在用代数法解决直线与圆锥曲线的位置关系时,注意限制条件判别式大于0,解题时若忽视判别式的计算,则不能求出参数的取值范围,如本题中若忽略-,则错误地得到圆心C的轨迹为直线,事实上它的轨迹是不含端点的线段.
2.A　设动圆的圆心为M,半径为r,圆x2+y2=1与x2+y2-8x+12=0的圆心分别为O1和O2,易得圆O1和O2的半径分别为1和2,
由两圆外切的充要条件,得
|MO1|=r+1,|MO2|=r+2.
∴|MO2|-|MO1|=1,
又|O1O2|=4,
∴动点M的轨迹是双曲线的一支(左支).
易错警示　双曲线的定义中含有绝对值,当得出动点到两定点距离之差为常数时,考虑轨迹只是双曲线的一支,解题时防止忽视定义的形式导致答案错误.
3.D　y=4x2,即x2= p=.
故焦点坐标为,故选D.
易错警示　方程y=4x2不是抛物线的标准方程,4也不是2p,解题时应该将抛物线的方程化为x2=,解题时要防止错误理解标准方程导致解题错误.
4.C　联立直线和椭圆方程得
所以(3+m)x2+4mx+m=0,
所以Δ=16m2-4m(m+3)>0,
所以m>1或m<0,
又在椭圆=1中,
m>0,m≠3,
所以m>1且m≠3,故选C.
易错警示　椭圆方程=1中,参数m的取值范围是m>0,且m≠3,解题时防止遗漏导致解题错误.
5.答案　
解析　由m2=4得m=±2.
当m=2时,曲线x2+=1为焦点在y轴上的椭圆,
此时a=.
当m=-2时,曲线x2-=1为焦点在x轴上的双曲线,
此时a=1, c=.
6.D　由题意可得c=1.
当椭圆的焦点在x轴上时,9-(m+4)=1,解得m=4;
当椭圆的焦点在y轴上时,(4+m)-9=1,解得m=6.故选D.
易错警示　研究含参数的圆锥曲线方程时,要注意判断焦点的位置,如果不能确定焦点的位置,要分两种情况讨论,解题时防止未对焦点的位置进行判断导致错误.
7.答案　2或
解析　由题意知,双曲线的渐近线存在两种情况.
当双曲线的焦点在x轴上时,
其中一条渐近线的倾斜角为60°,如图1所示,或其中一条渐近线的倾斜角为30°,如图2所示,均符合题意,
所以双曲线的一条渐近线的斜率k=.
又b2=c2-a2,所以,
所以e2=4或e2=.
同理,当双曲线的焦点在y轴上时,则有,
所以或e=2.
综上可得,双曲线的离心率为2或.
8.解析　(1)由题得,b=c=1,
所以椭圆C的标准方程为+y2=1.
(2)设S(x1,y1),T(x2,y2),
由题意知直线OS:y=k1x,直线OT:y=k2x,
由得,
同理得,
点T到直线OS的距离d=·|x1|,
所以S△OST=·OS·d=,
整理得=0,
所以k1k2=-.
(3)证明:设M(x3,y3),N(x4,y4),易得A(,0).
(i)直线l的斜率存在时,设直线l:y=kx+m,
由得(1+2k2)x2+4kmx+2m2-2=0,
所以x3+x4=-,
由题得·=0,
所以(x3-)+y3y4=0,
化简得(1+k2)x3x4+(km-)(x3+x4)+m2+2=0,
把x3+x4=-km=0,
即(3m+k)=0,
所以m=-k,
经检验,均满足Δ>0.
当m=-,0),为右顶点(舍).
当m=-,0,满足题意.
(ii)直线l的斜率不存在时,设直线l:x=t,|t|<,
由(不妨设M在第一象限),
所以,,
由题得·=0,
所以3t2-4t+2=0,
即(3t-)=0,
所以t=(舍),
所以t=.
综上,直线l过定点.
易错警示　在解决直线与圆锥曲线的位置关系时,常要设出直线的方程,需对直线斜率存不存在进行讨论,解题时要防止未讨论导致错误.
思想方法练
1.答案　-1
解析　如图所示,依题意|OP|=|OF2|,
∴|OP|=|OF2|=|OF1|.
∵,∴∠PF1F2=30°,
将斜率转化为倾斜角,结合图形,利用几何性
质可以简化运算.
∴∠OPF1=30°,又易知∠OPF2=∠OF2P=∠POF2=60°,∴∠F1PF2=90°,
∴|PF2|=c,|PF1|=c,
∵|PF2|+|PF1|=2a,∴2a=c+c,
利用几何性质,结合解三角形知识,建立椭
圆的基本量a、b、c的关系进而求出离心率.
∴e=-1.
思想方法　数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来,通过“以形助数”或“以数解形”,即通过抽象思维与形象思维的结合,使复杂问题简单化,抽象问题具体化,从而实现优化解题途径的目的.在解决直线和圆锥曲线问题时要注意数形结合,把代数式的精确刻画与几何图形的直观描述有机结合,避免繁杂的计算和推理,实现快速、准确解题.
2.解析　易知抛物线y2=8x的准线方程是x=-2,那么点P到焦点F的距离等于它到准线x=-2的距离,如图所示,过点P作PD垂直准线x=-2,垂足为D,那么|PM|+|PF|=|PM|+|PD|.
当M,P,D三点共线时,|PM|+|PD|的值最小,且最小值为|MD|=2-(-2)=4,所以|PM|+|PF|的最小值是4.
利用抛物线的定义,结合图形将到焦点的
距离转化为到准线的距离,再利用图形由点
到直线的距离探究最小值.
此时点P的纵坐标为3,所以其横坐标为.
3.C　设C(x1,y1),D(x2,y2),则
两式相减得(y1-y2)(y1+y2)=4(x1-x2),
由点在抛物线上知点的坐标适合抛物线
方程,得到方程组,利用条件整体代入进行
消元,通过解方程求出解题需要的量.
∵y1+y2=-2,∴kCD×(-2)=4,解得kCD=-2,
∴直线方程为y+1=-2(x-2),即2x+y-3=0,故选C.
思想方法　方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决.在解析几何中,建立坐标系,利用代数手段构造方程,通过方程的知识解决直线与圆锥曲线的问题,是一种最基本的方法.
4.解析　(1)设椭圆方程为=1(a>b>0).
因为直线y=x-与该椭圆相切,
所以方程组只有一组解,
消去y,整理得(a2+b2)x2-2a2x+3a2-a2b2=0,
所以Δ=(-2a2)2-4(a2+b2)(3a2-a2b2)=0,得a2+b2=3.
利用方程与方程组知识,得到a、b的关系式
(方程),再解方程得到椭圆的方程.
又焦点为F1(-1,0),F2(1,0),
所以a2-b2=1,所以a2=2,b2=1,
所以椭圆的方程为+y2=1.
(2)若直线PQ的斜率不存在(或为0),则S四边形PMQN==2.
若直线PQ的斜率存在且不为0,设为k(k≠0),则直线MN的斜率为-,
所以直线PQ的方程为y=kx+k,设P(x1,y1),Q(x2,y2),
由得(2k2+1)x2+4k2x+2k2-2=0,
所以x1+x2=,
所以|PQ|=|x1-x2|
=
=2,
同理可得,|MN|=2.
选择参数k为自变量,建立与k的
函数关系式,利用函数知识求函数的最大
(小)值.
所以S四边形PMQN=
=4×
=4×
=4×
=4×.
因为4k2++10≥2+10=18(当且仅当k2=1时取等号),
所以∈,
所以4× ∈.
综上所述,四边形PMQN的面积的最小值为,最大值为2.
思想方法　函数的思想,是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决.在解决和直线与圆锥曲线有关的最大(小)值问题时,常构造函数,利用函数知识求解.
5.答案　
解析　抛物线C:y2=4x焦点为(1,0),
抛物线上动点到直线l与它到抛物线准线距离之和等于点到直线l和点到焦点的距离和,
利用抛物线的定义将到准线的距离转化为到焦点的距离,利用焦点到直线l的距离求出最
小值.
最小值为焦点到直线l的距离d=.
思想方法　转化与化归思想是指在解决数学问题时,采用某种手段进行转化,将复杂的问题转化为简单的问题,使问题得以解决的一种思维策略,其核心是把未知转化为已知,把未能解决的问题化归为已经解决的问题.
转化与化归思想在解析几何中常见的运用:将一般的点或图形转化为特殊点或特殊图形,将代数形式转化为几何图形,利用圆锥曲线的定义及几何性质对相关的量进行适当的化归.
6.解析　(1)由已知得b=1,,
又∵a2=b2+c2,∴a2=4.
∴椭圆E的方程为+y2=1.
(2)证明:∵点B关于x轴的对称点为C,
∴C(x0,-y0),
∴直线AC的方程为y=-x+1.
令y=0,得N.
直线AB的方程为y=.
∴|ON|·|OM|=·.
∵点B(x0,y0)在椭圆+y2=1上,
∴+=1,
即=4,
将证明∠OPM=∠ONP转化为证明Rt△OPM
∽Rt△ONP.
∴|OM|·|ON|=4=|OP|2,即,又∠POM=∠NOP,
∴Rt△OPM∽Rt△ONP,
∴∠OPM=∠ONP.
7.C　当x=0时,y=-2;当y=0时,x=4.
因此抛物线的焦点可为(0,-2),(4,0).
根据焦点的位置对抛物线的标准方程进行
讨论.
①当焦点为(4,0)时,设抛物线的标准方程为y2=2px(p>0),则p=8,∴y2=16x;
②当焦点为(0,-2)时,设抛物线的标准方程为x2=-2py(p>0),则p=4,∴x2=-8y.故选C.
思想方法　数学结论都有其成立的条件,数学方法的使用也往往有其适用范围.在我们所遇到的数学问题中,有些问题的结论不是唯一确定的,有些问题的已知量是用参数给出的,参数的取值不同也会影响问题的解决,在研究问题时要根据题目的特点和要求,分成若干类,转化成若干个小问题来解决,这种按不同情况分类,然后再逐一研究解决的数学思想,称为分类讨论思想.例如,圆锥曲线标准方程的形式有时需进行讨论;直线与圆锥曲线的位置关系有多种,解题时要依据题意进行分类讨论等.
8.解析　(1)由题意,a2-1=1,解得a=.
所以,椭圆C的长轴长为2a=2.
(2)设直线l的方程为x=my+1,
设直线l的方程为x=my+1,避免对直线的
斜率进行讨论.
联立整理得(my+1)2+2y2=2,即(m2+2)y2+2my-1=0.
设A(x1,y1),B(x2,y2),则Δ=(2m)2-4·(m2+2)·(-1)=8m2+8>0,y1+y2=-,y1·y2=-.
所以|y1-y2|=.
所以△AOB的面积S=·|OF|·|y1-y2|=·,
令=t,则t∈[1,+∞),S=≤,当且仅当t=1(即m=0)时,等号成立,此时l:x=1.
所以△AOB的面积的最大值为.
(3)△AOB是直角三角形需对直角顶点在
哪进行讨论.
(i)若∠OAB=90°,则OA⊥FA,
又=(x1,y1),=(x1-1,y1),
则x1(x1-1)+=0.
因为+-x1(x1-1)=1,即-2x1+2=0,无解,即∠OAB≠90°.
同理,∠OBA≠90°.
(ii)若∠AOB=90°,则·=0,即x1x2+y1y2=0,得(my1+1)(my2+1)+y1y2=0.
故(m2+1)y1y2+m(y1+y2)+1=0.故-.
故l:x=±(x-1).
综上所述,所求直线l的方程为y=±(x-1).