八年级数学北师大版上册 7.1 为什么要证明 教案

“为什么要证明”教学设计
一、教材分析
“为什么要证明”是北师大版《义务教育课程标准实验教科书·数学》八年级上册第七章“平行线的证明”的第一节，通过观察、归纳、验证等活动让学生体会合情推理得到的数学结论未必可靠，感知证明的必要性．
在以前的学习中，学生通过探索（观察、测量、实验、归纳等）已经得到了很多正确的结论，但没有进行严格的证明（虽然学生对它们的正确性也是认可的 ，并且利用这些结论解决了一些简单的问题）．本节从实例出发，让学生感受探索得到的结论可能有误，进而增强对所得结论通过推理进行证明的必要性的意识，以明确“为什么要证明”；并进一步了解验证数学结论正确与否的方法．本节内容对学生由合情推理向演绎推理意识的发展有着重要作用，对深入学习相关后继知识、形成并发展逻辑推理能力有重要的影响．
二、学情分析
学生的知识和技能基础： 学生在以前的学习中，经历了通过观察、归纳、验证等活动得到数学结论的过程，并且能通过简单的计算、逻辑推理验证结论；能应用这些结论解决一些简单的问题，具备一定的合情推理能力，并能进行初步的逻辑推理．
学生活动经验基础：学生已经参与了对事件的观察、实验、猜测、归纳等活动，为本节的自主探究、合作交流等活动打下了良好的基础．
学生面临的问题：基于已有的学习经验，部分学生不理解测量、实验、归纳得到的结论可能不正确；对于正确的结论即使能感知其正确，却又不能清楚的说明正确的依据．
因此，本节的教学需要呈现大量的活动以及活动结果，这些活动需要涵盖常规的探索方法（如观察、测量、猜想、归纳），活动的结果既有正确的也有错误的，让学生感受证明的必要性．活动过程中，对于部分问题让学生大胆地表达困惑、参与讨论，进而认识到仅由观察、实验、归纳所得的结论未必可靠，必须进行有理有据的证明．
三、教学任务分析
“观察、实验、归纳”是获得数学结论的重要而常用的方法，但由此得到的结论并不可靠，教学时让学生通过直观感觉与实际结果之间产生思维的碰撞，引发学生的思考，确立对某一事物进行合理论证的必要性．
根据《课标》，依据教材内容和学生的已有基础，确定本节课的学习目标为：
1．经历观察、验证、归纳等过程，在活动中体会到观察、实验、归纳得到的结论未必可靠．初步感受证明的必要性，发展学生的推理意识．
2．了解确定数学结论正确与否的常用方法：计算、举出反例、推理论证等．
3．结合教材内容，体会理性思考、批判质疑、勇于探索的科学精神．
教学重点
体会观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，初步感受证明的必要性．
教学难点
推理论证意识的建立．
四、教法与学法分析
本节以学生活动为主线，激发学生兴趣，引发学生的数学思考,积极地参与合作交流，从而形成解决问题的方法．
教学方法: 引导发现教学法．
学习方法：主要采用自主探究、合作交流的学习方法．
突出重点和突破难点的策略
教学中设计直观感觉、猜想归纳、动手实验等活动，通过生动有趣的现象帮助学生体会到观察、实验、归纳所得到的结论未必可靠，利用视频、小组合作学习等方式，激发学生学习动力，从而突出重点和突破难点．
五、教学过程分析
（一）回顾旧知、视频引新
环节1：回顾旧知
如图：AB//CD, 若∠1=50°，则∠2= °．
提出问题：（1）得到结论的理由是什么？（两直线平行，同位角相等）
（2）在之前的的学习中，我们是用什么方法的到结论“两直线平行，同位角相等”的？
通过观察、猜想、实验所得的的结论都是正确的吗？通过设疑，引出课题《为什么要证明》．
环节2：视频引入
播放“视错觉”视频——球往高处走．对“视错觉”视频中的现象进行简单的描述．引出活动一．
（二）主动参与、感悟新知
活动一：试试你的感知——直观感知
环节1：看一看
出示一下几幅图片，请学生直接说出结论．
两图中心的圆，哪个更大？ 线段与线段，哪条更长？
线段a,b,c中，哪一条线段和线段在同一直线上？ 图中红色线条围成的图形是正方形吗？
学生说出自己的直观感觉．支持学生发表不同观点，并通过多媒体展示正确的结果．
环节2：猜一猜
用一根比地球赤道长1m的铁丝将地球赤道围起来（每一处缝隙的距离都是相等的），那么铁丝与地球赤道之间的间隙，你认为最多能穿过以下哪样东西？
（1）一根头发 （2）一颗红枣 （3）一个拳头 （4）一个足球
活动1：积极猜想，质疑结论．让学生大胆说出自己的“直觉”，
学生的猜想可能会不一致，进而引导学生对问题进行深入的探索．
活动2:合作交流，寻求方法．根据学生的猜想，采用小组合作的方式，寻求解决问题的方法．
活动3:展示成果，引发思考．让学生展示小组合作后的成果，通过计算的方式得出正确的结论．
结语：猜想的结论并不可靠，可依靠计算来判断结论是否正确．
参考答案：设赤道周长为，铁丝与地球赤道之间的间隙为：
它们的间隙能放进一个拳头．
环节3:说一说
通过前面的学习你有怎样的感悟？
活动感悟：直观感觉得到的结论未必正确，面对问题需要理性的思考．需要有理有据的证明．可以通过计算的方法得到答案．
活动二：说说你的思考——归纳猜想
环节1：想一想
我们知道三角形的内角和为180°，你能得到四边形，五边形, ……,n边形的内角和吗？
多边形 三角形 四边形 五边形 …… n边形
图形 ……
内角和 180° ……
活动1：学生独立完成填空．
活动2：学生展示答案，并说明其解题思路．
说明：猜想归纳是探索数学结论，发现未知事物的有效方法．
环节2：读一读
费马的失误
历史上很多数学家都想找到求质数的公式，年，数学家费马验证了，当、1、2、3、4时，式子的值为3、5、17、257、65537都是质数，于是他高兴的断言“对于所有的自然数，都是质数．”由于费马在数学界的崇高威望,以及验证这类数字是否为质数的艰巨，因此在很长一段时间里没有人怀疑这一结论的正确性，并且把这类数称为费马数．
1732年，数学家欧拉指出，当时， ，从而否定了费马的结论．更有意思的是，从第6个费马数开始，数学家们在费马数中再也没有发现一个新的质数，全部都是合数，有人甚至给出了一个新的猜测：当大于或等于5时，费马数都是合数！
环节3：说一说
通过这个故事及探索n变形内角和的例子，你有怎样的启发？
活动感悟; ①．仅由若干特例归纳猜测的结论未必正确．需要有理有据的证明．
②．在学习中，要有敢于质疑的科学精神．
③．举反例是否定一个结论的常用方法．
环节4：练一练
某学习小组发现，当时，代数式的11,11,13,17都是质数，于是得到结论：对于所有自然数，的值都是质数．你认为呢？与同伴交流．
活动1：与同桌合作，肯定或否定这个结论．
活动2：学生说出与同伴合作后的结论，通过举反例的方法发现这个结论是错误的．
活动三：验验你的结论——实验操作
环节一：做一做
如图,在△ABC中,点,分别是，的中点,连接．
（1）猜一猜：线段与边有怎样的关系？
学生通过观察得到：∥BC
（2）验一验：如何检验你的猜想？
学生通过测量，发现∥BC，较相信这个结论是正确的．
（3）想一想：你发现的这个结论对所有三角形都成立吗？进而思考：怎样才能断定一个数学结论是正确的呢？
环节二：说一说
通过对这个问题的探索，你有怎样的感悟？
活动感悟：实验操作得到的结论未必可靠．面对问题要有勇于探索的精神．需要有理有据的证明．
（三）课堂小结、增强意识
结合教材“议一议”，思考：通过这节课的学习，你学到了什么？有怎样的体会？
学生通过与小组讨论，谈本节课的收获．
(四)布置作业、巩固提高
1．完成学案练习1、练习2 、练习3；
2．完成学案练习4（选做）；
3．阅读学案材料——哥德巴赫猜想．
【课后练习】
练习1．当为正整数时，的值一定是质数吗？为什么？
练习2．观察各式：；；；；，你能否得到结论：所有奇数都能表示成两个自然数的平方差？所有偶数能表示成两个自然数的平方差？与同伴进行交流．
练习3．如图,∥,∥，那么你能判断与的大小关系吗？小颖据此得出结论：如果两个角的两边分别平行，那么这两个角相等，你认为她的想法正确吗？与同伴交流．
练习4．（选做）计算：，你有什么发现？你发现的结论是正确的吗？
(五)板书设计
7．1为什么要证明
直观感觉 结论 证明 猜想归纳 结论 证明 实验操作 结论 证明 学生展示 多媒体展示
六．教学设计总体思路
1．设计宗旨
本节课的教学设计融入了新课标的理念，尊重学生的直观感觉，并从学生的直观感觉出发逐步将学生的思维引向严密性、逻辑证明等方面，不是一味地强调证明的必要性，而是通过对多个事实的说明来让学生意识到证明的必要性，设计中体现了学生的主体地位．
在教学设计中，力求让学生学会将生活问题数学化，用一个有趣的生活问题：“用一根铁丝将地球赤道围起来”引起学生的兴趣并进行猜测，然后通过计算得出一个令人很意外的结果，同时也培养了学生“用数学”的意识，并且使得学生有一种感受：数学来源于生活，服务于生活，同时也要用数学的眼光看世界，切勿过于相信于自己的直观感觉．
在本节课学习活动中，学生通过活动了解到检验数学结论的常用方法：实验验证、举出反例、推理等．符合学生的认识特点和知识水平．有助于培养学生理解问题、分析问题、解决问题的能力．
2．教学设计意图
（一）回顾旧知、视频引新
【设计意图】
回顾之前学过的知识，运用之前的结论解决简单问题，回顾获得结论常用的方法，提出疑问：通过这些方法得到的结论是否正确，发挥开篇课的引领作用．
通过“视错觉”视频冲击学生的直觉，激发学生的学习兴趣与探究欲望．
（二）主动参与、感悟新知
活动一：试试你的感知——直观感知
环节1：看一看
【设计意图】
“看一看”、“说一说”、“想一想”活动的进行，调动学生感官的参与．通过活动，学生体会到通过直观感觉得到的结论未必可靠．
环节2：猜一猜
【设计意图】
通过计算，验证了很难想到的结论，让学生产生思维上的碰撞，进而对自己的直观感觉产生怀疑，引发数学思考，从而由直观感觉逐步上升到理性思考．
环节3：说一说
【设计意图】
学生通过思考说出自己的感悟，认识到直觉未必可靠，面对问题需要理性思考，做出判断时要有理有据．
活动二：说说你的思考——归纳猜想
环节1：想一想
【设计意图】
本问题的设置有利于引起学生的思考，培养学生的创新意识．学生通过猜想归纳得到结论，并说明得到的结论是正确的，感受猜想归纳是探索数学结论有效的方法．
环节2：读一读
【设计意图】
通过阅读，使学生认识到，仅由几个特殊情况归纳出来的结论并不可靠，即使是费马这样的知名数学家，归纳的结论也难免错误，说明证明的必要性．通过对数学史的阅读，提高学生的数学学习兴趣，激发探究欲望．
环节3：说一说
【设计意图】
学生通过思考说出自己的感悟，留下深刻印象．
环节4：练一练
【设计意图】
通过尝试，用举反例的方法否定这个结论， 获得成功感，也是对举反例这一方法的应用．
活动三：动动你的双手——实验推测
环节1：做一做
【设计意图】
学生通过动手实践、猜想、测量等活动得到结论，较为相信这个结论是正确的，但这毕竟是测量结果，因此难以令人信服，引导学生寻求更为可靠的证明．
环节2：说一说
【设计意图】
学生通过思考说出自己的感悟，留下深刻印象．
（三）课堂小结、增强意识
【设计意图】
通过学生相互交流，让学生进一步对“通过实验、观察、归纳得到的结论不一定都正确”有一个更深刻、更全面的认识，进而认识到证明的必要性，同时在讨论中自然形成共识：需要寻求一种方法，更为明确的说明一个结论是否正确。
(四)布置作业、巩固提高
【设计意图】
练习1、练习2、练习3选自教材，继续让学生体会观察、实验、归纳得到的结论未必可靠，感受证明的必要性，发展学生的推理意识；练习4体现遵循因材施教的原则，满足让不同层次的学生在数学上不同的发展需求；通过对“哥德巴赫猜想”材料的阅读，学生的见识更丰富，认识到数学思维是严谨的。
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