专题9 线段与中点有关的动点问题
精准作业设计
必做题
1、如图①，已知线段，点C为线段AB上的一点，点D，E分别是AC和BC的中点．
（1）若，则DE的长为_____________；
（2）若，求DE的长；
（3）如图②，动点P，Q分别从A，B两点同时出发，相向而行，点P以每秒3个单位长度的速度沿线段AB向右匀速运动，点Q以点P速度的两倍沿线段AB向左匀速运动，设运动时间为t秒，问当t为多少时，P，Q之间的距离为6？
2、数轴上有A，B，C三点，A，B表示的数分别为m，n，点C在B的右侧，．
(1)如图1，若多项式是关于x的二次三项式，请直接写出m，n的值：
(2)如图2，在（1）的条件下，长度为1的线段（E在F的左侧）在A，B之间沿数轴水平滑动（不与A，B重合），点M是的中点，N是的中点。在滑动过程中，线段的长度是否发生变化，请判断并说明理由；
(3)若点D是的中点．
①直接写出点D表示的数____________（用含m，n的式子表示）；
②若，试求线段的长．
3、七（1）班的学习小组学习“线段中点”内容时，得到一个很有意思的结论，请跟随他们一起思考.
（1）发现：
如图1，线段，点在线段上，当点是线段和线段的中点时，线段的长为_________；若点在线段的延长线上，其他条件不变（请在图2中按题目要求将图补充完整），得到的线段与线段之间的数量关系为_________.
（2）应用：
如图3，现有长为40米的拔河比赛专用绳，其左右两端各有一段（和）磨损了，磨损后的麻绳不再符合比赛要求. 已知磨损的麻绳总长度不足20米. 小明认为只利用麻绳和一把剪刀（剪刀只用于剪断麻绳）就可以得到一条长20米的拔河比赛专用绳. 小明所在学习小组认为此法可行，于是他们应用“线段中点”的结论很快做出了符合要求的专用绳，请你尝试着“复原”他们的做法：
①在图中标出点、点的位置，并简述画图方法；
②请说明①题中所标示点的理由.
能力拔高
问题背景：整体思想就是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析，把握它们之间的关联，进行有目的、有意识的整体处理，整体思想在代数和几何中都有很广泛的应用．
(1)如图1，A、B、O三点在同一直线上，射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，则∠DOE的度数为 （直接写出答案）．
(2)当x＝1时，代数式a+bx+2021的值为2020，当x＝﹣1时，求代数式a+bx+2021的值．
(3)①如图2，点C是线段AB上一定点，点D从点A、点E从点B同时出发分别沿直线AB向左、向右匀速运动，若点E的运动速度是点D运动速度的3倍，且整个运动过程中始终满足CE＝3CD，求的值；
②如图3，在①的条件下，若点E沿直线AB向左运动，其它条件均不变．在点D、E运动过程中，点P、Q分别是AE、CE的中点，若运动到某一时刻，恰好CE＝4PQ，求此时的值．
精准作业答案
必做题
1、【答案】（1）6；（2）6；（3）或2
【分析】(1)根据图形，由AB= 12，AC=4得出BC= 8再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，(2)根据图形，由AB= 12，BC=m得出AC=12-m 再根据点D，E分别时AC和BC中点，得出DC，EC，再根据线段的和求出DE，(3)用含t的式子表示AP，BQ，再画出两种图形，根据线段的和等于AB，得到两个一元一次方程，即可求出．
【详解】解：如图
(1)∵AB= 12，AC=4 ∴BC= 8 ∵点D，E分别时AC和BC中点，
∴DC=2，BC=EC=4∴DE=DC+CE=6
(2)∵AB= 12， BC= m∴AC=12-m ∵点D， E分别时 AC和BC中点
∴DC=6-m，BC=EC=∴DE=DC+CE=6
(3)由题意得，如图所示，
或
AP=3t，BQ= 6t∴AP+PQ+BQ=12或AP+ BQ- PQ= 12
∴3t+6+ 6t= 12或3t + 6t- 6= 12解得t=或t= 2 故当t=或t= 2时，P，Q之间的距离为6.
【点睛】本题考查线段的中点，线段的和差倍分，解题关键是根据题意画出图形，得出线段之间的关系式．
2、【答案】(1)，；(2)不变化，理由见解析；(3)①；②
【解析】(1)解：由题可知，n-1=0，7+m=2，
∴，
故答案为：，
(2)解：MN的长不发生变化，理由如下：
由题意，得点C表示的数为3，
设点E表示的数为x，则点F表示的数为
∴ ， ， ， ， ，，
∵点M是的中点，N是的中点
∴，，即
(3)解：①∵A，B表示的数分别为m，n
又点C在B的右侧，∴AB=n-m
∵，∴AC= n-m+2
∵点D是的中点，∴AD=AC= （n-m+2）
∴D表示的数为：m+ （n-m+2）=
②依题意，点C表示的数分别为
∴，
∴，
∵，即
当时．，
∵，∴不符合题意，舍去
当时．，
综上所述，线段的长为.
3、【答案】（1）6；补图见解析， （2）①见解析（答案不唯一）②见解析.
【详解】解：（1）点在线段上时，
因为点E是线段AC的中点，所以CE=AC，
因为点F是线段BC的中点，所以CF=BC，
所以EF=CE+CF=AC+BC=AB，
又AB=12，所以EF=6．
当点在线段的延长线上时，如图2，
此时，EF=EC-FC═AC-BC=AB.
答案为：6；EF=AB.
（2）①
图3
如图，在上取一点，使，为的中点，点与点重合. （答案不唯一）
②因为为的中点，所以.
因为，
所以.
因为米，所以米.
因为米，米，
所以米.
因为点与点重合，米，
所以米，所以点落在线段上.
所以满足条件.
能力拔高
【答案】(1)90°；(2)2022；(3)①；②或
【解析】(1)解：如图1，∵射线OD和射线OE分别平分∠AOC和∠BOC，
∴∠DOC =∠AOC，∠COE=∠BOC，
∵∠DOE=∠DOC+∠COE ，
∴∠DOE=∠AOC+∠BOC=(∠AOC+∠BOC)，
∵∠AOC+∠BOC=180°，∴∠DOE=×180°=90°，
故答案为：90°．
(2)∵当x＝1时，代数式a+bx+2021的值为2020，
∴a +b+2021=2020，∴a+b=-1，∴-a-b=1，
当x＝﹣1时，a+bx+2021= -a-b+2021=1+2021=2022．
(3)①如图2，
设点D运动的路程为x，则点E运动的路程为3x，
∴CE＝BC+BE=BC+3x，CD=CA+AD=CA+x，
∵CE＝3CD，
∴BC+3x= 3CA+3x，
∴CB=3AC，
∴AB=CB+AC=4AC，
∴=．
②根据①，设AC=m，则CB=3m，AB=4m，设点D运动的路程为AD=x，则点E运动的路程为EB=3x，
当点E在C点的右侧时，如图3，
∴CE＝BC-BE=3m-3x，CD=CA+AD=m+x，
∵点P、Q分别是AE、CE的中点，∴PE=，QE=，
∴PQ=PE-QE=-=，
∵CE＝4PQ，∴3m-3x=4×，解得x=，
故AD=，∴=．
当点E在C点的左侧，且在点A的右侧时，如图4，
∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x，
∵点P、Q分别是AE、CE的中点，∴PE=，QE=，
∴PQ=PE+QE=+=，
∵CE＝4PQ，∴3x-3m=4×，解得x=，故AD=，∴=．
当点E在A点的左侧时，如图5，
∴CE＝BE-BC=3x-3m，CD=CA+AD=m+x，
∵点P、Q分别是AE、CE的中点，∴PE=，QE=，
∴PQ=PE+QE=+=，
∵CE＝4PQ，∴3x-3m=4×，解得x=，
故AD=，∴=．
综上所述，的值为或．(共20张PPT)
线段与中点有关的动点问题
例1、如图，已知线段AB=24 ，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t>0），点M为AP的中点．
(1)若点P在线段AB上运动，当t为多少时，PB=AM
题型一、与中点有关的求值问题
(2)若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点．
①当N为PB的中点时，求线段MN的长度；
②当PN=2NB时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．
例1、如图，已知线段AB=24 ，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t>0），点M为AP的中点．
(2)若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点．
①当N为PB的中点时，求线段MN的长度；
(2)若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点．
②当PN=2NB时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．
同步练习1 如图1，已知数轴上A，B两点表示的数分别为-9和7．
（1）AB= ；
（2）点P、点Q分别从点A、点B出发同时向右运动，点P的速度为每秒4个单位，点Q的速度为每秒2个单位，经过多少秒，点P与点Q相遇？
16
（3）如图2，线段AC的长度为3个单位，线段BD的长度为6个单位，线段AC以每秒4个单位的速度向右运动，同时线段BD以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．
①t为何值时，点B恰好在线段AC的中点M处．
②t为何值时，AC的中点M与BD的中点N距离2个单位．
同步练习1
同步练习1 如图1，已知数轴上A，B两点表示的数分别为-9和7．
（3）如图2，线段AC的长度为3个单位，线段BD的长度为6个单位，线段AC以每秒4个单位的速度向右运动，同时线段BD以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．
①t为何值时，点B恰好在线段AC的中点M处．
同步练习1 如图1，已知数轴上A，B两点表示的数分别为-9和7．
（3）如图2，线段AC的长度为3个单位，线段BD的长度为6个单位，线段AC以每秒4个单位的速度向右运动，同时线段BD以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．
②t为何值时，AC的中点M与BD的中点N距离2个单位．
16
2
2
题型二、与中点有关的数量关系问题
2
同步练习2
题型三、与中点有关的证明定值问题
12
4
同步练习3
1、本节课你有什么收获？
课堂小结及作业布置
2、你还有什么困惑吗？
3、作业布置：见精准作业单专题9 线段与中点有关的动点问题
教学设计
题型一、与中点有关的求值问题
例1、如图，已知线段AB=24 ，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t>0），点M为AP的中点．
(1)若点P在线段AB上运动，当t为多少时，PB=AM
(2)若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点．
①当N为PB的中点时，求线段MN的长度；
②当PN=2NB时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．
【答案】(1)8；
(2)①12．②当 时，P是 的中点；当时，N是的中点．
【分析】
（1）解∶根据题意得：，
∵M是线段的中点， ∴， ．
∵，∴，
解得．∴当时，；
（2）①当点P在B点左侧时．
∵M是线段的中点，∴，
∵N是线段的中点，∴．∴．
当点P在B点或B点右侧时．
∵M是线段的中点，∴，
∵N是线段的中点，∴．∴，
综上所述，线段的长度为12；
②当时，存在这样的t，使M、N、P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点．
当时，由题意得：，
∵，∴，解得， ．
当时，由题意得：，
∵，∴，解得， ．
当时，由题意得：，
∵，∴，解得，（舍去）．
综上，当时，P是的中点；当时，N是的中点．
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，本题是动点问题，解题时可根据图形，用t表示出相应线段的长，再根据已知条件列出方程．解题时要按照点的不同位置进行分类讨论，避免漏解．
同步练习1 如图1，已知数轴上A，B两点表示的数分别为-9和7．
（1）AB= ；
（2）点P、点Q分别从点A、点B出发同时向右运动，点P的速度为每秒4个单位，点Q的速度为每秒2个单位，经过多少秒，点P与点Q相遇？
（3）如图2，线段AC的长度为3个单位，线段BD的长度为6个单位，线段AC以每秒4个单位的速度向右运动，同时线段BD以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．
①t为何值时，点B恰好在线段AC的中点M处．
②t为何值时，AC的中点M与BD的中点N距离2个单位．
【答案】（1）；（2）经过秒，点P与点Q相遇；（3）①当秒，点B恰好在线段AC的中点M处；②当或时，AC的中点M与BD的中点N距离2个单位
【分析】（1）根据距离公式直接求解即可；
（2）设时间为秒，分别求得两点代表的数，即可求解；
（3）①根据题意求得秒后，代表的数，再求得代表的数，即可求解；②根据题意求得秒后，代表的数，再求得代表的数，根据题意，即可求解．
【详解】解：（1）数轴上A，B两点表示的数分别为-9和7
所以，
故答案为：
（2）设时间为秒，则点表示的数为，点表示的数为
由题意可得：
解得
即经过秒，点P与点Q相遇；
（3）①运动时间为秒时，点表示的数为，点表示的数为，
点表示的数为，点表示的数为
点为线段的中点，∴点表示的数为，由题意得：，解得即当秒，点B恰好在线段AC的中点M处；
②点为线段的中点，
点表示的数为，由题意可得：，
即，即或解得或
即当或时，AC的中点M与BD的中点N距离2个单位．
题型二、与中点有关的数量关系问题
例2、已知数轴上两点对应的数分别是，线段在数轴上运动，点在点的左边，且点是的中点．
（1）如图1，当线段运动到点均在之间时，若，则_________，点对应的数为________，________；
（2）如图2，当线段运动到点在之间时，画出草图并求与的数量关系．
【答案】（1）；2；2；（2），画图见解析．
【解析】（1）数轴上两点对应的数分别是，
点是的中点，，
，，对应的数是2，
故答案为：；2；2；
（2），点是的中点，
，
故答案为：（1）；2；2；（2），画图见解析．
同步练习2 如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1) 若点P在线段AB上的运动，当时， ；
(2) 若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；
(3) 当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
（1）解：∵ M为AP的中点，，∴ ，
∵线段，N为BP的中点，∴．故答案是：2；
（2）解：①当点P在线段AB上，时，如图，
∵，，∴，解得．
②当点P在线段AB的延长线上，时，如图，
∵，，∴，得．
综上所述，当时，点P的运动时间t的值为8或24．
（3）解：当点P在线段AB的反向延长线上时，，
∵，，
∴．
【点睛】本题主要考查了点的运动和线段之间的关系，熟练掌握几何的基础知识是解答本题的关键．
题型三、与中点有关的证明定值的问题
例3、如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若．
（1）求线段，的长；
（2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长；
（3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．
【答案】（1），；（2）9；（3）②正确，，见解析
【解析】（1）由，，，
得，，所以，；
（2）当点在点的右侧时，如图，
因为点，分别为线段，的中点，，
所以，，
又因为，
所以，
当点在点的左侧时，如图，
因为点，分别为线段，的中点，
所以，，
所以
所以．
综上，线段的长为9；
（3）②正确，且．理由如下：
因为点与点重合，所以，
所以，所以，
所以．
同步练习3、已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
【解析】（1）∵|m－12|＋（n－4）2＝0，∴m－12=0，n－4=0，∴m=12，n=4；故答案为：12；4．
（2）由题意，①∵AB=12，CD=4，
∵M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，∴AM=CM=AC ，DN=BN=BD
∴MN=CM+CD+DN=AC +CD+BD=AC +CD+BD+CD=(AC +CD+BD)+CD=(AB +CD)=8；
②如图，设PA=a，则PC=8+a，PE=10+a，
依题意有：，解得：a=2，在整个运动的过程中：BD=2t，BC=4+2t，
∵E是线段BC的中点，∴CE= BE=BC=2+t；
Ⅰ．如图1，F，C相遇，即t=2时
F，C重合，D，E重合，则FC=0，DE=0，∴FC-5 DE =0；
Ⅱ．如图2，F，C相遇前，即t<2时
FC =10-5t，DE =BE-BD=2+t-2t=2-t，∴FC-5 DE =10-5t -5（2-t）=0；
Ⅲ．如图3，F，C相遇后，即t＞2时
FC =5t-10，DE = BD - BE=2t –(2+t)= t-2，∴FC-5 DE =5t-10 -5（t-2）=0；
综合上述：在整个运动的过程中，FC5 DE的值为定值，且定值为0．专题9 线段与中点有关的动点问题
学案设计
题型一、与中点有关的求值问题
例1如图，已知线段AB=24 ，动点P从A出发，以每秒2个单位的速度沿射线AB方向运动，运动时间为t秒（t>0），点M为AP的中点．
(1)若点P在线段AB上运动，当t为多少时，PB=AM
(2)若点P在射线AB上运动，N为线段PB上的一点．
①当N为PB的中点时，求线段MN的长度；
②当PN=2NB时，是否存在这样的t，使M，N，P三点中的一个点是以其余两点为端点的线段的中点？如果存在，请求出t的值；如不存在，请说明理由．
同步练习1 如图1，已知数轴上A，B两点表示的数分别为-9和7．
（1）AB= ；
（2）点P、点Q分别从点A、点B出发同时向右运动，点P的速度为每秒4个单位，点Q的速度为每秒2个单位，经过多少秒，点P与点Q相遇？
（3）如图2，线段AC的长度为3个单位，线段BD的长度为6个单位，线段AC以每秒4个单位的速度向右运动，同时线段BD以每秒2个单位的速度向左运动，设运动时间为t秒．
①t为何值时，点B恰好在线段AC的中点M处．
②t为何值时，AC的中点M与BD的中点N距离2个单位．
题型二、与中点有关的数量关系问题
例2、已知数轴上两点对应的数分别是，线段在数轴上运动，点在点的左边，且点是的中点．
（1）如图1，当线段运动到点均在之间时，若，则_________，点对应的数为________，________；
（2）如图2，当线段运动到点在之间时，画出草图并求与的数量关系．
同步练习2 如图，在直线AB上，线段，动点P从A出发，以每秒2个单位长度的速度在直线AB上运动．M为AP的中点，N为BP的中点，设点P的运动时间为t秒．
(1)若点P在线段AB上的运动，当时， ；(2)若点P在射线AB上的运动，当时，求点P的运动时间t的值；(3)当点P在线段AB的反向延长线上运动时，线段AB、PM、PN有怎样的数量关系？请写出你的结论，并说明你的理由．
题型三、与中点有关的证明定值的问题
例3、如图，已知线段，，线段在直线上运动（点在点的左侧，点在点的左侧），若．
（1）求线段，的长；
（2）若点，分别为线段，的中点，，求线段的长；
（3）当运动到某一时刻时，点与点重合，点是线段的延长线上任意一点，下列两个结论：①是定值，②是定值，请选择你认为正确的一个并加以说明．
同步练习3、已知线段AB＝m，CD＝n，线段CD在直线AB上运动（A在B的左侧，C在D的左侧），且m，n满足|m－12|＋（n－4）2＝0.
（1）m＝ ，n＝ ；
（2）点D与点B重合时，线段CD以2个单位长度/秒的速度向左运动．
①如图1，点C在线段AB上，若M是线段AC的中点，N是线段BD的中点，求线段MN的长；
②P是直线AB上A点左侧一点，线段CD运动的同时，点F从点P出发以3个单位/秒的向右运动，点E是线段BC的中点，若点F与点C相遇1秒后与点E相遇．试探索整个运动过程中，FC－5DE是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由．
