高一上学期数学专题复习：第8章《函数应用》专题（1）
一、多项选择题
1．如图，某池塘里浮萍的面积(单位)与时间(单位：月)的关系为，下列说法正确的是 ( )
A．这个指数函数的底数为2
B．第5个月时，浮萍面积就会超过
C．浮萍从蔓延到需经过1.5个月
D．若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别
是，，，则
2．某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，若使这种溶液的杂质含量达到市场要求，则过滤次数可以为(参考数据：，) ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：①；②．(参考数据：)根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是 ( )
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5，
则小明视力的小数记录数据为0.9
小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，
则小明视力的小数记录数据为0.8
4．声强级Li(单位：dB)与声强I(单位：)之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为(单位：dB)．下列选项中正确的是 ( )
A．闻阈的声强为
B．声强级增加10dB，则声强变为原来的2倍
C．此歌唱家唱歌时的声强范围(单位：dB)
D．如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB
5．函数在上有定义，若对任意，，有，则称在上具有性质M，设在上具有性质M，则下列说法错误的是 ( )
A．在上的图像是连续不断的
B．在上具有性质M
C．对任意，，，，有
D．若在处取得最小值1011，则，
二、解答题
6．某网店对某一季节商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计，发现第x天(，)的销售价格(单位：元/件)，第x天的销售量(单位：件)，已知该商品成本为每件25元
(1)写出销售额t关于第x天的函数关系式；
(2)求该商品第七天的利润；
(3)该商品第几天利润最大 并求出最大利润．
7．邢台，简称“邢”，古称邢州、顺德府，拥有3500余年建城史，是华北历史上第一座城市，有“五朝古都、十朝雄郡”之称，现有4区2市12县，总面积1.24万平方公里．至2021年末，全市常住总人口708.79万人，在全省11个地市中排名第6名，2021年全市GDP总量2427.1亿元，位列全省第7名．
(1)假设2021年后邢台市GDP的年平均增长率能保持8%，那么按此增长速度，约经过几年后，邢台市GDP能实现比2021年翻一番
(2)习近平总书记在党的二十大报告中指出，到2035年我国要基本实现社会主义现代化，人均国内生产总值达到中等发达国家水平．对标国家目标，邢台市未来发展任重道远，需立大格局、树进取心、施非常策、兴落实风，奋力开创高质量超越发展，力争实现2035年GDP比2021年翻两番．要实现这一宏伟目标，从2021年后GDP的年平均增长率至少要保持在多少以上
(参考数据：，，)
8．兴泉铁路起于江西，途经三明，最后抵达泉州(途经站点如图所示)．这条“客货共用”铁路是开发沿线资源、服务革命老区的重要铁路干线，是打通泉州港通往内陆铁路货运的重要方式，将进一步促进山海协作，同时也将结束多个山区县不通客货铁路的历史．目前，江西兴国至清流段已于2021年9月底开通运营，清流至泉州段也具备了开通运营条件，即将全线通车．预期该路线通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足．经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人．记列车载客量为．
(1)求的表达式；
(2)若该线路每分钟的净收益为(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．
9．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为x米()．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
10．在经济学中，函数的边际函数．某机械设备公司生产某种精密测量仪器，已知每月生产台的收益函数(单位：元)，成本函数(单位：元)，该机械设备公司每月最多生产100台该精密测量仪器．(利润函数收益函数成本函数)
(1)求利润函数及边际利润函数；
(2)此机械设备公司每月生产多少台该精密测量仪器时每台的平均利润最大，最大值为多少 (精确到0.1)
(3)求为何值时利润函数取得最大值，并解释边际利润函数的实际意义．高一上学期数学专题复习：第8章《函数应用》专题（1）
一、多项选择题
1．如图，某池塘里浮萍的面积(单位)与时间(单位：月)的关系为，下列说法正确的是 ( )
A．这个指数函数的底数为2
B．第5个月时，浮萍面积就会超过
C．浮萍从蔓延到需经过1.5个月
D．若浮萍蔓延到，，所经过的时间分别
是，，，则
1．ABD
2．某工厂生产一种溶液，按市场要求该溶液的杂质含量不得超过0.1%，而这种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减少，若使这种溶液的杂质含量达到市场要求，则过滤次数可以为(参考数据：，) ( )
A．7 B．8 C．9 D．10
2．BCD
3.常见的《标准对数视力表》中有两列数据，分别表示五分记录和小数记录数据，把小数记录数据记为x，对应的五分记录数据记为y，现有两个函数模型：①；②．(参考数据：)根据如图标准对数视力表中的数据，下列结论中正确的是 ( )
A．选择函数模型①
B．选择函数模型②
C．小明去检查视力，医生告诉他视力为5，
则小明视力的小数记录数据为0.9
小明去检查视力，医生告诉他视力为4.9，
则小明视力的小数记录数据为0.8
3．BD
4．声强级Li(单位：dB)与声强I(单位：)之间的关系是：，其中指的是人能听到的最低声强，对应的声强级称为闻阈．人能承受的最大声强为，对应的声强级为120dB，称为痛阈．某歌唱家唱歌时，声强级范围为(单位：dB)．下列选项中正确的是 ( )
A．闻阈的声强为
B．声强级增加10dB，则声强变为原来的2倍
C．此歌唱家唱歌时的声强范围(单位：dB)
D．如果声强变为原来的10倍，对应声强级增加10dB
4．ACD
5．函数在上有定义，若对任意，，有，则称在上具有性质M，设在上具有性质M，则下列说法错误的是 ( )
A．在上的图像是连续不断的
B．在上具有性质M
C．对任意，，，，有
D．若在处取得最小值1011，则，
5．AB
二、解答题
6．某网店对某一季节商品过去20天的销售价格及销售量进行了监测统计，发现第x天(，)的销售价格(单位：元/件)，第x天的销售量(单位：件)，已知该商品成本为每件25元
(1)写出销售额t关于第x天的函数关系式；
(2)求该商品第七天的利润；
(3)该商品第几天利润最大 并求出最大利润．
6．【解】（1）由题意得；……………………3分
（2）设利润为，则
……………………6分
∴元.……………………7分
（3）当，时，，
则.
当，时，，
则.
当，时，，
则.
所以该商品在第6天时利润最大，最大利润为1050元.……………………12分
7．邢台，简称“邢”，古称邢州、顺德府，拥有3500余年建城史，是华北历史上第一座城市，有“五朝古都、十朝雄郡”之称，现有4区2市12县，总面积1.24万平方公里．至2021年末，全市常住总人口708.79万人，在全省11个地市中排名第6名，2021年全市GDP总量2427.1亿元，位列全省第7名．
(1)假设2021年后邢台市GDP的年平均增长率能保持8%，那么按此增长速度，约经过几年后，邢台市GDP能实现比2021年翻一番
(2)习近平总书记在党的二十大报告中指出，到2035年我国要基本实现社会主义现代化，人均国内生产总值达到中等发达国家水平．对标国家目标，邢台市未来发展任重道远，需立大格局、树进取心、施非常策、兴落实风，奋力开创高质量超越发展，力争实现2035年GDP比2021年翻两番．要实现这一宏伟目标，从2021年后GDP的年平均增长率至少要保持在多少以上
(参考数据：，，)
7．【解】（1）由题意知，年以后，邢台市GDP为，
解可得，
.……………………4分
所以，大约经过8年后，邢台市GDP能实现比2021年翻一番.……………………6分
（2）设从2021年后GDP的年平均增长率至少要保持在多少以上.
则由题意知，，即.……………………8分
因为，，所以，
则由可得，.……………………10分
所以，.
所以，年平均增长率至少要保持在以上.……………………12分
8．兴泉铁路起于江西，途经三明，最后抵达泉州(途经站点如图所示)．这条“客货共用”铁路是开发沿线资源、服务革命老区的重要铁路干线，是打通泉州港通往内陆铁路货运的重要方式，将进一步促进山海协作，同时也将结束多个山区县不通客货铁路的历史．目前，江西兴国至清流段已于2021年9月底开通运营，清流至泉州段也具备了开通运营条件，即将全线通车．预期该路线通车后，列车的发车时间间隔t(单位：分钟)满足．经市场调研测算，列车载客量与发车时间间隔t相关，当时列车为满载状态，载客量为720人；当时，载客量会减少，减少的人数与的平方成正比，且发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人．记列车载客量为．
(1)求的表达式；
(2)若该线路每分钟的净收益为(元)，问当发车时间间隔为多少时，该线路每分钟的净收益最大，并求出最大值．
8．【解】（1）由题知，当时，
当时，可设，……………………2分
又发车时间间隔为3分钟时的载客量为396人，
∴，解得．；……………………4分
此时，
∴……………………6分
（2）由（1）知： ，……………………8分
∵时，，当且仅当等号成立，
∴时，，……………………10分
当上，单调递减，则，
综上，时间间隔为3分钟时，每分钟的净收益最大为84元．……………………12分
9．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为x米()．
(1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低
(2)现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围．
9．【解】（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为米（），底面积为12平方米，
所以屋子的前面墙的长度均为米（），
设甲工程队报价为元，
所以（元），…………2分
因为，
当且仅当，即时等号成立，
所以当左右两面墙的长度为米时，甲工程队报价最低为元.……………………6分
（2）根据题意可知对任意的恒成立，
即对任意的恒成立，
所以对任意的恒成立，……………………8分
因为，，
当且仅当，即时等号成立，
所以，
故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竟标成功.………12分
10．在经济学中，函数的边际函数．某机械设备公司生产某种精密测量仪器，已知每月生产台的收益函数(单位：元)，成本函数(单位：元)，该机械设备公司每月最多生产100台该精密测量仪器．(利润函数收益函数成本函数)
(1)求利润函数及边际利润函数；
(2)此机械设备公司每月生产多少台该精密测量仪器时每台的平均利润最大，最大值为多少 (精确到0.1)
(3)求为何值时利润函数取得最大值，并解释边际利润函数的实际意义．
10．【解】（1）由题意有：且，
利润函数
（且），……………………2分
边际利润函数
（且）……………………4分
（2）每台精密测量仪器的平均利润为：
，设，
设任意，则，
因为，故，
故即，
故在上为减函数，同理可得上为增函数，
而，且，，
而，故，
故当时，有最大值且最大值为，
故每台精密测量仪器平均利润最大约为3651.4元.……………………8分
（3），
所以当时，取得最大值.
由及，得，此时随x增大而增大；
由及，得，此时随x增大而减小；
反映了产量与利润增量的关系，从第2台开始，每多生产1台精密测量仪器利润增量在减少.……………………12分
