江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(—)
数 学 试 题
注意事项：
1．本试卷包括选择题(第1题～第28题,共28题84分)、非选择题(第29题～第30题，共2题16分)共两部分。满分100分,考试时间为75分钟。
2．答题前,考生务必将信息填写清楚。
一、选择题：本大题共28小题,每小题3分,共计84分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．
1．已知集合，，则 （ ）
A． B． C． D．
1．A 解析：因为＝[﹣2，3]， (，1)，所以．故选A．
2．已知复数（为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
2．D 解析：，则．故选D．
3．设x∈R，则“﹣6＜x＜6”是“x＜6”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．A 解析：∵（﹣6，6）（﹣∞，6），∴﹣6＜x＜6是x＜6的充分不必要条件．故选A．
4．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为 （ ）
A． B． C． D．
4．C 解析：设三位同学为，他们的学号为，用有序实数对表示三人拿到的卡片种类，如表示同学拿到号，同学拿到号，同学拿到号．三人可能拿到的卡片结果共6种：，恰有1位学生分到写有自己学号卡片的结果有3种：，概率为．故选C．
5．椭圆的焦点为、，上顶点为，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
5．C 解析：，，，如图，，，为等边三角形，，即，，则．故选C．
6．若函数，则 （ ）
A． B． C． D．
6．B 解析：．故选B．
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
7．A 解析：由得：acosA＝bcosB，sinAcosA＝sinBcosB，即sin2A＝sin2B，则2A＝2B或2A+2B＝π，A＝B或A+B＝．当A+B＝时，C＝，三角形ABC为直角三角形，，这时，分式无意义，所以A＝B．故选A．
8．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝ （ ）
A．﹣ B．﹣ C．+ D．+
8．A解析：＝﹣＝﹣＝﹣×（+）＝﹣．故选A．
9．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．下列命题中正确的是 （ ）
A．若α∥β，m α，n β，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
9．D 解析：A选项，若α∥β，m α，n β，则m∥n或m与n异面，故A错误．B选项，若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β或α与β相交，故B错误．C选项，若m∥α，n∥α，则m∥n或m与n相交或m与n异面，故C错误．D选项，若α∥β，m⊥α，则m⊥β，又β∥γ，则m⊥γ，故D正确．故选D．
10．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝120°，CA＝CB＝，AA1＝2，则该直三棱柱外接球的半径为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
10．C解析：△ABC的外接圆的半径为，三棱柱的外接球的半径为R＝．故选C．
11．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
11．B解析：由题意得，∴．故选B．
12．平行四边形中,为的中点,满足,若,则=（ ）
A．4 B．2 C． D．
12．D 解析：①，②，①×﹣②得：，
则，故．故选D．
13．若等比数列{an}单调递减，且a2+a4＝30，，则公比q＝ （ ）
A． B．2 C．﹣ D．﹣2
13．A 解析：∵a2+a4＝30，，∴a2，a4是方程x2﹣30x+144＝0的两个实数根（a2＞a4），
∴a2＝24，a4＝6，∴q2＝＝＝，解得q＝或q＝﹣（舍去）．故选A．
14．sin22°sin52°+sin68°sin38°＝（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
14．D解析： sin22°sin52°+sin68°sin38°＝sin22°cos38°+cos22°sin38°＝sin（22°+38°）＝sin60°＝．故选D．
15．设每个工作日甲、乙两人需使用某种设备的概率分别为0.4，0.5，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少1人需使用这种设备的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9
15．C解析：设甲使用设备为事件A，乙使用设备为事件B，则P（A）＝0.4，P（B）＝0.5，则P（）＝1﹣0.4＝0.6，P（）＝1﹣0.5＝0.5，甲乙都没有使用设备的概率p（）＝0.6×0.5＝0.3，故同一工作日至少1人需使用这种设备的概率P＝1﹣p（）＝1﹣0.3＝0.7．故选C．
16．若a＝2－，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是 ( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
16．C解析：a＝2－＝，根据函数y＝x3是R上的增函数，且＜＜，得＜＜，即b＜c＜a．故选C．
17．已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则实数a＝ ( )
A．2 B．－2 C． D．－
17．B解析：因为l1⊥l2，所以＝－1，解得a＝－2．故选B．
18．函数y＝3sin(4x＋)的最小正周期是 ( )
A．2π B． C． D．π
18．B解析：T＝＝＝．故选B．
19．函数f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间是 ( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
19．D解析：由x2－2x－8>0得，x<－2或x>4，结合二次函数的单调性、对数函数的单调性和复合函数同增异减的原则可得函数的单调增区间为(4，＋∞)．故选D．
20．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－e－x＋1，则当x＜0时，f(x)＝ ( )
A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1
20．A解析：当x＜0时，－x＞0，则f(x)＝－f(－x)＝－(－ex＋1)＝e－x－1．故选A．
21．在函数y＝xcosx，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsinx中，奇函数的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
21．C解析：y＝xcosx为奇函数，y＝ex＋x2为非奇非偶函数，y＝lg与y＝xsinx为偶函数．故选C．
22．已知向量与的夹角为，且，，则等于（ ）
A． B． C． 1 D．
22．C解析：∵，，即，
∴，∴∴．故选C．
23．已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
23．C解析：由题意得，，则，渐近线方程为．故选C．
24．已知角α的终边经过点P(x，－6)且tanα＝－，则x的值为 ( )
A．±10 B．10 C．±8 D．8
24．B解析：由tanα＝＝＝－，解得x＝10．故选B．
25．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则AC的长为 ( )
A． B．2 C．1 D．
25．C解析：△ABC的面积为AB·AC·sinA＝×2×AC×＝，解得AC＝1．故选C．
26．若正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为 ( )
A． B． C． D．
26．D解析：如图，正四面体A BCD的中心为O，即内切球球心，内切球半径为R，即为O到正四面体各面的距离．正四面体的高h＝a．又VA BCD＝4VO BCD，则R＝h＝a．故选D．
27．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m α；④α⊥β；⑤α∥β．
从中任选两个条件，则能推导出m∥β的是 ( )
A．①③ B．②④ C．③⑤ D．④⑤
27．C解析：若α∥β，则α内的任一条直线均平行于β，故由③⑤ m∥β．列举知其余任选的两个条件均不能推导出m∥β．故选C．
28．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝2，若点P在线段BD上，则二面角P﹣BC1﹣C的余弦值为 （ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
28．C解析：以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DD1为z轴，建立空间直角坐标系，如图，
则B（1，2，0），C1（0，2，2），＝（1，2，0），＝（0，2，2），
平面BCC1的法向量＝（0，1，0），设平面PBC1的法向量＝（x，y，z），
则，取x＝2，得＝（2，﹣1，1），设二面角P﹣BC1﹣C的平面角为θ，
则cosθ＝＝＝．∴二面角P﹣BC1﹣C的余弦值为．故选C．
二、解答题：本大题共2小题,共计16分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
29．（本小题满分8分）
在①,②这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题．
已知的内角,,的对边分别为,,______________,,,求的面积．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）
29．解析：选择①：,
由余弦定理．…………………………………2分
因为,所以;由正弦定理,得,
因为,,所以．…………………………………4分
所以,…………………………6分
所以．…………………………………8分
若选择②：,则,
因为,所以,因为,所以．
由正弦定理,得．…………………………………2分
因为,,所以．…………………………………3分
所以．…………………6分
所以．…………………………………8分
30．（本小题满分8分）
如图，三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝2BC，∠ACB＝90°．
（1）求证：AC1⊥A1B；
（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正切值．
30．解析：（1）证明：因为CC1⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以CC1⊥BC，
又∠ACB＝90°，即BC⊥AC，AC∩CC1＝C，所以BC⊥平面A1C1CA，
因为AC1 平面A1C1CA，所以AC1⊥BC．…………………………………2分
因为AA1＝AC，所以四边形A1C1CA为正方形，所以AC1⊥A1C，
又A1C∩BC＝C，所以AC1⊥平面A1BC，
又A1B 平面A1BC，所以AC1⊥A1B．…………………………………4分
（2）设AC1∩A1C＝O，连接BO．
由(1)得AC1⊥平面A1BC，所以∠ABO是直线AB与平面A1BC所成的角，
设BC＝a，则AA1＝AC＝2a，
所以AO＝AC1＝a，BO＝＝a．…………………………………6分
在Rt△ABO中，tan∠ABO＝＝，
所以直线AB与平面A1BC所成角的正切值为．…………………………………8分江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(—)
数 学 试 题
注意事项：
1．本试卷包括选择题(第1题～第28题,共28题84分)、非选择题(第29题～第30题，共2题16分)共两部分。满分100分,考试时间为75分钟。
2．答题前,考生务必将信息填写清楚。
一、选择题：本大题共28小题,每小题3分,共计84分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．
1．已知集合，，则 （ ）
A． B． C． D．
2．已知复数（为虚数单位），则 （ ）
A． B． C． D．
3．设x∈R，则“﹣6＜x＜6”是“x＜6”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．在3张卡片上分别写上3位同学的学号后，再把卡片随机分给这3位同学，每人1张，则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为 （ ）
A． B． C． D．
5．椭圆的焦点为、，上顶点为，若，则实数（ ）
A． B． C． D．
6．若函数，则 （ ）
A． B． C． D．
7．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形
8．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则＝ （ ）
A．﹣ B．﹣ C．+ D．+
9．设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面．下列命题中正确的是 （ ）
A．若α∥β，m α，n β，则m∥n B．若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
C．若m∥α，n∥α，则m∥n D．若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ
10．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB＝120°，CA＝CB＝，AA1＝2，则该直三棱柱外接球的半径为（ ）
A． B．1 C．2 D．4
11．若函数在上单调递减，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
12．平行四边形中,为的中点,满足,若,则=（ ）
A．4 B．2 C． D．
13．若等比数列{an}单调递减，且a2+a4＝30，，则公比q＝ （ ）
A． B．2 C．﹣ D．﹣2
14．sin22°sin52°+sin68°sin38°＝（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
15．设每个工作日甲、乙两人需使用某种设备的概率分别为0.4，0.5，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少1人需使用这种设备的概率为（ ）
A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.9
16．若a＝2－，b＝，c＝，则a，b，c的大小关系是 ( )
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜c＜a D．b＜a＜c
17．已知两直线方程分别为l1：x＋y＝1，l2：ax＋2y＝0，若l1⊥l2，则实数a＝ ( )
A．2 B．－2 C． D．－
18．函数y＝3sin(4x＋)的最小正周期是 ( )
A．2π B． C． D．π
19．函数f(x)＝lg(x2－2x－8)的单调递增区间是 ( )
A．(－∞，－2) B．(－∞，－1) C．(1，＋∞) D．(4，＋∞)
20．设f(x)为奇函数，且当x≥0时，f(x)＝－e－x＋1，则当x＜0时，f(x)＝ ( )
A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1
21．在函数y＝xcosx，y＝ex＋x2，y＝lg，y＝xsinx中，奇函数的个数是 ( )
A．3 B．2 C．1 D．0
22．已知向量与的夹角为，且，，则等于（ ）
A． B． C． 1 D．
23．已知双曲线的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为（ ）
A． B． C． D．
24．已知角α的终边经过点P(x，－6)且tanα＝－，则x的值为 ( )
A．±10 B．10 C．±8 D．8
25．在△ABC中，A＝60°，AB＝2，且△ABC的面积为，则AC的长为 ( )
A． B．2 C．1 D．
26．若正四面体的棱长为a，则其内切球的半径为 ( )
A． B． C． D．
27．已知平面α，β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m α；④α⊥β；⑤α∥β．
从中任选两个条件，则能推导出m∥β的是 ( )
A．①③ B．②④ C．③⑤ D．④⑤
28．在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，AA1＝2，若点P在线段BD上，则二面角P﹣BC1﹣C的余弦值为 （ ）
A． B．﹣ C． D．﹣
二、解答题：本大题共2小题,共计16分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
29．（本小题满分8分）
在①,②这两个条件中任选一个,补充在下面的问题中,并解决该问题．
已知的内角,,的对边分别为,,______________,,,求的面积．（注：如果选择多个条件分别作答，按第一个解答计分．）
30．（本小题满分8分）
如图，三棱柱ABC A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AA1＝AC＝2BC，∠ACB＝90°．
（1）求证：AC1⊥A1B；
（2）求直线AB与平面A1BC所成角的正切值．
