第五章三角函数 单元检测-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（含答案）

第五单元三角函数单元检测卷
（共22题，共150分）
一、选择题（共8题，共40分）
（5分）在平面直角坐标系 中，角 以 为始边，终边经过点 ，则下列各式的值一定为负的是
A． B． C． D．
（5分）已知 ， 是第一象限角，且角 ， 的终边关于 轴对称，则
A． B． C． D．
（5分）将函数 的图象向右平移 个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间 上单调递增 B．在区间 上单调递减
C．在区间 上单调递增 D．在区间 上单调递减
（5分）从物理学知识可知，图中弹簧振子中的小球相对平衡位置的位移 与时间 （单位：）的关系符合函数 ．从某一时刻开始，用相机的连拍功能给弹簧振子连拍了 张照片．已知连拍的间隔为 ，将照片按拍照的时间先后顺序编号，发现仅有第 张、第 张、第 张照片与第 张照片是完全一样的，请写出小球正好处于平衡位置的所有照片的编号为
A． ， B． ， C． ，， D． ，，
（5分）在 中，，若 ，则 的大小是
A． B． C． D．
（5分）已知函数 ，则“”是“ 为奇函数”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
（5分）已知函数 ， 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，则 的一条对称轴是
A． B． C． D．
（5分）已知定义域是全体实数的函数 满足 ，且 ，，
现定义函数 ， 为：，，其中 ，那么下列关于 ， 叙述正确的是
A．都是偶函数且周期为
B．都是奇函数且周期为
C．都是周期函数但既不是奇函数又不是偶函数
D．都不是周期函数
二、多选题（共4题，共20分）
（5分）下列选项中，是函数 的单调递增区间的有
A． B．
C． D．
（5分）已知 ，且 ，则
A． B． C． D．
（5分）已知函数 ，其中 表示不超过实数 的最大整数，下列关于 结论正确的是
A． B． 的一个周期是
C． 在 上单调递减 D． 的最大值大于
（5分）函数 的图象为 ，如下结论正确的是
A． 的最小正周期为
B．对任意的 ，都有
C． 在 上是增函数
D．由 的图象向右平移 个单位长度可以得到图象
三、填空题（共4题，共20分）
（5分）函数 （）的最大值是 ，最小值是 ．
（5分）若函数 在区间 上有两个不同的零点 ，，则 的取值范围是 ．
（5分）已知 的图象向右平移 个单位后得到 的图象．则函数 的最大值为 ；若 值域为 ，则 的最小值为 ．
（5分）某时钟的秒针端点 到中心点 的距离为 ，秒针均匀地绕点 旋转，当时间 时，点 与钟面上标 的点 重合，将 ， 两点的距离 表示成 的函数，则 ，其中 ．
四、解答题（共6题，共70分）
（10分）化简求值．
(1) 化简 ． (2) 已知：，求 的值．
（12分）已知函数 ．
(1) 求 的值；
(2) 求 的最小正周期和单调递增区间；
(3) 将函数 的图象向右平移 个单位，得到函数 的图象，若函数 在 上有且仅有两个零点，求 的取值范围．
（12分）已知函数 的最大值为 ，其图象相邻两条对称轴之间的距离为 ．
(1) 求函数 的解析式；
(2) 设 ，且 ，求 的值．
（12分）已知函数 ．
(1) 求 的定义域．
(2) 若 ，且 ，求 的值．
（12分）进博会期间，有一个边长 的正方形展厅 ，由于疫情，展厅被分割成如图所示的相互封闭的几个部分，已划出以 为圆心， 为半径的扇形 作为展厅，现要在余下的地块中划出一块矩形的产品说明会场地 ，矩形有两条边分别落在边 和 上，设 ．
(1) 当 时，求出矩形 的面积（精确到 ）；
(2) 用 表示矩形 的面积，并求出矩形 的面积 的最大值（精确到 ）．
（12分）函数 ，其中 ．
(1) 讨论 的奇偶性；
(2) 时，求证： 的最小正周期是 ；
(3) ，当函数 的图象与 的图象有交点时，求满足条件的 的个数，说明理由．
答案
一、选择题（共8题，共40分）
1. 【答案】D
2. 【答案】D
3. 【答案】A
4. 【答案】D
5. 【答案】C
【解析】因为在 中，，，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，即 ，
所以 ．
6. 【答案】A
【解析】根据题意，函数 ，
若 ，则 ，是奇函数，
反之，若 为奇函数，必有 ，变形可得 ，，
故“”是“ 为奇函数”充分不必要条件，
故选：A．
7. 【答案】D
【解析】由题，得 ，
因为 的图象与直线 的两个相邻交点的距离等于 ，
所以函数 的最小正周期 ，则 ，
所以 ，
当 时，，
所以 是函数 的一条对称轴．
8. 【答案】A
【解析】因为 ，
所以 ，
且 ，
即 的一个周期为 ，
当 时，
且 ，
当 时，，
所以 是偶函数且周期为 ；
同理，，
所以 ，
且 ，
即 的一个周期为 ，
当 时，
且 ，
当 时，，
所以 是偶函数且周期为 ．
综上所述，选A．
二、多选题（共4题，共20分）
9. 【答案】B；C
【解析】令 ，
所以 ，所以单调增区间为 ，故选BC．
10. 【答案】A；B
11. 【答案】A；B；D
【解析】因为
故A正确；
所以 的一个周期是 ，故B正确；
当 时，，，
所以 ，
所以 ，故C错误；
因为 ，故D正确．
12. 【答案】A；B；C
【解析】 ， 最小正周期 ，A正确；
当 时，，
所以 关于 对称，所以 ，B正确；
当 时，，所以 在 上是增函数，C正确；
将 向右平移 个单位长度得到 ，D错误．
三、填空题（共4题，共20分）
13. 【答案】 ；
14. 【答案】
15. 【答案】 ；
16. 【答案】
【解析】如图，设 ，由垂径定理，得 ．因为 所以 化简即得
四、解答题（共6题，共70分）
17. 【答案】
(1) ．
(2) ．
18. 【答案】
(1) 因为函数 ，
所以 ，故 ．
(2) 由函数的解析式为 可得，它的最小正周期为 ．
令 ，求得 ，
可得它的单调递增区间为 ．
(3) 将函数 的图象向右平移 个单位，
得到函数 的图象，
若函数 在 上有且仅有两个零点，
则在 上有且仅有两个实数，满足 ，即 ．
在 上，，
所以 ，求得 ．
19. 【答案】
(1) 因为函数 的最大值为 ，
所以 ，即 ；
因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为 ，
所以最小正周期为 ，
所以 ，
故函数 的解析式为 ．
(2) 因为 ，
即 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，．
所以 ．
20. 【答案】
(1) 依题意，．
所以有 ．
所以函数 的定义域为 ．
(2) ．
由 ，得 ．
又因为 ，
所以 ．
所以 ．
所以 ．
21. 【答案】
(1) ．
(2) ， 或 时，面积最大值为 ．
22. 【答案】
(1) 由 得 ，，
所以函数 的定义域为 ．
所以定义域关于原点对称．
．
所以函数 是 上的奇函数．
(2) ，．
函数 是周期函数，且 是它的一个周期．
因为 ，
所以函数 是周期函数，且 是它的一个周期
假设 是函数 的最小正周期，且 ．
那么对任意实数 ，都有 成立，
取 ，则 ，所以 ，．
（法一）取 ，则 ，
所以 ，
把 式代入上式，得 ，
所以 ，，得 ，．
时，上式左边为无理数，右边为有理数，所以只能 ，
但由 ，， 知 ，
所以假设错误，故 是 的最小正周期．
（法二）取 的一个特殊值 ，
，左右两边不等．
所以假设错误，故 是 的最小正周期．
（法三）假设 是函数 的最小正周期，且 ，
即 成立，取 ，所以 ，
那么 有意义，但是 ，显然是无意义的，
所以假设错误，故 是 的最小正周期．
(3) 因为 ， 且 ，
由 成立，当且仅当 成立．
，得 ，所以 ，．
因为 ，所以只能 ，得 ，，
得 是 的递增函数．
当 时，，不符合；
当 时，；
当 时，；
当 时，；
当 时，；
当 时，；
当 时，；
当 时，，无解．
故满足条件的 的个数有 个．