《函数概念及其表示》
一、函数相等
1．（2022·全国·高一专题练习）下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】C
【详解】A．函数的定义域为，，
两个函数的对应法则不相同，不是同一函数，
B．，定义域为，函数的定义域不相同，不是同一函数
C．两个函数的定义域和对应法则相同，是同一函数
D．由得得，由得或，两个函数的定义域不相同，不是同一函数，
2．（2022·全国·高一专题练习）（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
【答案】ACD
【详解】对于A，，，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故A正确；
对于B，，，两个函数的定义域不同，所以两个函数不为同一函数，故B不正确；
对于C，，，两个函数的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故C正确；
对于D，与的对应关系和定义域都相同，所以两个函数为同一函数，故D正确.
故选：ACD
二、定义域
1．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为________．
【答案】
【详解】由题要使得有意义，则，故且，
从而的定义域为
2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数定义域为 ，则函数的定义域为_______.
【答案】
【详解】因的定义域为，则当时，，
即的定义域为，于是中有，解得，
所以函数的定义域为.
3．（2022·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】函数的定义域为等价于恒成立，
当时，显然不恒成立；当时，由，得，
综上，实数的取值范围为．
4．（2022·全国·高一专题练习）已知的定义域是R，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由题意可知，的解集为，
①当时，易知，即，这与的解集为矛盾；
②当时，若要的解集为，则
只需图像开口向上，且与轴无交点，即判别式小于0，即，解得，
综上所述，实数a的取值范围是.
5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则实数a的取值集合为（ ）
A．{1} B． C． D．
【答案】A
【详解】由可得，即的定义域为，所以，
则实数a的取值集合为.
三、求解析式
1．（2022·全国·高一专题练习）已知，则的解集为______.
【答案】####{x|x=1或x=-6}##{x|x=-6或x=1}
【详解】，令，则，
，，
由，得，解得或，
的解集为．
2．（2022·全国·高一专题练习）若函数f（x）满足，则f（x）可以是___．（举出一个即可）
【答案】
【详解】若，满足.
若，满足.答案不唯一.
3．（2021·江苏·高一专题练习）若一次函数y＝f(x)在区间[－1，2]上的最小值为1，最大值为3，则y＝f(x)的解析式为________.
【答案】或
【详解】设f(x)＝kx＋b(k≠0)
当k>0时，，即，∴.
当k<0时，，即∴.
∴f(x)的解析式为或.
4．（2020·上海·高一专题练习）函数对一切实数都有成立，且.求的解析式；
【答案】
【详解】令，，则，即，.
令，则，.
四、求值域
1．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域是_________.
【答案】
【详解】由题意：函数，开口向上，对称轴，
画出函数如下，
函数在区间上的值域为.
2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则的值域是_________.
【答案】
【详解】，，的值域为,
3．（2021·全国·高一专题练习）函数（且）的值域为__________.
【答案】
【详解】
画出函数（且）的图像如上图所示，是由反比例函数向左平移一个单位之后，选取部分图像得到的，当时，且取不到，所以结合图像可知，函数的值域为
4．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域是___________.
【答案】
【详解】
令,则, ,
,所以，当时，取得最小值，
函数的值域是:.
五、分段函数
1．（2022·江苏·高一单元测试）已知，则使成立的x的取值范围是_____．
【答案】
【详解】解：∵，∴或，
∴或，即，∴使成立的x的取值范围是．
2．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则___________.
【答案】9
【详解】解：根据题意，
3．（2022·全国·高一专题练习）设函数，若有最小值，则a的取值范围是______．
【答案】
【详解】因为一次函数在无最小值，二次函数在对称轴处或有最小值，令，解得或x=2，所以要使有最小值，则，
所以a的取值范围是
4．（2022·全国·高一单元测试）已知函数的解析式.
(1)求；(2)若，求a的值；
(3)画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）.
【分析】（1）
，.
（2）∵ ∴或或，解得或.
（3）画出函数的图象如图所示：
由图可知，的最大值为，函数的值域为.
《同步训练》
一、单选题
1．（2022·全国·高一专题练习）下列函数中，与函数相等的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】对于函数 的定义域为R对于A：定义域为R， ，故A正确；对于B：定义域为R， ，故B错误；对于C：定义域为 ，故C错误；对于D：定义域为 ，故D错误
2．（2018·全国·高一专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵的定义域为，
∴只需分母不为即可，即恒成立，
（1）当时，恒成立，满足题意，
（2）当时，，解得，
综上可得.
3．（2022·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，当时，；当或时，.
因此当时，函数在区间上的最小值为，
最大值为，所以，实数的取值范围是.
4．（2016·湖南·高一专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】试题分析：由已知，当，，则或，解得数的取值范围是.
二、填空题
5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．
【答案】
【详解】由解得，所以函数的定义域为.
6．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为 _________.
【答案】
【详解】解：由题可得，解得，，且；
的定义域为：．
7．（2021·江苏·高一专题练习）已知集合P＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝x2＋2x，x∈R}，则集合P∩Q＝______.
【答案】{y|y≥1}
【详解】因为P＝{y|y≥1}，Q＝{y|y≥－1}，所以P∩Q＝{y|y≥1}.
8．（2021·全国·高一专题练习）函数在上的值域是_____.
【答案】
【详解】解：当时，函数 在上是增函数，
故当时，函数取得最小值为1，又，故函数的值域为，
9．（2021·全国·高一专题练习）已知，且为一次函数，求_________
【答案】或.
【详解】因为为一次函数，所以设，
所以，
因为，所以恒成立，
所以，解得：或，所以或，
10．（2021·全国·高一专题练习）已知且，则a的值为________．
【答案】
【详解】设，则，
因为，所以，即，
又因为，可得，解得.
11．（2022·全国·高一单元测试）设函数，若，则实数的值为_____．
【答案】
【详解】由题意知，；当时，有，解得(舍去)；
当时，有，解得(舍去)或．所以实数的值是：．
三、解答题
12．（2022·全国·高一单元测试）求的最小值.
【详解】因为，
当时，，
当时，，
当时，，
故函数的最小值为.
13．（2022·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)求，；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的图象．
【分析】（1）
解：因为所以，，
．
（2）解：当时，，，
当时，，，
当时，，，
综上所述，的值为或或．
（3）解：函数的图象，如图所示：《函数概念及其表示》
一、函数相等
1．（2022·全国·高一专题练习）下面各组函数中是同一函数的是（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
2．（2022·全国·高一专题练习）（多选）下列各组函数中，两个函数是同一函数的有（ ）
A．与 B．与
C．与 D．与
二、定义域
1．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为________．
2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数定义域为 ，则函数的定义域为_______.
3．（2022·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·高一专题练习）已知的定义域是R，则实数a的取值范围是( )
A． B． C． D．
5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则实数a的取值集合为（ ）
A．{1} B． C． D．
三、求解析式
1．（2022·全国·高一专题练习）已知，则的解集为______.
2．（2022·全国·高一专题练习）若函数f（x）满足，则f（x）可以是 _________．（举出一个即可）
3．（2021·江苏·高一专题练习）若一次函数y＝f(x)在区间[－1，2]上的最小值为1，最大值为3，则y＝f(x)的解析式为________.
4．（2020·上海·高一专题练习）函数对一切实数都有成立，且.求的解析式；
四、求值域
1．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域是_________.
2．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则的值域是_________.
3．（2021·全国·高一专题练习）函数（且）的值域为__________.
4．（2022·全国·高一专题练习）函数的值域是___________.
五、分段函数
1．（2022·江苏·高一单元测试）已知，则使成立的x的取值范围是_____．
2．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，则___________.
3．（2022·全国·高一专题练习）设函数，若有最小值，则a的取值范围是______．
4．（2022·全国·高一单元测试）已知函数的解析式.
(1)求；(2)若，求a的值；
(3)画出的图象，并写出函数的值域（直接写出结果即可）.
《同步训练》
一、单选题
1．（2022·全国·高一专题练习）下列函数中，与函数相等的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2018·全国·高一专题练习）已知函数的定义域是，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·全国·高一专题练习）若函数的定义域为，值域为，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．（2016·湖南·高一专题练习）若函数的定义域为，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
二、填空题
5．（2022·全国·高一专题练习）已知函数的定义域为，则函数的定义域为__________．
6．（2022·全国·高一专题练习）函数的定义域为 _________.
7．（2021·江苏·高一专题练习）已知集合P＝{y|y＝x2＋1，x∈R}，Q＝{y|y＝x2＋2x，x∈R}，则集合P∩Q＝______.
8．（2021·全国·高一专题练习）函数在上的值域是_____.
9．（2021·全国·高一专题练习）已知，且为一次函数，求_________
10．（2021·全国·高一专题练习）已知且，则a的值为________．
11．（2022·全国·高一单元测试）设函数，若，则实数的值为_____．
三、解答题
12．（2022·全国·高一单元测试）求的最小值.
13．（2022·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)求，；
(2)若，求的值；
(3)作出函数的图象．
