《指数函数》
一、比较大小
1．（2020·浙江·高一期末）设，，，则，，的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】由指数函数的单调性可得，，
，所以.
2．（2021·陕西·安康市教学研究室高一期末）若，则下列各选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】对于A：取，则，故A错误；
对于B：取，则，故B错误；
对于C： 函数在上单调递增，又，所以，故C正确；
对于D：函数在上单调递增，又，所以，所以，故D错误；
二、单调性
1．（2021·全国·高一专题练习）已知(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是（ ）
A．a>0 B．a>1 C．a<1 D．0
【答案】D
【详解】因为f(－2)＝a2， f(－3)＝a3，f(－2)>f(－3)，即a2>a3，解得：02．（2022·广西南宁·高一期末）设函数，则 （ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减
C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
【答案】D
【详解】函数的定义域为，，所以函数为奇函数.
而，可知函数为定义域上的减函数，
因此，函数为奇函数，且是上的减函数.
3．（2022·浙江省杭州学军中学高一期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】依题意，，解得：，即定义域为，令，则函数在上单调递增，在上单调递减，而函数在R上单调递减，因此，在上单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.
4．（2022·湖南衡阳·高一期末）设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】时，单调递增，故，当时，由对勾函数得：在单调递增，且，综上：单调递增，因为，所以，即，设，可知单调递增，且，故，
5．（2022·山东淄博·高一期末）定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】当时，，所以在上单调递增，
因为，所以当时，等价于，即，
因为是定义在上的奇函数，所以 时，在上单调递增，且，所以等价于，即，
所以不等式的解集为
6．（2022·湖南郴州·高一期末）函数为偶函数，且对任意都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】由对任意，都有，可知时，有，则函数在上单调递增，又函数为偶函数，则不等式可化为即，解之得
7．（2022·全国·高一期末）已知定义域为R的函数 是奇函数.
(1)求a、b的值；
(2)证明f(x)在(-∞，+∞)上为减函数;
(3)若对于任意R，不等式恒成立，求k的范围
【详解】（1）由已知，， ，
，，所以，解得，
，此时定义域是R，，为奇函数．
所以，；
（2）由（1），
设任意两个实数，，则，
，所以，即，所以是减函数；
（3）不等式化为，
是奇函数，则有，是减函数，所以，
所以恒成立，易知的最小值是，
所以．
三、定点
1．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】解：令，解得，所以当时，，
所以函数过定点.
2．（2022·四川内江·高一期末）若幂函数在上单调递增，则函数且过定点（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【详解】因为是幂函数，所以或，又因为该幂函数在上单调递增，所以，即，因为，所以函数过定点，
四、图象及应用
1．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】，时，时，.
2．（2022·全国·高一专题练习）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】函数的定义域为关于原点对称，且，
即函数为偶函数，其图像关于轴对称，故错误；又，故错误.
3．（2022·上海·高一专题练习）在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【详解】解：函数的是指数函数，且，排除选项C，
如果，二次函数的开口方向向上，二次函数的图象经过原点，并且有另一个零点：，所以B正确；对称轴在x轴左侧，C不正确；如果，二次函数有一个零点，所以D不正确．
4．（多选）（2021·江苏·高一专题练习）已知函数，实数，满足，则（ ）
A． B．，，使得 C． D．
【答案】CD
【详解】画出函数的图象，如图所示．由图知，则，故A错，C对．由基本不等式可得，所以，则，故B错，D对．
五、值域
1．（2021·山东德州·高一期末）函数，的值域是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】令，则，
则
2．（2022·江苏省灌云高级中学高一期末）已知函数，，则函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】依题意，函数，，令，则在上单调递增，即，于是有，当时，，此时，，当时，，此时，，所以函数的值域为.
《练习一》
1．（2022·福建福州·高一期末），则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】解：,
2．（2022·陕西·长安一中高一期末）函数，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【详解】，，，，，，是上的减函数，.
3．（2022·湖北黄石·高一期末）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【详解】解：因为函数的定义域为，，所以是偶函数，函数图象关于轴对称，排除A，B；当时，，当时，，排除C．
4．（2021·江苏·高一专题练习）若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】令，则原问题转化为在恒成立，
即在恒成立，又当且仅当时取等号，
故实数的取值范围是，
5．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】可知函数在R上单调递增，所以；
对称轴，即；临界点处，即；
综上所述：
6．（多选）（2022·重庆九龙坡·高一期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为R B．函数的值域为
C．函数的图象关于y轴对称 D．函数在R上为增函数
【答案】ABD
【详解】A：因为，所以函数的定义域为R，因此本选项结论正确；
B：，由，所以函数的值域为，因此本选项结论正确；C：因为，所以函数是奇函数，其图象关于原点对称，不关于y轴对称，因此本选项说法不正确；
D：因为函数是增函数，因为，所以函数是减函数，
因此函数是增函数，所以本选项结论正确，
7．（2021·广东汕头·高一期末）定义在R上的偶函数，当时，，当时，___________．
【答案】##.
【详解】当时，，因为当时，，
所以，又因为是定义在R上的偶函数，所以，所以当时，.故答案为：.
8．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集是______.
【答案】
【详解】因为函数，所以不等式即为，
在坐标系中作出的图象，如下图所示，都经过，即的图象在图象的下方，
由图象知：不等式的解集是.
9．（2022·全国·高一专题练习）已知函数.
(1)求的定义域； (2)讨论的奇偶性.
【分析】(1)由，得，即，因此函数的定义域为.
(2)由（1）知，函数的定义域为，关于坐标原点对称，
又，
所以为奇函数.
《练习二》
1.（2022·重庆·高一期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】，，即所以
2．（2022·重庆·高一期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】∵在上单调递增，∴，解得.
3．（2022·山东临沂·高一期末）据统计，第年到滨河国家湿地公园越冬的白鹤数近似满足，观测发现第1年有越冬白鹤300只，估计第7年有越冬白鹤（ ）
A．700只 B．600只 C．500只 D．400只
【答案】B
【详解】由题意，知，，所以，即；当时，，解得.
4．（2022·天津和平·高一期末）已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【详解】因为对任意实数，都有成立，
所以在上为增函数，所以，解得，所以的取值范围为，
5．（2022·浙江金华第一中学高一期末）已知函数的定义域为，且满足对任意，有，则函数（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【详解】因为，所以由，
构造新函数，因此有，所以函数是增函数.
A：，因为，所以不符合增函数的性质，故本选项不符合题意；B：，当时，函数单调递减，故本选项不符合题意；C：，显然符合题意；D：，因为，所以不符合增函数的性质，故本选项不符合题意，
6．（多选）（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的定义域为R B．是奇函数
C．在定义域上是减函数 D．无最小值，无最大值
【答案】BD
【详解】选项A，，解得，故的定义域为，选项A错误；
选项B，函数定义域关于原点对称，且，故是奇函数，选项B正确；选项C，，故，即在定义域上不是减函数，选项C不正确；选项D，，令，，由于在上单调递增，在分别单调递减，故函数在分别单调递减，且时，，时，，时，，时，，故函数的值域为，无最小值，无最大值，选项D正确
7．（2022·上海师大附中高一期末）函数的单调减区间是_________.
【答案】##
【详解】令，
根据复合函数单调性可知，内层函数在上单调递减，在上单调递增，
外层函数在定义域上单调递增，所以函数#在上单调递减，在上单调递增.故答案为：.
8．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为______.
【答案】
【详解】由复合函数的同增异减性质可得，在上严格单调递减，
二次函数开口向上，对称轴为所以，即
10．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间为______．
【答案】
【详解】作出函数的图象如图，（图像先向下平移2个单位，再将轴下方的部分沿轴翻折到轴上方即可得到的图像）
由图可知，函数的增区间为.
11．（2022·全国·高一专题练习）若实数，满足，则_____（填）
【答案】
【详解】令，由于，均为上的增函数，
所以是上的增函数因为，
所以，即，所以．
12．（2022·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)判断并证明在其定义域上的单调性；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
【分析】（1）在上单调递增，证明如下：
设，；，，又，，，
在上单调递增.
（2），为上的奇函数，
由得：，
由（1）知：在上单调递增，在上恒成立；
当时，，在上恒成立；
令，在上单调递增，在上单调递减，
在上单调递增，，，
即实数的取值范围为.
13．（2018·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知定义在实数集上的奇函数且当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)判断在上的单调性，并证明；
(3)当取何值时，方程在上有实数解.
【分析】（1）依题意，是定义在实数集上的奇函数，所以，当，，所以.
（2）当时，，在上为减函数，证明如下：任取，.由于，所以，所以在上为减函数.
（3）由（2）可知在上为减函数，所以，即，由于在上有实数解，所以.《指数函数》
一、比较大小
1．（2020·浙江·高一期末）设，则，， c的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
2．（2021·陕西·安康市教学研究室高一期末）若，则下列各选项正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、单调性
1．（2021·全国·高一专题练习）已知(a>0，且a≠1)，且f(－2)>f(－3)，则a的取值范围是（ ）
A．a>0 B．a>1 C．a<1 D．02．（2022·广西南宁·高一期末）设函数，则 （ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是偶函数，且在单调递减
C．是奇函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
3．（2022·浙江省杭州学军中学高一期末）函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
4．（2022·湖南衡阳·高一期末）设函数，则满足的的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·山东淄博·高一期末）定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
6．（2022·湖南郴州·高一期末）函数为偶函数，且对任意都有，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
7．（2022·全国·高一期末）已知定义域为R的函数 是奇函数.
(1)求a、b的值；
(2)证明f(x)在(-∞，+∞)上为减函数;
(3)若对于任意R，不等式恒成立，求k的范围
三、定点
1．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·四川内江·高一期末）若幂函数在上单调递增，则函数且过定点（ ）
A． B． C． D．
四、图象及应用
1．（2022·全国·高一专题练习）如图所示，函数的图像是（ ）
A． B．
C． D．
2．（2022·全国·高一专题练习）函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
3．（2022·上海·高一专题练习）在同一坐标系中，函数与函数的图象可能为（ ）
A． B．
C． D．
4．（多选）（2021·江苏·高一专题练习）已知函数，实数，满足，则（ ）
A． B．，，使得 C． D．
五、值域
1．（2021·山东德州·高一期末）函数，的值域是( )
A． B． C． D．
2．（2022·江苏省灌云高级中学高一期末）已知函数，，则函数的值域为（ ）．
A． B． C． D．
《练习一》
1．（2022·福建福州·高一期末），则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·陕西·长安一中高一期末）函数，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·湖北黄石·高一期末）函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
4．（2021·江苏·高一专题练习）若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·安徽芜湖·高一期末）已知函数是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）（2022·重庆九龙坡·高一期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．函数的定义域为R B．函数的值域为
C．函数的图象关于y轴对称 D．函数在R上为增函数
7．（2021·广东汕头·高一期末）定义在R上的偶函数，当时，，当时，___________．
8．（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则不等式的解集是______.
9．（2022·全国·高一专题练习）已知函数.
(1)求的定义域； (2)讨论的奇偶性.
《练习二》
1.（2022·重庆·高一期末）设，，，则（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·重庆·高一期末）已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
3．（2022·山东临沂·高一期末）据统计，第年到滨河国家湿地公园越冬的白鹤数近似满足，观测发现第1年有越冬白鹤300只，估计第7年有越冬白鹤（ ）
A．700只 B．600只 C．500只 D．400只
4．（2022·天津和平·高一期末）已知且，函数满足对任意实数，都有成立，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．（2022·浙江金华第一中学高一期末）已知函数的定义域为，且满足对任意，有，则函数（ ）
A． B． C． D．
6．（多选）（2022·全国·高一专题练习）已知函数，则下列结论中正确的是（ ）
A．的定义域为R B．是奇函数
C．在定义域上是减函数 D．无最小值，无最大值
7．（2022·上海师大附中高一期末）函数的单调减区间是_________.
8．（2022·安徽·歙县教研室高一期末）若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为______.
9．（2022·全国·高一专题练习）函数的单调递增区间为______．
10．（2022·全国·高一专题练习）若实数，满足，则_____（填）
11．（2022·全国·高一专题练习）已知函数．
(1)判断并证明在其定义域上的单调性；
(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围．
12（2018·湖南·华容县教育科学研究室高一期末）已知定义在实数集上的奇函数且当时，.
(1)求函数在上的解析式；
(2)判断在上的单调性，并证明；
(3)当取何值时，方程在上有实数解.