黑龙江省哈尔滨市香坊区2022-2023学年高二上学期期中考试数学试题（Word版含答案）

哈尔滨市香坊区2022-2023学年高二上学期期中考试
数学试题
一 单选题（本题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.两直线和之间的距离为（ ）
A. B. C. D.
2.若直线与圆有两个公共点，则点与圆的位置关系是（ ）
A.点在圆上 B.点在圆外
C.点在圆内 D.以上皆有可能
3.随机变量的分布列如图所示，若，则（ ）
1 2
A.4 B.3 C.2 D.0
4.设是椭圆上一点，分别是的左 右焦点，且，则（ ）
A. B. C.4 D.5
5.流感是流行性感冒的简称，是由流感病毒引起的一种呼吸道传染病.接种疫苗是预防流感的主要措施.某医疗研究所为了检验某流感疫苗预防感冒的作用，把500名使用疫苗的人与另外500名未使用疫苗的人一年中的感冒记录作比较，提出假设：“注射此种疫苗对预防流感无关”，利用列联表计算得，经查临界值表知.则下列结论正确的是（ ）
A.若某人未使用该疫苗，那么他在一年中有的可能性得感冒
B.“认为不成立”的犯错误的概率不超过
C.这种疫苗预防感冒的有效率为
D.这种疫苗预防感冒的有效率为
6.甲 乙 丙三人相约一起去做核酸检测，到达检测点后，发现有两支正在等待检测的队伍，则甲 乙 丙三人不同的排队方案共有（ ）
A.12种 B.18种 C.24种 D.36种
7.已知动点分别在轴和轴上运动，为原点，，点满足，则点的轨迹方程为（ ）
A. B.
C. D.
8.平面直角坐标系中，，若动点在直线上，圆过三点，则圆的半径最小值为（ ）
A. B. C. D.1
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每个小题给出的选项中，有多项符合题目的要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9.下列说法中，正确的是（ ）
A.直线在轴上的截距为3
B.直线的一个方向向量为
C.三点共线
D.过点且在轴上的截距相等的直线方程为
10.已知，则（ ）
A.的值为2
B.的值为16
C.的值为
D.的值为120
11.假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表：
品牌 甲 乙 其他
市场占有率
优质率
在该市场中任意买一部智能手机，用事件分别表示买到的智能手机为甲品牌，乙品牌，其他品牌，事件表示买到的是优质品，则（ ）
A. B.
C. D.
12.已知椭圆的左 右焦点分别为，点为椭圆的一个动点，点，则下列结论正确的是（ ）
A.存在点，使得
B.的面积最大值为
C.点到直线距离的最大值为
D.的最大值为7
三 填空题（本题共4个小题，每个小题5分，共20分）
13.若随机变量服从正态分布，且，则__________.
14.设随机变量，若，则的值为__________.
15.已知直线，若直线与圆在第一象限内的部分有公共点，则的取值范围是__________.
16.已知椭圆的左 右焦点分别为，点为椭圆上一点，线段与轴交于点，若，且为等腰三角形，则秞圆的离心率为__________.
四 解答题（本题共3小题，共40分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17.（12分）已知圆及其上一点.
（1）设平行于的直线与圆相交于两点，且，求直线的方程；
（2）设圆与圆外切于点，且经过点，求圆的方程.
18.2022年2月22日，中央一号文件发布，提出大力推进数字乡村建设，推进智慧农业发展.某乡村合作社借助互联网直播平台，对本乡村的农产品进行销售，在众多的网红直播中，随机抽取了10名网红直播的观看人次和农产品销售量的数据，如下表所示：
观看人次x（万次） 76 82 72 87 93 78 89 66 81 76
销售量y（百件） 80 87 75 86 100 79 93 68 85 77
参考数据：.
（1）已知观看人次与销售量线性相关，且计算得相关系数，求回归直线方程；
（2）规定：观看人次大于等于80（万次）为金牌主播，在金牌主播中销售量大于等于90（百件）为优秀，小于90（百件）为不优秀，对优秀赋分2，对不优秀赋分1.从金牌主 中随机抽取3名，若用表示这3名主播赋分的和，求随机变量的分布列和数学期望.
（附：，相关系数）
19.已知平面上动点与定点的距离和到定直线的距离的比是常数，动点的轨迹为曲线.直线与曲线交于两个不同的点.
（1）若直线的方程为，求的面积；
（2）若的面积为，证明：和均为定值.
哈尔滨市香坊区2022-2023学年高二上学期期中考试
数学试题答案
一 单选题（本题共8个小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.【答案】A 2.【答案】B 3.【答案】C 4.【答案】D
5.【答案】B 6.【答案】C 7.【答案】B 8.【答案】A
9.【答案】BC 10.【答案】ABC 11.【答案】ACD 12.【答案】BCD
三 填空题
13.【答案】 14.【答案】 15.【答案】 16.【答案】
四 解答题
17.【详解】（1）因为直线，所以直线的斜率为.
设直线的方程为，则圆心到直线的距离.
则，又，
所以，解得或，即直线的方程为：或.
（2）因为圆与圆外切于点，所以圆心在直线上
由两点式得直线方程为
又因为圆经过点和，所以圆心在的中垂线上，中点为
所以中垂线方程为，即
由解得圆心坐标为，半径
所以圆的方程为
18.（1）因为，所以
所以，所以，
，，所以回归直线方程为.
（2）金牌主播有5人，2人赋分为2，3人赋分为1，
则随机变量的可能取值为3，4，5，，，，
所以的分布列为：
3 4 5
所以.
19.（1）解：动点与定点的距离为，
到定直线的距离为，所以，化简得，
所以，曲线的方程为；
（2）联立方程得，，
原点到直线的距离为，
，
所以，的面积
（3）解：①当直线的斜率存在，设其方程为，
与椭圆方程联立得，
，，
原点到直线的距离为，
，
所以的面积为，
化简得，即，，
，所以为定值.
所以，
所以，为定值.
②当斜率不存在时，设其方程为，与椭圆方程联立得，
所以，所以，，所以，的面积为，解得，
所以，，
综上，为定值，为定值.