八年级数学北师大版上册 7.5 三角形内角和定理 课时练（含答案）

课 时 练
第7单元 平行线的证明
5 三角形内角和定理
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．如图，CE是△ABC的外角∠ACF的平分线，且CE交BA的延长线于点E．若∠B＝40°，∠E＝30°，则∠BAC的度数为（　　）
A．120° B．110° C．140° D．100°
2．如图，将一副三角板按如图方式叠放，则角α等于（　　）
A．165° B．135° C．105° D．75°
3．按如图中所给的条件，∠1的度数是（　　）
A．62° B．63° C．75° D．118°
4．下列关于三角形外角的描述正确的是（　　）
A．三角形的外角大于三角形的任意一个内角
B．三角形的外角中最多有两个锐角
C．钝角三角形外角和大于360°
D．若三角形有一个外角为锐角，则这个三角形一定是钝角三角形
5．如图，在三角形ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，则外角∠CAD的度数为（　　）
A．70° B．50° C．40° D．35°
6．将直角三角板AOB和直角三角板COD按如图方式摆放（直角顶点重合），已知∠AOC＝45°，则∠DEB的度数是（　　）
A．20° B．30° C．45° D．60°
7．如图，∠ABC＝∠ACB，AD、BD、CD分别平分△ABC的外角∠EAC、内角∠ABC、外角∠ACF，以下结论：①AD∥BC，②∠ACB＝∠ADB，③∠ADC+∠ABD＝90°，④∠ADB＝45°﹣∠CDB，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8．如图，已知∠A＝60°，∠B＝40°，∠C＝30°，则∠D+∠E等于（　　）
A．30° B．40° C．50° D．60°
二．填空题（共6小题，满分30分）
9．如图，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝120°，∠A＝70°，则∠B＝　 　．
10．将一副直角三角板按如图放置，使两直角重合，则∠1的度数为　 　．
11．如图，∠BDC＝90°，∠B＝20°，∠C＝40°，则∠A的度数是 　 　．
12．生活中到处都存在着数学知识，只要同学们学会用数学的眼光观察生活，就会有许多意想不到的收获，如图是由三角尺拼凑得到的，图中∠ABC＝　 　．
13．在锐角△ABC中，将∠a的顶点P放置在BC边上，使∠a的两边分别与边AB，AC交于点E，F（点E不与B点重合，点F不与点C重合，且点E，F均不与点A重合）．
（1）当∠BAC＝40°，∠a＝60°时，∠BEP+∠CFP＝　 　°；
（2）直接写出∠BEP，∠CFP，∠BAC，∠a之间的数量关系 　 　．
14．（1）如图1，P是△ABC中BC边的延长线上一点，∠A＝50°，∠B＝70°，则∠ACP＝　 　；
（2）如图2，∠ACD是△ABC的外角，若∠ACD＝110°，∠B＝50°，则∠A＝　 　；
（3）如图3，若∠3＝120°，则∠1﹣∠2＝　 　．
三．解答题（共7小题，满分50分）
15．如图，在△ABC中，CD是角平分线，∠A＝30°，∠CDB＝65°，求∠B的度数．
16．如图，在△ABC中，AD是高，AE是角平分线，若∠B＝32°，∠ACD＝54°，求∠EAD的度数．
17．如图，AD⊥BC，垂足为点D，点E在AC上，∠EBC＝40°，∠A＝30°，求∠BEC的度数．
18．如图，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于点D，BE平分∠ABC交AD于点E．
（1）若∠C＝50°，∠BAC＝60°，求∠ADB的度数；
（2）若∠BED＝45°，求∠C的度数．
19．如图，CE是△ABC的外角∠ACD的平分线，且CE交BA的延长线于点E．
（1）求证：∠BAC＝∠B+2∠E．
（2）若CA⊥BE，∠ECD﹣∠ACB＝30°时，求∠E的度数．
20．在△ABC中，三个内角的平分线交于点O，过点O作∠ODC＝∠AOC，交边BC于点D．
（1）如图1，求∠BOD的度数；
（2）如图2，作∠ABC外角∠ABE的平分线交CO的延长线于点F．
①求证：BF∥OD；
②若∠F＝50°，求∠BAC的度数．
21．课本再现
（1）在课本11.2.2章节中，我们学习了三角形内角和定理得出的推论：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
已知：∠ACD是△ABC的一个外角（如图1），求证：∠ACD＝∠A+∠B．
证明：如图2，过点C作CE∥AB．（请完成后面的证明）
迁移运用
（2）如图3，线段AB，CD相交于点O，连接AC，BD，我们把形如这样的图形称为“8字型”，请仔细观察该图形，直接写出∠A，∠B，∠C，∠D之间的数量关系 　 　．
类比探究
（3）如图4，这是由线段组成的一个“风筝”形状，运用（2）中得出的数量关系，解答下列问题．
①试比较∠B+∠C与∠A+∠D+∠E+∠F的大小，并说明理由；
②若∠BOF＝120°，则∠A+∠B+∠C→∠D+∠E+∠F＝　 　．
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．D
2．A
3．A
4．D
5．A
6．D
7．B
8．C
二．填空题（共6小题，满分30分）
9． 50°．
10． 165°．
11． 30°．
12． 75°．
13．（1） 100°；
（2） ∠BEP+∠CFP＝∠BAC+∠α．
14．（1） 120°；
（2） 60°；
（3） ：60°．
三．解答题（共7小题，满分50分）
15．解：∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB＝2∠ACD．
∵∠CDB＝∠A+∠ACD，
∴∠ACD＝∠CDB﹣∠A＝65°﹣30°＝35°．
∴∠ACB＝2∠ACD＝70°．
∴∠B＝180°﹣（∠A+∠ACB）＝80°．
16．解：∵AD为高，∠B＝32°，
∴∠BAD＝58°，
∵∠ACD＝54°，
∴∠BAC＝∠ACD﹣∠B＝22°，
∵AE是角平分线，
∴∠BAE＝∠BAC＝11°，
∴∠EAD＝∠BAD﹣∠BAE＝58°﹣11°＝47°．
17．解：∵AD⊥BC，
∴∠ADC＝90°．
∵∠A＝30°，
∴∠C＝90°﹣30°＝60°．
∵∠EBC+∠C+∠BEC＝180°，
∴∠BEC＝180°﹣∠C﹣∠EBC
＝180°﹣60°﹣40°
＝80°．
18．解：（1）∵AD平分∠BAC，∠BAC＝60°，
∴．
∵∠ADB是△ADC的外角，∠C＝50°，
∴∠ADB＝∠C+∠DAC＝80°；
（2）∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，
∴∠BAC＝2∠BAD，∠ABC＝2∠ABE．
∵∠BED是△ABE的外角，∠BED＝45°，
∴∠BAD+∠ABE＝∠BED＝45°．
∴∠BAC+∠ABC＝2（∠BAD+∠ABE）＝90°．
∵∠BAC+∠ABC+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣（∠BAC+∠ABC）＝90°．
19．（1）证明：∵CE平分∠ACD，
∴∠ECD＝∠ACE．
∵∠BAC＝∠E+∠ACE，
∴∠BAC＝∠E+∠ECD，
∵∠ECD＝∠B+∠E，′
∴∠BAC＝∠E+∠B+∠E，
∴∠BAC＝2∠E+∠B．
（2）解：∵CE平分∠ACD，
∴∠ACE＝∠DCE，
∵∠ECD﹣∠ACB＝30°，2∠ECD+∠ACB＝180°，
∴∠ACB＝40°，∠ECD＝70°，
∵CA⊥BE，
∴∠B+∠ACB＝90°，
∴∠B＝50°，
∵∠ECD＝∠B+∠E，
∴∠E＝70°﹣50°＝20°．
20．（1）解：∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣∠ABC），
∵∠OBC＝∠ABC，
∴∠AOC＝180°﹣（∠OAC+∠OCA）＝90°+∠ABC＝90°+∠OBC，
∵∠ODC＝∠BOD+∠OBC＝∠AOC，
∴∠BOD＝90°；
（2）①证明：∵BF平分∠ABE，
∴∠EBF＝∠ABE＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠DBO，
∵∠ODB＝90°﹣∠OBD，
∴∠FBE＝∠ODB，
∴BF∥OD；
②解：∵BF平分∠ABE，
∴∠FBE＝∠ABE＝（∠BAC+∠ACB），
∵三个内角的平分线交于点O，
∴∠FCB＝∠ACB，
∵∠F＝∠FBE﹣∠BCF＝（∠BAC+∠ACB）﹣∠ACB＝∠BAC，
∵∠F＝50°，
∴∠BAC＝2∠F＝100°．
21．（1）证明：如图2，过点C作CE∥AB，
∴∠B＝∠DCE，∠A＝∠ACE，
∵∠ACD＝∠ACE+∠DCE，
∴∠ACD＝∠A+∠B；
（2）解：在图3中，有∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D，
故答案为：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（3）解：①∠B+∠C＝∠A+∠D+∠E+∠F，理由如下：
如图，
∵∠1＝∠A+∠D，∠2＝∠1+∠E，
∴∠2＝∠A+∠D+∠E，
由（2）知，∠2+∠F＝∠B+∠C，
∴∠B+∠C＝∠A+∠D+∠E+∠F；
②如图，AD交BE于点M，
∵∠DME＝∠A+∠E，∠1＝∠DME+∠D，∠BOF＝∠1+∠F，
∴∠A+∠E+∠D+∠F＝∠BOF，
∵∠BOF＝120°，
∴∠A+∠E+∠D+∠F＝120°，
∵∠B+∠C＝∠BOF＝120°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝240°．
故答案为：240°．
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