苏教版（2019）高中数学必修第一册第7章 三角函数概念、图象和性质练习（解析版）

7.2~7.3三角函数概念、图象和性质
教材知识梳理
任意角的三角函数的定义
定义 正弦 比值叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝
余弦 比值叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝
正切 比值(x≠0)叫作α的正切，记作tan α，即tan α＝
三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠kπ＋，k∈Z
正弦函数值、余弦函数值、正切函数值的几何表示
(1)设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP，OM分别是角α的正弦线、余弦线，即MP＝y＝sin α，OM＝x＝cos α.如图．
过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T，则有向线段AT就是α的正切线，即tan α＝AT＝.如图．
(2)当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．
已知一个三角函数值求其它三角函数值的方法
(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．
(2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．
(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±的值．
(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号．
诱导公式1~4
终边关系 图示 公式
公式一 角2kπ＋α与角α的终边相同 sin(α＋2kπ)＝sin α， cos(α＋2kπ)＝ cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α， 其中，k∈Z
公式二 角－α与角α的终边关于x轴对称 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α
公式三 角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α
公式四 角π＋α与角α的终边关于原点对称 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α
诱导公式五~六
利用诱导公式化简、求值的策略
(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围．
(3)常见的互余的角：－α与＋α，＋α与－α等，常见的互补的角：＋α与－α，＋α与－α，＋α与－α等．
正弦函数、余弦函数
正弦函数 余弦函数
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1]
周期性 2π 2π
单调性 在每一个闭区间(k∈Z)上都是增函数，在每一个闭区间(k∈Z)上都是减函数 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都是增函数，在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上都是减函数
最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性 奇函数 偶函数
对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z
对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
(2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
例题研究
正切函数的单调性及其应用
题型探究
例题1
已知函数的定义域为，且满足，当时，有
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）对任意恒成立，求实数的取值范围．
例题2
已知函数．
（1）求函数的最小正周期及其单调递减区间；
（2）用“五点法”画出函数在上的图象（列表并作图），由图象研究并写出的图象在区间上的对称轴和对称中心．
跟踪训练
训练1
已知函数的周期是.
（1）求的单调递增区间及对称轴方程；
（2）求在上的最值及其对应的的值.
训练2
已知函数的周期是.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在上的最值及其对应的的值.
二、周期函数、正弦函数、余弦函数的图象
题型探究
例题1
已知函数y=3si
（1）用五点法作出函数的图象；
（2）说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样的变化得到的.
例题2
已知函数，其中常数.
（1）若在单调递增，求的取值范围；
（2）令，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，求的零点及图象离原点O最近的对称中心.
跟踪训练
训练1
已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在内的所有零点.
训练2
已知函数，
（1）求函数的最小正周期；
（2）用“五点法”做出在区间的简图
三、三角函数的应用
题型探究
例题1
利用单位圆中三角函数线.证明：当时，
（1）；
（2）．
例题2
已知、、是三角形的内角，、是方程的两根.
（1）求角.
（2）若，求.
跟踪训练
训练1
已知是三角形的内角，且.
（1）求的值；
（2）把用表示出来，并求其值.
训练2
已知函数的图象关于直线对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.
(1)求和的值
(2)若,求的值.
综合式测试
一、单选题
1．已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
2．若，则等于（ ）
A．-3 B． C． D．3
3．设函数，在与图象的交点中，任意连续三个交点两两相连构成一个，则以下说法错误的是（ ）
A．函数的图象与函数的图象关于直线对称
B．把函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
C．是等腰直角三角形
D．的面积为
4．若将函数图象沿轴向左平移个单位，然后再将所得函数图象上每个点的横坐标缩为原来的一半（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知函数的图象关于直线对称，且对任意，都有，则当取最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象的一个对称中心为点
B．函数图象的一条对称轴方程为
C．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
D．函数在上单调递减
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
7．关于函数有下述四个结论：
①是奇函数；
②在区间单调递增；
③是的周期；
④的最大值为2.
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
8．设函数，在上的图象大致如图，将该图象向右平移个单位后所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．已知函数，给出下列结论：
①是周期函数；
②在区间上是增函数；
③若，则；
④函数在区间上有且仅有1个零点．
其中正确结论的序号是______．（将你认为正确的结论序号都填上）
10．若角终边上一点，则的值为___________.
11．已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，且，则的解析式为___________.
12．将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有性质_____．（填入所有正确结论的序号）
①最大值为，图象关于直线对称；
②图象关于y轴对称；
③最小正周期为π；
④图象关于点对称．
三、解答题
13．已知函数的部分图象如下图所示.
（1）求函数的解析式，并写出函数的单调递增区间；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数的图象关于直线对称，求函数在区间上的值域.
14．设，函数的最小正周期为，且．
（1）求和的值；
（2）在给定坐标系中作出函数在上的图象；
（3）若，求的取值范围．
15．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标是.
（1）求；
（2）求；
7.2~7.3三角函数概念、图象和性质解析答案
教材知识梳理
任意角的三角函数的定义
定义 正弦 比值叫作α的正弦，记作sin α，即sin α＝
余弦 比值叫作α的余弦，记作cos α，即cos α＝
正切 比值(x≠0)叫作α的正切，记作tan α，即tan α＝
三角函数 正弦函数y＝sin x，x∈R 余弦函数y＝cos x，x∈R 正切函数y＝tan x，x≠kπ＋，k∈Z
正弦函数值、余弦函数值、正切函数值的几何表示
(1)设角α的终边与单位圆的交点为P(x，y)，过点P作x轴的垂线，垂足为M，则有向线段MP，OM分别是角α的正弦线、余弦线，即MP＝y＝sin α，OM＝x＝cos α.如图．
过点A(1,0)作单位圆的切线，设这条切线与角α的终边(或终边的反向延长线)交于点T，则有向线段AT就是α的正切线，即tan α＝AT＝.如图．
(2)当角α的终边与x轴重合时，正弦线、正切线分别变成一个点，此时角α的正弦值和正切值都为0；当角α的终边与y轴重合时，余弦线变成一个点，正切线不存在，此时角α的余弦值为0，正切值不存在．
已知一个三角函数值求其它三角函数值的方法
(1)若已知sin α＝m，可以先应用公式cos α＝±，求得cos α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．
(2)若已知cos α＝m，可以先应用公式sin α＝±，求得sin α的值，再由公式tan α＝求得tan α的值．
(3)若已知tan α＝m，可以应用公式tan α＝＝m sin α＝mcos α及sin2α＋cos2α＝1，求得cos α＝±，sin α＝±的值．
(4)注意要根据角终边所在的象限，判断三角函数的符号．
诱导公式1~4
终边关系 图示 公式
公式一 角2kπ＋α与角α的终边相同 sin(α＋2kπ)＝sin α， cos(α＋2kπ)＝ cos α， tan(α＋2kπ)＝tan α， 其中，k∈Z
公式二 角－α与角α的终边关于x轴对称 sin(－α)＝－sin α， cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α
公式三 角π－α与角α的终边关于y轴对称 sin(π－α)＝sin α， cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α
公式四 角π＋α与角α的终边关于原点对称 sin(π＋α)＝－sin α， cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α
诱导公式五~六
利用诱导公式化简、求值的策略
(1)已知角求值问题，关键是利用诱导公式把任意的三角函数值转化成锐角的三角函数值求解，转化过程中注意口诀“奇变偶不变，符号看象限”的应用．
(2)对式子进行化简或求值时，要注意要求的角与已知角之间的关系，并结合诱导公式进行转化，特别要注意角的范围．
(3)常见的互余的角：－α与＋α，＋α与－α等，常见的互补的角：＋α与－α，＋α与－α，＋α与－α等．
正弦函数、余弦函数
正弦函数 余弦函数
图象
定义域 R R
值域 [－1,1] [－1,1]
周期性 2π 2π
单调性 在每一个闭区间(k∈Z)上都是增函数，在每一个闭区间(k∈Z)上都是减函数 在每一个闭区间[2kπ－π，2kπ](k∈Z)上都是增函数，在每一个闭区间[2kπ，2kπ＋π] (k∈Z)上都是减函数
最值 x＝＋2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝－＋2kπ(k∈Z)时，ymin＝－1 x＝2kπ(k∈Z)时，ymax＝1；x＝2kπ＋π(k∈Z)时，ymin＝－1
奇偶性 奇函数 偶函数
对称轴 x＝kπ＋，k∈Z x＝kπ，k∈Z
对称中心 (kπ，0)，k∈Z ，k∈Z
给出y＝Asin(ωx＋φ)的图象的一部分，确定A，ω，φ的方法
(1)逐一定参法：如果从图象可直接确定A和ω，则选取“五点法”中的“第一点”的数据代入“ωx＋φ＝0”(要注意正确判断哪一点是“第一点”)求得φ或选取最大值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z，选取最小值点时代入公式ωx＋φ＝＋2kπ，k∈Z.
(2)待定系数法：将若干特殊点代入函数式，可以求得相关待定系数A，ω，φ.这里需要注意的是，要认清所选择的点属于五个点中的哪一点，并能正确代入列式．
(3)图象变换法：运用逆向思维的方法，先确定函数的基本解析式y＝Asin ωx，再根据图象平移、伸缩规律确定相关的参数．
例题研究
一、正切函数的单调性及其应用
题型探究
例题1
已知函数的定义域为，且满足，当时，有
（1）判断并证明函数的单调性；
（2）对任意恒成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）函数在定义域上单调递增，证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据函数的单调性的定义可证明；
（2）根据函数的定义域和单调性将问题转化为不等式组恒成立，设，利用三角函数的性质和二次函数的性质，求得函数的最值，建立不等式组，解之可得实数的取值范围．
【详解】
（1）函数在定义域上单调递增，证明如下：
任取，且，则，
，
所以函数在上单调递增．
（2）由（1）知，不等式恒成立
恒成立，
设，则
，
因为，所以，，则，
所以，根据条件，只要，解得．
即满足题意的实数的取值范围为.
【点睛】
方法点睛：利用定义判断函数单调性的步骤：
1、在区间D上，任取，令；
2、作差；
3、对的结果进行变形处理；
4、确定符号的正负；
5、得出结论．
例题2
已知函数．
（1）求函数的最小正周期及其单调递减区间；
（2）用“五点法”画出函数在上的图象（列表并作图），由图象研究并写出的图象在区间上的对称轴和对称中心．
【答案】(1) 最小正周期；单调递减区间为． (2)列表及图象见解析；对称中心，无对称轴．
【分析】
（1）根据正弦函数性质求最小正周期及其单调递减区间，（2）根据五点作图法列表画图，再根据图象研究对称性
【详解】
（1）最小正周期．由，
得，
∴函数的单调递减区间为．
（2）列表如下，
0
0 0 2 0
从图象上可以直观看出，函数的图象在区间上有—个对称中心，无对称轴．
【点睛】考查正弦函数性质以及五点作图法
跟踪训练
训练1
已知函数的周期是.
（1）求的单调递增区间及对称轴方程；
（2）求在上的最值及其对应的的值.
【答案】（1）单调递增区间为，；对称轴方程为：，；（2）当时，取最大值为；当时，取最小值为.
【分析】
根据的周期为，得到的值，然后得到解析式，（1）写出单调递增时对应的区间，解出的范围，得到其单调递增区间，写出函数的对称轴，得到答案；（2）根据，得到，然后得到当时，取最大值，当时，取最小值，从而得到答案.
【详解】
因为函数的周期是，
所以，
所以，
（1），，
解得，，
所以单调递增区间为，，
令，，
解得，，
所以对称轴方程为：，，
（2）因为，所以，
所以在上单调递增，在单调递减，
所以当，即时，取最大值为，
而，即时，，，即时，，
所以当时，.
综上所述，当时，取最大值为；当时，取最小值为.
【点睛】考查根据正弦函数的周期求参数，正弦型函数的图象与性质，求正弦型函数的单调区间和对称轴以及值域.
训练2
已知函数的周期是.
（1）求的单调递增区间；
（2）求在上的最值及其对应的的值.
【答案】（1）；（2）当时，；当时，.
【分析】
（1）先由周期为求出,再根据,进行求解即可；
（2）先求出,可得,进而求解即可
【详解】
（1）解：∵,∴,
又∵,∴,∴,
∵,,
∴,,
∴,,
∴的单调递增区间为
（2）解：∵,∴,∴,
∴,
∴,
∴,
当时,,
当,即时,
【点睛】考查求正弦型函数的单调区间,考查正弦型函数的最值问题
二、周期函数、正弦函数、余弦函数的图象
题型探究
例题1
已知函数y=3si
（1）用五点法作出函数的图象；
（2）说明此图象是由y=sin x的图象经过怎么样的变化得到的.
【答案】（1）图象见解析；（2）答案见解析.
【分析】
（1）将看作整体，找到一个周期内的五个点（最值点和零点），求得相应的x及函数值，然后列表，:描点、连线即可.
（2）(方法一)“先平移，后伸缩”，先把y=sin x的图象上所有点向右平移个单位，再把得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，最后将得到的函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)即可.(方法二)“先伸缩，后平移”
先把y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再把得到的函数图象上所有的点向右平移个单位，最后将得到的函数的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)即可.
【详解】
（1）列表:
x
- 0 π 2π
3si 0 3 0 -3 0
描点、连线，如图所示:
（2）(方法一)“先平移，后伸缩”.
先把y=sin x的图象上所有点向右平移个单位，得到y=si的图象，再把y=si的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=si的图象，最后将y=si的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y=3si的图象.
(方法二)“先伸缩，后平移”
先把y=sin x的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到y=si的图象，再把y=si图象上所有的点向右平移个单位，得到y=si=si的图象，最后将y=sin的图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍(横坐标不变)，就得到y=3sin的图象.
【点睛】考查三角函数图象的“五点法”作图以及图象变换.
例题2
已知函数，其中常数.
（1）若在单调递增，求的取值范围；
（2）令，将函数的图象向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，求的零点及图象离原点O最近的对称中心.
【答案】（1）；（2）零点为或，其中，离原点最近的对称中心为.
【分析】
（1）利用函数图象在轴附近的对称轴可得关于的不等式组，其解为的取值范围；
（2）利用图象变换可得的解析式，利用整体法可求其零点及离原点最近的对称中心.
【详解】
（1）令，其中，故，
令得；令得，
因为在单调递增，故，故.
（2），故，
令，故，
故或，其中，
故或，其中.
故的零点为或，其中.
令，故，
当时，；当时，；
因为，故离原点最近的对称中心为.
【点睛】方法点睛：（1）利用图象的左右平移求解析式时，注意仅对自变量本身做变化，与自变量前面的系数无关；（2）正弦型函数的对称中心、对称轴方程等性质的讨论，注意利用整体法来处理.
跟踪训练
训练1
已知函数.
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数在内的所有零点.
【答案】（1）；（2），，.
【分析】
（1）利用倍角公式、和差公式即可化简，再根据正弦函数的单调性即可得出．
（2）令，即．可得，或．即可得出函数在，内的所有零点．
【详解】
解：（1）.
，
（2）令，即.
∴或.
可得：函数在内的所有零点为：，，.
【点睛】考查了三角函数的图象与性质、和差公式、倍角公式
训练2
已知函数，
（1）求函数的最小正周期；
（2）用“五点法”做出在区间的简图
【答案】（1）；（2）答案见解析
【分析】
（1）利用两角和的正弦公式及二倍角公式化简即可得解；
（2）列表，描点，即可作出图象.
【详解】
（1）由题意
所以函数的最小正周期；
（2）列表
0
0
作图如下：
三、三角函数的应用
题型探究
例题1
利用单位圆中三角函数线.证明：当时，
（1）；
（2）．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【分析】在单位圆中，有，（1）利用结合三角函数线化简即可证得结论；（2）利用三角函数线证得结论.
【详解】
证明：在单位圆中，有．
（1）连接，则，
即，，∴．
（2）．
例题2
已知、、是三角形的内角，、是方程的两根.
（1）求角.
（2）若，求.
【答案】（1）；（2）.
【分析】
（1）本题首先可根据韦达定理得出，然后与联立，解得的值和的值，最后将的值代入中检验，即可得出结果；
（2）本题可通过同角三角函数关系将转化为，求出的值，然后通过即可得出结果.
【详解】
（1）因为、是方程的两根，
所以，
因为，所以，
即，解得（舍去）或，或，
将或代入中易知当时不成立，
故.
（2），即，
，，解得或，
因为，所以，
故.
【点睛】考查同角三角函数关系的应用.
跟踪训练
训练1
已知是三角形的内角，且.
（1）求的值；
（2）把用表示出来，并求其值.
【答案】（1）；（2）原式，.
【分析】
（1）将条件式与同角三角函数关系中的平方式联立,即可求得.再由商数关系式即可求得的值;
（2）根据同角三角函数关系式中,代入原式可得齐次式.进而分子分母同时除以即可化为的式子.将（1）中求得的代入,即可求解.
【详解】
（1）由同角三角函数关系式可知
则联立可得
由于角为三角形内角可得,
所以；
（2）根据同角三角函数关系式及齐次式形式,化简可得
.
将（1）中代入可得
【点睛】考查了同角三角函数关系式的应用.
训练2
已知函数的图象关于直线对称,且图象上相邻两个最高点的距离为.
(1)求和的值
(2)若,求的值.
【答案】（1），（2）
【分析】
（1）由题意可得函数f（x）的最小正周期为π 求得ω＝2．再根据图象关于直线x对称，结合φ可得 φ 的值．
（2）由条件求得sin（α）．再根据α的范围求得cos（α）的值，再利用诱导公式计算求得结果．
【详解】
(1)因为的图象上相邻两个最高点的距离为,
所以的最小正周期,从而.
又因为的图象关于直线对称,
所以,.
因为,所以.
(2)由(1)得,
所以.
由,得,
所以
.
因此
,
.
【点睛】考查由函数y＝Asin（ωx+φ）的部分图象求函数的解析式，两角和差的三角公式的应用
综合式测试
一、单选题
1．已知，，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】先求出，即得解.
【详解】
因为，
所以，
所以，
所以或，
因为，所以，.
所以.
故选：D
【点睛】方法点睛：利用同角的平方关系可以通过正弦求余弦，通过余弦求正弦，但是要注意角的范围，注意“”的取舍.
2．若，则等于（ ）
A．-3 B． C． D．3
【答案】C
【分析】由得，然后利用二倍角公式展开后变为齐次式上下同除以结合同角三角函数的基本关系式求解即可.
【详解】
得，
则，
故选：C.
3．设函数，在与图象的交点中，任意连续三个交点两两相连构成一个，则以下说法错误的是（ ）
A．函数的图象与函数的图象关于直线对称
B．把函数的图象向左平移个单位得到函数的图象
C．是等腰直角三角形
D．的面积为
【答案】C
【分析】
对选项A，根据即可判断A正确，对选项B，根据即可判断B正确，对选项C，首先根据题意得到，从而得到，再计算长度即可判断C错误；对选项D，计算面积即可判断D正确.
【详解】
对选项A，，
所以函数的图象与函数的图象关于直线对称，选项正确；
对选项B，由于，B选项正确；
对选项C，令，
令得连续的三点：，
所以，
，.
所以不是等腰直角三角形，选项错误；
对选项D，，D选项正确．
故选：C
4．若将函数图象沿轴向左平移个单位，然后再将所得函数图象上每个点的横坐标缩为原来的一半（纵坐标不变），得到函数的图象，则函数图象的一条对称轴方程为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】利用三角函数图象变换求得函数的解析式，然后利用正弦型函数的对称性可求得结果.
【详解】
将函数的图象上每个点的横坐标伸长为原来的倍，可得到函数的图象，
再将所得函数图象沿轴向右平移个单位，可得到函数的图象，
由，解得，当时，，
因此，函数的图象的一条对称轴方程为.
故选：C.
5．已知函数的图象关于直线对称，且对任意，都有，则当取最小值时，下列结论正确的是（ ）
A．函数图象的一个对称中心为点
B．函数图象的一条对称轴方程为
C．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象
D．函数在上单调递减
【答案】D
【分析】
根据已知条件求出，对A：求出函数的对称中心即可判断；对B：求出函数的对称轴即可判断；对C：根据求出平移后的解析式即可；对D：求出函数的单调递减区间，然后给赋值即可判断.
【详解】
因为图象关于直线对称，所以，
又因为对任意，都有，所以为函数的最小值，
所以，
故，因为
当时，，又因为，所以，
所以，
令，即，
所以函数图象的对称中心为，，则，故A错误；
令，即，
所以函数图象的对称轴为，，则，故B错误；
将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数
，故C错误；
因为在上单调递减；
，即，
所以函数在上单调递减，
当时，函数在上单调递减，故D正确；
故选：D.
6．已知，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】利用二倍角公式和诱导公式，可得，即得解.
【详解】
已知，则
故选：A
【点睛】考查了二倍角公式和诱导公式的综合应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于基础题.
7．关于函数有下述四个结论：
①是奇函数；
②在区间单调递增；
③是的周期；
④的最大值为2.
其中所有正确结论的个数是（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
【答案】C
【分析】
计算得到①错误，根据复合函数单调性判断法则判断②正确，③正确，假设的最大值为2，取，得到矛盾，④错误，得到答案.
【详解】
，
，
所以为非奇非偶函数，①错误；
当时，令，，
又时单调递增，单调递减，根据复合函数单调性判断法则，
当时，，均为增函数，
所以在区间单调递增，所以②正确；
，
所以是的周期，所以③正确；
假设的最大值为2，取，必然，，
则，与，矛盾，所以的最大值小于2，所以④错误.
故选：.
【点睛】考查了三角函数奇偶性，单调性，周期，最值，意在考查学生对于三角函数知识的综合应用.
8．设函数，在上的图象大致如图，将该图象向右平移个单位后所得图象关于直线对称，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】
根据五点作图法可构造方程求得，得到；由三角函数平移变换可求得平移后解析式，利用代入检验的方法，根据图象关于可构造方程求得，由此确定最小值.
【详解】
根据五点法作图知：，解得：，；
将向右平移个单位得：，
图象关于对称，，
解得：，
由，可令得的最小值.
故选：C.
【点睛】方法点睛：根据余弦型函数的对称轴、对称中心和单调区间求解参数值时，通常采用代入检验的方式，即将的取值代入，整体对应的对称轴、对称中心和单调区间，由此求得结果.
二、填空题
9．已知函数，给出下列结论：
①是周期函数；
②在区间上是增函数；
③若，则；
④函数在区间上有且仅有1个零点．
其中正确结论的序号是______．（将你认为正确的结论序号都填上）
【答案】①③
【分析】
先求出解析式，再对①②③④一一验证：
对于①：利用周期的定义验证；
对于②：取特殊数值排除；
对于③：利用三角函数的有界性进行计算，即可判断；
对于④：可以求出零点，进行判断.
【详解】
解：函数，
对于①：由所以函数的最小正周期为，故①正确；
对于②：由于，，，，
故函数在上不是单调增函数，故②错误；
对于③：函数）的最大值为1，若，
则，
所以，，，
故则；故③正确；
对于④：当时，，
由于，即，解得或，
所以函数有两个零点，故④错误．
故答案为：①③．
10．若角终边上一点，则的值为___________.
【答案】
【分析】根据诱导公式及三角函数的定义求解.
【详解】
由诱导公式知，
，
因为角终边上一点，
所以，
所以原式
故答案为：
11．已知函数的最大值为4，最小值为0，最小正周期为，直线是其图象的一条对称轴，且，则的解析式为___________.
【答案】
【分析】
首先根据函数的最大值和最小值，列式求，根据周期公式求，再代入对称轴，求，最后再验证，确定函数的解析式.
【详解】
【点睛】考查根据三角函数的性质求函数的解析式.
12．将函数的图象向左平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数g（x）的图象，则函数g（x）具有性质_____．（填入所有正确结论的序号）
①最大值为，图象关于直线对称；
②图象关于y轴对称；
③最小正周期为π；
④图象关于点对称．
【答案】②③④
【分析】
根据三角函数的图象变换，求得函数，再根据三角函数的图象与性质，逐项判定，即可求解，得到答案.
【详解】
由题意，将函数的图象向左平移个单位长度，
得到的图象，再向上平移1个单位长度，得到函数的图象．
对于函数，由于当时，，不是最值，
故的图象不关于直线对称，故①错误；
由于函数为偶函数，故它的图象关于y轴对称，故②正确；
函数的最小正周期为，故③正确；
当时，，故函数的图象关于点对称，故④正确；
故答案为②③④．
【点睛】考查了三角函数的图象变换，以及三角函数的图象与性质的综合应用，其中解答中熟记三角函数的图象变换得到函数的解析式，熟练应用三角函数的图象与性质，准确判定是解答的关键.
三、解答题
13．已知函数的部分图象如下图所示.
（1）求函数的解析式，并写出函数的单调递增区间；
（2）将函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，再将所得的函数图象上所有点向左平移个单位长度，得到函数的图象.若函数的图象关于直线对称，求函数在区间上的值域.
【答案】（1），递增区间为；
（2）.
【分析】
（1）由三角函数的图象，求得函数的解析式，结合三角函数的性质，即可求解.
（2）由三角函数的图象变换，求得，根据的图象关于直线对称，求得的值，得到，结合三角函数的性质，即可求解.
【详解】
（1）由图象可知，，
所以，所以，
由图可求出最低点的坐标为，所以，
所以，所以，
因为，所以，所以，
由，可得.
所以函数的单调递增区间为.
（2）由题意知，函数，
因为的图象关于直线对称，
所以，即，
因为，所以，所以.
当时，，可得，
所以，即函数的值域为.
【点睛】解答三角函数的图象与性质的基本方法：
1、根据已知条件化简得出三角函数的解析式为的形式；
2、熟练应用三角函数的图象与性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质，但解答中主要角的范围的判定，防止错解.
14．设，函数的最小正周期为，且．
（1）求和的值；
（2）在给定坐标系中作出函数在上的图象；
（3）若，求的取值范围．
【答案】（1）；（2）详见解析；（3）
【分析】
（1）根据周期求，，求；（2）根据函数的定义域，结合“五点法”，列表画图；（3）根据余弦函数的图象，不等式等价于，，求的取值范围.
【详解】
（1）的最小正周期是，，
，
即，，
；
（2）由（1）可知，
列表
0
0
1 0 -1 0
（3），，
解得：，，
所以的解集为.
【点睛】考查三角函数的解析式，图象，性质的综合应用.
15．已知角的顶点在原点，始边与轴的非负半轴重合，终边上一点的坐标是.
（1）求；
（2）求；
【答案】（1），（2）
【分析】
（1）求得点到原点的距离，根据三角函数的定义求值；
（2）同（1）可求出，然后用诱导公式化简，再代入值计算．
【详解】
（1）
（2），为第四象限，
【点睛】考查三角函数的定义，考查诱导公式，属于基础题．
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