7.2.2 同角三角函数关系
能力提升
利用同角三角函数关系式求值
1.已知α∈(0,π),sin α+cos α=,则tan α=( )
A.- B. C.- D.
2.已知sin α+cos α=-,且,则cos α-sin α的值为( )
A.- B. C.- D.
3.(多选)若α是第二象限角,则下列各式中成立的是( )
A.tan α=-
B.=sin α-cos α
C.cos α=-
D.=sin α+cos α
4.设a>0,a≠1,若loga(sin x-cos x)=0,则sin8x+cos8x= .
5.已知0(1)求sin x-cos x的值;
(2)求tan x的值.
利用同角三角函数关系式化简与证明
6.已知α为第四象限角,cos α +sin α的化简结果为( )
A.2-sin α-cos α B.sin α+cos α-2
C.sin α-cos α D.cos α-sin α
7.求证:.
齐次式的求值问题
8.已知P(-,y)为角β的终边上一点,且sin β=,则=( )
A.± B.- C. D.±2
9.(多选)下列计算或化简结果正确的有( )
A.若sin θ·cos θ=,则tan θ+=2
B.若tan x=,则=1
C.若sin α=,则tan α=2
D.若α为第一象限角,则=2
10.(1)已知sin α+cos α=,求sin αcos α及sin4α+cos4α的值;
(2)已知tan α=-,计算的值.
答案全解全析
7.2.2 同角三角函数关系
能力提升
1.C 因为sin α+cos α=,
所以1+2sin αcos α=,
所以2sin αcos α=-,
又因为α∈(0,π),
所以sin α>0,cos α<0,
所以1-2sin αcos α=,
即(sin α-cos α)2=,
所以sin α-cos α=,
所以sin α=,cos α=-,
所以tan α=,
故选C.
2.B ∵sin α+cos α=-,
∴(sin α+cos α)2=,
即sin2α+cos2α+2sin αcos α=,
所以2sin αcos α=,
所以(cos α-sin α)2=1-2sin αcos α=,
因为,所以cos α>sin α,所以cos α-sin α=,故选B.
3.BC 由同角三角函数的基本关系式,知tan α=,所以A错误;因为α是第二象限角,所以sin α>0,cos α<0,所以sin α-cos α>0,sin α+cos α的符号不确定,所以=sin α-cos α,cos α=-,所以B,C正确,D错误.故选BC.
4.答案 1
解析 已知a>0,a≠1,∵loga(sin x-cos x)=0,∴sin x-cos x=a0=1,
∴(sin x-cos x)2=1,
又∵sin2x+cos2x=1,∴sin x·cos x=0,
∴(sin x+cos x)2=1,
∴sin8x+cos8x=(sin4x-cos4x)2+2sin4x·cos4x
=[(sin2x+cos2x)(sin2x-cos2x)]2+2sin4x·cos4x
=[(sin x+cos x)(sin x-cos x)]2+0
=(sin x+cos x)2(sin x-cos x)2=1.
5.解析 (1)∵sin x+cos x=,
∴(sin x+cos x)2=1+2sin x·cos x=,
∴2sin xcos x=-,
又∵00,
∵2sin xcos x=-<0,∴cos x<0,
∴sin x-cos x>0,∴sin x-cos x=.
(2)由(1)知,
∴,
∴tan x=-.
6.D 因为α是第四象限角,所以sin α<0,cos α>0,
根据题意可知
cos α+sin α
=cos α·+sin α·
=
=1-sin α-1+cos α
=cos α-sin α,故选D.
7.证明 证法一:左边=
=
==右边.
故原等式成立.
证法二:右边=
=
=
==左边.
故原等式成立.
8.B 因为|OP|=,所以由正弦函数的概念可得,解得y=,所以tan β=,所以,故选B.
9.AD A正确,tan θ+=2;
B不正确,=2;
C不正确,∵α的范围不确定,∴tan α的符号不确定;
D正确,∵α为第一象限角,∴原式==2.故选AD.
10.解析 (1)∵sin α+cos α=,两边平方并化简得1+2sin αcos α=2,
∴sin αcos α=,
∴sin4α+cos4α
=(sin2α+cos2α)2-2sin2αcos2α
=1-2(sin αcos α)2=1-2×.
(2)∵tan α=-,∴=-5.
2 / 87.2.2 同角三角函数关系
基础过关
利用同角三角函数关系求值
1.已知α是第二象限角,sin α=,则cos α=( )
A.- B.- C. D.
2.已知tan α=,α∈,则cos α=( )
A.± B. C.- D.
3.已知sin α=-,且α是第四象限角,则tan α= .
4.已知sin θ-cos θ=,则sin θcos θ的值是 .
5.已知cos α=-,tan α>0,则= .
利用同角三角函数关系化简与证明
6.化简的结果是( )
A.cos 160° B.±|cos 160°|
C.±cos 160° D.-cos 160°
7.化简:(1+tan2α)·cos2α= .
8.已知,则= .
9.已知tan2α=2tan2β+1,求证:sin2β=2sin2α-1.
齐次式的求值问题
10.已知sin α=2cos α,则sin αcos α=( )
A.- B.- C. D.
11.若tan θ=2,则2sin2θ-3sin θcos θ=( )
A.10 B.± C.2 D.
12.已知=2,则sin θcos θ的值是( )
A. B.± C. D.-
13.已知角α的始边与x轴的非负半轴重合,顶点与坐标原点重合,终边过点P(3,4),则= .
14.已知tan α=,求下列各式的值.
(1);
(2);
(3)sin2α-2sin αcos α+4cos2α.
答案全解全析
7.2.2 同角三角函数关系
基础过关：必须拿到分
1.A 因为α是第二象限角,所以cos α<0,
所以cos α=-.
2.C 因为tan α=,
所以sin α=cos α.
又因为sin2α+cos2α=1,
所以+cos2α=1,
整理得cos2α=,解得cos α=±.
又因为α∈,所以cos α<0,
所以cos α=-.
3.答案 -
解析 ∵α是第四象限角,∴cos α>0,tan α<0.∵sin α=-,∴cos α=,∴tan α=.
4.答案
解析 由sin θ-cos θ=,平方可得sin2θ+cos2θ-2sin θcos θ=1-2sin θcos θ=,
则sin θcos θ=.
5.答案 -
解析 由cos α=-<0,tan α>0知α是第三象限角,则sin α=-,
故
=sin α(1+sin α)=.
6.D 因为160°为第二象限角,
所以=|cos 160°|=-cos 160°,故选D.
7.答案 1
解析 原式=·cos2α=cos2α+sin2α=1.
8.答案 -
解析 由1-sin2x=cos2x,得=1,
即=1,
可得.
9.证明 因为tan2α=2tan2β+1,
所以tan2α+1=2tan2β+2,
所以,
所以,
所以cos2β=2cos2α,
所以1-sin2β=2(1-sin2α),
即sin2β=2sin2α-1.
10.C 由题意得tan α=2,
则sin αcos α=.故选C.
11.D 已知tan θ=2,则2sin2θ-3sin θcos θ=,
故选D.
12.C 解法一:由=2,得=2,解得tan θ=3,故sin θcos θ=,故选C.
解法二:由题意得sin θ+cos θ=2(sin θ-cos θ),则(sin θ+cos θ)2=4(sin θ-cos θ)2,
解得sin θcos θ=.
13.答案 10
解析 根据角α的终边过点P(3,4),利用三角函数的定义式,可以求得tan α=,则=10.
14.解析 (1),将tan α=代入,
原式=.
(2),
将tan α=代入,原式=.
(3)sin2α-2sin αcos α+4cos2α
=
=,
将tan α=代入,原式=.
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