7.2.3 三角函数的诱导公式
基础过关
利用诱导公式解决给角求值问题
1.sin 330°的值为( )
A.- B.- C. D.
2cos的值为( )
A.- B.- C. D.
3.的值是 .
4.sin的值为 .
5.计算下列各式的值:
(1)cos+cos ;
(2)sin 420°cos 330°+sin(-690°)cos(-660°).
利用诱导公式解决给值求值问题
6.已知sin,则cos α=( )
A.- B.- C. D.
7.已知cos,且|φ|<,则tan φ=( )
A.- B. C.- D.
8.已知sin,则cos=( )
A. B. C.- D.-
9.已知3sin,则tan=( )
A.- B.- C. D.
10.已知tan θ=2,则= .
11.已知cos α=,且-<α<0,求的值.
利用诱导公式化简、证明恒等式
12.化简:=( )
A.1 B.-1 C.tan α D.-tan α
13.化简sin·cos·tan的结果是( )
A.1 B.sin2α C.-cos2α D.-1
14.已知tan α=2,则= .
15.已知-<α<0,且cos α=,则的值为 .
16.化简:.
17.证明:.
答案全解全析
7.2.3 三角函数的诱导公式
基础过关
1.A sin 330°=sin(360°-30°)=-sin 30°=-.故选A.
2.B cos.
故选B.
3.答案 -2
解析 原式=
=
=
=
=-2.
4.答案 0
解析 原式=sin+cos-+10π+tan
=sin-1=0.
5.解析 (1)cos+cosπ-+cosπ-=cos=0.
(2)原式=sin(360°+60°)cos(360°-30°)+sin(-2×360°+30°)cos(-2×360°+60°)
=sin 60°cos 30°+sin 30°cos 60°
==1.
6.C sin=cos α=,故选C.
7.C ∵cos=-sin φ=,∴sin φ=-,∵|φ|<,∴cos φ=,
∴tan φ=,
故选C.
8.C cos
=-sin
=-sin.
故选C.
9.A ∵3sin
=3sin
=3sin
=-5cos,
∴tan.
10.答案 -2
解析 ∵tan θ=2,∴原式=
==-2.
11.解析 ∵-<α<0,
∴sin α=-
=-.
∴原式=
=.
12.C 原式==tan α,故选C.
13.C 因为sin=cos α,
cos=-sin α,
tan,
所以原式=cos α(-sin α)=-cos2α.
故选C.
14.答案 3
解析 ∵tan α=2,
∴
=
==3.
15.答案 -
解析 ∵-<α<0,且cos α=,
∴sin α=-,
∴tan α=-,
∴
=
=
=.
16.解析 原式=
=-sin α+sin α=0.
17.证明 左边=
=
==右边,故原等式成立.
2 / 87.2.3 三角函数的诱导公式
能力提升
利用诱导公式解决给角求值问题
1.给出下列各函数值:①sin(-1 000°);②cos(-2 200°);③tan(-10);④.其中为负值的是( )
A.① B.② C.③ D.④
2.(多选)已知角θ与φ都是任意角,若满足θ+φ=,则称θ与φ“广义互余”.若sin(π+α)=-,则下列角β中,与角α“广义互余”的有( )
A.sin β= B.cos(π+β)=
C.tan β= D.tan β=
3.的值为 .
利用诱导公式解决给值求值问题
4.设f(x)=asin(πx+α)+bcos(πx+β)+4,其中a,b,α,β∈R,且ab≠0,α≠kπ(k∈Z).若f(2 009)=5,则f(2 017)=( )
A.4 B.3 C.-5 D.5
5.已知α是第四象限角,且3sin2α=8cos α,则cos=( )
A.- B.-
C. D.
6.(多选)给出下列四个结论,其中正确的有( )
A.sin(π+α)=-sin α成立的条件是角α是锐角
B.若cos(nπ-α)=(n∈Z),则cos α=
C.若α≠(k∈Z),则tan
D.若sin α+cos α=1,则sinnα+cosnα=1
7.已知sin θ-cos θ=,θ∈,则sin(π-θ)-cos(π-θ)= .
8.已知sin,则sin的值是 .
9.已知f(α)=.
(1)求f 的值;
(2)若α∈(0,π)且f(α)+f,求sin2α-cos α的值.
题组三 利用诱导公式化简、证明恒等式
10.化简:.
11.求证:.
答案全解全析
7.2.3 三角函数的诱导公式
能力提升
1.C sin(-1 000°)=sin(-2×360°-280°)
=-sin 280°=cos 10°>0;
cos(-2 200°)=cos(-6×360°-40°)=cos 40°>0;
tan(-10)≈-tan(3π+0.58)=-tan 0.58<0;
>0,
故选C.
2.AC ∵sin(π+α)=-sin α=-,
∴sin α=,若α+β=,则β=-α,则sin α=cos β.
A中,sin β=sin=cos α=±,故A符合条件;
B中,cos(π+β)=-cos β=-cos=-sin α=-,故B不符合条件;
C中,tan β=,即sin β=cos β,又sin2β+cos2β=1,故cos β=±,故C符合条件;
D中,tan β=,即sin β=cos β,又sin2β+cos2β=1,故cos β=±,故D不符合条件.
故选AC.
3.答案 -
解析 由诱导公式可得tan 150°=tan(180°-30°)=-tan 30°=-,
cos(-210°)=cos 210°=cos(180°+30°)=-cos 30°=-,
sin(-420°)=-sin 420°=-sin(360°+60°)=-sin 60°=-,
sin 1 050°=sin(3×360°-30°)=-sin 30°=-,
cos(-600°)=cos 600°=cos(3×180°+60°)=-cos 60°=-,
∴原式=.
4.D 由题意知f(2 009)=asin(2 009π+α)+bcos(2 009π+β)+4=5,
故f(2 017)=asin(2 017π+α)+bcos(2 017π+β)+4
=asin(2 009π+α+8π)+bcos(2 009π+β+8π)+4
=asin(2 009π+α)+bcos(2 009π+β)+4=5.
故选D.
5.A ∵3sin2α=8cos α,∴sin2α+=1,整理可得9sin4α+64sin2α-64=0,
解得sin2α=或sin2α=-8(舍去),
又∵α是第四象限角,
∴sin α=-,
∴cos
=-cos=sin α=-.
6.CD 由诱导公式四,知当α∈R时,sin(π+α)=-sin α,所以A错误.
当n=2k(k∈Z)时,cos(nπ-α)=cos(-α)=cos α,此时cos α=;
当n=2k+1(k∈Z)时,cos(nπ-α)=cos[(2k+1)π-α]=cos(π-α)=-cos α,此时cos α=-,所以B错误.
若α≠(k∈Z),则tan,所以C正确.
将等式sin α+cos α=1两边平方化简,
得sin αcos α=0,故sin α=0或cos α=0.
若sin α=0,则cos α=1,此时sinnα+cosnα=1;
若cos α=0,则sin α=1,此时sinnα+cosnα=1,
故sinnα+cosnα=1,所以D正确.
故选CD.
7.答案 -
解析 ∵θ∈,∴-1∴sin(π-θ)-cos(π-θ)=sin θ+cos θ.
由sin θ-cos θ=,得2sin θcos θ=-,则(sin θ+cos θ)2=,则sin θ+cos θ=±.
当sin θ+cos θ=时,解得sin θ=,
cos θ=(舍去).
故sin θ+cos θ=-.
8.答案
解析 ∵sin,
∴sin
=sin
=sin
=
=.
9.解析 (1)因为f(α)
==-cos α,
所以f.
(2)由(1)知f(α)=-cos α.
又因为f(α)+f,
所以-cos α-cos,
所以cos α+sin α=,
两边平方化简得1+2sin αcos α=,
所以2sin αcos α=-,
所以1-2sin αcos α=,
即(sin α-cos α)2=.
因为2sin αcos α=-<0,α∈(0,π),
所以α∈,所以sin α-cos α>0,
所以sin α-cos α=,
结合cos α+sin α=,
解得sin α=,cos α=-,
故sin2α-cos α=.
10.解析 原式
=
=
==tan2θ.
11.证明 右边
=
=
=
=
==左边,
故原等式成立.
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