13.1.1 轴对称
1.被誉为全国第三大露天碑林的“浯溪碑林”，摩崖上铭刻着500多方古今名家碑文，其中悬针篆文具有较高的历史意义和研究价值，下面四个悬针篆文文字明显不是轴对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
2.如图所示的五角星是轴对称图形，它的对称轴共有（ ）
A．1条 B．3条 C．5条 D．无数
3.下面是我们熟悉的四个交通标志图形，请从几何图形的性质考虑哪一个与其他三个不同？请指出这个图形，并说明理由.
答：这个图形是______（写出序号即可），理由是______________________.
4.下面的图形是否是轴对称图形，如果是，有几条对称轴？画画看.
5.英文26个大写字母中哪些是轴对称图形？
6.你能列举出三个是轴对称图形的几何图形吗？
7.小强站在镜子前，从镜子中看到镜子对面墙上挂着的电子钟，其读数如图所示，则电子钟的实际时刻是________.
参考答案：
1.C
2.C
3. ④ 只有它不是轴对称图形
4.如下图：
图1有5条对称轴，图2有4条对称轴.
5.解：A、B、C、D、E、H、I、K、M、O、T、U、V、W、X、Y是轴对称图形.
6.解：正方形、长方形、圆.（答案不唯一）
7.10：2113.1.2 线段的垂直平分线的性质
第1课时
1．如图，在△ABC中，AB＝AC＝20 cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于点D，若△DBC的周长为35 cm，则BC的长为( )
A．5 cm B．10 cm
C．15 cm D．17.5 cm
2.如果一个三角形两边的垂直平分线的交点在第三边上，那么这个三角形是( )
A．锐角三角形 B．钝角三角形
C．直角三角形 D．不能确定
3．如图，CD是AB的垂直平分线，若AC＝1.6 cm，BD＝2.3 cm，则四边形ACBD的周长为 ________cm.
4.如图，在△ABC中，D为BC上一点，且BC＝BD＋AD，则点D在线段 __________ 的垂直平分线上．
5.如图，点A，B，C表示某公司三个车间的位置，现要建一个仓库，要求它到三个车间的距离相等，则仓库应建在什么位置？
6.如图，已知E为∠AOB的平分线上一点，EC⊥OA，ED⊥OB，垂足分别为C，D.求证：OE垂直平分CD.
7.如图，已知AB比AC长2 cm，BC的垂直平分线交AB于点D，交BC于点E，△ACD的周长是14 cm，求AB和AC的长．
参考答案：
1.C
2.C
3.7.8
4.AC 解析：∵BC=BD+AD，
又∵BC=BD+DC，
∴AD=DC.
∴点D在线段AC的垂直平分线上.
5.答：△ABC 三边垂直平分线的交点上.
6.证明：∵E在∠AOB的平分线上，ED⊥OB于D，EC⊥OA于C，
∴ED＝EC
在Rt△EDO和Rt△ECO中，ED＝EC，OE＝OE，
∴Rt△EDO≌Rt△ECO.（HL）
∴OD＝OC.
∴O，E都在CD的垂直平分线上.
∴OE垂直平分CD.
7.解：∵DE垂直平分BC，
∴DB＝DC.
∵AC＋AD＋DC＝14 cm，
∴AC＋AD＋BD＝14 cm.
即AC＋AB＝14 cm.
设AB＝x cm，AC＝y cm.
根据题意，得 解得
∴AB长为8 cm，AC长为6 cm13.1.2 线段的垂直平分线的性质
第2课时
1.尺规作图要求：Ⅰ、过直线外一点作这条直线的垂线；Ⅱ、作线段的垂直平分线；Ⅲ、过直线上一点作这条直线的垂线；Ⅳ、作角的平分线．如图是按上述要求排乱顺序的尺规作图：
则正确的配对是（ ）
A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ
B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅰ
C．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ
D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ
2.如图，已知线段AB的垂直平分线CP交AB于点P，且AP=2PC，现欲在线段AB上求作两点D，E，使其满足AD=DC=CE=EB，对于以下甲、乙两种作法：
甲：分别作∠ACP、∠BCP的平分线，分别交AB于D、E，则D、E即为所求；
乙：分别作AC、BC的垂直平分线，分别交AB于D、E，则D、E两点即为所求．
下列说法正确的是（ ）
A．甲、乙都正确 B．甲、乙都错误
C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确
3.如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出对称轴．
4.如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？
5. 如图，有A，B，C三个村庄，现准备要建一所希望小学，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.
6. 如图，在4×3的正方形网格中，阴影部分是由4个正方形组成的一个图形，请你用两种方法分别在如图方格内填涂2个小正方形，使这6个小正方形组成的图形是轴对称图形，并画出其对称轴．
参考答案：
1.D
2.D
3.解答如图所示：
4.解：如下图所示：
角是轴对称图形，角平分线所在的直线就是角的对称轴.
5.解：如下图所示：
6. 解：如下图所示：13.2 画轴对称图形
第1课时 画轴对称图形
1.作已知点关于某直线的对称点的第一步是（ ）
A．过已知点作一条直线与已知直线相交
B．过已知点作一条直线与已知直线垂直
C．过已知点作一条直线与已知直线平行
D．不确定
2.如图，把一张长方形的纸按图那样折叠后，B，D两点落在B′，D′点处，若得∠AOB′=70°，则∠B′OG的度数为________.
3.如图，把下列图形补成关于直线l的对称图形.
4.如图给出了一个图案的一半，虚线 l 是这个图案的对称轴.整个图案是个什么形状？请准确地画出它的另一半.
5.如图，画△ABC关于直线m的对称图形.
参考答案：
1.B
2.55°
3.解答如下图：
4.解答如下图：
5.解答如下图：
礼
(AA
C
B
B'
A
B
C
B
司三f
欢三W
B
D
E
G13.2 画轴对称图形
第2课时
1.平面直角坐标系内的点A（–1，2）与点B（–1，–2）关于（ ）
A．y轴对称 B．x轴对称
C．原点对称 D．直线y=x对称
2.若点A（1+m，1–n）与点B（–3，2）关于y轴对称，则m+n的值是（ ）
A．–5 B．–3 C．3 D．1
3.在平面直角坐标系中，将点A（–1，–2）向右平移3个单位长度得到点B，则点B关于x轴的对称点B′的坐标为（ ）
A．（–3，–2） B．（2，2） C．（–2，2） D．（2，–2）
4.如图，在平面直角坐标系中，点P（–1，2）关于直线x=1的对称点的坐标为（ ）
A．（1，2） B．（2，2）
C．（3，2） D．（4，2）
5.已知点P(2a+b,–3a)与点P′（8,b+2).
若点P与点P′关于x轴对称，则a=_____， b=_______.
若点P与点P′关于y轴对称，则a=_____ ，b=_______.
6.若|a–2|+(b–5)2=0，则点P (a，b)关于x轴对称的点的坐标为________.
7.已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(–3，5),B(– 4，1),C(–1，3)，作出△ABC关于y轴对称的图形.
8.已知点A（2a+b，–4），B（3，a–2b）关于x轴对称，求点（a，b）在第几象限？
9.在平面直角坐标系中，规定把一个正方形先沿着x轴翻折，再向右平移2个单位称为1次变换．如图，已知正方形ABCD的顶点A、B的坐标分别是（–1，–1）、（–3，–1），把正方形ABCD经过连续7次这样的变换得到正方形A′B′C′D′，求B的对应点B′的坐标.
参考答案：
1.B
2.D
3.B
4.C
5.2 4 6 -20
6.(2,–5)
7.解：点A(–3,5),B(–4,1),C(–1,3)关于y轴的对称点分别为A′(3,5),B′(4,1),C′(1,3).
依次连接A′B′,B′C′,C′A′,就得到△ABC关于y轴对称的△A′B′C′.
8.解：∵点A（2a+b，–4），B（3，a–2b）关于x轴对称，
∴2a+b=3，a–2b=4，
解得a=2，b= –1．
∴点C（2，–1）在第四象限．
9.解：∵正方形ABCD，点A、B的坐标分别是(–1，–1)、(–3，–1)，
∴根据题意，得第1次变换后的点B的对应点的坐标为(–3+2，1)，即(–1，1)，
第2次变换后的点B的对应点的坐标为(–1+2，–1)，即(1，–1)，
第3次变换后的点B的对应点的坐标为(1+2，1)，即(3，1)，
第n次变换后的点B的对应点的为：当n为奇数时为(2n–3，1)，当n为偶数时为(2n–3，–1)，
∴把正方形ABCD经过连续7次这样的变换得到正方形A′B′C′D′，则点B的对应点B′的坐标是(11，1)13.3.1 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
1.等腰三角形有一个角是90°，则另两个角分别是（ ）
A．30°，60° B．45°，45°
C．45°，90° D．20°，70°
2.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（ ）
A．40° B．30° C．70° D．50°
3.(1)等腰三角形一个底角为45°,它的另外两个角为_______；
(2)等腰三角形一个角为36°,它的另外两个角为____________________；
(3)等腰三角形一个角为120°,它的另外两个角为________.
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分线与AC所在的直线相交所得的锐角为50°，则底角的大小为___________．
5. 如图，在△ABC中，AB = AC，D是BC边上的中点，∠B = 30°，求 ∠BAD 和 ∠ADC的度数.
6. 如图，已知△ABC为等腰三角形，BD、CE为底角的平分线，且∠DBC＝∠F，求证：EC∥DF.
7. A、B是4×4网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中标出使以A、B、C为顶点的三角形是等腰三角形的所有格点C的位置．
参考答案：
1.B
2.A
3.(1) 45°, 90°； (2) 72°,72°或36°,108°；（3）30°，30°
4. 70°或20°
5. 解：∵AB=AC，
∴ ∠C= ∠B=30°，
∵BD = CD，∴AD⊥BC,
∴∠ADB=∠ADC = 90°.
∴∠ BAD =90°– ∠B = 60°.
6. 证明：∵△ABC为等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE为底角的平分线，
∴
∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F， ∴EC∥DF.
7.解答如下图：
分别以A、B、C为顶角顶点来分类讨论！共8个13.3.1等腰三角形
第2课时
1.如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD,CE分别是∠ABC,∠BCD的角平分线，则图中的等腰三角形有（ ）
A．5个 B．4个 C．3个 D．2个
2.一个三角形的一个外角为130°，且它恰好等于一个不相邻的内角的2倍.这个三角形是（ ）
A．钝角三角形 B．直角三角形
C．等腰三角形 D．等边三角形
3.如图，直线a、b相交于点O，∠1=50°，点A在直线a上，直线b上存在点B，使以点O、A、B为顶点的三角形是等腰三角形，这样的B点有（ ）
A．1个 B．2个
C．3个 D．4个
4.如图，已知∠A=36°，∠DBC=36°，∠C=72°，则∠DBC=_____，∠BDC=_____，图中的等腰三角形有_______________________.
5.如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线交于点E，过点E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，则线段MN的长为_____.
6.如图，上午10 时，一条船从A处出发以20海里每小时的速度向正北航行，中午12时到达B处，从A、B望灯塔C，测得∠NAC=40°，∠NBC=80°.求从B处到灯塔C的距离.
7.（A类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，AD=CD，
求证：∠A=∠C．
（B类）已知如图，四边形ABCD中，AB=BC，∠A=∠C，求证：AD=CD．
8.在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂没了，只留下一条底边BC和一个底角∠C，请问，有没有办法把原来的等腰三角形画出来？
参考答案：
1.A
2.C
3.D
4.36° 72° △ABC、△DBA、△BCD
5.9
6.解：∵∠NBC=∠A+∠C，
∴∠C=80°– 40°= 40°，
∴ ∠C = ∠A，∴ BA=BC(等角对等边).
∵AB=20×(12–10)=40(海里),
∴BC=40海里.
答：B处距离灯塔C为40海里.
7.证明：（A类）连接AC，
∵AB=BC，AD=CD，
∴∠BAC=∠BCA，∠DAC=∠DCA，
∴∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，即BAD=∠BCD；
（B类）连接AC，
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠BCA，
又∵∠BAD=∠BCD，即∠BAC+∠DAC=∠BCA+∠DCA，
∴∠DAC=∠DCA，∴AD=CD．
8.3种“补出”方法：
方法1：量出∠C度数，画出∠B＝∠C， ∠B与∠C的边相交得到顶点A．
方法2：作BC边上的垂直平分线，与∠C的一边相交得到顶点A．
方法3：对折13.3.2 等边三角形
第1课时
1.等边三角形的两条高线相交成钝角的度数是（ ）
A．105° B．120° C．135° D．150°
2.如图，等边三角形ABC的三条角平分线交于点O，DE∥BC，则这个图形中的等腰三角形共有（ ）
A. 4个 B. 5个
C. 6个 D. 7个
3.在等边△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，则∠CDF的度数是（ ）
A．10° B．15° C．20° D．25°
4.如图,△ABC和△ADE都是等边三角形，已知△ABC的周长为18cm,EC =2cm,则△ADE的周长是______________ cm.
5.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB为边在△ABC外作等边△ABD，E是AB的中点，连接CE并延长交AD于F．求证：△AEF≌△BEC．
6如图，A,O,D三点共线，△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形，求∠AEB的大小.
7. 图①、图②中，点C为线段AB上一点，△ACM与△CBN都是等边三角形．
(1)如图①，线段AN与线段BM是否相等？请说明理由；
(2)如图②，AN与MC交于点E，BM与CN交于点F，探究△CEF的形状，并证明你的结论．
参考答案：
1.B
2.D
3.B
4.12
5. 证明：∵△ABD是等边三角形，
∴∠DAB=60°，
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=180°–90°–30°=60°，∴∠FAE=∠EBC．
∵E为AB的中点，∴AE=BE．
又∵ ∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（ASA）．
6. 解：∵△OAB和△OCD是两个全等的等边三角形.
∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°.
∵ A,O,D三点共线，
∴∠DOB=∠COA=120°.
∴ △COA ≌△DOB(SAS).
∴ ∠DBO=∠CAO.
设OB与EA相交于点F,
∵ ∠EFB=∠AFO，
∴∠AEB=∠AOB=60°.
7. 解：(1)AN＝BM.
∵△ACM与△CBN都是等边三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，
∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACN＝∠MCB.
∴△ACN≌△MCB(SAS)．
∴AN＝BM.
(2)△CEF是等边三角形．
证明：∵∠ACE＝∠FCM=60°，
∴∠ECF=60°.
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE＝∠CMB.
∵AC＝MC，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，
∴CE＝CF.
∴△CEF是等边三角形．13.3.2 等边三角形
第2课时
1.如图，一棵树在一次强台风中于离地面3米处折断倒下，倒下部分与地面成30°角，这棵树在折断前的高度为( )
A．6米 B．9米
C．12米 D．15米
2.某市在旧城绿化改造中，计划在一块如图所示的△ABC空地上种植草皮优化环境，已知∠A＝150°，这种草皮每平方米售价a元，则购买这种草皮至少需要( )
A．300a元 B．150a元
C．450a元 D．225a元
3.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,则BC =___________ .
4.如图，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，则AB=______cm.
5. 在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分线，BE=5，则求AC的长．
6. 在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中点，DE⊥AB于E点，求证：BE=3EA.
7. 如图，已知△ABC是等边三角形，D,E分别为BC,AC上的点，且CD=AE，AD、BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q,求证:BP=2PQ.
参考答案：
1.B
2.B
3.5
4.8
5. 解：连接AE，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，
∴AC= AE= BE=2.5．
6. 证明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中点，∴AD⊥BC.
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.
∴AB=2AD.
∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.
∴AB=4AE，∴BE=3AE.
7. 证明：∵△ABC为等边三角形，
∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°，
∵CD=AE，
∴△ADC≌△BEA.
∴∠CAD=∠ABE.
∵∠BAP+∠CAD=60°，∴∠ABE+∠BAP=60°.
∴∠BPQ=60°.
又∵ BQ⊥AD，
∴∠BQP=90°，
∴∠PBQ=30°，
∴BP=2PQ13.4.课题学习 最短路径问题
1.如图，直线m同侧有A、B两点，A、A′关于直线m对称，A、B关于直线n对称，直线m与A′B和n分别交于P、Q，下面的说法正确的是（ ）
A．P是m上到A、B距离之和最短的点，Q是m上到A、B距离相等的点.
B．Q是m上到A、B距离之和最短的点，P是m上到A、B距离相等的点.
C．P、Q都是m上到A、B距离之和最短的点.
D．P、Q都是m上到A、B距离相等的点 .
2.如图，∠AOB=30°，∠AOB内有一定点P，且OP=10．在OA上有一点Q，OB上有一点R．若△PQR周长最小，则最小周长是（ ）
A．10 B．15
C．20 D．30
3.如图，牧童在A处放马，其家在B处，A、B到河岸的距离分别为AC和BD，且AC=BD,若点A到河岸CD的中点的距离为500米，则牧童从A处把马牵到河边饮水再回家，所走的最短距离是_________米.
4.如图，边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A，B的坐标分别是A（3，2），B（1，3）．点P在x轴上，当PA+PB的值最小时，在图中画出点P．
5. 如图，荆州古城河在CC′处直角转弯，河宽相同，从A处到B处，须经两座桥：DD ′,EE ′（桥宽不计），设护城河以及两座桥都是东西、南北方向的，怎样架桥可使ADD ′E ′EB的路程最短？
6. （1）如图①，在AB直线一侧C、D两点，在AB上找一点P，使C、D、P三点组成的三角形的周长最短，找出此点并说明理由．
（2）如图②，在∠AOB内部有一点P，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、P三点组成的三角形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
（3）如图③，在∠AOB内部有两点M、N，是否在OA、OB上分别存在点E、F，使得E、F、M、N，四点组成的四边形的周长最短，找出E、F两点，并说明理由．
参考答案：
1.A
2.A
3.1000
4. 解析：作出点B关于x轴的对称点B′，连接AB′交x轴于点P，点P就是所求的点.
5. 解：作AF⊥CD,且AF=河宽，作BG ⊥CE，且BG=河宽，连接GF,与河岸相交于E ′,D′.作DD′,EE′即为桥.
理由：由作图法可知，AF//DD′，AF=DD′，
则四边形AFD′D为平行四边形，
于是AD=FD′,
同理，BE=GE′，
由两点之间线段最短可知，GF最小.
6.解答如下图：
