2013-2014西城区高三年级第一学期期末练习 数学(文科)

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末试卷
高三数学（文科） 2014.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合，，则集合（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．已知命题：“，”，那么是（ ）
　（A），，
（B），
　（C），
（D），
3．在平面直角坐标系中，点，，若向量，则实数（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
4．若坐标原点在圆的内部，则实数m的取值范围是（ ）
　（A）
（B）
　（C）
（D）
5．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
6． 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数,满足（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
7．定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
8.在平面直角坐标系中，记不等式组所表示的平面区域为. 在映射的作用下，区域内的点对应的象为点，则由点所形成的平面区域的面积为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．已知复数z满足，那么______．
10．在等差数列中，，，则公差______；前17项的和______．
11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，，，
则______； ______．
13．设函数　则______；若函数存在两个零点，则实数的取值范围是______．
14．设为平面直角坐标系内的点集，若对于任意，存在，使得，则称点集满足性质. 给出下列三个点集：
；
；
.
其中所有满足性质的点集的序号是______．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数，，且的最小正周期为.
（Ⅰ）若，，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调增区间.
16．（本小题满分13分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示．
（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求的值；
（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；
（Ⅲ）当时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，求这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率．
17．（本小题满分14分）
如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的正方形，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3，G和H分别是CE和CF的中点.
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求证：平面BDGH//平面AEF；
（Ⅲ）求多面体ABCDEF的体积.
18．（本小题满分13分）
已知函数，其中是自然对数的底数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，求函数的最小值.
19．（本小题满分14分）
已知是抛物线上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为.设抛物线的焦点在直线的下方.
（Ⅰ）求k的取值范围；
（Ⅱ）设C为W上一点，且，过两点分别作W的切线，记两切线的交点为. 判断四边形是否为梯形，并说明理由.
20．（本小题满分13分）
设无穷等比数列的公比为q，且，表示不超过实数的最大整数（如）,记，数列的前项和为，数列的前项和为.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）证明： （）的充分必要条件为；
（Ⅲ）若对于任意不超过的正整数n，都有，证明：.
北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末
高三数学（文科）参考答案及评分标准
2014.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．D 2．D 3．A 4．C
5．B 6．C 7．A 8．C
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9． 10．
11． 12．
13． 14．
注：第10、12、13题第一问2分，第二问3分. 第14题若有错选、多选不得分，少选得2分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为的最小正周期为，
所以 ，解得． ……………… 3分
由 ，得，
即 ， ……………… 4分
所以 ，.
因为 ，
所以. ……………… 6分
（Ⅱ）解：函数
……………… 8分

， ………………10分
由 ， ………………11分
解得 ． ………………12分
所以函数的单调增区间为.…………13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：依题意，得 ， ……………… 3分
解得 . ……………… 4分
（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件， ……………… 5分
依题意 ，共有10种可能. ……………… 6分
由（Ⅰ）可知，当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，
所以当时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 7分
所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率． ……………… 8分
（Ⅲ）解：设“这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分”为事件，………… 9分
当时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有种， 它们是：，，，，，，，，， ………………10分
所以事件的结果有7种，它们是：，，，，，，. ……………… 11分
因此这两名同学的数学成绩之差的绝对值不超过2分的概率.
………………13分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为四边形是正方形，
所以. ……………… 1分
又因为平面平面，平面平面，
且平面，
所以平面. ……………… 4分
（Ⅱ）证明：在中，因为分别是的中点，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面. ……………… 6分
设，连接，
在中，因为，，
所以，
又因为平面，平面，
所以平面. ……………… 8分
又因为，平面，
所以平面平面. ………………10分
（Ⅲ）解：由（Ⅰ），得 平面，
又因为，四边形的面积，……………11分
所以四棱锥的体积. ………………12分
同理，四棱锥的体积.
所以多面体的体积. ………………14分

18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为，，
所以． ……………… 2分
令，得． ……………… 3分
当变化时，和的变化情况如下：
↘
↗
……………… 5分
故的单调减区间为；单调增区间为．………… 6分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ），得的单调减区间为；单调增区间为．
所以当，即时，在上单调递增，
故在上的最小值为； ……………… 8分
当，即时，
在上单调递减， 在上单调递增，
故在上的最小值为；………………10分
当，即时，在上单调递减，
故在上的最小值为. ………………12分
所以函数在上的最小值为 ……13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：抛物线的焦点为. ……………… 1分
由题意，得直线的方程为， ……………… 2分
令 ，得，即直线与y轴相交于点. ……………… 3分
因为抛物线的焦点在直线的下方，
所以 ，
解得 .
因为 ，
所以 . ……………… 5分
（Ⅱ）解：结论：四边形不可能为梯形. ……………… 6分
理由如下：
假设四边形为梯形. ……………… 7分
由题意，设，，，
联立方程
消去y，得，
由韦达定理，得，所以 . ……………… 8分
同理，得. ……………… 9分
对函数求导，得，
所以抛物线在点处的切线的斜率为， ……………… 10分
抛物线在点处的切线的斜率为. ………………11分
由四边形为梯形，得或.
若，则，即，
因为方程无解，所以与不平行. ………………12分
若，则，即，
因为方程无解，所以与不平行. ……………13分
所以四边形不是梯形，与假设矛盾.
因此四边形不可能为梯形. ……………14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为等比数列的，，
所以 ，，. ……………… 1分
所以 ，，. ……………… 2分
则 . ……………… 3分
（Ⅱ）证明：（充分性）因为 ，
所以 对一切正整数n都成立.
因为 ，，
所以 . ……………… 5分
（必要性）因为对于任意的，，
当时，由，得； ……………… 6分
当时，由，，得.
所以对一切正整数n都有. ……………… 7分
因为 ，，
所以对一切正整数n都有. ……………… 8分
（Ⅲ）证明：因为 ，
所以 ，. ……………… 9分
因为 ，
所以 ，. ………………10分
由 ，得 . ………………11分
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 . ………………13分