2013-2014西城区高三年级第一学期期末练习 数学(理科)

北京市西城区2013—2014学年度第一学期期末试卷
高三数学（理科） 2014.1
第Ⅰ卷（选择题 共40分）
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．
1．设集合，，则集合（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
2．已知复数z满足，那么的虚部为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
3．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c. 若，，，则（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
4．执行如图所示的程序框图，输出的S值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
5．已知圆与x轴切于A点，与y轴切于B点，设劣弧的中点为M，则过点M的圆C的切线方程是（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
6． 若曲线为焦点在轴上的椭圆，则实数,满足（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
7．定义域为R的函数满足，且当时，，则当时，的最小值为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
8. 如图，正方体的棱长为，动点P在对角线上，过点P作垂直于的平面，记这样得到的截面多边形
（含三角形）的周长为y，设x，
则当时，函数的值域为（ ）
（A）
（B）
（C）
（D）
第Ⅱ卷（非选择题 共110分）
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9. 在平面直角坐标系中，点，，若向量，则实数 _____．
10．若等差数列满足，，则公差______；______．
11．已知一个正三棱柱的所有棱长均相等，其侧（左）视图如图所示，那么此三棱柱正（主）视图的面积为______．
12．甲、乙两名大学生从4个公司中各选2个作为实习单位，则两人所选的实习单位中恰有1个相同的选法种数是______. （用数字作答）
13． 如图，为圆上的两个点，为延长线上一点，为圆的切线，为切点. 若，，则______；______．
14．在平面直角坐标系中，记不等式组所表示的平面区域为.在映射的作用下，区域内的点对应的象为点.
（1）在映射的作用下，点的原象是 ；
（2）由点所形成的平面区域的面积为______．
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（本小题满分13分）
已知函数，，且的最小正周期为.
（Ⅰ）若，，求的值；
（Ⅱ）求函数的单调增区间.
16．（本小题满分13分）
以下茎叶图记录了甲、乙两组各三名同学在期末考试中的数学成绩．乙组记录中有一个数字模糊，无法确认，假设这个数字具有随机性，并在图中以表示．
（Ⅰ）若甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，求的值；
（Ⅱ）求乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率；
（Ⅲ）当时，分别从甲、乙两组中各随机选取一名同学，记这两名同学数学成绩之差的绝对值为，求随机变量的分布列和数学期望．
17．（本小题满分14分）
如图，在多面体ABCDEF中，底面ABCD是边长为2的菱形，，四边形BDEF是矩形，平面BDEF⊥平面ABCD，BF=3， H是CF的中点.
（Ⅰ）求证：AC⊥平面BDEF；
（Ⅱ）求直线DH与平面所成角的正弦值；
（Ⅲ）求二面角的大小.
18．（本小题满分13分）
已知函数，其中是自然对数的底数，.
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当时，试确定函数的零点个数，并说明理由.
19．（本小题满分14分）
已知是抛物线上的两个点，点的坐标为，直线的斜率为k， 为坐标原点.
（Ⅰ）若抛物线的焦点在直线的下方，求k的取值范围；
（Ⅱ）设C为W上一点，且，过两点分别作W的切线，记两切线的交点为，求的最小值.
20．（本小题满分13分）
设无穷等比数列的公比为q，且，表示不超过实数的最大整数（如）,记，数列的前项和为，数列的前项和为.
（Ⅰ）若，求；
（Ⅱ）若对于任意不超过的正整数n，都有，证明：.
（Ⅲ）证明：（）的充分必要条件为.

北京市西城区2013 — 2014学年度第一学期期末
高三数学（理科）参考答案及评分标准
2014.1
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.
1．B 2．C 3．D 4．B
5．A 6．C 7．A 8．D
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分.
9． 10．
11． 12．
13． 14．
注：第10、13、14题第一问2分，第二问3分.
三、解答题：本大题共6小题，共80分. 其他正确解答过程，请参照评分标准给分.
15．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为的最小正周期为，
所以 ，解得． ……………… 3分
由 ，得，
即 ， ……………… 4分
所以 ，.
因为 ，
所以. ……………… 6分
（Ⅱ）解：函数
……………… 8分

， ………………10分
由 ， ………………11分
解得 ． ………………12分
所以函数的单调增区间为.…………13分
16．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：依题意，得 ， ……………… 2分
解得 . ……………… 3分
（Ⅱ）解：设“乙组平均成绩超过甲组平均成绩”为事件， ……………… 4分
依题意 ，共有10种可能. ……………… 5分
由（Ⅰ）可知，当时甲、乙两个小组的数学平均成绩相同，
所以当时，乙组平均成绩超过甲组平均成绩，共有8种可能．… 6分
所以乙组平均成绩超过甲组平均成绩的概率． ……………… 7分
（Ⅲ）解：当时，分别从甲、乙两组同学中各随机选取一名同学，所有可能的成绩结果有种， 它们是：，，，，，，，，， ……………… 9分
则这两名同学成绩之差的绝对值的所有取值为. ……………… 10分
因此，，，，.
……………… 11分
所以随机变量的分布列为：
0
1
2
3
4
………………12分
所以的数学期望．……………13分
17．（本小题满分14分）
（Ⅰ）证明：因为四边形是菱形，
所以 . ……………… 1分
因为平面平面，且四边形是矩形，
所以 平面， ……………… 2分
又因为 平面，
所以 . ……………… 3分
因为 ，
所以 平面. ……………… 4分
（Ⅱ）解：设，取的中点，连接，
因为四边形是矩形，分别为的中点，
所以 ，
又因为 平面，所以 平面，
由，得两两垂直.
所以以为原点，所在直线分别为x轴，y轴，z轴，如图建立空间直角坐标系. ……………… 5分
因为底面是边长为2的菱形，，，
所以 ，，，，
，，. ………………6分
因为 平面，
所以平面的法向量. …………7分
设直线与平面所成角为，
由 ，
得 ，
所以直线与平面所成角的正弦值为. ………………9分（Ⅲ）解：由（Ⅱ），得，.
设平面的法向量为，
所以 ………………10分
即
令，得. ………………11分
由平面，得平面的法向量为，
则. ………………13分
由图可知二面角为锐角，
所以二面角的大小为. ………………14分
18.（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：因为，，
所以． ……………… 2分
令，得． ……………… 3分
当变化时，和的变化情况如下：
↘
↗
……………… 5分
故的单调减区间为；单调增区间为．………… 6分
（Ⅱ）解：结论：函数有且仅有一个零点. ……………… 7分
理由如下：
由，得方程，
显然为此方程的一个实数解.
所以是函数的一个零点. ……………… 9分
当时，方程可化简为.
设函数，则，
令，得．
当变化时，和的变化情况如下：
↘
↗
即的单调增区间为；单调减区间为．
所以的最小值. ………………11分
因为 ，
所以，
所以对于任意，，
因此方程无实数解．
所以当时，函数不存在零点.
综上，函数有且仅有一个零点. ………………13分
19．（本小题满分14分）
（Ⅰ）解：抛物线的焦点为. ……………… 1分
由题意，得直线的方程为， ……………… 2分
令 ，得，即直线与y轴相交于点. ……………… 3分
因为抛物线的焦点在直线的下方，
所以 ，
解得 . ……………… 5分
（Ⅱ）解：由题意，设，，，
联立方程 消去，得，
由韦达定理，得，所以 . ……………… 7分
同理，得的方程为，. ……………… 8分
对函数求导，得，
所以抛物线在点处的切线斜率为，
所以切线的方程为， 即. ……………… 9分
同理，抛物线在点处的切线的方程为.………………10分
联立两条切线的方程
解得，，
所以点的坐标为. ………………11分
因此点在定直线上. ………………12分
因为点到直线的距离，
所以，当且仅当点时等号成立． ………………13分
由，得，验证知符合题意.
所以当时，有最小值. ………………14分
20．（本小题满分13分）
（Ⅰ）解：由等比数列的，，
得，，，且当时，. ……………… 1分
所以，，，且当时，. ……………… 2分
即 ……………… 3分
（Ⅱ）证明：因为 ，
所以 ，. ……………… 4分
因为 ，
所以 ，. ……………… 5分
由 ，得 . ……………… 6分
因为 ，
所以 ，
所以 ，即 . ……………… 8分
（Ⅲ）证明：（充分性）因为 ，，
所以 ，
所以 对一切正整数n都成立.
因为 ，，
所以 . ……………… 9分
（必要性）因为对于任意的，，
当时，由，得；
当时，由，，得.
所以对一切正整数n都有.
由 ，，得对一切正整数n都有， ………………10分
所以公比为正有理数. ………………11分
假设 ，令，其中，且与的最大公约数为1.
因为是一个有限整数，
所以必然存在一个整数，使得能被整除，而不能被整除.
又因为，且与的最大公约数为1.
所以，这与（）矛盾.
所以.
因此，. ……………13分