九年级数学北师大版上册 1.3 正方形的性质和判定 课时练（含答案）

课 时 练
第1单元 正方形的性质与判定
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中正确的是（　　）
A．当AB＝BC时，它是矩形 B．当AC＝BD时，它是菱形
C．当∠ABC＝90°时，它是矩形 D．当AC＝BD时，它是正方形
2．如图，在边长为6的正方形ABCD中，E是边CD的中点，F在BC边上，且∠EAF＝45°，连接EF，则BF的长为（　　）
A．2 B． C．3 D．
3．如图，正方形ABCD的边长为4，点E在AB边上．四边形EFGB也为正方形，设△AFC的面积为S，则（　　）
A．S＝6 B．S＝8
C．S＝10 D．S与BE长度有关
4．如图，在边长为3的正方形ABCD中，∠CDE＝30°，DE⊥CF，则BF的长是（　　）
A．1 B． C． D．2
5．如图，点E在正方形ABCD的对角线AC上，且EC＝2AE，直角三角形FEG的两直角边EF、EG分别交BC、DC于点M、N．若正方形ABCD边长为1．则重叠部分四边形EMCN的面积为（　　）
A． B． C． D．
6．如图，将边长为2的正方形OABC放在平面直角坐标系中，O是原点，点A的横坐标为1，则点C的坐标为（　　）
A．（﹣2，1） B．（﹣1，2） C．（，﹣1） D．（﹣，1）
7．如图，在正方形ABCD中，AB＝2，延长AB至点E，使得BE＝1，EF⊥AE，EF＝AE．分别连接AF，CF，M为CF的中点，则AM的长为（　　）
A．2 B．3 C． D．
8．正方形ABCD、正方形BEFG和正方形RKPF的位置如图所示，点G在线段DK上，正方形BEFG的边长为4，则△DEK的面积为（　　）
A．10 B．12 C．14 D．16
9．如图，正方形ABCD的对角线AC是菱形AEFC的一边，则∠FAB等于（　　）
A．135° B．45° C．22.5° D．30°
10．如图，正方形ABCO和正方形DEFO的顶点A，E，O在同一直线l上，且EF＝2，AB＝6，给出下列结论：
①AE＝10，
②∠COD＝45°，
③△COF的面积S△COF＝6，
④CF＝BD＝2，其中正确的是（　　）
A．①②③ B．②③④ C．①②④ D．①③④
11．如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连接DF交BE的延长线于点H，连接OH交DC于点G，连接HC．则以下四个结论中：①OH∥BF，②GH＝BC，③OD＝BF，④∠CHF＝45°．正确结论的个数为（　　）
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
12．如图，已知正方形ABCD的边长为4，P是对角线BD上一点，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F，连接AP，EF．给出下列结论：①PD＝EC；②四边形PECF的周长为8；③△APD一定是等腰三角形；④AP＝EF；⑤EF的最小值为2；⑥AP⊥EF．其中正确结论的序号为（　　）
A．①②④⑤⑥ B．①②④⑤ C．②④⑤ D．②④⑤⑥
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．如图，点P是正方形ABCD内的一点，且PA＝1，PB＝PD＝，则∠APB的度数为　 　．
14．如图，在正方形ABCD中，E、F分别是边BC、CD上的点，∠EAF＝45°，△ECF的周长为8，则正方形ABCD的面积为 　 　．
15．已知在正方形ABCD中，AC＝6，点P从点A出发，沿AC方向以每秒个单位的速度向终点C运动，同时，点Q从点C出发，沿CB方向以每秒1个单位的速度向终点B运动，设点Q运动的时间为t（t＞0），当△PQB为等腰三角形时，t的值为　 　．
16．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，以AC为一边作正方形ACDE，过点D作DF⊥BC交直线BC于点F，则BF的长为 　 　．
17．如图，在边长为4的正方形ABCD中，点E、F分别是边BC、CD上的动点．且BE＝CF，连接BF、DE，则BF+DE的最小值为 　 　．
18．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，以斜边AB为边向外作正方形ABDE，且正方形对角线交于点O，连接OC，已知AC＝3，OC＝6，则另一直角边BC的长为　 　．
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．如图，在正方形ABCD中，P是对角线BD上的一点，点E在AD的延长线上，且∠PAE＝∠E，PE交CD于点F．
（1）求证：PC＝PE；
（2）求∠CPE的度数．
20．如图，正方形ABCD中，点G是CD边上的一点（点G不与点C，点D重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，联结DE交BG的延长线于点H．
（1）求证：BH⊥DE；
（2）若正方形ABCD的边长为2，当点H为DE中点时，求CG的长．
21．（1）如图1，在正方形ABCD中，点E，F分别在边BC，CD上，AE，BF交于点O，∠AOF＝90°．求证：BE＝CF．
（2）如图2，在正方形ABCD中，点E，H，F，G分别在边AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于点O，∠FOH＝90°，EF＝4．求GH的长．
22．如图，正方形ABCD的边长为2．以对角线BD为边作菱形BEFD．点C，E，F在同一直线上，求CE的长．
23．如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．
（1）求证：△EAB≌△GAD；
（2）若AB＝3，AG＝3，求EB的长．
24．如图，已知四边形ABCD为正方形，AB＝，点E为对角线AC上一动点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC于点F，以DE、EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．
（1）求证：矩形DEFG是正方形；
（2）探究：①CE与CG有怎样的位置关系？请说明理由．
②CE+CG的值为　 　．
参考答案
一．选择题（共12小题，满分48分）
1．C
2．A
3．B
4．C
5．D
6．D
7．D
8．D
9．C
10．A
11．B
12．A
二．填空题（共6小题，满分24分）
13．105°
14．16
15．或
16．2或10
17．4．
18．9
三．解答题（共6小题，满分48分）
19．（1）证明：在正方形ABCD中，AD＝DC，∠ADP＝∠CDP＝45°，
在△ADP和△CDP中
，
∴△ADP≌△CDP（SAS），
∴PA＝PC，
∵∠PAE＝∠E，
∴PA＝PE，
∴PC＝PE；
（2）∵在正方形ABCD中，∠ADC＝90°，
∴∠EDF＝90°，
由（1）知，△ADP≌△CDP，
∴∠DAP＝∠DCP，
∵∠DAP＝∠E，
∴∠DCP＝∠E，
∵∠CFP＝∠EFD（对顶角相等），
∴180°﹣∠PFC﹣∠PCF＝180°﹣∠DFE﹣∠E，
即∠CPF＝∠EDF＝90°．
20．证明：（1）∵正方形ABCD，
∴∠BCD＝90°，BC＝CD，
同理：CG＝CE，
∠GCE＝90°，
∴∠BCD＝∠GCE＝90°，
，
∴△BCG≌△DCE（SAS），
∴∠GBC＝∠CDE，
在Rt△DCE中，∠CDE+∠CED＝90°，
∴∠GBC+∠BEH＝90°，
∴∠BHE＝180°﹣（∠GBC+∠BEH）＝90°，
∴BH⊥DE；
（2）连接BD，
∵点H为DE中点，BH⊥DE，
∴BH为DE的垂直平分线，
∴BE＝BD，
∵BC＝CD＝2，
∴BD＝，
∴BE＝BD＝2，
∵CE＝BE﹣BC＝2﹣2，
∴CG＝CE＝2﹣2．
21．（1）证明：∵正方形ABCD中，
∴AB＝BC，
∠ABE＝∠BCF＝90°，
∵∠AOF＝90°，∠AOB＝90°，
∴∠BAE+∠OBA＝90°，
又∵∠FBC+∠OBA＝90°，
∴∠BAE＝∠CBF（同角的余角相等），
∴△ABE≌△BCF（ASA）．
∴BE＝CF；
（2）解：如图，过点A作AM∥GH交BC于M，
过点B作BN∥EF交CD于N，AM与BN交于点O′，
则四边形AMHG和四边形BNFE均为平行四边形，
∴EF＝BN，GH＝AM，
∵∠FOH＝90°，AM∥GH，EF∥BN，
∴∠NO′A＝90°，
故由（1）得，△ABM≌△BCN，∴AM＝BN，
∴GH＝EF＝4；
22．解：过点E作EG⊥BC，交BC的延长线于点G．
∵BD∥EF，
∴∠ECG＝∠DBC＝45°，
∴△ECG是等腰直角三角形，
∴EG＝CG，
设EG＝x，则BG＝2+x，
在Rt△BEG中，BE2＝BG2+EG2，
即（2）2＝（2+x）2+x2，
即x2+2x﹣2＝0，
解得：x＝﹣1或x＝﹣﹣1（舍去），
∴EG＝﹣1，
∴CE＝EG＝﹣．
23．（1）证明：
∵四边形ABCD，AGFE是正方形，
∴AB＝AD，AE＝AG，∠DAB＝∠EAG，
∴∠EAB＝∠GAD，
在△AEB和△AGD中，
，
∴△EAB≌△GAD（SAS）；
（2）∵△EAB≌△GAD，
∴EB＝GD，
∵四边形ABCD是正方形，AB＝，
∴BD⊥AC，AC＝BD＝AB＝6，
∴∠DOG＝90°，OA＝OD＝BD＝3，
∵AG＝3，
∴OG＝OA+AG＝6，
∴GD＝，
∴EB＝．
24．解：（1）如图，作EM⊥BC于M，EN⊥CD于N，
∴∠MEN＝90°，
∵点E是正方形ABCD对角线上的点，
∴EM＝EN，
∵∠DEF＝90°，
∴∠DEN＝∠MEF＝90°﹣∠FEN，
∵∠DNE＝∠FME＝90°，
在△DEN和△FEM中，
，
∴△DEN≌△FEM（ASA），
∴EF＝DE，
∵四边形DEFG是矩形，
∴矩形DEFG是正方形；
（2）①CE⊥CG，理由如下：
∵正方形DEFG和正方形ABCD，
∴DE＝DG，AD＝DC，
∵∠CDG+∠CDE＝∠ADE+∠CDE＝90°，
∴∠CDG＝∠ADE，
在△ADE和△CDG中，
，
∴△ADE≌△CDG（SAS），
∴∠CDA＝∠DCG，
∵∠ACD+∠CAD+∠ADC＝180°，∠ADC＝90°，
∴∠ACG＝∠ACD+∠DCG＝∠ACD+∠CAD＝90°，
∴CE⊥CG；
②由①知，△ADE≌△CDG，
∴AE＝CG，
∴CE+CG＝CE+AE＝AC＝AB＝×＝2，
故答案为：2．
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