九年级数学北师大版上册2.5 一元二次方程的根与系数的关系 课时练（含答案）

课 时 练
第2单元 一元二次方程的根与系数的关系
一．选择题
1．若关于x的方程x2﹣5x+a＝0有一个根是2，则另一个根是（　　）
A．6 B．3 C．﹣3 D．﹣7
2．已知关于x的一元二次方程ax2﹣4x﹣2＝0有实数根，则a的取值范围是（　　）
A．a≥﹣2 B．a＞﹣2 C．a≥﹣2且a≠0 D．a＞﹣2且a≠0
3．关于x的一元二次方程x2+mx﹣1＝0的根的情况为（　　）
A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根
C．没有实数根 D．不能确定
4．已知2+是方程x2﹣4x+c＝0的一个根，则方程的另一个根和c的值分别为（　　）
A．﹣6，﹣1 B．2﹣，﹣1 C．2﹣，1 D．﹣6，1
5．已知关于x的一元二次方程x2﹣（m+n）x+mn+3＝0（m＜n）有两个不相等的实数根a，b（a＜b），则实数m，n，a，b的大小关系可能是（　　）
A．m＜a＜b＜n B．m＜a＜n＜b C．a＜m＜n＜b D．a＜m＜b＜n
6．等腰三角形三边长分别为a，b，3，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣8x﹣1+m＝0的两根，则m的值为（　　）
A．15 B．16 C．15或17 D．16或17
7．关于x的方程x2﹣（m2﹣1）x+2m＝0的两个根互为相反数，则m的值是（　　）
A．m＝±1 B．m＝﹣1 C．m＝1 D．m＝0
8．若关于x的一元二次方程（a﹣6）x2﹣2x+3＝0有实数根，则整数a的最大值是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
9．有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a≠c，下列四个结论中，错误的是（　　）
A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根
B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同
C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根
D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1
10．已知实数m，n满足条件m2﹣7m+2＝0，n2﹣7n+2＝0，则+的值是（　　）
A． B． C．或2 D．或2
二．填空题
11．已知关于x的方程（m﹣1）x2﹣2x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　．
12．一元二次方程2x2﹣bx+c＝0的两根为x1，x2，若x1+x2＝5，x1 x2＝﹣2，则b+c＝　 　．
13．设x1，x2是方程x2+2x﹣2020＝0的两个实数根，则+＝　 　．
14．若三个方程x2﹣4x+2a﹣3＝0，x2﹣6x+3a+12＝0，x2+3x﹣a+＝0中至少有一个方程有实数根，则实数a的取值范围是　 　．
15．如果关于x的方程x2+kx+k2﹣3k+＝0的两个实数根分别为x1，x2，那么的值为　 　．
16．已知关于x的一元二次方程x2﹣4x+m﹣1＝0的实数根x1，x2，满足3x1x2﹣x1﹣x2＞2，则m的取值范围是　 　．
17．已知实数m，n满足3m2+6m﹣7＝0，3n2+6n﹣7＝0，且m≠n，则+＝　 　．
18．已知x1，x2是一元二次方程4x2﹣（3m﹣5）x﹣6m2＝0的两个实数根，且，则m的值为　 　．
三．解答题（共10小题）
19．已知关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+2x+m2﹣9＝0有一个根是x＝0，试确定m的值并求该方程的另一个根．
20．已知关于x的一元二次方程kx2﹣6x+9＝0有两个不相等的实数根．
（1）求k的取值范围；
（2）若方程的两根x1，x2满足x1+x2＝12，请求出方程的两根．
21．已知关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣3m＝0．
（1）若这个一元二次方程有实数根，求m的取值范围．
（2）若方程的两个实数根x1，x2，满足x12+x22+x1x2＝7，求m的值．
22．已知关于x的一元二次方程mx2+4x+4﹣m＝0．
（1）求证：方程总有两个实数根；
（2）若m＝1时，求这个方程的解．
23．已知关于x的一元二次方程（a+c）x2﹣2bx+（a﹣c）＝0，其中a、b、c分别为△ABC三边的长．
（1）如果x＝1是方程的根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（2）如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由；
（3）如果△ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．
24．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣2＝0有两个不相等的实数根x1，x2若x12+x22＝11，求m的值．
25．若m、n是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，求代数式：m2+n2﹣2m﹣2n+2020的值．
26．已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）是否存在实数k，使得等式+＝k﹣2成立？如果存在，请求出k的值；如果不存在，请说明理由．
参考答案
一．选择题
1．B
2．C
3．A
4．C
5．A
6．D
7．B
8．B
9．D
10．D
二．填空题
11．m＜2且m≠1
12．6
13．
14．a≤或a≥4
15．﹣
16．3＜m≤5
17．﹣
18．1或5
三．解答题
19．解：∵关于x的一元二次方程（m﹣3）x2+2x+m2﹣9＝0有一个根为0，
∴把x＝0代入原方程中得
m2﹣9＝0，
∴m＝±3，
当m＝3时，m﹣3＝0，
∴m＝﹣3，
原方程变为﹣6x2+2x＝0，
∴x＝0或x＝，
∴方程的另一根为x＝．
20．解：（1）由题意得，b2﹣4ac＞0，
即（﹣6）2﹣4k 9＞0，
解得：k＜1，
又∵k≠0，
∴k＜1且k≠0；
（2）根据题意得x1+x2＝＝12，
解得k＝，
当k＝时，原方程变形为x2﹣6x+9＝0，
x2﹣12x＝﹣18，
（x﹣6）2＝18，
所以x1＝6+3，x2＝6﹣3．
21．解：（1）∵关于x的一元二次方程x2﹣（2m+1）x+m2﹣3m＝0有实数根，
∴b2﹣4ac＝（2m+1）2﹣4（m2﹣3m）＝16m+1≥0，
解得：m≥﹣，
即m的取值范围是m≥﹣；
（2）∵x1+x2＝2m+1，x1x2＝m2﹣3m，
∴x12+x22+x1x2＝（x1+x2）2﹣2x1x2+x1x2＝（2m+1）2﹣（m2﹣3m）＝3m2+7m+1，
∵x12+x22+x1x2＝7，
∴3m2+7m+1＝7，即3m2+7m﹣6＝0，
解得m＝﹣3或m＝．
∵m≥﹣；
∴m＝．
故m的值为．
22．解：（1）∵Δ＝42﹣4m（4﹣m）＝16﹣16m+4m2＝4（m﹣2）2≥0，
∴方程总有两个实数根；
（2）当m＝1时，方程化为x2+4x+3＝0．
∴（x+1）（x+3）＝0，
∴x+1＝0或x+3＝0，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣3．
23．解：（1）△ABC为等腰三角形，理由如下：
把x＝1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0，则a＝b，所以△ABC为等腰三角形；
（2）△ABC为直角三角形，理由如下：
根据题意得Δ＝（﹣2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2，所以△ABC为直角三角形；
（3）∵△ABC为等边三角形，
∴a＝b＝c，
∴方程化为x2﹣x＝0，解得x1＝0，x2＝1．
24．解：根据题意得Δ＝（2m+1）2﹣4（m2﹣2）＞0，
解得m＞﹣．
故m的取值范围是m＞﹣．
根据题意，得x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1 x2＝（2m+1）2﹣2（m2﹣2）＝11，
整理，得（m+3）（m﹣1）＝0
解得m＝﹣3（舍去），m2＝1，
∴m的值为1．
25．解：∵m、n是一元二次方程x2﹣3x+1＝0的两个根，
∴m+n＝3，mn＝1，
∴m2+n2﹣2m﹣2n+2020＝（m+n）2﹣2mn﹣2（m+n）+2020
＝32﹣2×1﹣2×3+2020
＝2021．
26．解：（1）∵一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4×1×（k+2）≥0，
解得：k≤﹣1，
∴k的取值范围为k≤﹣1．
（2）∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x+k+2＝0的两个实数根，
∴x1+x2＝2，x1x2＝k+2．
∵+＝k﹣2，
∴＝＝k﹣2，
∵k2﹣4＝2，
∴k2﹣6＝0，
解得：k1＝﹣，k2＝，
经检验，k1＝﹣，k2＝均为原方程的解，k2＝不符合题意，舍去，
∴k＝﹣．
∴存在这样的k值，使得等式+＝k﹣2成立，k值为﹣．
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