2021-2022学年安徽省安庆市宜秀区九一六学校八年级（上）期末数学试卷 （含解析）
文档属性
| 名称 | 2021-2022学年安徽省安庆市宜秀区九一六学校八年级（上）期末数学试卷 （含解析） |  | |
| 格式 | doc | ||
| 文件大小 | 331.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-19 09:01:30 | ||
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文档简介
2021-2022学年安徽省安庆市宜秀区九一六学校八年级（上）期末数学试卷
一、单选题（共40分）
1．（4分）如图，在平面直角坐标系中，被手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（4，5） B．（﹣4，5） C．（﹣4，﹣5） D．（4，﹣5）
2．（4分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，8cm B．8cm，8cm，18cm
C．1cm，1cm，1cm D．3cm，4cm，8cm
3．（4分）一次函数y＝﹣3x+5的图象经过（ ）象限．
A．一、二、三 B．一、三、四 C．二、三、四 D．一、二、四
4．（4分）如图，直线y＝kx+b与坐标轴的两交点分别为A（2，0）和B（0，﹣3），则不等式kx+b+3≤0的解集为（ ）
A．x≤0 B．x≥0 C．x≥2 D．x≤2
5．（4分）如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B＝65°，则∠BDF等于（ ）
A．65° B．50° C．60° D．57.5°
6．（4分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．﹣2是4的一个平方根
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．的值为8
D．若a＞b，则﹣a＞﹣b
7．（4分）若点P（m+1，m﹣2）在x轴上，则点P的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（3，0） C．（0，﹣3） D．（0，﹣1）
8．（4分）下列图形是轴对称图形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（4分）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，AE＝FD，则图中的全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
10．（4分）在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．请指出具有这种性质的点P的个数（ ）
A．1 B．7 C．10 D．15
二、填空题（共20分）
11．（5分）如图，AC∥BD，∠CAB，∠DBA的平分线交于点P，则∠P的大小是 ．
12．（5分）如图：△ABE≌△ACD，AB＝8cm，AD＝5cm，∠A＝60°，∠B＝40°，则AE＝ cm，∠C＝ 度．
13．（5分）一次函数y＝（k﹣2）x+3﹣k的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是
14．（5分）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，当|BC﹣AC|最大时，点C的坐标是 ．
三、解答题（共90分）
15．（8分）已知正比例函数，y的值随x的值减小而减小，求m的值．
16．（8分）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．
17．（8分）已知y﹣2和x成正比例，且当x＝1时，当y＝4．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点P（3，m）在这个函数图象上，求m的值．
18．（8分）将一副三角尺按如图所示方式放置．然后过点C作CF平分∠DCE．交DE于点F．
（1）CF与AB平行吗？试说明理由；
（2）求∠EFC的度数．
19．（10分）在三角形ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．
求证：点D在∠A的平分线上．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx﹣1与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线l2：y＝x+1与y轴交于点D．直线l1和直线l2相交于点A，已知A点纵坐标为2．
（1）求点A的横坐标及k的值．
（2）点M在直线l2上，MN∥y轴，交x轴于点N，若MN＝2BD，求点M的坐标．
21．（12分）某剧院举行新年专场音乐会，成人票每张40元，学生票每张10元，剧院制定了两种优惠方案，且每个团体购票时只能选择其中一种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与x（x≥4）名学生去观赏这次音乐会，设用方案1和方案2付款的总金额分别为y1（元）和y2（元）．
（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）当学生人数为20名时，请通过计算说明哪种方案更优惠；
（3）请通过计算说明：当学生人数为多少时，选择两种方案一样优惠？
22．（12分）如图，OC平分∠MON，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，连接AB，AB与OP交于点E．
（1）求证：△OPA≌△OPB；
（2）若AB＝6，求AE的长．
23．（14分）如图，AC∥BD，BC平分∠ABD，设∠ACB为α，点E是射线BC上的一个动点．
（1）若α＝30°时，且∠BAE＝∠CAE，求∠CAE的度数；
（2）若点E运动到l1上方，且满足∠BAE＝100°，∠BAE：∠CAE＝5：1，求a的值；
（3）若∠BAE：∠CAE＝n（n＞1），求∠CAE的度数（用含n和α的代数式表示）．
2021-2022学年安徽省安庆市宜秀区九一六学校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（共40分）
1．（4分）如图，在平面直角坐标系中，被手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（4，5） B．（﹣4，5） C．（﹣4，﹣5） D．（4，﹣5）
【分析】根据点在第三象限点的坐标特点可直接解答．
【解答】解：∵小手的位置是在第三象限，
∴小手盖住的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，
∴结合选项目这个点是（﹣4，﹣5）．
故选：C．
2．（4分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，8cm B．8cm，8cm，18cm
C．1cm，1cm，1cm D．3cm，4cm，8cm
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：A、∵3+5＝8，
∴长度为3cm，5cm，8cm的三条线段不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、∵8+8＜18，
∴长度为8cm，8cm，18cm的三条线段不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵1+1＞1，
∴长度为1cm，1cm，1cm的三条线段能组成三角形，故本选项符合题意；
D、∵3+4＜8，
∴长度为3cm，4cm，8cm的三条线段不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．（4分）一次函数y＝﹣3x+5的图象经过（ ）象限．
A．一、二、三 B．一、三、四 C．二、三、四 D．一、二、四
【分析】一次项系数k＝﹣3＜0，b＝5＞0，则图象经过一、二、四象限．
【解答】解：∵﹣3＜0，5＞0，
∴图象经过一、二、四象限．
故选：D．
4．（4分）如图，直线y＝kx+b与坐标轴的两交点分别为A（2，0）和B（0，﹣3），则不等式kx+b+3≤0的解集为（ ）
A．x≤0 B．x≥0 C．x≥2 D．x≤2
【分析】从图象上知，直线y＝kx+b的函数值y随x的增大而增大，与y轴的交点为B（0，﹣3），即当x＝0时，y＝﹣3，由图象可看出，不等式kx+b+3≤0的解集是x≤0．
【解答】解：由kx+b+3≤0得kx+b≤﹣3，
直线y＝kx+b与y轴的交点为B（0，﹣3），
即当x＝0时，y＝﹣3，
由图象可看出，不等式kx+b+3≤0的解集是x≤0．
故选：A．
5．（4分）如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B＝65°，则∠BDF等于（ ）
A．65° B．50° C．60° D．57.5°
【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得AD＝DF，根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．
【解答】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，
∴AD＝DF，
∵D是AB边的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝DF，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠B＝65°，
∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠BFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故选：B．
6．（4分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．﹣2是4的一个平方根
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．的值为8
D．若a＞b，则﹣a＞﹣b
【分析】利用平方根的定义、平行线的性质、立方根的求法及不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、﹣2是4的平方根，正确，是真命题，符合题意；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、的值为4，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：A．
7．（4分）若点P（m+1，m﹣2）在x轴上，则点P的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（3，0） C．（0，﹣3） D．（0，﹣1）
【分析】根据x轴上点的纵坐标等于0，可得m值，根据有理数的加法，可得点P的坐标．
【解答】解：因为点P（m+1，m﹣2）在x轴上，
所以m﹣2＝0，解得m＝2，
当m＝2时，点P的坐标为（3，0），
故选：B．
8．（4分）下列图形是轴对称图形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．
【解答】解：图（1）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（2）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
图（3）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（4）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（5）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．
故轴对称图形有4个．
故选：C．
9．（4分）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，AE＝FD，则图中的全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】分别利用SAS，SAS，SSS来判定△ABE≌△DCF，△BEF≌△CFE，△ABF≌△CDE．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
∵AB＝CD，AE＝FD，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴BE＝CF，∠BEA＝∠CFD，
∴∠BEF＝∠CFE，
∵EF＝FE，
∴△BEF≌△CFE（SAS），
∴BF＝CE，
∵AE＝DF，
∴AE+EF＝DF+EF，
即AF＝DE，
∴△ABF≌△CDE（SSS），
∴全等三角形共有三对．
故选：C．
10．（4分）在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．请指出具有这种性质的点P的个数（ ）
A．1 B．7 C．10 D．15
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作边AB的垂直平分线，在以顶点A、C为圆心，以边长为半径画弧，与垂直平分线相交于3个点，同理可得边BC、AC上也分别有3个点，再加上等边三角形的外心，计算即可求出．
【解答】解：如图，等边三角形AB边的垂直平分线上可作3个点P，
同理：AC、BC上也分别有3个点，另外，△ABC的外心也是满足条件的一个点，
所以，共有3+3+3+1＝10个．
故选：C．
二、填空题（共20分）
11．（5分）如图，AC∥BD，∠CAB，∠DBA的平分线交于点P，则∠P的大小是 90° ．
【分析】先利用角平分线的性质用∠CAB、∠DBA表示出∠PAB、∠ABP，再利用平行线的性质求出∠PAB+∠ABP，最后利用三角形的内角和求出∠P．
【解答】解：∵AP、BP分别是∠CAB，∠DBA的平分线
∴∠PAB＝CAB，∠ABP＝ABD．
∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠DBA＝180°．
∴∠PAB+∠ABP＝90°．
∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝90°．
故答案为：90°．
12．（5分）如图：△ABE≌△ACD，AB＝8cm，AD＝5cm，∠A＝60°，∠B＝40°，则AE＝ 5 cm，∠C＝ 40 度．
【分析】根据全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等即可解决．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，
∴AE＝AD＝5cm；
∠C＝∠B＝40°．
故分别填5，40．
13．（5分）一次函数y＝（k﹣2）x+3﹣k的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是 2＜k＜3
【分析】根据一次函数的性质，构建不等式组即可解决问题；
【解答】解：由题意：，
解得2＜k＜3，
故答案为2＜k＜3
14．（5分）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，当|BC﹣AC|最大时，点C的坐标是 （0，6） ．
【分析】由|BC﹣AC|≤AB，推出当A、B、C三点共线时，|BC﹣AC|的值最大，求出直线AB的解析式即可解决问题；
【解答】解：∵A（1，4），B（3，0），
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6，
∵|BC﹣AC|≤AB，
∴当A、B、C三点共线时，|BC﹣AC|的值最大，
此时C（0，6）
故答案为（0，6）
三、解答题（共90分）
15．（8分）已知正比例函数，y的值随x的值减小而减小，求m的值．
【分析】根据正比例函数的意义，可得答案．
【解答】解：∵y的值随x的值减小而减小，
∴m＞0，
∵正比例函数，
∴m2﹣3＝1，
∴m＝2．
16．（8分）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．
【分析】首先确定A、B、C三点沿y轴正方向平移3个单位后的对应点位置，再连接即可．
【解答】解：如图所示：
A1（﹣3，2），B1（﹣2，﹣1），C1（﹣1，1）．
17．（8分）已知y﹣2和x成正比例，且当x＝1时，当y＝4．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点P（3，m）在这个函数图象上，求m的值．
【分析】（1）根据正比例函数的定义设设y﹣2＝kx（k≠0），然后把x、y的值代入求出k的值，再整理即可得解．
（2）将点P的坐标代入函数解析式进行验证．
【解答】（1）设y﹣2＝kx，
把x＝1，y＝4代入求得k＝2，
∴函数解析式是y＝2x+2；
（2）∵点P（3，m）在这个函数图象上，
∴m＝2×3+2＝8．
18．（8分）将一副三角尺按如图所示方式放置．然后过点C作CF平分∠DCE．交DE于点F．
（1）CF与AB平行吗？试说明理由；
（2）求∠EFC的度数．
【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行进行判定即可；
（2）根据三角形EFC的内角和为180°，求得∠EFC的度数．
【解答】解：（1）CF与AB平行，理由如下：
∵CF平分∠DCE，且∠DCE＝90°，
∴∠ECF＝45°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝∠ECF，
∴CF∥AB；
（2）在△FCE中，
∵∠FCE+∠E+∠EFC＝180°，
∴∠EFC＝180°﹣∠FCE﹣∠E，
＝180°﹣45°﹣30°
＝105°．
19．（10分）在三角形ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．
求证：点D在∠A的平分线上．
【分析】如图，连接AD．证明Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），推出DE＝DF即可解决问题．
【解答】证明：如图，连接AD．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵DB＝DC，BE＝CF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx﹣1与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线l2：y＝x+1与y轴交于点D．直线l1和直线l2相交于点A，已知A点纵坐标为2．
（1）求点A的横坐标及k的值．
（2）点M在直线l2上，MN∥y轴，交x轴于点N，若MN＝2BD，求点M的坐标．
【分析】（1）点A的纵坐标为2，由直线l2：y＝x+1得点A的横坐标，将点A代入y＝kx﹣1，即可求解；
（2）由已知条件得出M、N两点的纵坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
【解答】解：（1）∵直线l1和直线l2相交于点A，A点纵坐标为2，
∴x+1＝2，解得x＝1，
∴A（1，2），
代入y＝kx﹣1得，
∴2＝k﹣1，解得k＝3，
∴A（1，2），k＝3；
（2）∵k＝3，
∴直线l1：y＝3x﹣1，
直线l1：y＝3x﹣1和直线l2：y＝x+1中，令x＝0，则y＝﹣1与y＝1，
∴B（0，﹣1），D（0，1），
∴BD＝2，
设M（a，a+1），由MN∥y轴，得N（a，0），
MN＝|a+1|＝2BD＝4，
解得a＝3或a＝﹣5，
∴M（3，4）或M（﹣5，﹣4）．
21．（12分）某剧院举行新年专场音乐会，成人票每张40元，学生票每张10元，剧院制定了两种优惠方案，且每个团体购票时只能选择其中一种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与x（x≥4）名学生去观赏这次音乐会，设用方案1和方案2付款的总金额分别为y1（元）和y2（元）．
（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）当学生人数为20名时，请通过计算说明哪种方案更优惠；
（3）请通过计算说明：当学生人数为多少时，选择两种方案一样优惠？
【分析】（1）根据题意，可以写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）把x＝20分别代入y1，y2中，求出两种方案的付款金额，比较即可得出；
（3）根据题意，可以得到相应的方程，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，
y1＝4×40+10（x﹣4）＝10x+120，
y2＝（4×40+10x）×90%＝9x+144；
（2）当x＝20时，y1＝10×20+120＝320，
y2＝9×20+144＝324；
∵320元＜324元，
∴当x＝20时，方案一更优惠；
（3）令10x+120＝9x+144，得x＝24，
答：当学生为24人时，两种方案一样优惠．
22．（12分）如图，OC平分∠MON，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，连接AB，AB与OP交于点E．
（1）求证：△OPA≌△OPB；
（2）若AB＝6，求AE的长．
【分析】（1）依据PA⊥OM，PB⊥ON，可得∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB，即可根据HL得到Rt△OPA≌Rt△OPB；
（2）依据△OPA≌△OPB可得∠APE＝∠BPE，再依据PA＝PB，∠APE＝∠BPE，PE＝PE可利用SAS证明△APE≌△BPE，即可得到AE＝BE，进而得出AE＝AB＝3．
【解答】（1）证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON，OC平分∠MON，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB，
在Rt△OPA和Rt△OPB中，
，
∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL）；
（2）解：由（1）知△OPA≌△OPB，
∴∠APE＝∠BPE，
又∵PA＝PB，
在△APE和△BPE中，
，
∴△APE≌△BPE（SAS），
∴AE＝BE，
∴AE＝AB，
∵AB＝6，
∴AE＝3．
23．（14分）如图，AC∥BD，BC平分∠ABD，设∠ACB为α，点E是射线BC上的一个动点．
（1）若α＝30°时，且∠BAE＝∠CAE，求∠CAE的度数；
（2）若点E运动到l1上方，且满足∠BAE＝100°，∠BAE：∠CAE＝5：1，求a的值；
（3）若∠BAE：∠CAE＝n（n＞1），求∠CAE的度数（用含n和α的代数式表示）．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠CBD的度数，再根据角平分线的性质可得ABE的度数，应用三角形内角和计算∠BAC的度数，由已知条件∠BAE＝∠CAE，可计算出∠CAE的度数；
（2）根据题意画出图形，先根据∠BAE：∠CAE＝5：1可计算出∠CAE的度数，由∠BAE＝100°可计算出∠BAC的度数，再根据平行线的性质和角平分线的性质，计算出∠CBD的度数，即可得出结论；
（3）根据题意可分两种情况，
①若点E运动到l1上方，根据平行线的性质由α可计算出∠CBD的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出∠BAC的度数，再∠BAE：∠CAE＝n，∠BAE＝∠BAC+∠CAE，列出等量关系求解即可等处结论；
②若点E运动到l1下方，根据平行线的性质由α可计算出∠CBD的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出∠BAC的度数，再∠BAE：∠CAE＝n，∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE列出等量关系求解即可等处结论．
【解答】解：（1）∵α＝30°，AC∥BD，
∴∠CBD＝30°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠CBD＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABE﹣α＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
又∵∠BAE＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠BAC＝＝60°；
（2）根据题意画图，如图1所示，
∵∠BAE＝100°，∠BAE：∠CAE＝5：1，
∴∠CAE＝20°，
∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝100°﹣20°＝80°，
∵AC∥BD，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAC＝100°，
又∵BC平分∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABD＝×100°＝50°，
∴α＝∠CBD＝50°；
（3）①如图2所示，
∵AC∥BD，
∴∠CBD＝∠ACB＝α，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠CBD＝2α，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣2α，
又∵∠BAE：∠CAE＝n，
∴（∠BAC+∠CAE）：∠CAE＝n，
（180°﹣2α+∠CAE）：∠CAE＝n，
解得∠CAE＝；
②如图3所示，
∵AC∥BD，
∴∠CBD＝∠ACB＝α，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠CBD＝2α，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣2α，
又∵∠BAE：∠CAE＝n，
∴（∠BAC﹣∠CAE）：∠CAE＝n，
（180°﹣2α﹣∠CAE）：∠CAE＝n，
解得∠CAE＝．
综上∠CAE的度数为或．
一、单选题（共40分）
1．（4分）如图，在平面直角坐标系中，被手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（4，5） B．（﹣4，5） C．（﹣4，﹣5） D．（4，﹣5）
2．（4分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，8cm B．8cm，8cm，18cm
C．1cm，1cm，1cm D．3cm，4cm，8cm
3．（4分）一次函数y＝﹣3x+5的图象经过（ ）象限．
A．一、二、三 B．一、三、四 C．二、三、四 D．一、二、四
4．（4分）如图，直线y＝kx+b与坐标轴的两交点分别为A（2，0）和B（0，﹣3），则不等式kx+b+3≤0的解集为（ ）
A．x≤0 B．x≥0 C．x≥2 D．x≤2
5．（4分）如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B＝65°，则∠BDF等于（ ）
A．65° B．50° C．60° D．57.5°
6．（4分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．﹣2是4的一个平方根
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．的值为8
D．若a＞b，则﹣a＞﹣b
7．（4分）若点P（m+1，m﹣2）在x轴上，则点P的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（3，0） C．（0，﹣3） D．（0，﹣1）
8．（4分）下列图形是轴对称图形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
9．（4分）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，AE＝FD，则图中的全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
10．（4分）在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．请指出具有这种性质的点P的个数（ ）
A．1 B．7 C．10 D．15
二、填空题（共20分）
11．（5分）如图，AC∥BD，∠CAB，∠DBA的平分线交于点P，则∠P的大小是 ．
12．（5分）如图：△ABE≌△ACD，AB＝8cm，AD＝5cm，∠A＝60°，∠B＝40°，则AE＝ cm，∠C＝ 度．
13．（5分）一次函数y＝（k﹣2）x+3﹣k的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是
14．（5分）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，当|BC﹣AC|最大时，点C的坐标是 ．
三、解答题（共90分）
15．（8分）已知正比例函数，y的值随x的值减小而减小，求m的值．
16．（8分）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．
17．（8分）已知y﹣2和x成正比例，且当x＝1时，当y＝4．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点P（3，m）在这个函数图象上，求m的值．
18．（8分）将一副三角尺按如图所示方式放置．然后过点C作CF平分∠DCE．交DE于点F．
（1）CF与AB平行吗？试说明理由；
（2）求∠EFC的度数．
19．（10分）在三角形ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．
求证：点D在∠A的平分线上．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx﹣1与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线l2：y＝x+1与y轴交于点D．直线l1和直线l2相交于点A，已知A点纵坐标为2．
（1）求点A的横坐标及k的值．
（2）点M在直线l2上，MN∥y轴，交x轴于点N，若MN＝2BD，求点M的坐标．
21．（12分）某剧院举行新年专场音乐会，成人票每张40元，学生票每张10元，剧院制定了两种优惠方案，且每个团体购票时只能选择其中一种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与x（x≥4）名学生去观赏这次音乐会，设用方案1和方案2付款的总金额分别为y1（元）和y2（元）．
（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）当学生人数为20名时，请通过计算说明哪种方案更优惠；
（3）请通过计算说明：当学生人数为多少时，选择两种方案一样优惠？
22．（12分）如图，OC平分∠MON，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，连接AB，AB与OP交于点E．
（1）求证：△OPA≌△OPB；
（2）若AB＝6，求AE的长．
23．（14分）如图，AC∥BD，BC平分∠ABD，设∠ACB为α，点E是射线BC上的一个动点．
（1）若α＝30°时，且∠BAE＝∠CAE，求∠CAE的度数；
（2）若点E运动到l1上方，且满足∠BAE＝100°，∠BAE：∠CAE＝5：1，求a的值；
（3）若∠BAE：∠CAE＝n（n＞1），求∠CAE的度数（用含n和α的代数式表示）．
2021-2022学年安徽省安庆市宜秀区九一六学校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、单选题（共40分）
1．（4分）如图，在平面直角坐标系中，被手盖住的点的坐标可能为（ ）
A．（4，5） B．（﹣4，5） C．（﹣4，﹣5） D．（4，﹣5）
【分析】根据点在第三象限点的坐标特点可直接解答．
【解答】解：∵小手的位置是在第三象限，
∴小手盖住的点的横坐标小于0，纵坐标小于0，
∴结合选项目这个点是（﹣4，﹣5）．
故选：C．
2．（4分）下列长度的三条线段中，能组成三角形的是（ ）
A．3cm，5cm，8cm B．8cm，8cm，18cm
C．1cm，1cm，1cm D．3cm，4cm，8cm
【分析】根据三角形的三边关系判断即可．
【解答】解：A、∵3+5＝8，
∴长度为3cm，5cm，8cm的三条线段不能组成三角形，故本选项不符合题意；
B、∵8+8＜18，
∴长度为8cm，8cm，18cm的三条线段不能组成三角形，故本选项不符合题意；
C、∵1+1＞1，
∴长度为1cm，1cm，1cm的三条线段能组成三角形，故本选项符合题意；
D、∵3+4＜8，
∴长度为3cm，4cm，8cm的三条线段不能组成三角形，故本选项不符合题意；
故选：C．
3．（4分）一次函数y＝﹣3x+5的图象经过（ ）象限．
A．一、二、三 B．一、三、四 C．二、三、四 D．一、二、四
【分析】一次项系数k＝﹣3＜0，b＝5＞0，则图象经过一、二、四象限．
【解答】解：∵﹣3＜0，5＞0，
∴图象经过一、二、四象限．
故选：D．
4．（4分）如图，直线y＝kx+b与坐标轴的两交点分别为A（2，0）和B（0，﹣3），则不等式kx+b+3≤0的解集为（ ）
A．x≤0 B．x≥0 C．x≥2 D．x≤2
【分析】从图象上知，直线y＝kx+b的函数值y随x的增大而增大，与y轴的交点为B（0，﹣3），即当x＝0时，y＝﹣3，由图象可看出，不等式kx+b+3≤0的解集是x≤0．
【解答】解：由kx+b+3≤0得kx+b≤﹣3，
直线y＝kx+b与y轴的交点为B（0，﹣3），
即当x＝0时，y＝﹣3，
由图象可看出，不等式kx+b+3≤0的解集是x≤0．
故选：A．
5．（4分）如图，已知D为△ABC边AB的中点，E在AC上，将△ABC沿着DE折叠，使A点落在BC上的F处．若∠B＝65°，则∠BDF等于（ ）
A．65° B．50° C．60° D．57.5°
【分析】先根据图形翻折不变性的性质可得AD＝DF，根据等边对等角的性质可得∠B＝∠BFD，再根据三角形的内角和定理列式计算即可求解．
【解答】解：∵△DEF是△DEA沿直线DE翻折变换而来，
∴AD＝DF，
∵D是AB边的中点，
∴AD＝BD，
∴BD＝DF，
∴∠B＝∠BFD，
∵∠B＝65°，
∴∠BDF＝180°﹣∠B﹣∠BFD＝180°﹣65°﹣65°＝50°．
故选：B．
6．（4分）下列命题中是真命题的是（ ）
A．﹣2是4的一个平方根
B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等
C．的值为8
D．若a＞b，则﹣a＞﹣b
【分析】利用平方根的定义、平行线的性质、立方根的求法及不等式的性质分别判断后即可确定正确的选项．
【解答】解：A、﹣2是4的平方根，正确，是真命题，符合题意；
B、两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
C、的值为4，故原命题错误，是假命题，不符合题意；
D、若a＞b，则﹣a＜﹣b，故原命题错误，是假命题，不符合题意，
故选：A．
7．（4分）若点P（m+1，m﹣2）在x轴上，则点P的坐标是（ ）
A．（1，0） B．（3，0） C．（0，﹣3） D．（0，﹣1）
【分析】根据x轴上点的纵坐标等于0，可得m值，根据有理数的加法，可得点P的坐标．
【解答】解：因为点P（m+1，m﹣2）在x轴上，
所以m﹣2＝0，解得m＝2，
当m＝2时，点P的坐标为（3，0），
故选：B．
8．（4分）下列图形是轴对称图形的有（ ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【分析】根据轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形．据此对图中的图形进行判断．
【解答】解：图（1）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（2）不是轴对称图形，因为找不到任何这样的一条直线，使它沿这条直线折叠后，直线两旁的部分能够重合，即不满足轴对称图形的定义．不符合题意；
图（3）有二条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（4）有五条对称轴，是轴对称图形，符合题意；
图（5）有一条对称轴，是轴对称图形，符合题意．
故轴对称图形有4个．
故选：C．
9．（4分）如图，已知AB∥CD，AB＝CD，AE＝FD，则图中的全等三角形有（ ）
A．1对 B．2对 C．3对 D．4对
【分析】分别利用SAS，SAS，SSS来判定△ABE≌△DCF，△BEF≌△CFE，△ABF≌△CDE．
【解答】解：∵AB∥CD，
∴∠A＝∠D，
∵AB＝CD，AE＝FD，
∴△ABE≌△DCF（SAS），
∴BE＝CF，∠BEA＝∠CFD，
∴∠BEF＝∠CFE，
∵EF＝FE，
∴△BEF≌△CFE（SAS），
∴BF＝CE，
∵AE＝DF，
∴AE+EF＝DF+EF，
即AF＝DE，
∴△ABF≌△CDE（SSS），
∴全等三角形共有三对．
故选：C．
10．（4分）在等边三角形ABC所在的平面内存在点P，使△PAB、△PBC、△PAC都是等腰三角形．请指出具有这种性质的点P的个数（ ）
A．1 B．7 C．10 D．15
【分析】根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，作边AB的垂直平分线，在以顶点A、C为圆心，以边长为半径画弧，与垂直平分线相交于3个点，同理可得边BC、AC上也分别有3个点，再加上等边三角形的外心，计算即可求出．
【解答】解：如图，等边三角形AB边的垂直平分线上可作3个点P，
同理：AC、BC上也分别有3个点，另外，△ABC的外心也是满足条件的一个点，
所以，共有3+3+3+1＝10个．
故选：C．
二、填空题（共20分）
11．（5分）如图，AC∥BD，∠CAB，∠DBA的平分线交于点P，则∠P的大小是 90° ．
【分析】先利用角平分线的性质用∠CAB、∠DBA表示出∠PAB、∠ABP，再利用平行线的性质求出∠PAB+∠ABP，最后利用三角形的内角和求出∠P．
【解答】解：∵AP、BP分别是∠CAB，∠DBA的平分线
∴∠PAB＝CAB，∠ABP＝ABD．
∵AC∥BD，
∴∠CAB+∠DBA＝180°．
∴∠PAB+∠ABP＝90°．
∴∠P＝180°﹣（∠PAB+∠ABP）＝90°．
故答案为：90°．
12．（5分）如图：△ABE≌△ACD，AB＝8cm，AD＝5cm，∠A＝60°，∠B＝40°，则AE＝ 5 cm，∠C＝ 40 度．
【分析】根据全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等即可解决．
【解答】解：∵△ABE≌△ACD，
∴AE＝AD＝5cm；
∠C＝∠B＝40°．
故分别填5，40．
13．（5分）一次函数y＝（k﹣2）x+3﹣k的图象经过第一、二、三象限，则k的取值范围是 2＜k＜3
【分析】根据一次函数的性质，构建不等式组即可解决问题；
【解答】解：由题意：，
解得2＜k＜3，
故答案为2＜k＜3
14．（5分）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，当|BC﹣AC|最大时，点C的坐标是 （0，6） ．
【分析】由|BC﹣AC|≤AB，推出当A、B、C三点共线时，|BC﹣AC|的值最大，求出直线AB的解析式即可解决问题；
【解答】解：∵A（1，4），B（3，0），
∴直线AB的解析式为y＝﹣2x+6，
∵|BC﹣AC|≤AB，
∴当A、B、C三点共线时，|BC﹣AC|的值最大，
此时C（0，6）
故答案为（0，6）
三、解答题（共90分）
15．（8分）已知正比例函数，y的值随x的值减小而减小，求m的值．
【分析】根据正比例函数的意义，可得答案．
【解答】解：∵y的值随x的值减小而减小，
∴m＞0，
∵正比例函数，
∴m2﹣3＝1，
∴m＝2．
16．（8分）在如图所示的直角坐标系中，每个小方格都是边长为1的正方形，△ABC的顶点均在格点上，点A的坐标是（﹣3，﹣1）．将△ABC沿y轴正方向平移3个单位得到△A1B1C1，画出△A1B1C1，并写出点A1，B1，C1的坐标．
【分析】首先确定A、B、C三点沿y轴正方向平移3个单位后的对应点位置，再连接即可．
【解答】解：如图所示：
A1（﹣3，2），B1（﹣2，﹣1），C1（﹣1，1）．
17．（8分）已知y﹣2和x成正比例，且当x＝1时，当y＝4．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若点P（3，m）在这个函数图象上，求m的值．
【分析】（1）根据正比例函数的定义设设y﹣2＝kx（k≠0），然后把x、y的值代入求出k的值，再整理即可得解．
（2）将点P的坐标代入函数解析式进行验证．
【解答】（1）设y﹣2＝kx，
把x＝1，y＝4代入求得k＝2，
∴函数解析式是y＝2x+2；
（2）∵点P（3，m）在这个函数图象上，
∴m＝2×3+2＝8．
18．（8分）将一副三角尺按如图所示方式放置．然后过点C作CF平分∠DCE．交DE于点F．
（1）CF与AB平行吗？试说明理由；
（2）求∠EFC的度数．
【分析】（1）根据内错角相等，两直线平行进行判定即可；
（2）根据三角形EFC的内角和为180°，求得∠EFC的度数．
【解答】解：（1）CF与AB平行，理由如下：
∵CF平分∠DCE，且∠DCE＝90°，
∴∠ECF＝45°，
∵∠BAC＝45°，
∴∠BAC＝∠ECF，
∴CF∥AB；
（2）在△FCE中，
∵∠FCE+∠E+∠EFC＝180°，
∴∠EFC＝180°﹣∠FCE﹣∠E，
＝180°﹣45°﹣30°
＝105°．
19．（10分）在三角形ABC中，D为BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．
求证：点D在∠A的平分线上．
【分析】如图，连接AD．证明Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），推出DE＝DF即可解决问题．
【解答】证明：如图，连接AD．
∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB＝∠DFC＝90°，
∵DB＝DC，BE＝CF，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL），
∴DE＝DF，
∴AD平分∠BAC．
20．（10分）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y＝kx﹣1与y轴交于点B，与x轴交于点C，直线l2：y＝x+1与y轴交于点D．直线l1和直线l2相交于点A，已知A点纵坐标为2．
（1）求点A的横坐标及k的值．
（2）点M在直线l2上，MN∥y轴，交x轴于点N，若MN＝2BD，求点M的坐标．
【分析】（1）点A的纵坐标为2，由直线l2：y＝x+1得点A的横坐标，将点A代入y＝kx﹣1，即可求解；
（2）由已知条件得出M、N两点的纵坐标，利用两点间距离公式求出M的坐标．
【解答】解：（1）∵直线l1和直线l2相交于点A，A点纵坐标为2，
∴x+1＝2，解得x＝1，
∴A（1，2），
代入y＝kx﹣1得，
∴2＝k﹣1，解得k＝3，
∴A（1，2），k＝3；
（2）∵k＝3，
∴直线l1：y＝3x﹣1，
直线l1：y＝3x﹣1和直线l2：y＝x+1中，令x＝0，则y＝﹣1与y＝1，
∴B（0，﹣1），D（0，1），
∴BD＝2，
设M（a，a+1），由MN∥y轴，得N（a，0），
MN＝|a+1|＝2BD＝4，
解得a＝3或a＝﹣5，
∴M（3，4）或M（﹣5，﹣4）．
21．（12分）某剧院举行新年专场音乐会，成人票每张40元，学生票每张10元，剧院制定了两种优惠方案，且每个团体购票时只能选择其中一种优惠方案，方案1：购买一张成人票赠送一张学生票；方案2：按总价的90%付款．某校有4名老师与x（x≥4）名学生去观赏这次音乐会，设用方案1和方案2付款的总金额分别为y1（元）和y2（元）．
（1）分别求出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）当学生人数为20名时，请通过计算说明哪种方案更优惠；
（3）请通过计算说明：当学生人数为多少时，选择两种方案一样优惠？
【分析】（1）根据题意，可以写出y1、y2与x之间的函数关系式；
（2）把x＝20分别代入y1，y2中，求出两种方案的付款金额，比较即可得出；
（3）根据题意，可以得到相应的方程，即可求解．
【解答】解：（1）由题意可得，
y1＝4×40+10（x﹣4）＝10x+120，
y2＝（4×40+10x）×90%＝9x+144；
（2）当x＝20时，y1＝10×20+120＝320，
y2＝9×20+144＝324；
∵320元＜324元，
∴当x＝20时，方案一更优惠；
（3）令10x+120＝9x+144，得x＝24，
答：当学生为24人时，两种方案一样优惠．
22．（12分）如图，OC平分∠MON，P为OC上一点，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分别为A，B，连接AB，AB与OP交于点E．
（1）求证：△OPA≌△OPB；
（2）若AB＝6，求AE的长．
【分析】（1）依据PA⊥OM，PB⊥ON，可得∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB，即可根据HL得到Rt△OPA≌Rt△OPB；
（2）依据△OPA≌△OPB可得∠APE＝∠BPE，再依据PA＝PB，∠APE＝∠BPE，PE＝PE可利用SAS证明△APE≌△BPE，即可得到AE＝BE，进而得出AE＝AB＝3．
【解答】（1）证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON，OC平分∠MON，
∴∠PAO＝∠PBO＝90°，PA＝PB，
在Rt△OPA和Rt△OPB中，
，
∴Rt△OPA≌Rt△OPB（HL）；
（2）解：由（1）知△OPA≌△OPB，
∴∠APE＝∠BPE，
又∵PA＝PB，
在△APE和△BPE中，
，
∴△APE≌△BPE（SAS），
∴AE＝BE，
∴AE＝AB，
∵AB＝6，
∴AE＝3．
23．（14分）如图，AC∥BD，BC平分∠ABD，设∠ACB为α，点E是射线BC上的一个动点．
（1）若α＝30°时，且∠BAE＝∠CAE，求∠CAE的度数；
（2）若点E运动到l1上方，且满足∠BAE＝100°，∠BAE：∠CAE＝5：1，求a的值；
（3）若∠BAE：∠CAE＝n（n＞1），求∠CAE的度数（用含n和α的代数式表示）．
【分析】（1）根据平行线的性质可得∠CBD的度数，再根据角平分线的性质可得ABE的度数，应用三角形内角和计算∠BAC的度数，由已知条件∠BAE＝∠CAE，可计算出∠CAE的度数；
（2）根据题意画出图形，先根据∠BAE：∠CAE＝5：1可计算出∠CAE的度数，由∠BAE＝100°可计算出∠BAC的度数，再根据平行线的性质和角平分线的性质，计算出∠CBD的度数，即可得出结论；
（3）根据题意可分两种情况，
①若点E运动到l1上方，根据平行线的性质由α可计算出∠CBD的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出∠BAC的度数，再∠BAE：∠CAE＝n，∠BAE＝∠BAC+∠CAE，列出等量关系求解即可等处结论；
②若点E运动到l1下方，根据平行线的性质由α可计算出∠CBD的度数，再根据角平分线的性质和平行线的性质，计算出∠BAC的度数，再∠BAE：∠CAE＝n，∠BAE＝∠BAC﹣∠CAE列出等量关系求解即可等处结论．
【解答】解：（1）∵α＝30°，AC∥BD，
∴∠CBD＝30°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABE＝∠CBD＝30°，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABE﹣α＝180°﹣30°﹣30°＝120°，
又∵∠BAE＝∠CAE，
∴∠CAE＝∠BAC＝＝60°；
（2）根据题意画图，如图1所示，
∵∠BAE＝100°，∠BAE：∠CAE＝5：1，
∴∠CAE＝20°，
∴∠BAC＝∠BAE﹣∠CAE＝100°﹣20°＝80°，
∵AC∥BD，
∴∠ABD＝180°﹣∠BAC＝100°，
又∵BC平分∠ABD，
∴∠CBD＝∠ABD＝×100°＝50°，
∴α＝∠CBD＝50°；
（3）①如图2所示，
∵AC∥BD，
∴∠CBD＝∠ACB＝α，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠CBD＝2α，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣2α，
又∵∠BAE：∠CAE＝n，
∴（∠BAC+∠CAE）：∠CAE＝n，
（180°﹣2α+∠CAE）：∠CAE＝n，
解得∠CAE＝；
②如图3所示，
∵AC∥BD，
∴∠CBD＝∠ACB＝α，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD＝2∠CBD＝2α，
∴∠BAC＝180°﹣∠ABD＝180°﹣2α，
又∵∠BAE：∠CAE＝n，
∴（∠BAC﹣∠CAE）：∠CAE＝n，
（180°﹣2α﹣∠CAE）：∠CAE＝n，
解得∠CAE＝．
综上∠CAE的度数为或．
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