2022——2023高一数学期末考试章章通关练——第三章 指数运算与指数函数（含解析）

一、单选题
1．函数(a>0且a≠1)的图象可能为（ ）
A． B． C．D．
2．函数f(x)=的值域是（ ）
A．(-∞，1) B．(0，1)
C．(1，+∞) D．(-∞，1)∪(1，+∞)
3．函数y＝的单调递减区间为（ ）
A．（－∞，0] B．[0，＋∞）
C．（－∞，] D．[，＋∞）
4．设，下列计算中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．果农采摘水果，采摘下来的水果会慢慢失去新鲜度．已知某种水果失去新鲜度h与其采摘后时间t（天）满足的函数关系式为．若采摘后10天，这种水果失去的新鲜度为10%，采摘后20天，这种水果失去的新鲜度为20%．那么采摘下来的这种水果多长时间后失去40%新鲜度（ ）
A．25天 B．30天 C．35天 D．40天
6．下列式子的互化正确的是（ ）
A． B．
C． D．
7．设，，，则，，的大小关系是　　
A． B． C． D．
8．已知，，则a、b、c的大小关系为（　　）
A．a＜b＜c B．c＜a＜b C．b＜a＜c D．c＜b＜a
二、多选题
9．（多选题）已知，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．下列说法正确的是（ ）
A．函数在定义域上是减函数
B．函数有且只有两个零点
C．函数的最小值是1
D．在同一坐标系中函数与的图象关于轴对称
11．下列函数在是增函数的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数，则下列结论中错误的是（ ）
A．的值域为 B．的图象与直线有两个交点
C．是单调函数 D．是偶函数
三、填空题
13．计算：___________．
14．已知函数，则不等式的解集为__________．
15．，则实数a的取值范围_________
16．当有意义时，化简的结果是________．
四、解答题
17．已知函数．
（1）用定义证明函数在(-∞,+∞)上为减函数;
（2）若x∈[1,2]，求函数的值域;
18．已知函数是偶函数，其中e是自然对数的底数.
（1）求a的值；
（2）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围.
19．已知定义在上的奇函数．在时，．
(1)试求的表达式；
(2)若对于上的每一个值，不等式恒成立，求实数的取值范围．
20．已知函数的图像经过点，
（1）求值；
（2）求函数的值域；
21．给出下列三个条件：①周期为1的函数：②奇函数；③偶函数．请逐一判断并筛选出符合题意的一个条件（均需说明理由），补充在下面的问题中，并求解．
已知函数是______．
（1）求的值；
（2）求不等式的解集．
22．（1）已知，计算：；
（2）设，，求的值．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【分析】根据指数函数的单调性分类讨论进行求解即可.
【详解】当时，，
显然当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
函数图象的渐近线为，而，故AB不符合；
对于CD，因为渐近线为，故，故时，，
故选项C符合，D不符合；
当时，，
当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，
函数图象的渐近线为，而，故ABD不符合；
故选：C
2．B
【分析】根据的范围，利用不等式法，即可求得函数值域.
【详解】∵3x+1>1，∴0<<1，
∴函数的值域为(0，1).
故选：.
【点睛】本题考查利用不等式法求指数型复合函数值域的求解，属基础题.
3．B
【分析】由复合函数的单调性即可求解.
【详解】解:函数y＝u在R上为减函数，
欲求函数y＝的单调递减区间，只需求函数u＝x2－2的单调递增区间，
而函数u＝x2－2的单调递增区间为[0，＋∞），
故所求单调递减区间为[0，＋∞）.
故选:B
4．C
【分析】由指数的运算逐一判断即可.
【详解】，，，
故选：C
5．B
【分析】根据给定条件求出及的值，再利用给定公式计算失去40%新鲜度对应的时间作答.
【详解】依题意，，解得，当时，，
即，解得，于是得，解得，
所以采摘下来的这种水果30天后失去40%新鲜度.
故选：B
6．C
【解析】根据根式与分数指数幂的互化可逐项分析.
【详解】根据分数指数幂的运算可知，
，，，，
故选：C
7．B
【分析】先利用指数函数为上的单调减函数，比较、的大小，再利用幂函数在上为增函数，比较、的大小，即可得正确选项；
【详解】解：因为为减函数，故，又在上为增函数，故，
即，即
故选：B
【点睛】本题主要考查根据指数与幂函数单调性判断函数值大小问题，属于基础题.
8．C
【分析】根据给定条件，利用指数函数、幂函数单调性即可比较大小作答.
【详解】函数是定义域R上的单调减函数，且，则，即，
又函数 在上单调递增，且，于是得，即，
所以a、b、c的大小关系为．
故选：C
9．ABD
【分析】根据实数指数幂的运算性质，逐项计算，即可求解.
【详解】由，所以A正确；
由，所以B正确；
由，
因为，，所以，所以C错误；
由，所以D正确．
故选：ABD．
10．CD
【分析】利用熟知函数的图象与性质逐一判断即可.
【详解】对于A，在定义域上不具有单调性，故命题错误；
对于B，函数有三个零点，一个负值，两个正值，故命题错误；
对于C，∵|x|≥0，∴2|x|≥20＝1，∴函数y＝2|x|的最小值是1，故命题正确；
对于D，在同一坐标系中，函数y＝2x与y＝2﹣x的图象关于y轴对称，命题正确.
故选CD
【点睛】本题考查函数的性质，涉及到单调性、最值、对称性、零点等知识点，考查数形结合能力，属于中档题.
11．AB
【分析】利用函数单调性的性质可判断A，C；去绝对值写成分段函数的形式可判断B；由复合函数单调性可判断D，进而可得正确选项.
【详解】对于A：因为定义域为，且为增函数，为减函数，所以在和单调递增，所以在是增函数，故选项A正确；
对于B： ，所以在单调递减，在单调递增，
所以在是增函数，所以选项B正确；
对于C：定义域为，因为为增函数，为减函数，为减函数，所以在为增函数，故选项C不正确；
对于D：是由和复合而成，因为为减函数，在单调递减，在单调递增，所以在单调递增，在单调递减，故选项D不正确；
故选：AB.
12．ACD
【分析】利用指数函数、幂函数的性质画出的图象，由图象逐一判断即可.
【详解】函数的图象如图所示，由图可知的值域为，结论A错误，结论C，D显然错误，的图象与直线有两个交点，结论B正确．
故选：ACD
13．6
【分析】根据根式指数幂的互化，以及指数幂的运算性质，准确运算，即可求解.
【详解】根据根式指数幂的互化，以及指数幂的运算性质，
可得．
故答案为：
14．
【分析】根据给定条件，分段解不等式，再求并集作答.
【详解】当时，，解得，于是得：，
当时，，解得，于是得，
所以的解集为．
故答案为：
15．
【分析】由二次根式的化简求解
【详解】由题设得，
，
所以
所以，．
故答案为：
16．
【分析】根据二次根式的定义和性质进行求解即可.
【详解】由有意义，得．
所以．
故答案为：
17．（1）证明见解析；（2）.
【分析】（1）取任意，根据函数解析式判断的符号即可证明结论.
（2）令，可得，由其单调性即可求的值域.
【详解】（1）取任意，则有，
又，
∴，即.
∴在(-∞,+∞)上为减函数.
（2），则，
∴，易知在上单调递减，
又，，故，即的值域为.
18．（1）；（2）.
【解析】（1）由可求出；
（2）由可得，令，则，，然后利用基本不等式求出右边的最小值即可.
【详解】（1）∵函数是偶函数，
∴，即，
∴.
（2）由题意，知在上恒成立，
则，即，
∴.
令，则.
∴.
∵，当且仅当时等号成立
∴.
19．(1)
(2)
【分析】（1）依题意可得，再设，根据奇偶性及上的函数解析式，计算可得；
（2）依题意参变分离可得，令，，根据指数函数的性质求出函数的单调性，即可求出函数最小值，从而得解；
【详解】（1）解：是定义在上的奇函数，，
因为在时，，
设，则，
则，
故 .
（2）解：由题意，可化为
化简可得，
令，，
因为在定义域上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，
，
故．
20．（1）；（2）.
【分析】（1）函数的图像经过点，得到，即可求解；
（2）由（1）得到，根据函数的单调性，得到，进而求得函数的值域.
【详解】（1）由函数的图像经过点，可得，解得.
（2）由（1）可知，
因为，所以在上单调递减，则在时有最大值，
所以，
因为，所以函数的值域为.
21．（1）；（2）
【分析】（1）若选①：利用周期性，可得，求解即可；
若选②：利用奇函数的性质，可得，求解即可；
若选③：利用偶函数的定义，可得在定义域上恒成立，求解即可．
（2）利用（1）中的结论，得到不等式，然后分两种情况求解即可．
【详解】解：（1）函数，的定义域为，
若选①：是周期为1的函数，则，
即，无解，不合题意；
若选②：为奇函数，则，
即，方程无解，不合题意；
若选③：为偶函数，则在定义域上恒成立，
即，
整理可得，解得，
此时为偶函数；
所以
（2）由，可得，
①，即，解得；
②，即，此时无解．
综上所述，不等式的解集为．
22．（1）4；（2）27
【分析】（1）对两边平方，求出，再对此式两边平方，化简可得，从而代入可求结果，
（2）将等式两边化为同底数幂的形式，然后可得关于的方程组，求出的值，从而可求得的值
【详解】（1）因为，所以，
所以，所以，
所以，即，所以，
所以．
（2）因为，所以，即．
又，所以，即，
由，解得，
故的值为27．
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