2022——2023高一数学期末考试章章通关练——第七章 概率2（含解析）

一、单选题
1．某大街在甲、乙、丙三处设有红绿灯，汽车在这三处遇到绿灯的概率分别是，则汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为（ ）
A． B． C． D．
2．甲 乙两队进行羽毛球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获得冠军，乙队需要再赢两局才能得到冠军，若甲队每局获胜的概率为，则甲队获得冠军的概率为（ ）
A． B． C． D．
3．甲乙两选手进行象棋比赛，已知每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，若采用三局二胜制，则甲最终获胜的概率为（ ）
A．0.36 B．0.352 C．0.288 D．0.648
4．已知样本空间为，x为一个基本事件.对于任意事件A，定义，给出下列结论：①；②对任意事件A，；③如果，那么；④.其中，正确结论的个数是（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．投壶是我国古代的一种娱乐活动，比赛投中得分情况分“有初”，“贯耳”，“散射”，“双耳”，“依竿”五种，其中“有初”算“两筹”，“贯耳”算“四筹”，“散射”算“五筹”，“双耳”算“六筹”.“依竿”算“十筹”，三场比赛得筹数最多者获胜.假设甲投中“有初”的概率为，投中“贯耳”的概率为，投中“散射”的概率为，投中“双耳”的概率为，投中“依竿”的概率为，未投中（0筹）的概率为.乙的投掷水平与甲相同，且甲 乙投掷相互独立.比赛第一场，两人平局；第二场甲投中“有初”，乙投中“双耳”，则三场比赛结束时，甲获胜的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．一个系统如图所示，，，，，，为6个部件，其正常工作的概率都是，且是否正常工作是相互独立的，当，都正常工作或正常工作，或正常工作，或，都正常工作时，系统就能正常工作，则系统正常工作的概率是（ ）
A． B． C． D．
7．一个学习小组有5名同学，其中2名男生，3名女生．从这个小组中任意选出2名同学，则选出的同学中既有男生又有女生的概率为（ ）
A． B． C． D．
8．袋中有红 黄两种颜色的球各一个，这两个球除颜色外完全相同，从中任取一个，有放回地抽取3次，记事件表示“3次抽到的球全是红球”，事件表示“次抽到的球颜色全相同”，事件表示“3次抽到的球颜色不全相同”，则（ ）
A．事件与事件互斥 B．事件与事件不对立
C． D．
二、多选题
9．某人有6把钥匙，其中n把能打开门.如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，设第二次才能打开门的概率为p，则下列结论正确的是（ ）
A．当时， B．当时，
C．当时， D．当时，
10．下列说法不正确的是（ ）
A．若A，B为两个事件，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件
B．若A，B为两个事件，则
C．若事件A，B，C两两互斥，则
D．若事件A，B满足，则A与B相互对立
11．以下结论中正确的有（ ）
A．投掷一枚骰子，事件“出现的点数至少是5点”和“出现的点数至多是2点”是互斥事件
B．投掷一枚硬币，事件“结果为正面向上”和“结果为反面向上”是对立事件
C．5个阉中有一个是中签的阉，甲、乙两人同时各抽一个，事件“甲中签”和“乙中签”是对立事件
D．从两男两女四个医生中随机选出两人组建救援队，抽选结果的基本事件是“一男一女”、“两个男医生”、“两个女医生”，共三种
12．已知事件，，且，，则下列结论正确的是（ ）
A．如果，那么，
B．如果与互斥，那么，
C．如果与相互独立，那么，
D．如果与相互独立，那么，
三、填空题
13．已知甲、乙两人每次射击命中目标的概率分别为和，甲和乙是否命中目标互不影响，且各次射击是否命中目标也互不影响．若按甲、乙、甲、乙……的次序轮流射击，直到有一人击中目标就停止射击，则停止射击时，甲射击了两次的概率是______．
14．某种品牌摄像头的使用寿命（单位：年）服从正态分布，且使用寿命不少于2年的概率为0.8，使用寿命不少于6年的概率为0.2.某校在大门口同时安装了两个该种品牌的摄像头，则在4年内这两个摄像头都能正常工作的概率为___________.
15．若三个原件A，B，C按照如图的方式连接成一个系统，每个原件是否正常工作不受其他元件的影响，当原件A正常工作且B，C中至少有一个正常工作时，系统就正常工作，若原件A，B，C正常工作的概率依次为0.7，0.8，0.9，则这个系统正常工作的概率为______
16．如图所示，高尔顿钉板是一个关于概率的模型，每一黑点表示钉在板上的一颗钉子，它们彼此的距离均相等，上一层的每一颗的水平位置恰好位于下一层的两颗正中间．小球每次下落时，将随机的向两边等概率的落下．当有大量的小球都落下时，最终在钉板下面不同位置收集到小球．现有5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率是______．
四、解答题
17．甲 乙两队举行围棋擂台赛，规则如下：两队各出3人，排定1，2，3号.第一局，双方1号队员出场比赛，负的一方淘汰，该队下一号队员上场比赛.当某队3名队员都被淘汰完，比赛结束，未淘汰完的一方获胜.如图表格中，第m行 第n列的数据是甲队第m号队员能战胜乙队第n号队员的概率.
0.5 0.3 0.2
0.6 0.5 0.3
0.8 0.7 0.6
（1）求甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率；
（2）比较第三局比赛，甲队队员和乙队队员哪个获胜的概率更大一些？
18．数学兴趣小组设计了一份“你最喜欢的支付方式”的调查问卷（每人必选且只能选一种支付方式），在某商场随机调查了部分顾客，并将统计结果绘制成如下所示的两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：
（1）将条形统计图补充完整，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为多少？
（2）若之前统计遗漏了15份问卷，已知这15份问卷都是采用“支付宝”进行支付，问重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况是否相同，并简要说明理由；
（3）在一次购物中，嘉嘉和琪琪随机从“微信，支付宝，银行卡”三种支付方式中选一种方式进行支付，请用画树状图或列表格的方法，求出两人恰好选择同一种支付方式的概率.
19．某单位有8名青年志愿者，其中男青年志愿者5人，记为，女青年志愿者3人，记为.现从这8人中选4人参加某项公益活动.
（1）求男青年志愿者或女青年志愿者被选中的概率；
（2）在男青年志愿者被选中的情况下，求女青年志愿者也被选中的概率.
20．某居民小区有两个相互独立的安全防范系统，简称系统A和B，系统A和系统B在任意时刻发生故障的概率分别为和p．
(1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为，求p的值；
(2)求系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率．
21．进行垃圾分类收集可以减少垃圾处理量和处理设备，降低处理成本，减少土地资源的消耗，具有社会 经济 生态等多方面的效益，是关乎生态文明建设全局的大事.为了普及垃圾分类知识，某学校举行了垃圾分类知识考试，试卷中只有两道题目，已知甲同学答对每题的概率都为，乙同学答对每题的概率都为，且在考试中每人各题答题结果互不影响.已知每题甲，乙同时答对的概率为，恰有一人答对的概率为.
（1）求和的值；
（2）试求两人共答对3道题的概率.
22．某厂接受了一项加工业务，加工出来的产品(单位：件)按标准分为A，B，C，D四个等级.加工业务约定：对于A级品、B级品、C级品，厂家每件分别收取加工费90元，50元，20元；对于D级品，厂家每件要赔偿原料损失费50元.该厂有甲、乙两个分厂可承接加工业务.甲分厂加工成本费为25元/件，乙分厂加工成本费为20元/件.厂家为决定由哪个分厂承接加工业务，在两个分厂各试加工了100件这种产品，并统计了这些产品的等级，整理如下：
甲分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 40 20 20 20
乙分厂产品等级的频数分布表
等级 A B C D
频数 28 17 34 21
（1）分别估计甲、乙两分厂加工出来的一件产品为A级品的概率；
（2）分别求甲、乙两分厂加工出来的100件产品的平均利润，以平均利润为依据，厂家应选哪个分厂承接加工业务
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．D
【分析】把汽车在三处遇两次绿灯的事件M分拆成三个互斥事件的和，再利用互斥事件、对立事件、相互独立事件的概率公式计算得解.
【详解】汽车在甲、乙、丙三处遇绿灯的事件分别记为A，B，C，则，
汽车在三处遇两次绿灯的事件M，则，且，，互斥，而事件A，B，C相互独立，
则，
所以汽车在这三处共遇到两次绿灯的概率为.
故选：D
2．B
【分析】由题设知甲、乙两队获胜的概率分别为、，甲队要获得冠军，则至少在两局内赢一局，利用概率的乘法和加法公式求概率即可.
【详解】由题意知：每局甲队获胜的概率为，乙队获胜的概率为，
∴至少在两局内甲队赢一局，甲队才能获得冠军，
当第一局甲队获胜，其概率为；
当第一局甲队输，第二局甲队赢，其概率为.
∴甲队获得冠军的概率为.
故选：B.
3．D
【分析】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，然后由独立事件和互斥事件的概率公式求解即可
【详解】由题意可得甲最终获胜有两种情况：一是前两局甲获胜，则获胜的概率为
二是前两局甲胜一局，第三局甲获胜，则获胜的概率为，
而这两种情况是互斥的，所以甲最终获胜的概率为，
故选：D
4．D
【分析】根据的定义，利用分类讨论思想进行分析判定.
【详解】∵任意恒成立，任意恒不成立，∴，故①正确；
对任意事件A，，∴，∴成立，故②正确；
如果，当时，，此时或.若，则,，，成立；时，，，，成立；
当时，，，∴，那么成立，∴③正确；
当时，,此时,, 成立；当时，,此时, 成立，故④正确.
综上，正确的结论有4个，
故选：D
5．C
【分析】由题知使三场比赛结束时，甲获胜，第第三局甲、乙获得的筹数可能为：（5,0），（6,0），（10,0），（10,2），（10,4），（10,5），进而根据独立事件的概率求解即可得答案.
【详解】解：根据题意题，要使三场比赛结束时，甲获胜，第第三局甲、乙获得的筹数可能为：（5,0），（6,0），（10,0），（10,2），（10,4），（10,5），
甲、乙对应的投中情况可能为（散射，未投中），（双耳，未投中），（依杆，未投中），（依杆，有初），（依杆，贯耳），（依杆，散射），
所以甲获胜的概率为： .
故选：C
6．A
【分析】并联而成的四个支路，至少有一个支路正常工作系统就正常工作，求出四个支路都不能正常工作的概率，再利用对立事件的概率公式即可得解.
【详解】设“正常工作”为事件，“正常工作”为事件，则
“与中至少有一个不正常工作”为事件，“与中至少有一个不正常工作”为事件，则，
于是得系统不正常工作的事件为，而，，，相互独立，
所以系统正常工作的概率．
故选：A
7．C
【分析】写出5人取2人的所有事件，找出一男同学一女同学的取法，利用古典概型求解.
【详解】5人小组中，设2男生分别为a,b，3名女生分别为A,B,C，
则任意选出2名同学，共有:10个基本事件，
其中选出的同学中既有男生又有女生共有6个基本事件，
所以,
故选：C
8．C
【分析】根据题意，结合互斥事件，对立事件概念以及概率公式依次讨论各选项即可得答案.
【详解】解：对于A，因为3次抽到的球全是红球为3次抽到的球颜色全相同的一种情况，所以事件与事件不互斥，故错误；
对于B，事件与事件不可能同时发生，但一定有一个会发生，所以事件与事件互为对立事件，故错误；
对于C，因为，所以，故正确；
对于D，因为事件与事件C互斥，，所以，所以，故D错误.
故选：C
9．AC
【分析】根据不同的取值，分别计算对应概率求解.
【详解】当时，，选项A正确；
当时，，选项B错误；
当时，，选项C正确；
当时，，选项D错误.
故选：AC
10．BCD
【分析】A. “A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；
B. ,所以该选项错误；
C. 举反例说明不一定成立，所以该选项错误；
D. 举反例说明A与B不对立，所以该选项错误.
【详解】解：A. 若A，B为两个事件，“A与B互斥”则“A与B不一定相互对立”； “A与B相互对立”则“A与B互斥”，则“A与B互斥”是“A与B相互对立”的必要不充分条件，所以该选项正确；
B. 若A，B为两个事件，则,所以该选项错误；
C. 若事件A，B，C两两互斥，则不一定成立，如：掷骰子一次，记向上的点数为1，向上的点数为2，向上的点数为3，事件A，B，C两两互斥，则.所以该选项错误；
D. 抛掷一枚均匀的骰子，所得的点数为偶数的概率是，掷一枚硬币，正面向上的概率是，满足，但是A与B不对立，所以该选项错误.
故选：BCD
11．AB
【分析】A中事件“至少出现5点”和“至多出现2点”是互斥事件，所以该选项正确；
B中事件“结果正面向上”的发生与“结果反面向上”是对立事件．所以该选项正确；
C中事件“甲中签”和“乙中签”是互斥事件但不是对立事件．所以该选项错误；
D中三种事件不能构成基本事件，所以该选项错误.
【详解】A中事件“至少出现5点”和“至多出现2点”不可能同时发生，所以是互斥事件，所以该选项正确；
B中事件“结果正面向上”的发生与“结果反面向上”的发生不可能同时出现，所以是互斥事件，但所有结果只有两种，所以事件“结果正面向上"和“结果反面向上”是对立事件．所以该选项正确；
C中事件“甲中签”和“乙中签”是不可能同时发生，但也可能是“甲，乙两人都不中签”发生，所以事件“甲中签”和“乙中签”是互斥事件但不是对立事件．所以该选项错误；
D中设两男为，，两女为，，则“”，“”，“”，“”，“”，“”为等可能事件，可以组成一个基本事件空间，显然“一男一女”包含“”，“”，“”，“”四种情况，不能构成基本事件．所以该选项错误.
故选：AB
12．BD
【分析】A选项在前提下，计算出，，即可判断；B选项在与互斥前提下，计算出，，即可判断；C、D选项在与相互独立前提下，计算出，， ，，即可判断.
【详解】解：A选项：如果，那么，，故A选项错误；
B选项：如果与互斥，那么，，故B选项正确；
C选项：如果与相互独立，那么，，故C选项错误；
D选项：如果与相互独立，那么，，故D选项正确.
故选：BD.
【点睛】本题考查在包含关系，互斥关系，相互独立的前提下的和事件与积事件的概率，是基础题.
13．##0.0475
【分析】设事件表示“甲射击一次命中目标”，事件表示“乙射击一次命中目标”，分两种情况：
①甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击命中，概率为；②甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中，概率为，由此可求得答案.
【详解】解：设事件表示“甲射击一次命中目标”，事件表示“乙射击一次命中目标”，则，相互独立，停止射击时甲射击了两次包括两种情况：
①甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击命中，
此时的概率为；
②甲、乙第一次射击都未命中，甲第二次射击未命中，乙第二次射击命中，此时的概率为．
故停止射击时，甲射击了两次的概率是．
故答案为：.
14．##0.25
【分析】易得，从而正态分布曲线的对称轴为直线，再利用独立事件的概率求解.
【详解】由题意知，，
∴.
∴正态分布曲线的对称轴为直线.
故，
即每个摄像头在4年内能正常工作的概率为.
∴两个该种品牌的摄像头在4年内都能正常工作的概为.
故答案为：
15．0.686
【分析】根据题意，先求得与至少有一个正常工作的概率，再结合独立事件概率的乘法公式，即可求解.
【详解】由题意，系统正常工作的情况分成两个步骤，A正常工作且B，C至少有一个正常工作的情况，其中正常工作的概率为0.7；正常工作的概率为0.8, 正常工作的概率为0.9，
则与至少有一个正常工作的概率为，
所以这个系统正常工作的概率为：0.7×0.98＝0.686；
故答案为：0.686；
【点睛】本题主要考查了对立事件和相互独立事件的概率的计算，其中解答中熟记相互独立事件的概率的计算公式，结合对立事件的概率计算公式求解是的关键，着重考查分析问题和解答问题的能力，属于基础题.
16．
【分析】先研究一个小球从正上方落下的情况，从而可求出一个小球从正上方落下落到2号位置的概率，进而可求出5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率
【详解】如图所示，先研究一个小球从正上方落下的情况，11，12，13，14指小球第2层到第3层的线路图，以此类推，小球所有的路线情况如下：
01-11-21-31，01-11-21-32，01-11-22-33，01-11-22-34，01-12-23-33，01-12-23-34，01-12-24-35，01-12-24-36，02-14-26-38，02-14-26-37，02-14-25-35，02-14-25-36，02-13-24-36，02-13-24-35，02-13-23-34，02-13-23-33，共16种情况，其中落入2号位置的有4种，
所以每个球落入2号位置的概率为，
所以5个小球从正上方落下，则恰有3个小球落到2号位置的概率为
，
故答案为：
17．（1）；（2）甲队队员获胜的概率更大一些.
【解析】（1）甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰这个事件的发生应是甲队1号输给乙队1号，然后甲队2号上场，三场全胜，由独立事件概率公式计算可得；
（2）第三局比赛甲胜可分为3个互斥事件：甲队1号胜乙队3号，甲队2号胜乙队2号，甲队3号胜乙队1号，分别计算概率后相加可得．然后由对立事件概率得出乙队胜的概率，比较后要得结论．
【详解】解：（1）甲队2号队员把乙队3名队员都淘汰的概率为
（2）第3局比赛甲队队员获胜可分为3个互斥事件
（i）甲队1号胜乙队3号，概率为；
（ii）甲队2号胜乙队2号，概率为；
(iii)甲队3号胜乙队1号，概率为
故第3局甲队队员胜的概率为.
则第3局乙队队员胜的概率为
因为，
故甲队队员获胜的概率更大一些．
【点睛】关键点点睛：本题考查相互独立事件的概率公式和互斥事件的概率公式．解题关键是把事件“第3局比赛甲队队员获胜”分斥成3个互斥事件，然后分别求得概率后易得出结论．
18．（1）条形统计图见解析，；（2）不同，理由见解析；（3）.
【分析】（1）由两幅图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，所占比例为1-15%-30%=55%，可得共调查了多少人，再根据用银行卡、微信支付的百分比可得答案
（2）根据原数据的众数所在的分类为微信，加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝可得答案；
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画出树状图根据古典概型概率计算公式可得答案.
【详解】（1）由条形统计图可知，用现金、支付宝、其他支付共有人数110人，
所占比例为1-15%-30%=55%，所以共调查了人，
所以用银行卡支付的人有人，用微信支付的人有人，
用现金支付所占比例为，所以，在扇形统计图中表示“现金”支付的扇形圆心角的度数为90°，
补全统计图如图所示：
（2）重新统计后的众数所在的分类与之前统计的情况不同，理由如下：原数据的众数所在的分类为微信，而加上遗漏的15份问卷后，数据的众数所在的分类为微信、支付宝.
（3）将微信记为A、支付宝记为B、银行卡记为C，画树状图如下：
∵共有9种等可能的结果，其中两人恰好选择同一种支付方式的有3种，
∴两人恰好选择同一种支付方式的概率为.
19．（1）；（2）.
【解析】（1）其对立事件是和都没被选中，由对立事件概率公式计算可得．
（2）先求出被选中的概率，再求出都被选中的概率，然后由条件概率公式计算可得．
【详解】（1）设“男青年志愿者和女青年志愿者都不被选中”为事件，则，
所以所求概率为.
（2）记“男青年志愿者被选中”为事件，“女青年志愿者被选中”为事件，
则，
所以.
所以在男青年志愿者被选中的情况下，女青年志愿者也被选中的概率为.
【点睛】方法点睛：本题考查对立事件的概率公式，考查条件概率．在一个事件较为复杂，而其对立事件较简单时，常常先求出对立事件的概率，再由对立事件概率公式计算．
20．(1)；
(2)0.972.
【分析】（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，根据对立事件的概率，进而求得p的值；
（2）根据独立重复试验概率公式可求得答案.
(1)
解：（1）设“至少有一个系统不发生故障”为事件C，那么，解得．
(2)
解：设“系统A在3次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件D，
则．
21．（1），；（2）.
【解析】（1）由互斥事件和对立事件的概率公式列方程组可解得；
（2）分别求出两人答对1道的概率，答对两道题的概率，两人共答对3道题，则是一人答对2道题另一人答对1道题，由互斥事件和独立事件概率公式可得结论．
【详解】解：（1）设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，则，.
设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，
则，.
由于二人答题互不影响，且每人各题答题结果互不影响，所以与相互独立，与相互互斥，所以，
.
由题意可得
即解得或
由于，所以，.
（2）设{甲同学答对了道题}，{乙同学答对了道题}，，1，2.
由题意得，，，
，.
设{甲乙二人共答对3道题}，则.
由于和相互独立，与相互互斥，
所以.
所以，甲乙二人共答对3道题的概率为.
【点睛】关键点点睛：本题考查互斥事件与独立事件的概率公式，解题关键是把所求概率事件用互斥事件表示，然后求概率，如设{甲同学答对第一题}，{乙同学答对第一题}，设{甲、乙二人均答对第一题}，{甲、乙二人中恰有一人答对第一题}，则，．同样两人共答对3题分拆成甲答对2题乙答对1题与甲答对1题乙答对2题两个互斥事件．
22．（1）甲分厂加工出来的级品的概率为，乙分厂加工出来的级品的概率为；（2）选甲分厂，理由见解析.
【分析】（1）根据两个频数分布表即可求出；
（2）根据题意分别求出甲乙两厂加工件产品的总利润，即可求出平均利润，由此作出选择．
【详解】（1）由表可知，甲厂加工出来的一件产品为级品的概率为，乙厂加工出来的一件产品为级品的概率为；
（2）甲分厂加工件产品的总利润为元，
所以甲分厂加工件产品的平均利润为元每件；
乙分厂加工件产品的总利润为
元，
所以乙分厂加工件产品的平均利润为元每件．
故厂家选择甲分厂承接加工任务．
【点睛】本题主要考查古典概型的概率公式的应用，以及平均数的求法，并根据平均值作出决策，属于基础题．
答案第1页，共2页
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