2022——2023高一数学期末考试章章通关练——第五章 函数应用2（含解析）

一、单选题
1．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
2．2019年1月3日嫦娥四号探测器成功实现人类历史上首次月球背面软着陆，我国航天事业取得又一重大成就，实现月球背面软着陆需要解决的一个关键技术问题是地面与探测器的通讯联系．为解决这个问题，发射了嫦娥四号中继星“鹊桥”，鹊桥沿着围绕地月拉格朗日点的轨道运行．点是平衡点，位于地月连线的延长线上．设地球质量为M１，月球质量为M２，地月距离为R，点到月球的距离为r，根据牛顿运动定律和万有引力定律，r满足方程：
.
设，由于的值很小，因此在近似计算中，则r的近似值为
A． B．
C． D．
3．对于函数，若在定义域内存在实数，满足，则称为“局部奇函数”.已知在上为“局部奇函数”，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
4．基本再生数R0与世代间隔T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数I(t)随时间t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与R0，T近似满足R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2天 B．1.8天
C．2.5天 D．3.5天
5．玉溪某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元，若每批生产件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元，为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品
A．60件 B．80件 C．100件 D．120件
6．人们用分贝(dB)来划分声音的等级，声音的等级d(x)(单位：dB)与声音强度(单位:)满足d(x)＝9lg.一般两人小声交谈时，声音的等级约为54 dB，在有50人的课堂上讲课时，老师声音的等级约为63 dB，那么老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的（ ）
A．1倍 B．10倍
C．100倍 D．1 000倍
7．对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知三个函数的零点依次为，则的大小关系（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数和的零点所构成的集合分别为M，N，若存在，，使得，则称与互为“零点伴侣”．若函数与互为“零点伴侣”，则实数a的取值不能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．已知函数若关于x的方程有5个不同的实根，则实数a的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
11．已知函数，则（ ）
A．当时，函数的定义域为
B．当时，函数的值域为
C．当时，函数在上单调递减
D．当时，关于x的方程有两个解
12．已知函数，方程有4个不同的实数根，则下列选项正确的为（ ）
A．函数的零点的个数为2
B．实数的取值范围为
C．函数无最值
D．函数在上单调递增
三、填空题
13．已知函数．若存在正实数，使得方程有三个互不相等的实根，，，则的取值范围是__________．
14．已知函数若函数恰有8个零点，则的范围为___________．
15．甲、乙、丙三个物体同时从同一点出发向同一个方向运动，其路程关于时间的函数关系式分别为，，，有以下结论：
① 当时，乙总走在最前面；
② 当时，丙走在最前面；当时，丙走在最后面；
③ 如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲.
其中所有正确结论的序号是___________．
16．已知函数若函数有四个零点，从小到大依次为a，b，c，d，则的取值范围为___________.
四、解答题
17．某公司生产一种产品，每年投入固定成本0.5万元，此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为500件，当出售的这种产品的数量为t(单位：百件)时，销售所得的收入约为(万元)．
（1）若该公司的年产量为x(单位：百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数；
（2）当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？
18．已知函数，k∈R．
(1)若为偶函数，求k的值；
(2)若有且仅有一个零点，求k的取值范围；
(3)求在区间[0,2]上的最大值．
19．近年来，中美贸易摩擦不断，美国对我国华为百般刁难，并拉拢欧美一些国家抵制华为，然而这并没有让华为却步.今年，我国华为某企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机，通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万元，每生产千部手机，需另投入成本万元，且，由市场调研知，每部手机的售价为0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完.
(1)求2020年的利润（万元）关于年产量（千部）的函数关系式（利润=销售额-成本）.
(2)2020年产量为多少时，企业所获利润最大？最大利润是多少.
20．某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗病毒实验．已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量（微克）随着时间（小时）变化的函数关系式近似为．当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能起到有效抗病毒的效果．
(1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？
(2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有效抗病毒的时间为多少小时？
21．某地为践行绿水青山就是金山银山的理念，大力开展植树造林．假设一片森林原来的面积为亩，计划每年种植一些树苗，且森林面积的年增长率相同，当面积是原来的倍时，所用时间是年．
（1）求森林面积的年增长率；
（2）到今年为止，森林面积为原来的倍，则该地已经植树造林多少年？
（3）为使森林面积至少达到亩，至少需要植树造林多少年（精确到整数）？
（参考数据：，）
22．某心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现其注意力指数p与听课时间t之间的关系满足如图所示的曲线．当t∈(0,14]时，曲线是二次函数图象的一部分，当t∈[14,40]时，曲线是函数（且）图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数p大于等于80时听课效果最佳．
(1)试求的函数关系式；
(2)一道数学难题，讲解需要22分钟，问老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完？请说明理由．
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．C
【详解】分析：首先根据g（x）存在2个零点，得到方程有两个解，将其转化为有两个解，即直线与曲线有两个交点，根据题中所给的函数解析式，画出函数的图像（将去掉），再画出直线，并将其上下移动，从图中可以发现，当时，满足与曲线有两个交点，从而求得结果.
详解：画出函数的图像，在y轴右侧的去掉，
再画出直线，之后上下移动，
可以发现当直线过点A时，直线与函数图像有两个交点，
并且向下可以无限移动，都可以保证直线与函数的图像有两个交点，
即方程有两个解，
也就是函数有两个零点，
此时满足，即，故选C.
点睛：该题考查的是有关已知函数零点个数求有关参数的取值范围问题，在求解的过程中，解题的思路是将函数零点个数问题转化为方程解的个数问题，将式子移项变形，转化为两条曲线交点的问题，画出函数的图像以及相应的直线，在直线移动的过程中，利用数形结合思想，求得相应的结果.
2．D
【分析】本题在正确理解题意的基础上，将有关式子代入给定公式，建立的方程，解方程、近似计算．题目所处位置应是“解答题”，但由于题干较长，易使考生“望而生畏”，注重了阅读理解、数学式子的变形及运算求解能力的考查．
【详解】由，得
因为，
所以，
即，
解得，
所以
【点睛】由于本题题干较长，所以，易错点之一就是能否静心读题，正确理解题意；易错点之二是复杂式子的变形出错．
3．B
【分析】由得出（用表示），方程有解，转化为求新函数的取值范围即得参数范围．
【详解】因为，所以，所以，则.因为（当且仅当时，等号成立），所以，即.
故选：B．
4．B
【分析】根据题意可得，设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，根据，解得即可得结果.
【详解】因为，，，所以，所以，
设在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍需要的时间为天，
则，所以，所以，
所以天.
故选：B.
【点睛】本题考查了指数型函数模型的应用，考查了指数式化对数式，属于基础题.
5．B
【解析】确定生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和，可得平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，利用基本不等式，即可求得最值．
【详解】解：根据题意，该生产件产品的生产准备费用与仓储费用之和是
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为 （为正整数）
由基本不等式，得
当且仅当，即时，取得最小值，
时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故选：
【点睛】本题考查函数的构建，考查基本不等式的运用，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案，属于基础题．
6．B
【分析】利用对数运算即可求解.
【详解】设老师上课时声音强度，一般两人小声交谈时声音强度分别为，
根据题意得＝，解得，，解得，所以
因此，老师上课时声音强度约为一般两人小声交谈时声音强度的10倍.
故选: B.
7．D
【分析】函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，所以有解，但方程组无解，然后利用判别式即得.
【详解】因为函数的“不动点”一定是“稳定点”，而函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，即不存在非“不动点”的“稳定点”，
所以有解，但方程组无解，
由，得有解，
所以，解得
由得
两式相减，得，
因为，所以，
消去，得，
因为方程无解或仅有两个相等的实根，
所以，解得，
故a的取值范围是
故选：D.
8．D
【分析】利用函数的单调性及零点存在定理即得.
【详解】∵函数为增函数，又，
∴，
由，得，即，
∵在单调递增，
又，
∴，
∴.
故选：D.
9．AD
【分析】首先确定函数的零点，然后结合新定义的知识得到关于a的等式，分离参数，结合函数的单调性确定实数的取值范围即可.
【详解】因为函数是R上的增函数，且，所以，结合“零点伴侣”的定义得，则，
又函数在区间上存在零点，即方程在区间上存在实数根，
整理得，
令，，所以在区间上单调递减，在上单调递增，
又，，，所以函数的值域为，
所以实数a的取值范围是．
故选：AD．
10．BCD
【分析】换元，将原方程根的个数问题转化二次函数零点的分布问题，结合图象可解.
【详解】令，记的两个零点为，则由的图象可知：方程有5个不同的实根与的图象共有5个交点，且（不妨设）.
则解得.
故选：BCD
11．BCD
【分析】A.由根式函数的定义域求法求解；B.由函数值域的求法求解；C.由 ，分和判断；D. 设，将问题转化为，即有两个解求解判断.
【详解】A. 当时，，由，解得或，所以函数的定义域为，故错误；
B.当时，，定义域为R，当时，，当时，，所以函数的值域为，故正确；
C.当时，，当时，，在上递减，当时，，在上递减，又，所以函数在上单调递减，故正确；
D. 易知，，即为，设，则，即，若方程有两个解则，故正确.
故选：BCD
12．ABC
【分析】根据分段函数图像可以判断ABD，而选项C，结合分段函数的图像性质，分析得到两个不等的实根，最后根据二次方程根的分布求出参数的取值范围即可.
【详解】因为函数，可得函数图像如图：
由图知函数有2个零点，故A选项正确；
函数没有最值，故C选项正确；
函数在上单调递减，在上单调递增，故D选项错误；
由于方程有4个不同的实数根，
令则有4个不同的实数根，
因为恒成立，
设两个不等的实根为，
由韦达定理知：，
则异号，由图可知：，
所以，解得，故B选项正确；
故选：ABC
【点睛】(1)求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f(f(a))的形式时，应从内到外依次求值．
(2)当给出函数值求自变量的值时，先假设所求的值在分段函数定义区间的各段上，然后求出相应自变量的值，切记要代入检验，看所求的自变量的值是否满足相应段自变量的取值范围．
13．
【解析】分离参数可得，做出的函数图象，根据二次函数的对称性求出的值，并求出的范围即可得出答案．
【详解】由可看到，
令，
作出的函数图象如图所示：
有三个不相等的实数根，，，
直线与的图象有三个交点，
设三个交点的横坐标从小到大分别为，，，
由二次函数的对称性可知，
令可得或（舍，
，．
即的取值范围是，
故答案为：．
【点睛】结论点睛：函数零点的几种等价形式：函数的零点函数在轴的交点方程的根函数与的交点.
14．
【解析】设，则，转化为，由有8个零点，转化为方程，有4个不同的实根，即在内有2个不同的实根，利用数形结合法求解.
【详解】画出函数的图像如图所示，
设，由，得．
因为有8个零点，
所以方程有4个不同的实根，
结合的图像可得在内有4个不同的实根．
所以方程必有两个不等的实数根，
即在内有2个不同的实根，
画出函数的图象，如图所示：
结合图像可知，
，故．
【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：
（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；
（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解
15．②③
【分析】根据题意，可知甲、乙、丙三个物体的路程对应的函数模型分别为指数型函数、二次函数、幂函数，当和时，代入计算即可判断①；根据三种函数的变化特点，画出三个函数时的图象，结合图象即可判断②；根据指数函数的增长速度先慢后快的特征，即可判断③；从而可得出结果.
【详解】解：已知甲、乙、丙三个物体的路程关于时间的函数关系式，
分别为，，，
可知它们相对应的函数模型分别为指数型函数、二次函数、幂函数，
当时，，当时，，
可知当时，乙不总是走在最前面，故①不正确；
根据三种函数的变化特点，画出三个函数时的图象，
当时，，则甲、乙、丙三个物体的路程相等，
由图象可知当时，丙走在最前面；当时，丙走在最后面；故②正确；
由于指数函数的增长速度先慢后快，
当运动的时间足够长，最前面的物体一定是按照指数型函数运动的物体，
所以如果它们一直运动下去，最终走在最前面的是甲，故③正确.
故答案为：②③.
16．
【分析】画出图象，根据二次函数的对称性可得，结合对数的运算可得，进而化简原式为，再根据图象分析得，利用基本不等式结合单调性与最值求解即可
【详解】如图，根据题意有，，即，解得，故.又，当时有，故.故，当且仅当，即时取等号.又当时，；当时，，故的取值范围为
故答案为：
17．（1）f(x)＝；（2）475件．
【分析】（1）根据年需求量为500件，由05时，产品只能售出500件和固定成本0.5万元，每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元求解.
（2）根据（1）的结果，分别利用二次函数和一次函数的性质求得值域，再取并集.
【详解】（1）当05时，产品只能售出500件．
所以,
即f(x)＝.
（2）当0所以当x＝4.75(百件)时，f(x)有最大值，
f(x)max＝10.781 25(万元)．
当x>5时，f(x)<12－0.25×5＝10.75(万元)．
故当年产量为475件时，当年所得利润最大．
【点睛】方法点睛：（1）很多实际问题中，变量间的关系不能用一个关系式给出，这时就需要构建分段函数模型，如本题．（2）求函数最值常利用基本函数法，基本不等式法、导数法、函数的单调性等方法．在求分段函数的值域时，应先求每一段上的值域，然后取并集．
18．(1)；
(2)；
(3)当时最大值为；当时最大值为0.
【分析】（1）由为偶函数有，即可求k的值；
（2）由题意有且仅有一个解，显然x＝1是该方程的解．则(x≥1)有且仅有一个等于1的解或无解且(x＜1)无解，从而求得实数k的取值范围；
（3）当x∈[0,2]时求出的分段函数的形式，其最大值只可能是其中之一，再由，可得函数的最大值．
(1)
∵为偶函数，
∴，即，解得k＝0，经检验k＝0符合题意；
(2)
由题意得，方程有且仅有一个解，显然，x＝1已是该方程的解，
当x≥1时，方程化为；当x＜1时，方程化为；
∴(x≥1)有且仅有一个等于1的解或无解且(x＜1)无解，
又x＝1时，k＝2，此时x＝3也是方程的解，不合题意，
∴关于x的方程(x≥1)、(x＜1)均无解，可得k＜2且k≤2，
综上，k≤2，即实数k的取值范围为(∞,2]．
(3)
当x∈[0,2]时，，
∵在 [0,2]上由两段抛物线段组成，且两个抛物线开口均向上，
∴最大值只可能是其中之一，
又，，，显然，
∴当k＜3时，所求最大值为；当k≥3时，所求最大值为．
19．(1)；
(2)2020年产量为100千部时，企业所获得利润最大，最大利润为9000万元.
【分析】（1）根据2020年的利润等于年销售量减去固定成本和另投入成本，分段求出利润关于的解析式；
（2）根据（1）求出利润的函数解析式，分别利用二次函数的性质和基本不等式求得每段的最大值，即可得到结论.
【详解】（1）解：由题意可知，2020年的利润定于年销售额减去固定成本和另投入成本，
当时，
当时，
，
所以.
（2）当时，，
此时函数开口向上的抛物线，且对称轴为，
所以当时，（万元）；
当时，，
因为，
当且仅当即时，等号成立，
即当时，（万元），
综上可得，当时，取得最大值为（万元），
即2020年产量为100千部时，企业获利最大，最大利润为9000万元.
20．(1)小时
(2)小时
【分析】（1）根据，代入第一段解析式中求不等式即可.（2）根据分段函数的函数值要不低于4，分段求解即可.
【详解】（1）设服用1粒药，经过小时能有效抗病毒，
即血液含药量须不低于4微克，可得，
解得，
所以小时后该药能起到有效抗病毒的效果．
（2）设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克；
若，药物浓度，
解得，
若，药物浓度，
化简得，所以；
若，药物浓度，
解得，所以；
综上，
所以这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时．
21．（1）；（2）；（3）.
【解析】（1）设年增长率为，根据题意可得出关于的等式，进而可解得的值，即可得解；
（2）设已植树造林年，根据题意可得出关于的等式，解出的值，即可得解；
（3）设至少需要植树造林年，列出关于的不等式，结合指数与对数的转换关系以及换底公式可求得结果.
【详解】（1）设年增长率为，则，即，解得，
因此，森林面积的年增长率为；
（2）设已植树造林年，则，即，，解得，
因此，该地已经植树造林年；
（3）设至少需要植树造林年，则，可得，
所以，，，
因此，至少需要植树造林年.
【点睛】思路点睛：解函数应用题的一般程序：
第一步：审题——弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系；
第二步：建模——将文字语言转化成数学语言，用数学知识建立相应的数学模型；
第三步：求模——求解数学模型，得到数学结论；
第四步：还原——将用数学方法得到的结论还原为实际问题的意义；
第五步：反思回顾——对于数学模型得到的数学结果，必须验证这个数学解对实际问题的合理性．
22．（1）；（2）能，见解析.
【分析】(1)根据所给的函数图像先求出当t∈(0,14]时的二次函数解析式，再由点，代入函数求出t∈[14,40]时的解析式，用分段函数表达即可.
(2)对分段函数，分别解不等式，求出的取值范围，然后取并集，再计算时间的长度，然后对老师能否经过合理安排在学生听课效果最佳时讲完做出判断.
【详解】解：（1）当t∈(0,14]时，设p＝f(t)＝c(t－12)2＋82(c<0)，
将点(14,81)代入得c＝－，
∴当t∈(0,14]时，p＝f(t)＝－ (t－12)2＋82；
当t∈(14,40]时，将点(14,81)代入y＝loga(t－5)＋83，得a＝.
所以p＝f(t)＝
(2)当t∈(0,14]时，－ (t－12)2＋82≥80，
解得:，
所以；
当t∈(14,40]时，log (t－5)＋83≥80，
解得5综上时学生听课效果最佳.
此时
所以，教师能够合理安排时间讲完题目.
【点睛】本题考查分段函数，函数与方程的思想，用函数解决实际问题的关键是建立数学模型，属于基础题.
答案第1页，共2页
答案第1页，共2页