河北省冀东名校2022-2023学年高三上学期数学期中调研考试试卷

登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
河北省冀东名校2022-2023学年高三上学期数学期中调研考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·河北期中）设集合，，，则（　　）
A． B．
C． D．
2．（2022高三上·河北期中）已知，则z的虚部为（　　）
A．5 B． C． D．
3．（2022高三上·河北期中）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（　　）
A．10 B．09 C．71 D．20
4．（2022高三上·河北期中）若函数的图像关于点对称，则实数（　　）
A．5 B．3 C．6 D．2
5．（2021·江西模拟）已知直线 和 相切，则 的最大值是（　　）
A． B． C． D．1
6．（2022高三上·河北期中）在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且，则的最小值为（　　）
A．5 B． C．4 D．
7．（2021高二下·中山期末）多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：顶点数＋表面数－棱长数＝2.在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯 （结构图如图）是单纯用碳原子组成的稳定分子，具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形.除 外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有 ， ， ， ， ， ， ，等，则 结构含有正六边形的个数为（　　）
A．12 B．24 C．30 D．32
8．（2022高三上·河北期中）函数零点的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
二、多选题
9．若 的展开式中 的系数是 ，则（　　）
A． B．所有项系数之和为1
C．二项式系数之和为 D．常数项为
10．（2022高三上·河北期中）在数列中，若，则称为“和等比数列”．设为数列的前项和，且，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有（　　）
A． B．
C． D．
11．（2022高三上·河北期中）如图，为椭圆：上的动点，过作椭圆的切线交圆：于，，过，作切线交于，则（　　）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的轨迹方程是 D．的轨迹方程是
12．（2022高三上·河北期中）已知C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，
，，E，F分别是PC，PB的中点，平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，则直线PQ与平面AEF所成的角的取值可以为（　　）
A．0° B．15° C．30° D．45°
三、填空题
13．（2022高三上·河北期中）为庆祝冬奥会取得胜利，甲、乙两位同学参加知识竞赛.已知两人答题正确与否相互独立，且各一次正确的概率分别是0.4和0.3，则甲、乙两人各作答一次，至少有一人正确的概率为　 　
14．（2022高三上·河北期中）若，则　 　
15．（2022高三上·河北期中）定义n个正数的“均倒数”为，若各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为，则的值为　 　
16．（2022高三上·河北期中）《益古演段》是我国古代数学家李冶（1192～1279）的一部数学著作.内容主要是已知平面图形的信息，求圆的半径、正方形的边长和周长等等.其中有这样一个问题：如图，已知，点、分别在的两个边上移动，且保持、两点间的距离为，则点、在移动过程中，线段的中点到点的最大距离为　 　．
四、解答题
17．（2022高三上·河北期中）如图所示，在四边形ABCD中，，，
（1）求BC；
（2）若BD为的平分线，试求BD．
18．（2022高三上·河北期中）数列{an}满足：，点在函数的图象上，其中k为常数，且.
（1）若，，成等比数列，求k的值；
（2）当时，求数列的前项的和
19．（2022高三上·河北期中）如图①，在梯形中，，，，，梯形的高为1，M为AD的中点，以BM为折痕将△ABM折起，使点A到达点N的位置，且平面NBM⊥平面BCDM，连接NC，ND，如图②.
（1）证明：平面NMC⊥平面NCD；
（2）求图②中平面NBM与平面NCD夹角的余弦值.
20．（2022高三上·河北期中）为调查某社区居民进行核酸检测的地点，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：
单位：人
性别 核酸检测地点 合计
工作单位 社区
男 10 50 60
女 10 10 20
合计 20 60 80
（1）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为“居民的核酸检测地点与性别有关系”？
（2）将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查的3人以社区为核酸检测地点的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差.
21．（2022高三上·河北期中）已知椭圆，点P为椭圆C上非顶点的动点，点，分别为椭圆C的左、右顶点，过，分别作，，直线，相交于点G，连接OG（O为坐标原点），线段OG与椭圆C交于点Q.若直线OP，OQ的斜率分别为，.
（1）求的值；
（2）求面积的最大值.
22．（2022高三上·河北期中）已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）记函数，若恒成立，试求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】方程的解为或4，故，则，
，
故答案为：D.
【分析】化简集合A，再根据交集、并集的定义进行运算，可得答案.
2．【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】，故其虚部为5，
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简求得z，再根据虚部的定义可得答案.
3．【答案】B
【知识点】简单随机抽样
【解析】【解答】从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，
所以选出来的第4个个体的编号为09，
故答案为：B
【分析】根据随机数表法抽样的定义进行抽取，即可得答案.
4．【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：已知函数的图像关于点对称，
所以，即，
此时的图像显然关于点对称，符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据函数图象的对称性可得，求出a的值.
5．【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据题意，圆 的圆心为 ，半径 ，
若直线 和 相切，则有 ，变形可得 ，
又由 ，变形可得 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最大值是 ，
故答案为：A．
【分析】 根据题意，由直线与圆的位置关系可得，结合基本不等式的性质分析可得答案.
6．【答案】D
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】建立如图所示的坐标系，
则，设，则，且，
故当时，的最小值为，
故答案为：D.
【分析】画出图形，建立坐标系，利用向量的数量积以及二次函数的性质转化求解，即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】设 分子中形状为正五边形和正六边形的面各有 和 个，
， ，
由欧拉公式 可得 即
又由多边形的边数可表示 的棱数，
即 ，即
解得
结构含有正六边形的个数为32
故答案为：D
【分析】 根据题意可知顶点数为84，可求得棱长数为126，结合欧拉公式得到面数为44，列出方程组即可。
8．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；余弦函数的零点与最值
【解析】【解答】，
是上的偶函数，，
①当时，令，得或，
令，得.
在和上单调递增，在上单调递减.
，使得在上有两个零点.
②当时，，
在上没有零点，
由①②及是偶函数可得在上有三个零点.
故答案为：D.
【分析】判断的奇偶性，利用导数求得在上的单调性，由零点存在性定理，判断零点个数，利用放缩法可得当时，，从而判断零点个数，再利用的奇偶性，即可求出答案.
9．【答案】A,B,C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】对A， 的展开式中 项为 ，
所以 ，解得 ，A符合题意；
由A知： ，
令 ，所有项系数之和为 ，B符合题意；
对C，二项式系数之和为 ，C符合题意；
对D， 的常数项为 ，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】首先根据展开式中 的系数是 得到 ，从而判断A符合题意，令 得到所有项系数之和为 ，从而判断B符合题意，根据二项式系数之和为 ，从而判断C符合题意，根据 的常数项为 ，从而判断D不符合题意.
10．【答案】A,C
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【解答】因为，所以，两式相减得，所以，A符合题意，B不符合题意.
，C符合题意.D不符合题意.
故答案为：AC．
【分析】根据题意，由变形可得，两式相减可得，又由，可判断A、B；又由，结合，可判断C、D.
11．【答案】A,D
【知识点】点到直线的距离公式；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】设，则切点弦所在的直线方程为，
又因为为椭圆上的一点，所以切线所在的直线方程为，
所以，即，
所以，因为在椭圆上，所以，即，
所以的轨迹方程是.
因为直线的方程为，所以到直线的距离为，
所以的面积为
，
当且仅当且时，即时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：AD.
【分析】 设，由椭圆的性质及圆的性质求出切点弦所在的直线方程，对比系数可得，由点P在椭圆C1上可得点Q的轨迹方程，由三角形的表面积公式及向量的模、向量的数量积运算可得，由基本不等式即可求得的最大值，从而可求得答案.
12．【答案】B,C
【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】为直径，，
由，分别是，的中点.可得，
又平面平面平面，
又平面，平面平面.
以为原点，所在直线分别为、轴，建立空间直角坐标系，则
，，，
，
可设，平面的一个法向量为，
则，可得，
又，则，
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的取值范围为，即.
故答案为：BC.
【分析】以为原点，所在直线分别为、轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，利用线面夹角公式即可求出直线与平面所成角的取值范围.
13．【答案】0.58
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意，设“甲答题正确”为事件，“乙答题正确”为事件，
则，
设“至少有一人正确”为事件，
，
故答案为：0.58.
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式，求出甲乙俩人各投篮一次，至少有一人命中的概率.
14．【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，
所以，解得，
则
故答案为：.
【分析】 由已知结合诱导公式及两角差的正切公式可先求tana，然后结合二倍角公式及同角基本关系即可求解出答案.
15．【答案】8091
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】由已知可得数列的前项的“均倒数”为
可得，则时，
，
当时，，满足，
.
故答案为： 8091 .
【分析】由已知可得数列的前项的“均倒数”为，可得，利用，当n=1时，a1=S1，即可求出 的值 .
16．【答案】3
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】如图，延长到点，使，
是线段的中点，四边形是平行四边形，，
在中，，
，当且仅当等号成立
在中，，
.
故答案为3.
【分析】根据余弦定理求出BC、AP ，根据基本不等式求得线段的中点到点的最大距离 .
17．【答案】（1）解：由正弦定理得，
∴＝
∴.
（2）解：由，可得，
又，为的平分线，
∴A，B，C，D四点共圆，，
由余弦定理得，即
∴.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理可求出 BC；
（2）在三角形BCD中，利用余弦定理解方程，即可求出BD的值．
18．【答案】（1）解：由可得，，，
所以，，.
又，，成等比数列，，即，
又，故.
（2）解：时，，，，…，
，
.
【知识点】数列的求和；等比数列的性质；数列递推式
【解析】【分析】(1)分别令n= 1， 2， 3，求得a2， a3， a4，再由等比数列的中项性质，解方程可得 k的值；
(2)求得 ，运用等差数列的求和公式，计算可得数列的前项的和 .
19．【答案】（1）证明：如图，在梯形中，过点作于点，连接，
由题意知，.由，可得，
则，
，
又四边形为正方形，.
在四棱锥中，
平面平面，平面平面，平面，平面平面，
且平面，
平面.又平面平面平面.
（2）解：在四棱锥中，以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
可得
平面平面，平面平面，平面，平面是平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为，
，即，
取，则，，
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)在梯形ABCD中，过点C作CH⊥DM于点H，连接CM，证明CM⊥CD，CH⊥MH，推出BM⊥AD，证明MN⊥BM，说明NM⊥平面BCDM，推出NM⊥CD，然后证明CD⊥平面NMC，得到 平面NMC⊥平面NCD；
(2) 以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面NBM的一个法向量，平面NCD的一个法向量利用空间向量的数量积，求解出平面NBM与平面NCD所成锐二面角的余弦值.
20．【答案】（1）解：令假设为H0：居民的核酸检测地点与性别无关系，
根据2×2列联表得，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“居民的核酸检测地点与性别有关系”，此推断认为犯错误的概率不超过0.01.
（2）解：由题意得，X～B，
且，k＝0，1，2，3，
故E（X）＝np＝3×＝，D（X）＝np（1－p）＝3××＝.
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据列联表计算 ，最后得到结论相关，即概率不超过0.01；
（2）由题意得，X～B， 代入期望和方差公式即可求出 X的数学期望和方差.
21．【答案】（1）解：由题知，
设，则，
∵，，，
∴，.∴直线的方程为，直线的方程为
由得
又点P在椭圆C上，∴，∴，
∴，∴.
（2）解：根据（1）可知直线OP的方程为直线OQ的方程为.
由得，解得
根据椭圆的对称性，不妨设，
则，.
由得.
设， ，
由（1）知异号，∴异号，
∴.
∴点Q到直线OP的距离.
.
∵，，当且仅当，即时取“=”.∴△POQ面积的最大值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 设，由题意写出直线， 的方程，求出点G的坐标，从而表示出 ，，进而求出 的值；
(2)设直线OP、OQ的方程，联立方程求出P，Q的坐标，计算点Q到直线 的距离，表示出面积，利用基本不等式求解出 面积的最大值.
22．【答案】（1）解：由题意得函数的定义域为，
若，则，
令，则，
而，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减；
（2）解：若恒成立，
则，
整理得，则，
设，则，
令，则，
整理得，
设，，可知两个函数均过定点，
若，即时，
为的切线，切点为，
①当，即时，，，不在定义域，不合题意；
②当，即时，
在区间，恒有，，
所以在单调递增，，
则，符合题意；
③当，即时，
设零点为，则
所以在上单调递减，在单调递增，
，
因为，
则，
又因为，所以且，与矛盾；
综上所述，实数的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先求出函数 的定域，再求出函数的导数和驻点，进而求出 的单调区间；
（2） 若恒成立， 则 ，设，求导，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，进而求出实数的取值范围.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
河北省冀东名校2022-2023学年高三上学期数学期中调研考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·河北期中）设集合，，，则（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】并集及其运算；交集及其运算
【解析】【解答】方程的解为或4，故，则，
，
故答案为：D.
【分析】化简集合A，再根据交集、并集的定义进行运算，可得答案.
2．（2022高三上·河北期中）已知，则z的虚部为（　　）
A．5 B． C． D．
【答案】A
【知识点】复数代数形式的混合运算
【解析】【解答】，故其虚部为5，
故答案为：A.
【分析】利用复数代数形式的乘法运算化简求得z，再根据虚部的定义可得答案.
3．（2022高三上·河北期中）某工厂利用随机数表对生产的50个零件进行抽样测试，先将50个零件进行编号，编号分别为01，02，…，50，从中抽取5个样本，下面提供随机数表的第1行到第2行：
若从表中第1行第9列开始向右依次读取数据，则得到的第4个样本编号是（　　）
A．10 B．09 C．71 D．20
【答案】B
【知识点】简单随机抽样
【解析】【解答】从随机数表第1行的第9列数字开始由左向右每次连续读取2个数字，删除超出范围及重复的编号，符合条件的编号有14，05，11，09，
所以选出来的第4个个体的编号为09，
故答案为：B
【分析】根据随机数表法抽样的定义进行抽取，即可得答案.
4．（2022高三上·河北期中）若函数的图像关于点对称，则实数（　　）
A．5 B．3 C．6 D．2
【答案】B
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】解：已知函数的图像关于点对称，
所以，即，
此时的图像显然关于点对称，符合题意，
故答案为：B.
【分析】根据函数图象的对称性可得，求出a的值.
5．（2021·江西模拟）已知直线 和 相切，则 的最大值是（　　）
A． B． C． D．1
【答案】A
【知识点】直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：根据题意，圆 的圆心为 ，半径 ，
若直线 和 相切，则有 ，变形可得 ，
又由 ，变形可得 ，当且仅当 时等号成立，
故 的最大值是 ，
故答案为：A．
【分析】 根据题意，由直线与圆的位置关系可得，结合基本不等式的性质分析可得答案.
6．（2022高三上·河北期中）在梯形ABCD中，，，，，若EF在线段AB上运动，且，则的最小值为（　　）
A．5 B． C．4 D．
【答案】D
【知识点】平面向量数量积的运算
【解析】【解答】建立如图所示的坐标系，
则，设，则，且，
故当时，的最小值为，
故答案为：D.
【分析】画出图形，建立坐标系，利用向量的数量积以及二次函数的性质转化求解，即可求出答案.
7．（2021高二下·中山期末）多面体欧拉定理是指对于简单多面体，其各维对象数总满足一定的数量关系，在三维空间中，多面体欧拉定理可表示为：顶点数＋表面数－棱长数＝2.在数学上，富勒烯的结构都是以正五边形和正六边形面组成的凸多面体，例如富勒烯 （结构图如图）是单纯用碳原子组成的稳定分子，具有60个顶点和32个面，其中12个为正五边形，20个为正六边形.除 外具有封闭笼状结构的富勒烯还可能有 ， ， ， ， ， ， ，等，则 结构含有正六边形的个数为（　　）
A．12 B．24 C．30 D．32
【答案】D
【知识点】归纳推理
【解析】【解答】设 分子中形状为正五边形和正六边形的面各有 和 个，
， ，
由欧拉公式 可得 即
又由多边形的边数可表示 的棱数，
即 ，即
解得
结构含有正六边形的个数为32
故答案为：D
【分析】 根据题意可知顶点数为84，可求得棱长数为126，结合欧拉公式得到面数为44，列出方程组即可。
8．（2022高三上·河北期中）函数零点的个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；余弦函数的零点与最值
【解析】【解答】，
是上的偶函数，，
①当时，令，得或，
令，得.
在和上单调递增，在上单调递减.
，使得在上有两个零点.
②当时，，
在上没有零点，
由①②及是偶函数可得在上有三个零点.
故答案为：D.
【分析】判断的奇偶性，利用导数求得在上的单调性，由零点存在性定理，判断零点个数，利用放缩法可得当时，，从而判断零点个数，再利用的奇偶性，即可求出答案.
二、多选题
9．若 的展开式中 的系数是 ，则（　　）
A． B．所有项系数之和为1
C．二项式系数之和为 D．常数项为
【答案】A,B,C
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】对A， 的展开式中 项为 ，
所以 ，解得 ，A符合题意；
由A知： ，
令 ，所有项系数之和为 ，B符合题意；
对C，二项式系数之和为 ，C符合题意；
对D， 的常数项为 ，D不符合题意.
故答案为：ABC
【分析】首先根据展开式中 的系数是 得到 ，从而判断A符合题意，令 得到所有项系数之和为 ，从而判断B符合题意，根据二项式系数之和为 ，从而判断C符合题意，根据 的常数项为 ，从而判断D不符合题意.
10．（2022高三上·河北期中）在数列中，若，则称为“和等比数列”．设为数列的前项和，且，则下列对“和等比数列”的判断中正确的有（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A,C
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【解答】因为，所以，两式相减得，所以，A符合题意，B不符合题意.
，C符合题意.D不符合题意.
故答案为：AC．
【分析】根据题意，由变形可得，两式相减可得，又由，可判断A、B；又由，结合，可判断C、D.
11．（2022高三上·河北期中）如图，为椭圆：上的动点，过作椭圆的切线交圆：于，，过，作切线交于，则（　　）
A．的最大值为 B．的最大值为
C．的轨迹方程是 D．的轨迹方程是
【答案】A,D
【知识点】点到直线的距离公式；圆锥曲线的轨迹问题
【解析】【解答】设，则切点弦所在的直线方程为，
又因为为椭圆上的一点，所以切线所在的直线方程为，
所以，即，
所以，因为在椭圆上，所以，即，
所以的轨迹方程是.
因为直线的方程为，所以到直线的距离为，
所以的面积为
，
当且仅当且时，即时等号成立，
所以的最大值为.
故答案为：AD.
【分析】 设，由椭圆的性质及圆的性质求出切点弦所在的直线方程，对比系数可得，由点P在椭圆C1上可得点Q的轨迹方程，由三角形的表面积公式及向量的模、向量的数量积运算可得，由基本不等式即可求得的最大值，从而可求得答案.
12．（2022高三上·河北期中）已知C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，
，，E，F分别是PC，PB的中点，平面AEF与平面ABC的交线为直线l，点Q为直线l上动点，则直线PQ与平面AEF所成的角的取值可以为（　　）
A．0° B．15° C．30° D．45°
【答案】B,C
【知识点】用空间向量求直线与平面的夹角
【解析】【解答】为直径，，
由，分别是，的中点.可得，
又平面平面平面，
又平面，平面平面.
以为原点，所在直线分别为、轴，建立空间直角坐标系，则
，，，
，
可设，平面的一个法向量为，
则，可得，
又，则，
设直线与平面所成角为，则.
所以直线与平面所成角的取值范围为，即.
故答案为：BC.
【分析】以为原点，所在直线分别为、轴，建立空间直角坐标系，设，求出平面的一个法向量，利用线面夹角公式即可求出直线与平面所成角的取值范围.
三、填空题
13．（2022高三上·河北期中）为庆祝冬奥会取得胜利，甲、乙两位同学参加知识竞赛.已知两人答题正确与否相互独立，且各一次正确的概率分别是0.4和0.3，则甲、乙两人各作答一次，至少有一人正确的概率为　 　
【答案】0.58
【知识点】相互独立事件的概率乘法公式
【解析】【解答】由题意，设“甲答题正确”为事件，“乙答题正确”为事件，
则，
设“至少有一人正确”为事件，
，
故答案为：0.58.
【分析】利用相互独立事件概率乘法公式和对立事件概率计算公式，求出甲乙俩人各投篮一次，至少有一人命中的概率.
14．（2022高三上·河北期中）若，则　 　
【答案】
【知识点】两角和与差的正切公式；二倍角的余弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】因为，
所以，解得，
则
故答案为：.
【分析】 由已知结合诱导公式及两角差的正切公式可先求tana，然后结合二倍角公式及同角基本关系即可求解出答案.
15．（2022高三上·河北期中）定义n个正数的“均倒数”为，若各项均为正数的数列的前n项的“均倒数”为，则的值为　 　
【答案】8091
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】由已知可得数列的前项的“均倒数”为
可得，则时，
，
当时，，满足，
.
故答案为： 8091 .
【分析】由已知可得数列的前项的“均倒数”为，可得，利用，当n=1时，a1=S1，即可求出 的值 .
16．（2022高三上·河北期中）《益古演段》是我国古代数学家李冶（1192～1279）的一部数学著作.内容主要是已知平面图形的信息，求圆的半径、正方形的边长和周长等等.其中有这样一个问题：如图，已知，点、分别在的两个边上移动，且保持、两点间的距离为，则点、在移动过程中，线段的中点到点的最大距离为　 　．
【答案】3
【知识点】余弦定理
【解析】【解答】如图，延长到点，使，
是线段的中点，四边形是平行四边形，，
在中，，
，当且仅当等号成立
在中，，
.
故答案为3.
【分析】根据余弦定理求出BC、AP ，根据基本不等式求得线段的中点到点的最大距离 .
四、解答题
17．（2022高三上·河北期中）如图所示，在四边形ABCD中，，，
（1）求BC；
（2）若BD为的平分线，试求BD．
【答案】（1）解：由正弦定理得，
∴＝
∴.
（2）解：由，可得，
又，为的平分线，
∴A，B，C，D四点共圆，，
由余弦定理得，即
∴.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理可求出 BC；
（2）在三角形BCD中，利用余弦定理解方程，即可求出BD的值．
18．（2022高三上·河北期中）数列{an}满足：，点在函数的图象上，其中k为常数，且.
（1）若，，成等比数列，求k的值；
（2）当时，求数列的前项的和
【答案】（1）解：由可得，，，
所以，，.
又，，成等比数列，，即，
又，故.
（2）解：时，，，，…，
，
.
【知识点】数列的求和；等比数列的性质；数列递推式
【解析】【分析】(1)分别令n= 1， 2， 3，求得a2， a3， a4，再由等比数列的中项性质，解方程可得 k的值；
(2)求得 ，运用等差数列的求和公式，计算可得数列的前项的和 .
19．（2022高三上·河北期中）如图①，在梯形中，，，，，梯形的高为1，M为AD的中点，以BM为折痕将△ABM折起，使点A到达点N的位置，且平面NBM⊥平面BCDM，连接NC，ND，如图②.
（1）证明：平面NMC⊥平面NCD；
（2）求图②中平面NBM与平面NCD夹角的余弦值.
【答案】（1）证明：如图，在梯形中，过点作于点，连接，
由题意知，.由，可得，
则，
，
又四边形为正方形，.
在四棱锥中，
平面平面，平面平面，平面，平面平面，
且平面，
平面.又平面平面平面.
（2）解：在四棱锥中，以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
可得
平面平面，平面平面，平面，平面是平面的一个法向量.
设平面的一个法向量为，
，即，
取，则，，
，
平面与平面所成锐二面角的余弦值为.
【知识点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】(1)在梯形ABCD中，过点C作CH⊥DM于点H，连接CM，证明CM⊥CD，CH⊥MH，推出BM⊥AD，证明MN⊥BM，说明NM⊥平面BCDM，推出NM⊥CD，然后证明CD⊥平面NMC，得到 平面NMC⊥平面NCD；
(2) 以为原点，所在的直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面NBM的一个法向量，平面NCD的一个法向量利用空间向量的数量积，求解出平面NBM与平面NCD所成锐二面角的余弦值.
20．（2022高三上·河北期中）为调查某社区居民进行核酸检测的地点，随机调查了该社区80人，得到下面的数据表：
单位：人
性别 核酸检测地点 合计
工作单位 社区
男 10 50 60
女 10 10 20
合计 20 60 80
（1）根据小概率值α＝0.01的独立性检验，能否认为“居民的核酸检测地点与性别有关系”？
（2）将此样本的频率估计为总体的概率，在该社区的所有男性中随机调查3人，设调查的3人以社区为核酸检测地点的人数为随机变量X，求X的数学期望和方差.
【答案】（1）解：令假设为H0：居民的核酸检测地点与性别无关系，
根据2×2列联表得，，
根据小概率值的独立性检验，我们推断H0不成立，即认为“居民的核酸检测地点与性别有关系”，此推断认为犯错误的概率不超过0.01.
（2）解：由题意得，X～B，
且，k＝0，1，2，3，
故E（X）＝np＝3×＝，D（X）＝np（1－p）＝3××＝.
【知识点】独立性检验的基本思想；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）根据列联表计算 ，最后得到结论相关，即概率不超过0.01；
（2）由题意得，X～B， 代入期望和方差公式即可求出 X的数学期望和方差.
21．（2022高三上·河北期中）已知椭圆，点P为椭圆C上非顶点的动点，点，分别为椭圆C的左、右顶点，过，分别作，，直线，相交于点G，连接OG（O为坐标原点），线段OG与椭圆C交于点Q.若直线OP，OQ的斜率分别为，.
（1）求的值；
（2）求面积的最大值.
【答案】（1）解：由题知，
设，则，
∵，，，
∴，.∴直线的方程为，直线的方程为
由得
又点P在椭圆C上，∴，∴，
∴，∴.
（2）解：根据（1）可知直线OP的方程为直线OQ的方程为.
由得，解得
根据椭圆的对称性，不妨设，
则，.
由得.
设， ，
由（1）知异号，∴异号，
∴.
∴点Q到直线OP的距离.
.
∵，，当且仅当，即时取“=”.∴△POQ面积的最大值为.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】(1) 设，由题意写出直线， 的方程，求出点G的坐标，从而表示出 ，，进而求出 的值；
(2)设直线OP、OQ的方程，联立方程求出P，Q的坐标，计算点Q到直线 的距离，表示出面积，利用基本不等式求解出 面积的最大值.
22．（2022高三上·河北期中）已知函数.
（1）若，求的单调区间；
（2）记函数，若恒成立，试求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由题意得函数的定义域为，
若，则，
令，则，
而，
所以在区间上单调递增，在区间上单调递减；
（2）解：若恒成立，
则，
整理得，则，
设，则，
令，则，
整理得，
设，，可知两个函数均过定点，
若，即时，
为的切线，切点为，
①当，即时，，，不在定义域，不合题意；
②当，即时，
在区间，恒有，，
所以在单调递增，，
则，符合题意；
③当，即时，
设零点为，则
所以在上单调递减，在单调递增，
，
因为，
则，
又因为，所以且，与矛盾；
综上所述，实数的取值范围为
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）先求出函数 的定域，再求出函数的导数和驻点，进而求出 的单调区间；
（2） 若恒成立， 则 ，设，求导，通过讨论a的范围，求出函数的单调性，进而求出实数的取值范围.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1