湖南省邵阳市武冈市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

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湖南省邵阳市武冈市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·武冈期中）若集合，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2022高三上·武冈期中）若“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2022高三上·武冈期中）欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（　　）
A． B． C．1 D．
4．（2022高三上·武冈期中）如图，函数图象与x轴交于，与y轴交于P，其最高点为．若，则A的值等于（　　）
A． B． C． D．2
5．（2022高三上·河南月考）已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．不确定
6．（2022高三上·武冈期中）已知与满足：，，，则（　　）
A．是钝角三角形，是锐角三角形
B．是锐角三角形，是钝角三角形
C．两个三角形都是锐角三角形
D．两个三角形都是钝角三角形
7．（2021高二下·嘉兴期末）设函数 ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·武冈期中）若，，，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2022高三上·武冈期中）下面命题正确的是（　　）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件
C．中，是为锐角三角形的必要不充分条件
D．已知偶函数在上单调递增，则对实数，，“”是“”的充分不必要条件
10．（2022高三上·武冈期中）已知实数，，满足，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．的最小值为4
11．（2021·济南模拟）已知函数 ，则下列说法正确的是（　　）
A． 为函数 的一个周期
B．直线 是函数 图象的一条对称轴
C．函数 在 上单调递增
D．函数 有且仅有2个零点
12．（2022高三上·武冈期中）已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（　　）
A． B．.
C． D．
三、填空题
13．（2022高三上·武冈期中）则　 　．
14．（2022高三上·武冈期中）已知函数，若时，取得极值0，则　 　.
15．（2020高三上·威海期末）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.0.618就是黄金分割比 的近似值，黄金分割比还可以表示成 ，则 　 　．
16．（2022高三上·武冈期中）已知数列满足（），设数列的前项和为，若，，则　 　.
四、解答题
17．（2022高三上·武冈期中）已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）若等比数列的前n项和为，且，，，求满足的n的最大值．
18．（2022高三上·武冈期中）如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，平面，，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
19．（2022高三上·武冈期中）如图，在平面四边形中，的面积是的面积的倍．，，．
（1）求的大小；
（2）若点在直线同侧，，求的取值范围．
20．（2022高三上·武冈期中）已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，点，直线交于，求证：直线经过定点.
21．（2022高三上·武冈期中）在检测中为减少检测次数，我们常采取“合1检测法”，即将个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则改需对本组的每个人再做检测．现有人，已知其中有2人感染病毒．
（1）若，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率；
（2）设采取“5合1检测法”的总检测次数为，采取“10合1检测法”的总检测次数为，若仅考虑总检测次数的期望值，当为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请说明理由．
22．（2022高三上·武冈期中）已知函数有三个极值点，
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，解得：，所以，
而，解得：，所以
所以.
故答案为：C
【分析】计算一元二次不等式和指数不等式，求出，，从而求出交集.
2．【答案】D
【知识点】复合命题的真假；三角函数的最值
【解析】【解答】因为“，使得”为假命题，
则“，使得”为真命题，
因为，
所以实数a的取值范围是
故答案为：D
【分析】写出全称命题为真命题，利用辅助角公式求出，从而求出实数a的取值范围.
3．【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；欧拉公式的应用
【解析】【解答】由欧拉公式知：
，，
，
的虚部为．
故答案为：B
【分析】由欧拉公式和复数除法运算可求得，由复数虚部定义求得结果.
4．【答案】B
【知识点】平面向量数量积的运算；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图可知：，得，所以，
将代入方程得：，，
又，，
，，所以，
，，
解得：或（舍）.
故答案为：B
【分析】先求出周期，再根据求，最后根据，即可求得.
5．【答案】C
【知识点】函数奇偶性的性质；导数的几何意义
【解析】【解答】因函数是奇函数，则由得恒成立，则，
即有，，
设过点向曲线所作切线与曲线相切的切点为，
而点不在曲线上，则，整理得，
即，解得或，即符合条件的切点有3个，
所以过点向曲线可作的切线条数是3.
故答案为：C
【分析】 根据给定条件，求出a，再求出函数的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解可得答案.
6．【答案】A
【知识点】三角形的形状判断
【解析】【解答】在与中，
，，
，，均为锐角，因此为锐角三角形.
另一方面，，可得或，即，
可得为锐角或钝角，同理可得到，为锐角或钝角，但，，中必然有一个为钝角，否则不成立，
因此为钝角三角形.
故答案为：A.
【分析】在三角形中，所有内角的正弦值均为正数，故的内角余弦值均为正数，故可得到为锐角三角形；另一方面，根据可知或，即为锐角或钝角，同理可得到，为锐角或钝角，但，，中必然有一个为钝角，即可得出结论.
7．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】∵ ，即开口向上且 ，
由 恒成立，即 在 上恒成立，
∴当 时，即 ，由二次函数的性质， 显然成立；
当 时， 有两个零点，则只需满足 ，解得 ，故 ；
综上， 的取值范围是 .
故答案为：B
【分析】 由条件可知， 在 上恒成立，然后分及讨论即可.
8．【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】依题意，，，即，
又，，则，，即，
所以，，的大小关系是.
故答案为：D
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，再借助“媒介”数比较大小作答.
9．【答案】A,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于A：当“”时“”成立；
但是当“”时，解得或，
故是的充分不必要条件，A符合题意；
对于B：当时，，定义域为，
且，
故为奇函数，故充分性成立，
若为奇函数，则，
解得，故必要性成立，
故“”是“函数为奇函数”的充要条件，
B不正确；
对于C：若为钝角，为锐角，
则，
则满足，但是为钝角三角形
所以充分性不成立；
若为锐角三角形，
则均为锐角，
即，
所以
所以
所以必要性成立；
故中，是为锐角三角形的必要不充分条件
所以C符合题意；
对于D：因为偶函数在上单调递增，
所以若，则，即充分性成立，
若，则等价为，
即，即或，即必要性不成立，
所以若偶函数在上单调递增，
则对实数，，“”是“”的充分不必要条件
D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】根据充分条件、必要条件的定义逐项判断即可.
10．【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】由题，所以有
，A符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意；
，当且仅当即时取等，
又因为，所以，即无最小值，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】 结合不等式的性质，即可求解判断A；结合作差法，即可求解判断B；结合作差法，即可求解判断C；根据已知条件，运用不等式的公式，即可求解判断D.
11．【答案】A,B
【知识点】函数奇偶性的性质；正弦函数的图象；正弦函数的单调性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】因为
，所以 为函数 的一个周期，选项 正确；
因为
，所以直线 是函数 图象的一条对称轴， 正确；
因为
，所以 是偶函数，
又当 时， 单调递减， 单调递增，且 ，所以 在 时单调递减；
当 时， 单调递增， 单调递减， 且 ，所以 在 时单调递减，
所以函数 在 时单调递减，
又 为函数 的一个周期，且直线 是函数 图象的一条对称轴，所以画出函数 的图象如图，由图可知，C，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】 根据判断选项A正确；根据判断选项B正确；
判断出函数f(x) 在的单调性，结合周期性，奇偶性和对称轴画出函数的简图，由此可以判断选项C和D错误，由此得出答案。
12．【答案】A,C,D
【知识点】函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】由得：，
，关于中心对称，则，
为奇函数，，左右求导得：，
，为偶函数，图象关于轴对称，
，
是周期为8的周期函数，
，C符合题意；
，，又，
，A符合题意；
令，则，，
又，，，
即，D符合题意；
，，
设，则，，
又为奇函数，，，
即，B不符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】根据合函数的导数法则、函数奇偶性、函数的对称性，逐项进行判断，可得答案.
13．【答案】-2
【知识点】函数的值
【解析】【解答】根据题意，当时，，所以，
当时，，所以.
故
故答案为：-2
【分析】根据题意，由函数的解析式直接分析计算，可得答案.
14．【答案】18
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由，得，
因为时，取得极值0，
所以，，
解得或，
当时，，此时函数在在处取不到极值，
经检验时，函数在处取得极值，
所以，所以.
故答案为：18
【分析】由题意可得，，求出，然后再检验时，函数是否能取得极值，即可得答案.
15．【答案】2
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：把 代入，
，
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合代入法，再结合二倍角的余弦公式和正弦公式、诱导公式，进而化简求出的值。
16．【答案】-2
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】解：因为，，
所以，则，所以，，
则，可知，，，
所以，
又，，所以，则，又，
所以，，所以，
因为，所以，
故答案为：．
【分析】根据已知递推式得出，，则，且，在根据已知条件求出，由此即可求解．
17．【答案】（1）解：由题意得，解得，
∴．
（2）解：∵，，
又，∴，公比，∴，
令，得，
令，所以n的最大值为10．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)设等差数列公差为d，由题意得，解得，可得；
(2)设等比数列公比为q，根据已知条件求出和，根据等比数列求和公式即可求出，再解关于n的不等式即可.
18．【答案】（1）证明：连接，交的于，连接，
则为的中点，
因为分别是，的中点，
，
平面，平面，
平面；
（2）解：由（1）得：，
（或其补角）就是异面直线与所成的角，
∵三棱柱的底面是边长为2的正三角形，，
∴，，，
∴
由余弦定理得：，
故异面直线与所成角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，从而得到线面平行；
（2） 由（1）得：，（或其补角）就是异面直线与所成的角 ，利用余弦定理求出余弦值.
19．【答案】（1）解：设，则，
因，，，
则，而，，
则有，即，又，，因此，，
所以.
（2）解：由（1）知，，连AC，有，则，
而，中，由正弦定理有，
，，，
又，令，则，，
因此，
因，则，有，
即，，
所以的取值范围为．
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理
【解析】【分析】（1）设，利用给定的面积关系结合三角形面积定理，利用二倍角正弦化简求解；
（2）由（1）求出AC，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换、正弦函数性质求解作答.
20．【答案】（1）解：由已知得，即，
所以的轨迹为双曲线的右支，且，，，，
∴，
曲线的标准方程为.
（2）解：当直线的斜率不存在时，，，，则直线经过点；
当直线的斜率存在时，不妨设直线，，，
则直线：，当时，，，
由得，
所以，，
下面证明直线经过点，即证，即，
即，由，，
整理得， ，即恒成立.
即，即经过点，
故直线过定点.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由已知得 ，由双曲线的定义得的轨迹为双曲线的右支，求出，，，所以双曲线的标准方程为；
（2）由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上，利用直线斜率不存在时，直线经过点，再证明当直线的斜率存在时，直线过点即可.
21．【答案】（1）解：现共有50人，由题意先平均分为5组，检测5次，因为共检测15次，所以两个感染者必定分在同一组中，所以共检测15次的概率有两种算法，第一种是分组分配思想，第二种是算一组已经有一名感染者的情况下，选中另一名感染者，即两种算法结果为和，结果均为；
所以k＝5，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率为.
（2）解：当感染者在同一组时，，，
此时，，
当感染者不在同一组时，，，
此时，，
所以，
，
由题意，
综上：时，采取10合1检测法更适宜．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）平均分为5组，共检测15可知2个感染者分在同一组，计算所求概率；
（2）分类讨论感染者分在同一组和分在不同小组，计算两种方案总检测次数的期望值，进行比较得出结论.
22．【答案】（1）解：利用的极值点个数即为的变号零点个数
，，设，
由已知，方程有两个不为0，－1的实根，
当时，在上递增，至多一个实根，故
所以在上递减，在上递增，
因为，
所以时，有两个实根，
解得且
（2）证明：由（1）不妨设，，∵，∴.
要证，即证而，
由在上递减，在上递增，且
故只要证，又，故只要证
即证
设
∴
∴递增，∴
即
∴
【知识点】函数在某点取得极值的条件；不等式的证明
【解析】【分析】（1）函数有3个零点等价于有3个变号零点，由于，且，所以可得有两个不为0，－1实根，再对求导讨论其单调性可得结果；
（2）由（1）可知有一个零点为0，所以不妨设 ，，∵，∴，因此要证，即证 而， ， 由在上递减，所以只需证，即，然后构造函数，只需证此函数值恒大于零即可.
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湖南省邵阳市武冈市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·武冈期中）若集合，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，解得：，所以，
而，解得：，所以
所以.
故答案为：C
【分析】计算一元二次不等式和指数不等式，求出，，从而求出交集.
2．（2022高三上·武冈期中）若“，使得”为假命题，则实数a的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】复合命题的真假；三角函数的最值
【解析】【解答】因为“，使得”为假命题，
则“，使得”为真命题，
因为，
所以实数a的取值范围是
故答案为：D
【分析】写出全称命题为真命题，利用辅助角公式求出，从而求出实数a的取值范围.
3．（2022高三上·武冈期中）欧拉公式把自然对数的底数e、虚数单位i、三角函数联系在一起，充分体现了数学的和谐美．若复数z满足，则的虚部为（　　）
A． B． C．1 D．
【答案】B
【知识点】复数代数形式的乘除运算；欧拉公式的应用
【解析】【解答】由欧拉公式知：
，，
，
的虚部为．
故答案为：B
【分析】由欧拉公式和复数除法运算可求得，由复数虚部定义求得结果.
4．（2022高三上·武冈期中）如图，函数图象与x轴交于，与y轴交于P，其最高点为．若，则A的值等于（　　）
A． B． C． D．2
【答案】B
【知识点】平面向量数量积的运算；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图可知：，得，所以，
将代入方程得：，，
又，，
，，所以，
，，
解得：或（舍）.
故答案为：B
【分析】先求出周期，再根据求，最后根据，即可求得.
5．（2022高三上·河南月考）已知是奇函数，则过点向曲线可作的切线条数是（　　）
A．1 B．2 C．3 D．不确定
【答案】C
【知识点】函数奇偶性的性质；导数的几何意义
【解析】【解答】因函数是奇函数，则由得恒成立，则，
即有，，
设过点向曲线所作切线与曲线相切的切点为，
而点不在曲线上，则，整理得，
即，解得或，即符合条件的切点有3个，
所以过点向曲线可作的切线条数是3.
故答案为：C
【分析】 根据给定条件，求出a，再求出函数的导数，设出切点坐标，借助导数的几何意义列出方程求解可得答案.
6．（2022高三上·武冈期中）已知与满足：，，，则（　　）
A．是钝角三角形，是锐角三角形
B．是锐角三角形，是钝角三角形
C．两个三角形都是锐角三角形
D．两个三角形都是钝角三角形
【答案】A
【知识点】三角形的形状判断
【解析】【解答】在与中，
，，
，，均为锐角，因此为锐角三角形.
另一方面，，可得或，即，
可得为锐角或钝角，同理可得到，为锐角或钝角，但，，中必然有一个为钝角，否则不成立，
因此为钝角三角形.
故答案为：A.
【分析】在三角形中，所有内角的正弦值均为正数，故的内角余弦值均为正数，故可得到为锐角三角形；另一方面，根据可知或，即为锐角或钝角，同理可得到，为锐角或钝角，但，，中必然有一个为钝角，即可得出结论.
7．（2021高二下·嘉兴期末）设函数 ，若对于任意的 ，不等式 恒成立，则实数 的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题
【解析】【解答】∵ ，即开口向上且 ，
由 恒成立，即 在 上恒成立，
∴当 时，即 ，由二次函数的性质， 显然成立；
当 时， 有两个零点，则只需满足 ，解得 ，故 ；
综上， 的取值范围是 .
故答案为：B
【分析】 由条件可知， 在 上恒成立，然后分及讨论即可.
8．（2022高三上·武冈期中）若，，，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】指数函数的单调性与特殊点；对数函数的单调性与特殊点
【解析】【解答】依题意，，，即，
又，，则，，即，
所以，，的大小关系是.
故答案为：D
【分析】根据给定条件，利用指数函数、对数函数的单调性，再借助“媒介”数比较大小作答.
二、多选题
9．（2022高三上·武冈期中）下面命题正确的是（　　）
A．“”是“”的充分不必要条件
B．“”是“函数为奇函数”的充分不必要条件
C．中，是为锐角三角形的必要不充分条件
D．已知偶函数在上单调递增，则对实数，，“”是“”的充分不必要条件
【答案】A,C,D
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】对于A：当“”时“”成立；
但是当“”时，解得或，
故是的充分不必要条件，A符合题意；
对于B：当时，，定义域为，
且，
故为奇函数，故充分性成立，
若为奇函数，则，
解得，故必要性成立，
故“”是“函数为奇函数”的充要条件，
B不正确；
对于C：若为钝角，为锐角，
则，
则满足，但是为钝角三角形
所以充分性不成立；
若为锐角三角形，
则均为锐角，
即，
所以
所以
所以必要性成立；
故中，是为锐角三角形的必要不充分条件
所以C符合题意；
对于D：因为偶函数在上单调递增，
所以若，则，即充分性成立，
若，则等价为，
即，即或，即必要性不成立，
所以若偶函数在上单调递增，
则对实数，，“”是“”的充分不必要条件
D符合题意；
故答案为：ACD.
【分析】根据充分条件、必要条件的定义逐项判断即可.
10．（2022高三上·武冈期中）已知实数，，满足，则下列说法正确的是（　　）
A． B．
C． D．的最小值为4
【答案】A,B,C
【知识点】基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】由题，所以有
，A符合题意；
，B符合题意；
，C符合题意；
，当且仅当即时取等，
又因为，所以，即无最小值，D不符合题意.
故答案为：ABC.
【分析】 结合不等式的性质，即可求解判断A；结合作差法，即可求解判断B；结合作差法，即可求解判断C；根据已知条件，运用不等式的公式，即可求解判断D.
11．（2021·济南模拟）已知函数 ，则下列说法正确的是（　　）
A． 为函数 的一个周期
B．直线 是函数 图象的一条对称轴
C．函数 在 上单调递增
D．函数 有且仅有2个零点
【答案】A,B
【知识点】函数奇偶性的性质；正弦函数的图象；正弦函数的单调性；正弦函数的周期性
【解析】【解答】因为
，所以 为函数 的一个周期，选项 正确；
因为
，所以直线 是函数 图象的一条对称轴， 正确；
因为
，所以 是偶函数，
又当 时， 单调递减， 单调递增，且 ，所以 在 时单调递减；
当 时， 单调递增， 单调递减， 且 ，所以 在 时单调递减，
所以函数 在 时单调递减，
又 为函数 的一个周期，且直线 是函数 图象的一条对称轴，所以画出函数 的图象如图，由图可知，C，D不符合题意.
故答案为：AB.
【分析】 根据判断选项A正确；根据判断选项B正确；
判断出函数f(x) 在的单调性，结合周期性，奇偶性和对称轴画出函数的简图，由此可以判断选项C和D错误，由此得出答案。
12．（2022高三上·武冈期中）已知函数与的定义域均为，分别为的导函数，，，若为奇函数，则下列等式一定成立的是（　　）
A． B．.
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】函数奇偶性的判断；函数奇偶性的性质
【解析】【解答】由得：，
，关于中心对称，则，
为奇函数，，左右求导得：，
，为偶函数，图象关于轴对称，
，
是周期为8的周期函数，
，C符合题意；
，，又，
，A符合题意；
令，则，，
又，，，
即，D符合题意；
，，
设，则，，
又为奇函数，，，
即，B不符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】根据合函数的导数法则、函数奇偶性、函数的对称性，逐项进行判断，可得答案.
三、填空题
13．（2022高三上·武冈期中）则　 　．
【答案】-2
【知识点】函数的值
【解析】【解答】根据题意，当时，，所以，
当时，，所以.
故
故答案为：-2
【分析】根据题意，由函数的解析式直接分析计算，可得答案.
14．（2022高三上·武冈期中）已知函数，若时，取得极值0，则　 　.
【答案】18
【知识点】利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】由，得，
因为时，取得极值0，
所以，，
解得或，
当时，，此时函数在在处取不到极值，
经检验时，函数在处取得极值，
所以，所以.
故答案为：18
【分析】由题意可得，，求出，然后再检验时，函数是否能取得极值，即可得答案.
15．（2020高三上·威海期末）被誉为“中国现代数学之父”的著名数学家华罗庚先生为我国数学的发展做出了巨大贡献，他所倡导的“0.618优选法”在生产和科研实践中得到了广泛的应用.0.618就是黄金分割比 的近似值，黄金分割比还可以表示成 ，则 　 　．
【答案】2
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；运用诱导公式化简求值
【解析】【解答】解：把 代入，
，
故答案为：2。
【分析】利用已知条件结合代入法，再结合二倍角的余弦公式和正弦公式、诱导公式，进而化简求出的值。
16．（2022高三上·武冈期中）已知数列满足（），设数列的前项和为，若，，则　 　.
【答案】-2
【知识点】数列递推式
【解析】【解答】解：因为，，
所以，则，所以，，
则，可知，，，
所以，
又，，所以，则，又，
所以，，所以，
因为，所以，
故答案为：．
【分析】根据已知递推式得出，，则，且，在根据已知条件求出，由此即可求解．
四、解答题
17．（2022高三上·武冈期中）已知等差数列满足，．
（1）求的通项公式；
（2）若等比数列的前n项和为，且，，，求满足的n的最大值．
【答案】（1）解：由题意得，解得，
∴．
（2）解：∵，，
又，∴，公比，∴，
令，得，
令，所以n的最大值为10．
【知识点】等差数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【分析】(1)设等差数列公差为d，由题意得，解得，可得；
(2)设等比数列公比为q，根据已知条件求出和，根据等比数列求和公式即可求出，再解关于n的不等式即可.
18．（2022高三上·武冈期中）如图，三棱柱的底面是边长为2的正三角形，平面，，是的中点.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与所成角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接，交的于，连接，
则为的中点，
因为分别是，的中点，
，
平面，平面，
平面；
（2）解：由（1）得：，
（或其补角）就是异面直线与所成的角，
∵三棱柱的底面是边长为2的正三角形，，
∴，，，
∴
由余弦定理得：，
故异面直线与所成角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；直线与平面所成的角
【解析】【分析】（1）作出辅助线，得到线线平行，从而得到线面平行；
（2） 由（1）得：，（或其补角）就是异面直线与所成的角 ，利用余弦定理求出余弦值.
19．（2022高三上·武冈期中）如图，在平面四边形中，的面积是的面积的倍．，，．
（1）求的大小；
（2）若点在直线同侧，，求的取值范围．
【答案】（1）解：设，则，
因，，，
则，而，，
则有，即，又，，因此，，
所以.
（2）解：由（1）知，，连AC，有，则，
而，中，由正弦定理有，
，，，
又，令，则，，
因此，
因，则，有，
即，，
所以的取值范围为．
【知识点】二倍角的正弦公式；正弦定理
【解析】【分析】（1）设，利用给定的面积关系结合三角形面积定理，利用二倍角正弦化简求解；
（2）由（1）求出AC，在中，利用正弦定理结合三角恒等变换、正弦函数性质求解作答.
20．（2022高三上·武冈期中）已知动圆过点并且与圆相外切，动圆圆心的轨迹为.
（1）求曲线的轨迹方程；
（2）过点的直线与轨迹交于、两点，设直线，点，直线交于，求证：直线经过定点.
【答案】（1）解：由已知得，即，
所以的轨迹为双曲线的右支，且，，，，
∴，
曲线的标准方程为.
（2）解：当直线的斜率不存在时，，，，则直线经过点；
当直线的斜率存在时，不妨设直线，，，
则直线：，当时，，，
由得，
所以，，
下面证明直线经过点，即证，即，
即，由，，
整理得， ，即恒成立.
即，即经过点，
故直线过定点.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 由已知得 ，由双曲线的定义得的轨迹为双曲线的右支，求出，，，所以双曲线的标准方程为；
（2）由对称性可知，若直线过定点，则定点在轴上，利用直线斜率不存在时，直线经过点，再证明当直线的斜率存在时，直线过点即可.
21．（2022高三上·武冈期中）在检测中为减少检测次数，我们常采取“合1检测法”，即将个人的样本合并检测，若为阴性，则该小组所有样本均未感染病毒；若为阳性，则改需对本组的每个人再做检测．现有人，已知其中有2人感染病毒．
（1）若，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率；
（2）设采取“5合1检测法”的总检测次数为，采取“10合1检测法”的总检测次数为，若仅考虑总检测次数的期望值，当为多少时，采取“10合1检测法”更适宜？请说明理由．
【答案】（1）解：现共有50人，由题意先平均分为5组，检测5次，因为共检测15次，所以两个感染者必定分在同一组中，所以共检测15次的概率有两种算法，第一种是分组分配思想，第二种是算一组已经有一名感染者的情况下，选中另一名感染者，即两种算法结果为和，结果均为；
所以k＝5，并采取“10合1检测法”，求共检测15次的概率为.
（2）解：当感染者在同一组时，，，
此时，，
当感染者不在同一组时，，，
此时，，
所以，
，
由题意，
综上：时，采取10合1检测法更适宜．
【知识点】古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）平均分为5组，共检测15可知2个感染者分在同一组，计算所求概率；
（2）分类讨论感染者分在同一组和分在不同小组，计算两种方案总检测次数的期望值，进行比较得出结论.
22．（2022高三上·武冈期中）已知函数有三个极值点，
（1）求实数的取值范围；
（2）求证：.
【答案】（1）解：利用的极值点个数即为的变号零点个数
，，设，
由已知，方程有两个不为0，－1的实根，
当时，在上递增，至多一个实根，故
所以在上递减，在上递增，
因为，
所以时，有两个实根，
解得且
（2）证明：由（1）不妨设，，∵，∴.
要证，即证而，
由在上递减，在上递增，且
故只要证，又，故只要证
即证
设
∴
∴递增，∴
即
∴
【知识点】函数在某点取得极值的条件；不等式的证明
【解析】【分析】（1）函数有3个零点等价于有3个变号零点，由于，且，所以可得有两个不为0，－1实根，再对求导讨论其单调性可得结果；
（2）由（1）可知有一个零点为0，所以不妨设 ，，∵，∴，因此要证，即证 而， ， 由在上递减，所以只需证，即，然后构造函数，只需证此函数值恒大于零即可.
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