山东省泰安市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷

登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
山东省泰安市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·泰安期中）已知集合，则集合中元素的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
2．（2021高三上·海淀期中）已知命题 ， 则 是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
3．（2021高三上·海淀期中）“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2021高三上·海淀期中）下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（　　）
A． B． C． D．
5．（2022高三上·泰安期中）已知等差数列的前项和为，若，则满足的的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．（2022高三上·泰安期中）函数的部分图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
7．（2021·南平模拟）根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度 为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为 ，3周后室内甲醛浓度为 ，且室内甲醛浓度 （单位： ）与竣工后保持良好通风的时间 （单位：周）近似满足函数关系式 ，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（　　）
A．5周 B．6周 C．7周 D．8周
8．（2022高三上·泰安期中）已知，则（　　）
A． B． C． D．
二、多选题
9．（2020高二上·望城期末）在公比为 等比数列 中， 是数列 的前n项和，若 ，则下列说法正确的是（　　）
A． B．数列 是等比数列
C． D．
10．（2022高三上·泰安期中）已知函数的图象如图所示，则（　　）
A．点为函数图象的一个对称中心
B．函数在上单调递减
C．函数的图象与轴的交点为
D．若函数为偶函数，则
11．（2022高三上·泰安期中）下列说法正确的是（　　）
A．若，则一定有
B．若关于的不等式的解集为，则
C．若，则的最小值为4
D．若，且，则的最小值为0
12．已知 .（　　）
A． 的零点个数为4 B． 的极值点个数为3
C．x轴为曲线 的切线 D．若 ，则
三、填空题
13．（2022高三上·泰安期中）已知角的终边过点，则　 　.
14．（2022高三上·泰安期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将1到100这100个数中，能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列各项的和为　 　.
15．（2022高三上·泰安期中）已知函数是定义在R上的偶函数，且对任意实数都有，当时，，则　 　.
16．（2022高三上·泰安期中）已知函数 ，若且 ，则的取值范围是　 　.
四、解答题
17．（2022高三上·泰安期中）已知集合.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求.
18．（2022高三上·泰安期中）在△中，内角的对边分别为，且满足.
（1）求；
（2）已知为边上一点，平分，△的面积是△的面积的2倍，若，求.
19．（2022高三上·泰安期中）已知函数为奇函数，且.
（1）若：，求；
（2）将函数的图使上各点的横坐标变为原来为2倍（纵坐标不变），再将得到的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域.
20．（2022高三上·泰安期中）已知数列的前项和为.
（1）求；
（2）设的前项和为，求证：
21．（2022高三上·泰安期中）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）；公交群体的人均通勤时间为（单位：分钟）.已知当时，公交群体的人均通勤时间比自驾群体的人均通勤时间长1分钟.
（1）求的值；
（2）求该地上班族的最短人均通勤时间.
22．（2022高三上·泰安期中）已知函数 .
（1）求函数的极值；
（2）若1是关于的方程的根，且方程在上有实根，求的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】在集合B中，显然 ， ；
故答案为：B.
【分析】根据根据交集的定义求出集合 ，即可得出答案.
2．【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】由全称命题的否定是特称命题知： ， ，
是 ， ，
故答案为：C.
【分析】 根据含有量词的命题的否定即可得到结论.
3．【答案】D
【知识点】基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】若 ，则当 时，有 ，即 推不出 ，
若 ，则当 时，有 ，即 也推不出 ，
“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D
【分析】根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义，可得答案。
4．【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断
【解析】【解答】对于A，函数 是奇函数，但在其定义域上不单调，A不正确；
对于B，函数 定义域是R，是奇函数，当 时， 在 上单调递增，当 时， 在 上也单调递增，
即函数 在其定义域R上单调递增，B符合题意；
对于C，函数 是奇函数，但在其定义域上不单调，C不正确；
对于D，函数 定义域是 ，它是奇函数，在 和 上单调递增，但在其定义域上不单调，D不正确.
故答案为：B
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质，逐项进行判断，可得答案。
5．【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列的公差为，
，
所以，
，因为，
所以，
故答案为：B
【分析】根据等差数列前n项和公式，结合等差数列的通项公式进行求解，即可得出答案.
6．【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】由题意得，则是偶函数，B，C不符合题意，
，D不符合题意，
故答案为：A
【分析】先判断函数的奇偶性，根据的取值情况，逐项进行判断，可得答案.
7．【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数函数单调性的应用；不等式的综合
【解析】【解答】由题意可知， ， ，
，解得 .
设该文化娱乐场所竣工后放置 周后甲醛浓度达到安企开放标准，
则 ，
整理得 ，设 ，因为 ，
所以 ，即 ，则 ，即 .
故至少需要放置的时间为6周.
故答案为：B.
【分析】由已知条件即可得出函数的解析式，然后由指数幂的运算性质整理即可得到，再由指数函数的单调性即可得到关于m的不等式，由此即可得出，从而得出答案。
8．【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题可得：，
令，则，
当时，，又，
则，即，故在单调递增，，
则当时，，即，；
令，则，
当时，，又，
则，即，故在单调递减，，
故当时，，即，；
综上所述，.
故答案为：A.
【分析】由题可得：，令，求导，可得的单调性，利用函数单调性的性质比较大小，可得答案.
9．【答案】A,C,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】因为 ，所以有 ，因此A符合题意；
因为 ，所以 ，
因为 常数，
所以数列 不是等比数列，B不正确；
因为 ，所以C符合题意；
，
因为当 时， ，所以D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据题意由等比数列的通项公式结合已知条件即可求出公比，再由等比数列的项性质以及等比数列前n项和公式和对数的运算性质对选项逐一判断即可得出答案。
10．【答案】A,C
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图像可知，函数 的周期 ，
， ， ，
；
对于A， ，正确；
对于B，当 ，其中 ，错误；
对于C，令 ， ，正确；
对于D， 是偶函数，则有 ，错误；
故答案为：AC.
【分析】根据函数图象求的值，可得的解析式，再结合三角函数的图象与性质，逐项进行判断，可得答案.
11．【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】对A：因为，则，，又，故，则，A符合题意；
对B：由题可知，是方程的两根，故，解得，则，B不符合题意；
对C：因为，则，即，
解得，当且仅当时取得等号；故的最小值为4，C符合题意；
对D：，且，则，
因为，故，即，又都是上的单调减函数，
故也是上的单调减函数，又时，，故，即的最小值为，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用不等式的性质判断A；利用根与系数的关系判断B；利用基本不等式判断C；利用对勾函数的单调性求出的最小值，可判断D.
12．【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】 ，令 ，得到 .
分别画出 和 的图像，如图所示：
由图知： 有三个解，即 有三个解，分别为 ， ， .
所以 ， ， 为增函数，
， ， 为减函数，
， ， 为增函数，
， ， 为减函数.
所以当 时， 取得极大值为 ，当 时， 取得极小值为 ，
当 时， 取得极大值为 ，
所以函数 有两个零点，三个极值点，A不符合题意，B符合题意.
因为函数 的极大值为 ，所以 轴为曲线 的切线，C符合题意.
因为 在 为增函数， 为减函数，
所以存在 ， 满足 ，且 ，
显然 ，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】首先根据 得到 ，分别画出 和 的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案.
13．【答案】2
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】根据题意，，，
则；，
则.
故答案为：2.
【分析】 先利用三角函数的定义，求出cosa，sina的值，再利用二倍角的正、余弦公式，即可求得答案.
14．【答案】833
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】除以2余1的数列的通项公式 ，并且 ， ；
除以3余1的数列的通项公式为 ， ， ；
令 ，则有 ，即m为偶数时为两数列重叠部分， ，
对应的数列为 ，是首项为1，公差为6的等差数列，
；
故答案为：833.
【分析】求出除以2余1和除以3余1的数列，再求重叠部分，再求和，即可得答案.
15．【答案】
【知识点】函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】由于 是偶函数，∴当 时， ；
由 得 ，关于 点对称，
当 时， ， ，
并且函数的周期 ， ， ， ，
∴ ；
故答案为： .
【分析】利用已知条件可得是以4为周期的偶函数，再根据对数的运算性质可求出答案.
16．【答案】
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】对于 ，当 时， ，当 时， ，并且图像关于 对称，函数图象如下图：
如果 ，则 不成立， ， ，并且有 ；
由 可知，必有 ；
；
故答案为： .
【分析】 画出f (x)的图象，根据图象求得，，根据x3的范围，可得 的取值范围.
17．【答案】（1）解：∵，∴恒成立，∴，解得，
∴当时，a的取值范围是.
（2）解：∵，∴，
∴方程的两根分别为，，
∴| 或，
又∵，且，
∴或.
【知识点】交集及其运算；函数恒成立问题
【解析】【分析】(1)由题意得 恒成立 ，然后结合二次函数的性质可求出的取值范围；
(2)先求出集合B，然后结合集合的交集运算，即可求解出.
18．【答案】（1）解：∵，∴，
即，∵，∴，∴，∴，
（2）解：∵AD平分，，∴，
∵的面积是的面积的2倍，设△底边BC上的高为h，
则，∴，，
又∵，∴，
在△中，，解得，
∴，∴，∴，∴.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和公式求出 ，结合 ，可得的值；
（2） 根据已知条件可得 ，再根据三角形的面积公式可得 ，进而求出 .
19．【答案】（1）解：
，
∵函数为奇函数，∴恒成立，∴，又，∴，
∴，又，∴，
∴，
，∴，又，∴，
∴.
（2）解：由题意得，将函数的图使上各点的横坐标变为原来为2倍（纵坐标不变），得到的图象，
再将得到的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
∵，∴，∴，，
∴函数在上的值域为.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】(1)根据f (x)是奇函数，且 ， 求得a，θ，以及f (x)的解析式，再结合同角三角函数关系，以及正弦的和角公式即可求得 ；
(2)根据(1)中所求f (x)，结合函数图象的变换求得g (x)，再利用整体法求其值域即可得函数在上的值域.
20．【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴数列的奇数项，偶数项分别是以，为首项，3为公比的等比数列.
∴当n为奇数时，，即，
当n为偶数时，，即，
；
（2）证明：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴；
得证.
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）利用数列的递推式可得数列的奇数项，偶数项分别是以，为首项，3为公比的等比数列，分n为奇数和n为偶数两种情况求出；
（2） 由（1）知， ，则 ， 利用等比数列求和公式结合放缩法可证得 .
21．【答案】（1）解：由题知，，
∴；
（2）解：由（1）知， ，
设该地上班族S的人均通勤时间为，则
当时，
，
当时，
，
，
∵抛物线的开口向上，对称轴为，
∴当时，，
∵抛物线的开口向上，对称轴为，
∴当时，，
∵，
∴该地上班族S的最短人均通勤时间为分钟.
综上， ，最短人均通勤时间为分钟.
【知识点】二次函数的性质；根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】（1）由题意可得 ， 求解可得 的值；
（2） 设该地上班族S的人均通勤时间为 ，分 和 两段，结合二次函数的性质可求出的最值，进而得出该地上班族的最短人均通勤时间.
22．【答案】（1）解： ，
当时， ，单调递增，无极值，
当时，令 ，解得，
当时， ，单调递减，当时， ，单调递增，
∴ ，无极大值；
（2）解：∵1是方程的根，
∴，解得 ，∴ ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
∵，，且方程在上有实根，
设，，则在，上不单调，
∴ 在上存在零点，在上存在零点，
∴在上至少有两个相异实根，
当时， ，单调递增，不合题意，
当时，令 ，解得，
当时， ，单调递减.
当时， ，单调递增，
∴ ，
设 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ，单调递增，
当 时， ，单调递淢，
∴ ，∴，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴b的取值范围为 ；
综上，，无极大值；b的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）对函数 求导数，分 和 两种情况，讨论的单调性，进而求出函数的极值；
（2）设 ，求导， 设 求导，再根据方程在上有实根，可得在上至少有两个相异实根， 分 和 两种情况求解 的单调性，进而求出 的取值范围.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1登录二一教育在线组卷平台 助您教考全无忧
山东省泰安市2022-2023学年高三上学期数学期中考试试卷
一、单选题
1．（2022高三上·泰安期中）已知集合，则集合中元素的个数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】在集合B中，显然 ， ；
故答案为：B.
【分析】根据根据交集的定义求出集合 ，即可得出答案.
2．（2021高三上·海淀期中）已知命题 ， 则 是（　　）
A． ， B． ，
C． ， D． ，
【答案】C
【知识点】命题的否定
【解析】【解答】由全称命题的否定是特称命题知： ， ，
是 ， ，
故答案为：C.
【分析】 根据含有量词的命题的否定即可得到结论.
3．（2021高三上·海淀期中）“ ”是“ ”的（　　）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】D
【知识点】基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】若 ，则当 时，有 ，即 推不出 ，
若 ，则当 时，有 ，即 也推不出 ，
“ ”是“ ”的既不充分也不必要条件.
故答案为：D
【分析】根据不等式的性质及充分条件、必要条件的定义，可得答案。
4．（2021高三上·海淀期中）下列函数中，是奇函数且在其定义域上为增函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的判断
【解析】【解答】对于A，函数 是奇函数，但在其定义域上不单调，A不正确；
对于B，函数 定义域是R，是奇函数，当 时， 在 上单调递增，当 时， 在 上也单调递增，
即函数 在其定义域R上单调递增，B符合题意；
对于C，函数 是奇函数，但在其定义域上不单调，C不正确；
对于D，函数 定义域是 ，它是奇函数，在 和 上单调递增，但在其定义域上不单调，D不正确.
故答案为：B
【分析】根据函数奇偶性和单调性的性质，逐项进行判断，可得答案。
5．（2022高三上·泰安期中）已知等差数列的前项和为，若，则满足的的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【解答】设等差数列的公差为，
，
所以，
，因为，
所以，
故答案为：B
【分析】根据等差数列前n项和公式，结合等差数列的通项公式进行求解，即可得出答案.
6．（2022高三上·泰安期中）函数的部分图象大致为（　　）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【知识点】函数的图象
【解析】【解答】由题意得，则是偶函数，B，C不符合题意，
，D不符合题意，
故答案为：A
【分析】先判断函数的奇偶性，根据的取值情况，逐项进行判断，可得答案.
7．（2021·南平模拟）根据《民用建筑工程室内环境污染控制标准》，文化娱乐场所室内甲醛浓度 为安全范围.已知某新建文化娱乐场所施工中使用了甲醛喷剂，处于良好的通风环境下时，竣工1周后室内甲醛浓度为 ，3周后室内甲醛浓度为 ，且室内甲醛浓度 （单位： ）与竣工后保持良好通风的时间 （单位：周）近似满足函数关系式 ，则该文化娱乐场所竣工后的甲醛浓度若要达到安全开放标准，至少需要放置的时间为（　　）
A．5周 B．6周 C．7周 D．8周
【答案】B
【知识点】有理数指数幂的运算性质；指数函数单调性的应用；不等式的综合
【解析】【解答】由题意可知， ， ，
，解得 .
设该文化娱乐场所竣工后放置 周后甲醛浓度达到安企开放标准，
则 ，
整理得 ，设 ，因为 ，
所以 ，即 ，则 ，即 .
故至少需要放置的时间为6周.
故答案为：B.
【分析】由已知条件即可得出函数的解析式，然后由指数幂的运算性质整理即可得到，再由指数函数的单调性即可得到关于m的不等式，由此即可得出，从而得出答案。
8．（2022高三上·泰安期中）已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】函数单调性的性质；利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】由题可得：，
令，则，
当时，，又，
则，即，故在单调递增，，
则当时，，即，；
令，则，
当时，，又，
则，即，故在单调递减，，
故当时，，即，；
综上所述，.
故答案为：A.
【分析】由题可得：，令，求导，可得的单调性，利用函数单调性的性质比较大小，可得答案.
二、多选题
9．（2020高二上·望城期末）在公比为 等比数列 中， 是数列 的前n项和，若 ，则下列说法正确的是（　　）
A． B．数列 是等比数列
C． D．
【答案】A,C,D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的前n项和
【解析】【解答】因为 ，所以有 ，因此A符合题意；
因为 ，所以 ，
因为 常数，
所以数列 不是等比数列，B不正确；
因为 ，所以C符合题意；
，
因为当 时， ，所以D符合题意.
故答案为：ACD
【分析】根据题意由等比数列的通项公式结合已知条件即可求出公比，再由等比数列的项性质以及等比数列前n项和公式和对数的运算性质对选项逐一判断即可得出答案。
10．（2022高三上·泰安期中）已知函数的图象如图所示，则（　　）
A．点为函数图象的一个对称中心
B．函数在上单调递减
C．函数的图象与轴的交点为
D．若函数为偶函数，则
【答案】A,C
【知识点】正弦函数的奇偶性与对称性；正弦函数的单调性；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式
【解析】【解答】由图像可知，函数 的周期 ，
， ， ，
；
对于A， ，正确；
对于B，当 ，其中 ，错误；
对于C，令 ， ，正确；
对于D， 是偶函数，则有 ，错误；
故答案为：AC.
【分析】根据函数图象求的值，可得的解析式，再结合三角函数的图象与性质，逐项进行判断，可得答案.
11．（2022高三上·泰安期中）下列说法正确的是（　　）
A．若，则一定有
B．若关于的不等式的解集为，则
C．若，则的最小值为4
D．若，且，则的最小值为0
【答案】A,C,D
【知识点】基本不等式；不等式的基本性质
【解析】【解答】对A：因为，则，，又，故，则，A符合题意；
对B：由题可知，是方程的两根，故，解得，则，B不符合题意；
对C：因为，则，即，
解得，当且仅当时取得等号；故的最小值为4，C符合题意；
对D：，且，则，
因为，故，即，又都是上的单调减函数，
故也是上的单调减函数，又时，，故，即的最小值为，D符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用不等式的性质判断A；利用根与系数的关系判断B；利用基本不等式判断C；利用对勾函数的单调性求出的最小值，可判断D.
12．已知 .（　　）
A． 的零点个数为4 B． 的极值点个数为3
C．x轴为曲线 的切线 D．若 ，则
【答案】B,C
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值
【解析】【解答】 ，令 ，得到 .
分别画出 和 的图像，如图所示：
由图知： 有三个解，即 有三个解，分别为 ， ， .
所以 ， ， 为增函数，
， ， 为减函数，
， ， 为增函数，
， ， 为减函数.
所以当 时， 取得极大值为 ，当 时， 取得极小值为 ，
当 时， 取得极大值为 ，
所以函数 有两个零点，三个极值点，A不符合题意，B符合题意.
因为函数 的极大值为 ，所以 轴为曲线 的切线，C符合题意.
因为 在 为增函数， 为减函数，
所以存在 ， 满足 ，且 ，
显然 ，D不符合题意.
故答案为：BC
【分析】首先根据 得到 ，分别画出 和 的图像，从而得到函数的单调性和极值，再依次判断选项即可得到答案.
三、填空题
13．（2022高三上·泰安期中）已知角的终边过点，则　 　.
【答案】2
【知识点】二倍角的正弦公式；二倍角的余弦公式；任意角三角函数的定义
【解析】【解答】根据题意，，，
则；，
则.
故答案为：2.
【分析】 先利用三角函数的定义，求出cosa，sina的值，再利用二倍角的正、余弦公式，即可求得答案.
14．（2022高三上·泰安期中）“中国剩余定理”又称“孙子定理”.“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题.现有这样一个整除问题：将1到100这100个数中，能被2除余1且被3除余1的数按从小到大的顺序排成一列，构成数列，则数列各项的和为　 　.
【答案】833
【知识点】等差数列的前n项和
【解析】【解答】除以2余1的数列的通项公式 ，并且 ， ；
除以3余1的数列的通项公式为 ， ， ；
令 ，则有 ，即m为偶数时为两数列重叠部分， ，
对应的数列为 ，是首项为1，公差为6的等差数列，
；
故答案为：833.
【分析】求出除以2余1和除以3余1的数列，再求重叠部分，再求和，即可得答案.
15．（2022高三上·泰安期中）已知函数是定义在R上的偶函数，且对任意实数都有，当时，，则　 　.
【答案】
【知识点】函数的周期性；函数的值
【解析】【解答】由于 是偶函数，∴当 时， ；
由 得 ，关于 点对称，
当 时， ， ，
并且函数的周期 ， ， ， ，
∴ ；
故答案为： .
【分析】利用已知条件可得是以4为周期的偶函数，再根据对数的运算性质可求出答案.
16．（2022高三上·泰安期中）已知函数 ，若且 ，则的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】分段函数的应用
【解析】【解答】对于 ，当 时， ，当 时， ，并且图像关于 对称，函数图象如下图：
如果 ，则 不成立， ， ，并且有 ；
由 可知，必有 ；
；
故答案为： .
【分析】 画出f (x)的图象，根据图象求得，，根据x3的范围，可得 的取值范围.
四、解答题
17．（2022高三上·泰安期中）已知集合.
（1）若，求的取值范围；
（2）若，求.
【答案】（1）解：∵，∴恒成立，∴，解得，
∴当时，a的取值范围是.
（2）解：∵，∴，
∴方程的两根分别为，，
∴| 或，
又∵，且，
∴或.
【知识点】交集及其运算；函数恒成立问题
【解析】【分析】(1)由题意得 恒成立 ，然后结合二次函数的性质可求出的取值范围；
(2)先求出集合B，然后结合集合的交集运算，即可求解出.
18．（2022高三上·泰安期中）在△中，内角的对边分别为，且满足.
（1）求；
（2）已知为边上一点，平分，△的面积是△的面积的2倍，若，求.
【答案】（1）解：∵，∴，
即，∵，∴，∴，∴，
（2）解：∵AD平分，，∴，
∵的面积是的面积的2倍，设△底边BC上的高为h，
则，∴，，
又∵，∴，
在△中，，解得，
∴，∴，∴，∴.
【知识点】正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用正弦定理结合两角和公式求出 ，结合 ，可得的值；
（2） 根据已知条件可得 ，再根据三角形的面积公式可得 ，进而求出 .
19．（2022高三上·泰安期中）已知函数为奇函数，且.
（1）若：，求；
（2）将函数的图使上各点的横坐标变为原来为2倍（纵坐标不变），再将得到的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，求函数在上的值域.
【答案】（1）解：
，
∵函数为奇函数，∴恒成立，∴，又，∴，
∴，又，∴，
∴，
，∴，又，∴，
∴.
（2）解：由题意得，将函数的图使上各点的横坐标变为原来为2倍（纵坐标不变），得到的图象，
再将得到的函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，
∵，∴，∴，，
∴函数在上的值域为.
【知识点】三角函数中的恒等变换应用；正弦函数的定义域和值域；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【分析】(1)根据f (x)是奇函数，且 ， 求得a，θ，以及f (x)的解析式，再结合同角三角函数关系，以及正弦的和角公式即可求得 ；
(2)根据(1)中所求f (x)，结合函数图象的变换求得g (x)，再利用整体法求其值域即可得函数在上的值域.
20．（2022高三上·泰安期中）已知数列的前项和为.
（1）求；
（2）设的前项和为，求证：
【答案】（1）解：∵，
∴，
∴，
又∵，，
∴，，
∴，，
∴数列的奇数项，偶数项分别是以，为首项，3为公比的等比数列.
∴当n为奇数时，，即，
当n为偶数时，，即，
；
（2）证明：由（1）知，，
∴，
∵，
∴，
∴；
得证.
【知识点】数列的求和；数列递推式
【解析】【分析】（1）利用数列的递推式可得数列的奇数项，偶数项分别是以，为首项，3为公比的等比数列，分n为奇数和n为偶数两种情况求出；
（2） 由（1）知， ，则 ， 利用等比数列求和公式结合放缩法可证得 .
21．（2022高三上·泰安期中）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当中的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为（单位：分钟）；公交群体的人均通勤时间为（单位：分钟）.已知当时，公交群体的人均通勤时间比自驾群体的人均通勤时间长1分钟.
（1）求的值；
（2）求该地上班族的最短人均通勤时间.
【答案】（1）解：由题知，，
∴；
（2）解：由（1）知， ，
设该地上班族S的人均通勤时间为，则
当时，
，
当时，
，
，
∵抛物线的开口向上，对称轴为，
∴当时，，
∵抛物线的开口向上，对称轴为，
∴当时，，
∵，
∴该地上班族S的最短人均通勤时间为分钟.
综上， ，最短人均通勤时间为分钟.
【知识点】二次函数的性质；根据实际问题选择函数类型
【解析】【分析】（1）由题意可得 ， 求解可得 的值；
（2） 设该地上班族S的人均通勤时间为 ，分 和 两段，结合二次函数的性质可求出的最值，进而得出该地上班族的最短人均通勤时间.
22．（2022高三上·泰安期中）已知函数 .
（1）求函数的极值；
（2）若1是关于的方程的根，且方程在上有实根，求的取值范围.
【答案】（1）解： ，
当时， ，单调递增，无极值，
当时，令 ，解得，
当时， ，单调递减，当时， ，单调递增，
∴ ，无极大值；
（2）解：∵1是方程的根，
∴，解得 ，∴ ，
设 ，则 ，
设 ，则 ，
∵，，且方程在上有实根，
设，，则在，上不单调，
∴ 在上存在零点，在上存在零点，
∴在上至少有两个相异实根，
当时， ，单调递增，不合题意，
当时，令 ，解得，
当时， ，单调递减.
当时， ，单调递增，
∴ ，
设 ，则 ，
令 ，解得 ，
当 时， ，单调递增，
当 时， ，单调递淢，
∴ ，∴，
∴ ，
∴ ，即 ，解得 ，
∴b的取值范围为 ；
综上，，无极大值；b的取值范围为.
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；利用导数求闭区间上函数的最值
【解析】【分析】（1）对函数 求导数，分 和 两种情况，讨论的单调性，进而求出函数的极值；
（2）设 ，求导， 设 求导，再根据方程在上有实根，可得在上至少有两个相异实根， 分 和 两种情况求解 的单调性，进而求出 的取值范围.
二一教育在线组卷平台（zujuan.21cnjy.com）自动生成 1 / 1