浙江省9 1高中联盟2022-2023学年高三上学期数学11月期中联考试卷

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浙江省9 1高中联盟2022-2023学年高三上学期数学11月期中联考试卷
一、单选题
1．（2022高三上·浙江期中）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】因为，，故。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出集合A，再利用对数函数的单调性求出集合B，再结合并集的运算法则得出集合A和集合B 的并集。
2．（2022高三上·浙江期中）已知复数满足，则（　　）
A． B． C． D．1
【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】解法一：由题意，易得：，
∴.
解法二：
∴.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合两种方法解题。解法一：利用复数的乘除法运算法则得出复数z的共轭复数，再结合复数的模与共轭复数的模的关系得出复数z的模；解法二：利用复数的乘除法运算法则和复数求模公式得出复数z的共轭复数的模，再结合复数的模和共轭复数的模的关系得出复数z的模。
3．（2022高三上·浙江期中）过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程；直线的一般式方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】由题意得：直线的斜率，且直线过原点，
所以直线的方程为，
圆的方程化为：，即圆心为（0，1），半径，
所以圆心（0，1）到直线的距离，
所以直线被圆所截得弦长为。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式得出直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线的方程，再结合圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再结合弦长公式得出直线被圆截的的弦长。
4．（2022高三上·浙江期中）从2位男生，4位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（　　）种.
A．16 B．20 C．96 D．120
【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】若选一男两女共有：；
若选两男一女共有：；
因此共有96种。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合分类加法计数原理，进而得出不同的安排方法种数。
5．（2022高三上·浙江期中）雷峰塔又名黄妃塔 西关砖塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山（海拔46米）之上.是吴越国王钱俶为供奉佛螺髻发舍利 祈求国泰民安而建.始建于北宋太平兴国二年（977年），历代屡加重修.现存建筑以原雷峰塔为原型设计，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.李华同学为测量塔高，在西湖边相距的 两处（海拔均约16米）各放置一架垂直于地面高为米的测角仪 （如图所示）.在测角仪处测得两个数据：塔顶仰角及塔顶与观测仪点的视角在测角仪处测得塔顶与观测仪点的视角，李华根据以上数据能估计雷锋塔的高度约为（　　）（参考数据：，）
A．70.5 B．71 C．71.5 D．72
【答案】C
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】在中，，，
所以，
由正弦定理得 ，
所以，
在直角中，，
将平面画成平面图如图所示：
由题意知：，， ，
。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合正弦定理和作差法，进而估计出雷锋塔的高度。
6．（2022高三上·浙江期中）已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】充分性：
等价于：
等价于：
等价于：
所以为的靠近的三等分点，所以点为重心；
必要性：若点为重心，由重心性质知，故
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而判断出 “”为“点为重心” 的充要条件。
7．（2022高三上·浙江期中）已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】因为函数为偶函数，则，
令可得，所以，，
因为函数为奇函数，则，
所以，函数的图象关于直线对称，关于点对称，
又因为函数的定义域为，则，则，
、、的值都不确定.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合换元法和奇函数以及偶函数的定义，再结合函数的图象的对称性，进而得出函数的值，从而找出正确的选项。
8．（2022高三上·浙江期中）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．.
【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，，
由得，，由得，，
所以在上为增函数，在为减函数.
因为，所以，即，故.
因为，所以，所以，
所以，所以，而，所以。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，再利用对数函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
二、多选题
9．（2022高三上·浙江期中）已知函数，其中，为实数，则下列条件能使函数仅有一个零点的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由已知可得的定义域为.
对于A、当时，，
则.
当或时，；当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值.
因为 且的图象连续不断，故的图象与轴有且只有一个交点，
故此时有且只有一个零点，故该选项符合题意.
对于B、当时，，则.
当或时，；当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值.
又因为，且的图象连续不断，
故的图象与轴有且只有两个交点，
故此时有且只有两个零点，故该选项不合题意.
对于C、当时，，则在上恒成立，当且仅当时取等号，故在上单调递增，
又因为 ，且的图象连续不断，
故的图象与轴有且只有一个交点，故此时有且只有一个零点，故该选项符合题意.
对于D、当时，，则在上恒成立，
故在上单调递增，
又因为，且的图象连续不断，
故的图象与轴有且只有一个交点，
故此时有且只有一个零点，故该选项符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合函数的零点与函数与x轴交点的横坐标的等价关系，进而得出能使函数仅有一个零点的a，b的值。
10．（2022高三上·浙江期中）已知函数，则（　　）
A．函数的值域为
B．点是函数的一个对称中心
C．函数在区间上是减函数
D．若函数在区间上是减函数，则的最大值为
【答案】A,B,D
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数的值域；函数单调性的判断与证明；图形的对称性
【解析】【解答】因为.
对于A选项，函数的值域为，A对；
对于B选项，，故点是函数的一个对称中心，B对；
对于C选项，当时，，故函数在区间上不单调，C不符合题意；
对于D选项，由题意且函数在上为减函数，
当时，，且，
所以，，则，解得，
故的最大值为，D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合辅助角公式得出正弦型函数，再利用正弦型函数的图象求值域的方法得出函数f(x)的值域；利用已知条件结合正弦型函数的图象求对称中心的方法对称函数f(x)的一个对称中心；再利用正弦型函数f(x)的图象判断出其在区间上单调性；再结合正弦型函数的图象判断出函数在区间上的单调性，再利用集合间的包含关系，进而得出实数的最大值。
11．（2022高三上·浙江期中）已知袋子中有个红球和个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法正确的是（　　）
A．每次摸个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第次摸到红球的概率为
B．每次摸个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第次摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为
C．每次摸出个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸次后，摸到红球的次数的方差为
D．从中不放回摸个球，摸到红球的个数的概率是
【答案】A,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】对于A选项，记事件第一次摸红球，事件第一次摸蓝球，事件第二次摸红球，
则，A对；
对于B选项，每次摸个球，摸出的球观察颜色后不放回，
则第次摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为，B不符合题意；
对于C选项，由题意可知，则，C不符合题意；
对于D选项，从中不放回摸个球，摸到红球的个数的概率是，D对.
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出每次摸个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第次摸到红球的概率；利用已知条件结合条件概型求概率公式得出第次摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率；利用已知条件结合二项分布求方差公式得出连续摸次后，摸到红球的次数的方差；利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率的公式，进而得出从中不放回摸个球，摸到红球的个数的概率，从而找出说法正确的选项。
12．（2022高三上·浙江期中）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．球在正方体外部分的体积为
B．若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则
C．若点在平面下方，则直线与平面所成角的正弦值最大为
D．若点 在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则最小值为
【答案】B,D
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面向量数量积的运算；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；直线与平面所成的角
【解析】【解答】对于A，正方体的棱切球的半径，如下图所示，
球在正方体外部的体积，
或者可根据球在平面上方球缺部分的体积，为球缺的高，
所以球在正方体外部的体积为， A选项错误；
对于B，取中点，可知在球面上，可得，所以，点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，所以（当为直径时，），所以，B选项正确；
对于C，
若正方体上底面字母为，则直线与平面所成角的正弦值最大时，如上图所示点位置，此时正弦值最大为1，
若正方体下底面字母为，设平面的中心为，直线与平面所成角即为直线与平面所成角，
则直线与平面所成角最大时，直线正好与平面下方球相切，过作平面下方球的切线，切点为，将正方体及其棱切球的截面画出，如下图所示，可得，，，，，
所以，
，，
所以直线与平面所成角最大时为，
，C选项错误；
对于D，，
记向量与向量的夹角为，，因为，
且，
所以，
令，所以上式可化为，当且仅当时等号成立，
此时，即时等号成立，根据题意可知此条件显然成立，D选项正确.
故答案为：BD.
【分析】利用正方体的棱切球的半径结合球的体积公式和正方体的体积公式，再结合作差法和几何法得出球在正方体外部的体积，或者可根据锥体的体积公式得出球在平面上方球缺部分的体积，再结合几何法得出球在正方体外部的体积；取中点，可知在球面上，再结合向量共线定理和三角形法则以及数量积的运算法则，进而得出，再利用点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，所以，再结合二次函数的图象球值域的方法得出的取值范围；若正方体上底面字母为，则直线与平面所成角的正弦值最大时，如上图所示点位置，此时正弦值最大为1，
若正方体下底面字母为，设平面的中心为，直线与平面所成角即为直线与平面所成角，则直线与平面所成角最大时，直线正好与平面下方球相切，过作平面下方球的切线，切点为，将正方体及其棱切球的截面画出，可得，，，的值，再利用两三角形全等的判断方法得出，再利用两三角形全等的性质，所以，再利用正弦函数的定义得出，的值，所以直线与平面所成角最大时为，再利用两角差的正弦公式得出的值；利用三角形法则和数量积的运算法则以及数量积的定义，再结合余弦型函数的图象求值域的方法得出，再利用数量积的运算法则和二次函数的图象求最值的方法得出 的最小值，从而找出说法正确的选项。
三、填空题
13．（2022高三上·浙江期中）的展开式的中间一项的系数是　 　.（用数字作答）.
【答案】
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由二项式展开式可知，的展开式的中间一项的系数为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中间一项的系数。
14．（2022高三上·浙江期中）已知正实数，满足，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由，可得，
可得，
故的最小值为。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法得出x+y的最小值。
15．（2022高三上·浙江期中）我们知道用平面截正方体可以得到不同形状的截面，若棱长为的正方体被某平面截得的多边形为正六边形，以该正六边形为底，此正方体的顶点为顶点的棱锥的最大体积是　 　.
【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】在棱长为的正方体中，、、、、、分别为对应棱的中点，
由正方体的几何性质可知，六边形为正六边形，且其边长为，
正六边形的面积为.
以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
，，，，
，，，，
，、平面，平面，
当棱锥的顶点为点或时，棱锥的高最大，
且该棱锥高的最大值为，
因此，此正方体的顶点为顶点的棱锥的最大体积是。
故答案为：。
【分析】在棱长为的正方体中，、、、、、分别为对应棱的中点，由正方体的几何性质可知，六边形为正六边形，且其边长为，再利用正六边形求面积公式得出正六边形的面积，再利用已知条件，以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，从而得出，，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，当棱锥的顶点为点或时，棱锥的高最大，再利用数量积得出该棱锥高的最大值，再利用棱锥的体积公式得出此正方体的顶点为顶点的棱锥的最大体积。
16．（2022高三上·浙江期中）已知椭圆上两点，（为长半轴长），点为椭圆右焦点，点是线段中点，、、轴恰好围成以为顶点的等腰三角形，则椭圆的离心率为　 　.
【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知，
由 轴恰好围成以为顶点的等腰三角形可知，
所以 ，
整理得，故 。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合椭圆的标准方程得出点F的坐标，再利用中点坐标公式得出点C的坐标，由 轴恰好围成以为顶点的等腰三角形可知，再利用两点求斜率公式得出a，c的关系式，再结合椭圆的离心率公式变形得出椭圆的离心率的值 。
四、解答题
17．（2022高三上·浙江期中）已知数列的前项和为，若，
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
【答案】（1）解：当时，
相减得
当时，符合上式
所以.
当时，
当时，符合上式.
故
（2）证明：由（1）知：
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合的关系式，再利用分类讨论的方法和检验法，进而得出数列的通项公式。
（1）利用已知条件结合等差数列前n项和公式和裂项相消求和的方法得出 ，再结合放缩法证出不等式 成立。
18．（2022高三上·浙江期中）已知的内角、、所对的边长分别为、、，且，若，，求：
（1）求的值；
（2）求的最大值.
【答案】（1）解：由已知和正弦定理得，
由余弦定理可得，
所以.
（2）解：法一：，则，
由得，
即，
又中，
从而，
即，
所以（当且仅当时取等号），
故的最大值为.
法二：由
所以，，
即，
即，
所以（当且仅当时取等号），
故的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量的三角形法则；向量的共线定理；运用诱导公式化简求值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和余弦定理，进而得出角C的余弦值，再利用三角形内角和为180度的性质结合诱导公式，进而得出 的值。
（2） 法一：利用，从而结合诱导公式得出，再利用余弦定理和均值不等式求最值的方法得出的最大值；
法二：由结合三角形法则和平面向量基本定理以及数量积的运算法则和数量积的定义，得出，再利用均值不等式求最值的方法得出的最大值。
19．（2022高三上·浙江期中）已知棱长均为2的平行六面体，，顶点的投影为棱中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
【答案】（1）解：
如图，由底面为菱形，，得正，从而有，
又平面，平面，得，又
故平面，由已知得，
平行六面体知：到面距离等于长
因为为中点，，所以为正三角形，故也为正三角形，
所以
（2）解：
由底面为菱形，，得正，从而有，以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，
从而，
设平面的法向量为，则
，令，，
平面平面，其一个法向量为.
所以
所以平面与平面所成角的余弦值为
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由底面为菱形，，得出正，从而有，再利用直线平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，得出，再利用线线垂直证出线面垂直，故平面，由已知得，再利用平行六面体知：点到面距离等于长，再利用点为中点，，所以为正三角形，故也为正三角形，再利用等体积法和三棱锥的体积公式，进而得出三棱锥的体积。
（2）由底面为菱形，，得出正，从而有，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的法向量，再结合平面平面，其一个法向量为，从而结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成角的余弦值。
20．（2022高三上·浙江期中）直播电商带货的模式近年来发展势头迅猛，我国直播电商模式不仅规模上实现增长，在影响力上也发展成为重要的电商消费模式，包括直播活跃程度、覆盖商品类型、主播类型等都实现延展.每年的“双十一”购物节成为各直播电商里关注的节点.某直播公司为增加销售额，准备采取新举措，将原本单一的直播团队拆分为甲 乙两个直播团队，相互竞争.该公司记录了新举措实施前天的全公司的日均总销售额和新举措实施后天的日均总销售额的天数频数分布表，如表所示：
新举措实施前天全公司的日均总销售额
日均总销售额（万元）
天数
新举措实施后天全公司的日均总销售额
日均总销售额（万元）
天数
参考公式及数据：，其中.
（1）将下面的列联表补充完整.并回答：在犯错误的概率不超过的前提下，能否判断公司销售额提高与采取新措施有关；
日均总销售额小于万元的天数 日均总销售额不小于万元的天数 总计
新举措实施前天 　 　 　
新举措实施后天 　 　 　
总计 　 　 　
（2）后期该公司还打算对甲、乙两个直播团队的表现进行如下考核：选定某周周一至周五的天时间，两队进行当天销售额的比较，若甲团队的销售额超过万元且乙团队的销售额未超过万元，则甲团队得分，乙团队得分；若乙团队的销售额超过万元且甲团队的销售额未超过万元，则乙团队得分，甲团队得分；若两团队的销售额都超过万元或都未超过万元，则两团队均得分.根据以往数据，甲、乙两团队某天销售额超过万元的概率分别为和，某一天的考核中甲团队的得分记为.
（i）若，，求的分布列；
（ii）若甲、乙两团队在考核开始时都赋予分，两队销售额比较次算一轮，若经过轮比较，甲团队得分的数学期望超过分，求的取值范围（用表示）.
【答案】（1）解：列联表如下：
日均总销售额小于万元的天数 日均总销售额不小于万元的天数 总计
新举措实施前天
新举措实施后天
总计
因为，
所以在犯错误的概率不超过的前提下，能判断公司销售额提高与采取新措施有关.
（2）解：的所有可能取值为、、，
，，，
（i）将已知值，代入，得随机变量的分布列如下表所示：
（ii）由上可知，
，
又概率，故.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出 列联表 ，再利用 列联表结合独立性检验的方法得出在犯错误的概率不超过的前提下，能判断公司销售额提高与采取新措施有关。
（2）（i)利用已知条件得出随机变量的所有可能取值，再利用对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，进而得出随机变量X的分布列。
（ii)利用已知条件结合随机变量的分布列求数学期望公式和数学期望的性质，再结合概率的基本性质，进而用表示 的取值范围。
21．（2022高三上·浙江期中）过双曲线上一点作两渐近线的垂线，垂足为、，且.
（1）求双曲线方程；
（2）过点的直线与双曲线右支交于、两点，连接、，直线与、分别交于、，.
（i）若，求的值；
（ii）求的最小值.
【答案】（1）解：双曲线的渐近线方程为，
由已知得，
双曲线上一点到渐近线距离之积，
即，又，，
所以双曲线方程为.
（2）解：（i）设直线方程，则，设点、，
联列方程组，可得，
由题意可得且恒成立，
又，，
直线的方程为，令，有，
即，同理，
直角三角形中，设直线交轴于点，
因为，则，
所以，，所以，，
则
，
即，
当时，因为，可得；
（ii）由（i）知：，从而，
令，则，
则
，则，
当时，；当时，，
所以在上递增，在上递减，故，所以最小值为.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用双曲线得出渐近线方程，由已知得出a的值，再利用点到直线的距离公式得出双曲线上一点到渐近线距离之积，再结合已知条件得出的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得出b，c的值，从而得出双曲线的标准方程。
（2） （i）设直线方程，则，设点、，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合判别式法得出且恒成立，再利用韦达定理得出，，再利用点斜式得出直线的方程，令，得出点M的纵坐标，进而得出点M的坐标，同理得出点N的坐标，在直角三角形中，设直线交轴于点，再结合，则，再利用正切函数的定义得出，进而结合韦达定理得出，即，当时结合，进而得出n的值。
（ii）由（i）知：，从而，令，则，，则，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而得出的取值范围，进而得出的最小值。
22．（2022高三上·浙江期中）已知函数.
（1）若的导函数为，试讨论的单调性；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
【答案】（1）解：由已知，则，
①当时，，得在单调递减；
②当时，，
得在单调递减，在单调递增，
综上：当时，函数在单调递减；
当时，函数在单调递减，在单调递增.
（2）
解：即对恒成立，
整理得，令，
则求导得，注意到，而，
①当时，因为，故有，
，
记，则，
利用（证明略）得，
所以，
所以在单调递增，故，
所以对任意的恒成立，
②当时，根据①中的放缩得，
，
（i）若时，，不成立，
（ii）若时，当时，不符合题意，
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法讨论出函数的单调性。
（2）利用已知条件，则对恒成立，
整理得，令，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，再结合放缩法和不等式恒成立问题求解方法得出实数m的取值范围。
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浙江省9 1高中联盟2022-2023学年高三上学期数学11月期中联考试卷
一、单选题
1．（2022高三上·浙江期中）已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．（2022高三上·浙江期中）已知复数满足，则（　　）
A． B． C． D．1
3．（2022高三上·浙江期中）过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
4．（2022高三上·浙江期中）从2位男生，4位女生中安排3人到三个场馆做志愿者，每个场馆各1人，且至少有1位男生入选，则不同安排方法有（　　）种.
A．16 B．20 C．96 D．120
5．（2022高三上·浙江期中）雷峰塔又名黄妃塔 西关砖塔，位于浙江省杭州市西湖区，地处西湖风景区南岸夕照山（海拔46米）之上.是吴越国王钱俶为供奉佛螺髻发舍利 祈求国泰民安而建.始建于北宋太平兴国二年（977年），历代屡加重修.现存建筑以原雷峰塔为原型设计，重建于2002年，是“西湖十景”之一，中国九大名塔之一，中国首座彩色铜雕宝塔.李华同学为测量塔高，在西湖边相距的 两处（海拔均约16米）各放置一架垂直于地面高为米的测角仪 （如图所示）.在测角仪处测得两个数据：塔顶仰角及塔顶与观测仪点的视角在测角仪处测得塔顶与观测仪点的视角，李华根据以上数据能估计雷锋塔的高度约为（　　）（参考数据：，）
A．70.5 B．71 C．71.5 D．72
6．（2022高三上·浙江期中）已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（　　）条件
A．充分不必要 B．必要不充分
C．充要 D．既不充分也不必要
7．（2022高三上·浙江期中）已知函数的定义域为，且是偶函数，是奇函数，则（　　）
A． B． C． D．
8．（2022高三上·浙江期中）已知，，，则（　　）
A． B． C． D．.
二、多选题
9．（2022高三上·浙江期中）已知函数，其中，为实数，则下列条件能使函数仅有一个零点的是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
10．（2022高三上·浙江期中）已知函数，则（　　）
A．函数的值域为
B．点是函数的一个对称中心
C．函数在区间上是减函数
D．若函数在区间上是减函数，则的最大值为
11．（2022高三上·浙江期中）已知袋子中有个红球和个蓝球，现从袋子中随机摸球，则下列说法正确的是（　　）
A．每次摸个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第次摸到红球的概率为
B．每次摸个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第次摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为
C．每次摸出个球，摸出的球观察颜色后放回，连续摸次后，摸到红球的次数的方差为
D．从中不放回摸个球，摸到红球的个数的概率是
12．（2022高三上·浙江期中）已知棱长为1的正方体，以正方体中心为球心的球与正方体的各条棱相切，点为球面上的动点，则下列说法正确的是（　　）
A．球在正方体外部分的体积为
B．若点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则
C．若点在平面下方，则直线与平面所成角的正弦值最大为
D．若点 在球的正方体外部（含正方体表面）运动，则最小值为
三、填空题
13．（2022高三上·浙江期中）的展开式的中间一项的系数是　 　.（用数字作答）.
14．（2022高三上·浙江期中）已知正实数，满足，则的最小值为　 　.
15．（2022高三上·浙江期中）我们知道用平面截正方体可以得到不同形状的截面，若棱长为的正方体被某平面截得的多边形为正六边形，以该正六边形为底，此正方体的顶点为顶点的棱锥的最大体积是　 　.
16．（2022高三上·浙江期中）已知椭圆上两点，（为长半轴长），点为椭圆右焦点，点是线段中点，、、轴恰好围成以为顶点的等腰三角形，则椭圆的离心率为　 　.
四、解答题
17．（2022高三上·浙江期中）已知数列的前项和为，若，
（1）求数列的通项公式；
（2）证明：.
18．（2022高三上·浙江期中）已知的内角、、所对的边长分别为、、，且，若，，求：
（1）求的值；
（2）求的最大值.
19．（2022高三上·浙江期中）已知棱长均为2的平行六面体，，顶点的投影为棱中点.
（1）求三棱锥的体积；
（2）求平面与平面所成角的余弦值.
20．（2022高三上·浙江期中）直播电商带货的模式近年来发展势头迅猛，我国直播电商模式不仅规模上实现增长，在影响力上也发展成为重要的电商消费模式，包括直播活跃程度、覆盖商品类型、主播类型等都实现延展.每年的“双十一”购物节成为各直播电商里关注的节点.某直播公司为增加销售额，准备采取新举措，将原本单一的直播团队拆分为甲 乙两个直播团队，相互竞争.该公司记录了新举措实施前天的全公司的日均总销售额和新举措实施后天的日均总销售额的天数频数分布表，如表所示：
新举措实施前天全公司的日均总销售额
日均总销售额（万元）
天数
新举措实施后天全公司的日均总销售额
日均总销售额（万元）
天数
参考公式及数据：，其中.
（1）将下面的列联表补充完整.并回答：在犯错误的概率不超过的前提下，能否判断公司销售额提高与采取新措施有关；
日均总销售额小于万元的天数 日均总销售额不小于万元的天数 总计
新举措实施前天 　 　 　
新举措实施后天 　 　 　
总计 　 　 　
（2）后期该公司还打算对甲、乙两个直播团队的表现进行如下考核：选定某周周一至周五的天时间，两队进行当天销售额的比较，若甲团队的销售额超过万元且乙团队的销售额未超过万元，则甲团队得分，乙团队得分；若乙团队的销售额超过万元且甲团队的销售额未超过万元，则乙团队得分，甲团队得分；若两团队的销售额都超过万元或都未超过万元，则两团队均得分.根据以往数据，甲、乙两团队某天销售额超过万元的概率分别为和，某一天的考核中甲团队的得分记为.
（i）若，，求的分布列；
（ii）若甲、乙两团队在考核开始时都赋予分，两队销售额比较次算一轮，若经过轮比较，甲团队得分的数学期望超过分，求的取值范围（用表示）.
21．（2022高三上·浙江期中）过双曲线上一点作两渐近线的垂线，垂足为、，且.
（1）求双曲线方程；
（2）过点的直线与双曲线右支交于、两点，连接、，直线与、分别交于、，.
（i）若，求的值；
（ii）求的最小值.
22．（2022高三上·浙江期中）已知函数.
（1）若的导函数为，试讨论的单调性；
（2）若对任意的恒成立，求实数的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】并集及其运算
【解析】【解答】因为，，故。
故答案为：A.
【分析】利用已知条件结合一元二次不等式求解方法得出集合A，再利用对数函数的单调性求出集合B，再结合并集的运算法则得出集合A和集合B 的并集。
2．【答案】D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数求模
【解析】【解答】解法一：由题意，易得：，
∴.
解法二：
∴.
故答案为：D
【分析】利用已知条件结合两种方法解题。解法一：利用复数的乘除法运算法则得出复数z的共轭复数，再结合复数的模与共轭复数的模的关系得出复数z的模；解法二：利用复数的乘除法运算法则和复数求模公式得出复数z的共轭复数的模，再结合复数的模和共轭复数的模的关系得出复数z的模。
3．【答案】B
【知识点】直线的点斜式方程；直线的一般式方程；直线与圆相交的性质
【解析】【解答】由题意得：直线的斜率，且直线过原点，
所以直线的方程为，
圆的方程化为：，即圆心为（0，1），半径，
所以圆心（0，1）到直线的距离，
所以直线被圆所截得弦长为。
故答案为：B
【分析】利用已知条件结合直线的斜率与直线的倾斜角的关系式得出直线的斜率，再利用点斜式方程求出直线的方程，再结合圆的标准方程求出圆心坐标和半径长，再利用点到直线的距离公式得出圆心到直线的距离，再结合弦长公式得出直线被圆截的的弦长。
4．【答案】C
【知识点】分类加法计数原理；排列、组合及简单计数问题
【解析】【解答】若选一男两女共有：；
若选两男一女共有：；
因此共有96种。
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合组合数公式和排列数公式，再结合分类加法计数原理，进而得出不同的安排方法种数。
5．【答案】C
【知识点】正弦定理的应用
【解析】【解答】在中，，，
所以，
由正弦定理得 ，
所以，
在直角中，，
将平面画成平面图如图所示：
由题意知：，， ，
。
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合正弦定理和作差法，进而估计出雷锋塔的高度。
6．【答案】C
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】充分性：
等价于：
等价于：
等价于：
所以为的靠近的三等分点，所以点为重心；
必要性：若点为重心，由重心性质知，故
故答案为：C
【分析】利用已知条件结合充分条件、必要条件的判断方法，进而判断出 “”为“点为重心” 的充要条件。
7．【答案】D
【知识点】奇偶函数图象的对称性
【解析】【解答】因为函数为偶函数，则，
令可得，所以，，
因为函数为奇函数，则，
所以，函数的图象关于直线对称，关于点对称，
又因为函数的定义域为，则，则，
、、的值都不确定.
故答案为：D.
【分析】利用已知条件结合换元法和奇函数以及偶函数的定义，再结合函数的图象的对称性，进而得出函数的值，从而找出正确的选项。
8．【答案】A
【知识点】利用导数研究函数的单调性
【解析】【解答】令，，
由得，，由得，，
所以在上为增函数，在为减函数.
因为，所以，即，故.
因为，所以，所以，
所以，所以，而，所以。
故答案为：A
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，再利用对数函数的单调性，进而比较出a，b，c的大小。
9．【答案】A,C,D
【知识点】利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】由已知可得的定义域为.
对于A、当时，，
则.
当或时，；当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值.
因为 且的图象连续不断，故的图象与轴有且只有一个交点，
故此时有且只有一个零点，故该选项符合题意.
对于B、当时，，则.
当或时，；当时，，
故在和上单调递增，在上单调递减，
故在处取得极大值，在处取得极小值.
又因为，且的图象连续不断，
故的图象与轴有且只有两个交点，
故此时有且只有两个零点，故该选项不合题意.
对于C、当时，，则在上恒成立，当且仅当时取等号，故在上单调递增，
又因为 ，且的图象连续不断，
故的图象与轴有且只有一个交点，故此时有且只有一个零点，故该选项符合题意.
对于D、当时，，则在上恒成立，
故在上单调递增，
又因为，且的图象连续不断，
故的图象与轴有且只有一个交点，
故此时有且只有一个零点，故该选项符合题意.
故答案为：ACD.
【分析】利用已知条件结合求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的极值，再结合函数的零点与函数与x轴交点的横坐标的等价关系，进而得出能使函数仅有一个零点的a，b的值。
10．【答案】A,B,D
【知识点】集合关系中的参数取值问题；函数的值域；函数单调性的判断与证明；图形的对称性
【解析】【解答】因为.
对于A选项，函数的值域为，A对；
对于B选项，，故点是函数的一个对称中心，B对；
对于C选项，当时，，故函数在区间上不单调，C不符合题意；
对于D选项，由题意且函数在上为减函数，
当时，，且，
所以，，则，解得，
故的最大值为，D对.
故答案为：ABD.
【分析】利用已知条件结合辅助角公式得出正弦型函数，再利用正弦型函数的图象求值域的方法得出函数f(x)的值域；利用已知条件结合正弦型函数的图象求对称中心的方法对称函数f(x)的一个对称中心；再利用正弦型函数f(x)的图象判断出其在区间上单调性；再结合正弦型函数的图象判断出函数在区间上的单调性，再利用集合间的包含关系，进而得出实数的最大值。
11．【答案】A,D
【知识点】互斥事件的概率加法公式；相互独立事件的概率乘法公式；古典概型及其概率计算公式；离散型随机变量的期望与方差；条件概率与独立事件；二项分布与n次独立重复试验的模型
【解析】【解答】对于A选项，记事件第一次摸红球，事件第一次摸蓝球，事件第二次摸红球，
则，A对；
对于B选项，每次摸个球，摸出的球观察颜色后不放回，
则第次摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率为，B不符合题意；
对于C选项，由题意可知，则，C不符合题意；
对于D选项，从中不放回摸个球，摸到红球的个数的概率是，D对.
故答案为：AD.
【分析】利用已知条件结合独立事件乘法求概率公式和互斥事件加法求概率公式，进而得出每次摸个球，摸出的球观察颜色后不放回，则第次摸到红球的概率；利用已知条件结合条件概型求概率公式得出第次摸到红球的条件下，第次摸到红球的概率；利用已知条件结合二项分布求方差公式得出连续摸次后，摸到红球的次数的方差；利用已知条件结合组合数公式和古典概型求概率的公式，进而得出从中不放回摸个球，摸到红球的个数的概率，从而找出说法正确的选项。
12．【答案】B,D
【知识点】二次函数在闭区间上的最值；平面向量数量积的运算；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积；直线与平面所成的角
【解析】【解答】对于A，正方体的棱切球的半径，如下图所示，
球在正方体外部的体积，
或者可根据球在平面上方球缺部分的体积，为球缺的高，
所以球在正方体外部的体积为， A选项错误；
对于B，取中点，可知在球面上，可得，所以，点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，所以（当为直径时，），所以，B选项正确；
对于C，
若正方体上底面字母为，则直线与平面所成角的正弦值最大时，如上图所示点位置，此时正弦值最大为1，
若正方体下底面字母为，设平面的中心为，直线与平面所成角即为直线与平面所成角，
则直线与平面所成角最大时，直线正好与平面下方球相切，过作平面下方球的切线，切点为，将正方体及其棱切球的截面画出，如下图所示，可得，，，，，
所以，
，，
所以直线与平面所成角最大时为，
，C选项错误；
对于D，，
记向量与向量的夹角为，，因为，
且，
所以，
令，所以上式可化为，当且仅当时等号成立，
此时，即时等号成立，根据题意可知此条件显然成立，D选项正确.
故答案为：BD.
【分析】利用正方体的棱切球的半径结合球的体积公式和正方体的体积公式，再结合作差法和几何法得出球在正方体外部的体积，或者可根据锥体的体积公式得出球在平面上方球缺部分的体积，再结合几何法得出球在正方体外部的体积；取中点，可知在球面上，再结合向量共线定理和三角形法则以及数量积的运算法则，进而得出，再利用点在球的正方体外部（含正方体表面）运动，所以，再结合二次函数的图象球值域的方法得出的取值范围；若正方体上底面字母为，则直线与平面所成角的正弦值最大时，如上图所示点位置，此时正弦值最大为1，
若正方体下底面字母为，设平面的中心为，直线与平面所成角即为直线与平面所成角，则直线与平面所成角最大时，直线正好与平面下方球相切，过作平面下方球的切线，切点为，将正方体及其棱切球的截面画出，可得，，，的值，再利用两三角形全等的判断方法得出，再利用两三角形全等的性质，所以，再利用正弦函数的定义得出，的值，所以直线与平面所成角最大时为，再利用两角差的正弦公式得出的值；利用三角形法则和数量积的运算法则以及数量积的定义，再结合余弦型函数的图象求值域的方法得出，再利用数量积的运算法则和二次函数的图象求最值的方法得出 的最小值，从而找出说法正确的选项。
13．【答案】
【知识点】二项式定理的应用
【解析】【解答】由二项式展开式可知，的展开式的中间一项的系数为。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合二项式定理求出展开式中的通项公式，再利用通项公式求出展开式中间一项的系数。
14．【答案】
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】由，可得，
可得，
故的最小值为。
【分析】利用已知条件结合均值不等式变形求最值的方法得出x+y的最小值。
15．【答案】
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积
【解析】【解答】在棱长为的正方体中，、、、、、分别为对应棱的中点，
由正方体的几何性质可知，六边形为正六边形，且其边长为，
正六边形的面积为.
以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、、，
，，，，
，，，，
，、平面，平面，
当棱锥的顶点为点或时，棱锥的高最大，
且该棱锥高的最大值为，
因此，此正方体的顶点为顶点的棱锥的最大体积是。
故答案为：。
【分析】在棱长为的正方体中，、、、、、分别为对应棱的中点，由正方体的几何性质可知，六边形为正六边形，且其边长为，再利用正六边形求面积公式得出正六边形的面积，再利用已知条件，以点为原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用数量积的坐标表示结合数量积为0两向量垂直的等价关系，从而得出，，再利用线线垂直证出线面垂直，所以平面，当棱锥的顶点为点或时，棱锥的高最大，再利用数量积得出该棱锥高的最大值，再利用棱锥的体积公式得出此正方体的顶点为顶点的棱锥的最大体积。
16．【答案】
【知识点】椭圆的简单性质
【解析】【解答】由题意知，
由 轴恰好围成以为顶点的等腰三角形可知，
所以 ，
整理得，故 。
故答案为：。
【分析】利用已知条件结合椭圆的标准方程得出点F的坐标，再利用中点坐标公式得出点C的坐标，由 轴恰好围成以为顶点的等腰三角形可知，再利用两点求斜率公式得出a，c的关系式，再结合椭圆的离心率公式变形得出椭圆的离心率的值 。
17．【答案】（1）解：当时，
相减得
当时，符合上式
所以.
当时，
当时，符合上式.
故
（2）证明：由（1）知：
所以
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；数列的求和；反证法与放缩法
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合的关系式，再利用分类讨论的方法和检验法，进而得出数列的通项公式。
（1）利用已知条件结合等差数列前n项和公式和裂项相消求和的方法得出 ，再结合放缩法证出不等式 成立。
18．【答案】（1）解：由已知和正弦定理得，
由余弦定理可得，
所以.
（2）解：法一：，则，
由得，
即，
又中，
从而，
即，
所以（当且仅当时取等号），
故的最大值为.
法二：由
所以，，
即，
即，
所以（当且仅当时取等号），
故的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；向量的三角形法则；向量的共线定理；运用诱导公式化简求值；正弦定理；余弦定理
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合正弦定理和余弦定理，进而得出角C的余弦值，再利用三角形内角和为180度的性质结合诱导公式，进而得出 的值。
（2） 法一：利用，从而结合诱导公式得出，再利用余弦定理和均值不等式求最值的方法得出的最大值；
法二：由结合三角形法则和平面向量基本定理以及数量积的运算法则和数量积的定义，得出，再利用均值不等式求最值的方法得出的最大值。
19．【答案】（1）解：
如图，由底面为菱形，，得正，从而有，
又平面，平面，得，又
故平面，由已知得，
平行六面体知：到面距离等于长
因为为中点，，所以为正三角形，故也为正三角形，
所以
（2）解：
由底面为菱形，，得正，从而有，以为轴，为轴，为轴建立如图所示的空间直角坐标系.
则，，，，
从而，
设平面的法向量为，则
，令，，
平面平面，其一个法向量为.
所以
所以平面与平面所成角的余弦值为
【知识点】棱柱、棱锥、棱台的体积；用空间向量求平面间的夹角
【解析】【分析】（1）由底面为菱形，，得出正，从而有，再利用直线平面结合线面垂直的定义证出线线垂直，得出，再利用线线垂直证出线面垂直，故平面，由已知得，再利用平行六面体知：点到面距离等于长，再利用点为中点，，所以为正三角形，故也为正三角形，再利用等体积法和三棱锥的体积公式，进而得出三棱锥的体积。
（2）由底面为菱形，，得出正，从而有，以为轴，为轴，为轴建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再结合向量的坐标表示得出向量的坐标，再利用平面的法向量求解方法得出平面的法向量，再结合平面平面，其一个法向量为，从而结合数量积求向量夹角公式得出平面与平面所成角的余弦值。
20．【答案】（1）解：列联表如下：
日均总销售额小于万元的天数 日均总销售额不小于万元的天数 总计
新举措实施前天
新举措实施后天
总计
因为，
所以在犯错误的概率不超过的前提下，能判断公司销售额提高与采取新措施有关.
（2）解：的所有可能取值为、、，
，，，
（i）将已知值，代入，得随机变量的分布列如下表所示：
（ii）由上可知，
，
又概率，故.
【知识点】独立性检验的应用；离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差
【解析】【分析】（1）利用已知条件得出 列联表 ，再利用 列联表结合独立性检验的方法得出在犯错误的概率不超过的前提下，能判断公司销售额提高与采取新措施有关。
（2）（i)利用已知条件得出随机变量的所有可能取值，再利用对立事件求概率公式和独立事件乘法求概率公式，进而得出随机变量X的分布列。
（ii)利用已知条件结合随机变量的分布列求数学期望公式和数学期望的性质，再结合概率的基本性质，进而用表示 的取值范围。
21．【答案】（1）解：双曲线的渐近线方程为，
由已知得，
双曲线上一点到渐近线距离之积，
即，又，，
所以双曲线方程为.
（2）解：（i）设直线方程，则，设点、，
联列方程组，可得，
由题意可得且恒成立，
又，，
直线的方程为，令，有，
即，同理，
直角三角形中，设直线交轴于点，
因为，则，
所以，，所以，，
则
，
即，
当时，因为，可得；
（ii）由（i）知：，从而，
令，则，
则
，则，
当时，；当时，，
所以在上递增，在上递减，故，所以最小值为.
【知识点】双曲线的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1） 利用双曲线得出渐近线方程，由已知得出a的值，再利用点到直线的距离公式得出双曲线上一点到渐近线距离之积，再结合已知条件得出的值，再利用双曲线中a，b，c三者的关系式，进而得出b，c的值，从而得出双曲线的标准方程。
（2） （i）设直线方程，则，设点、，再利用直线与双曲线相交，联立二者方程结合判别式法得出且恒成立，再利用韦达定理得出，，再利用点斜式得出直线的方程，令，得出点M的纵坐标，进而得出点M的坐标，同理得出点N的坐标，在直角三角形中，设直线交轴于点，再结合，则，再利用正切函数的定义得出，进而结合韦达定理得出，即，当时结合，进而得出n的值。
（ii）由（i）知：，从而，令，则，，则，再利用求导的方法判断函数的单调性，进而得出函数的值域，从而得出的取值范围，进而得出的最小值。
22．【答案】（1）解：由已知，则，
①当时，，得在单调递减；
②当时，，
得在单调递减，在单调递增，
综上：当时，函数在单调递减；
当时，函数在单调递减，在单调递增.
（2）
解：即对恒成立，
整理得，令，
则求导得，注意到，而，
①当时，因为，故有，
，
记，则，
利用（证明略）得，
所以，
所以在单调递增，故，
所以对任意的恒成立，
②当时，根据①中的放缩得，
，
（i）若时，，不成立，
（ii）若时，当时，不符合题意，
综上所述，实数的取值范围是.
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性
【解析】【分析】（1）利用已知条件结合分类讨论的方法，再结合求导的方法讨论出函数的单调性。
（2）利用已知条件，则对恒成立，
整理得，令，再利用分类讨论的方法和求导的方法判断函数的单调性，再结合放缩法和不等式恒成立问题求解方法得出实数m的取值范围。
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