苏科版九年级数学下册第5章二次函数 单元测试卷（解析版）

苏科版九年级数学下册单元测试卷
第5章 二次函数
时间：120分 总分120分
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列函数中，一定是的二次函数的是 （ ）
A． B．
C． D．
2．抛物线的解析式为，则它的顶点坐标是 （ ）
A． B． C． D．
3．关于抛物线，下列说法正确的是 ( 　)
A．开口向下； B．对称轴为直线；
C．有最大值1； D．当时，y随x的增大而增大；
4．将抛物线向上平移1个单位长度，再向右平移4个单位长度，所得到的抛物线为 （ ）
A． B． C． D．
5．已知P（，）是平面直角坐标系的点，则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是 （　　）
A． B． C． D．
6．二次函数与一次函数的图像在同一直角坐标系中图像可能是 （ ）
A． B．
C． D．
7．若二次函数的图象经过P（1，3），Q（m，n）两点，则代数式的最小值为 （ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
8．已知如图，在正方形ABCD中，点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），点D在抛物线的图像上，则k的值是（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（每题3分，共24分）
9．若某二次函数图象的形状和开口方向与抛物线相同，且顶点坐标为，则它的表达式为___________．
10．抛物线的对称轴是___________．
11．如果二次函数的图像经过原点，那么______．
12．若二次函数的图像与x轴有两个不同的交点，则k的取值范围是___________．
13．已知抛物线的图象的对称轴为直线，若点，点在抛物线上，则_____．（填“”“”或“”）
14．足球被从地面上踢起，它距地面的高度h（m）可用公式h＝－4.9t2＋19.6t来表示，其中t（s）表示足球被踢出后经过的时间，则球在______s后落地．
15．如图，抛物线与直线交于两点，则不等式的解集是___________．
16．如图，抛物线交轴于、两点在的左侧，交轴于点，点是线段的中点，点是线段上一个动点，沿折叠得，则线段的最小值是______．
三、解答题（每题8分，共72分）
17．如图，已知二次函数的图象经过点A（-1，0），B（1，-2），与x轴的另一个交点为C．
(1)求该图象的解析式；
(2)求AC长．
18．已知二次函数y=ax2+bx+3的图象经过点（-3，0）、（2，-5）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）请你判断点P（-2，4）是否在这个二次函数的图像上？
19．抛物线与轴交于点(0，3)．
（1）求的值及抛物线与轴的交点坐标；
（2）取什么值时，抛物线在轴下方？
（3）取什么值时，的值随着的增大而增大？
20．某商店购进一批单价为20元的日用商品，如果以单价30元销售，那么一个月内可以售出400件．根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少，即销售单价每提高1元，销售量相应减少20件．售价为多少元时，才能在一个月内获得最大利润？
21．园林部门计划在某公园建一个长方形苗圃．苗圃的一面靠墙（墙最大可用长度为14米）．另三边用木栏围成，中间也用垂直于墙的木栏隔开，分成两个区域，并在如图所示的两处各留2米宽的门（门不用木栏），建成后所用木栏总长32米，设苗圃的一边长为x米．
(1)长为________米（包含门宽，用含x的代数式表示）；
(2)若苗圃的面积为，求x的值；
(3)当x为何值时，苗圃的面积最大，最大面积为多少？
22．某校九年级进行集体跳绳比赛．如图所示，跳绳时，绳甩到最高处时的形状可看作是某抛物线的一部分，记作G，绳子两端的距离AB约为8米，两名甩绳同学拿绳的手到地面的距离AC和BD基本保持1米，当绳甩过最低点时刚好擦过地面，且与抛物线G关于直线AB对称．
(1)求抛物线G的解析式并写出自变量的取值范围；
(2)如果身高为米的小华站在C，D之间，且距点C的水平距离为m米，绳子甩过最高处时超过她的头顶，直接写出m的取值范围．
23．如图，在中，，，，动点从点开始沿边向点以的速度移动，动点从点开始沿边向点以的速度移动．点，分别从，两点同时出发，各自到达终点后才停止运动．
(1)求的面积与时间的函数关系式；
(2)求当为何值时，．
24．抛物线交轴于点，交轴于点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)如图，点P是线段上方抛物线上一动点，当的面积最大值时，求出此时P点的坐标；
25．如图，二次函数的图象与x轴交于A，B两点与y轴交于点C，作轴交函数图象上于点E，已知，，直线是抛物线的对称轴，D是抛物线的顶点．
(1)求二次函数的解析式；
(2)连接AD，线段上的点N关于直线l的对称点恰好在线段上，求点N的坐标；
(3)探究：抛物线的对称轴上是否存在点T，使得线段绕点T逆时针旋转后，点B的对应点恰好也落在此抛物线上？若存在，求出点T的坐标；若不存在，请说明理由．
试卷第6页，共6页
参考答案：
1．
解：A．函数分母中含有未知数，不是二次函数，故本选项不符合题意；
B．当时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意；
C．函数是二次函数，故本选项符合题意；
D．当时，函数不是二次函数，故本选项不符合题意．
故选C．
2．
解：∵抛物线的解析式为，
∴它的顶点坐标是，
故选：D
3．
解：，，
∴开口向上，故A选项不正确；
对称轴为直线，故B选项不正确；
顶点坐标为，开口向上，则有最小值1，当时，y随x的增大而增大，故C选项错误，D选项正确；
故选：D
4．
解：依题意可知，原抛物线顶点坐标为，平移后抛物线顶点坐标为，
又因为平移不改变二次项系数，所以所得抛物线解析式为：．
故选：A．
5．
解：∵P（，）是平面直角坐标系中的点，
∴，，
∴，
∴
则点P的纵坐标随横坐标变化的函数解析式是，
故选：B．
6．
解：∵二次函数，
∴
∴二次函数图像过原点，
∴A选项不符合题意；
B：假设二次函数的图像正确，由二次函数图像开口方向向上，可知；
又∵在同一坐标系中由一次函数的图像，y随x的增大而减小，可知；
故B选项不符合题意；
∵，
∴，，
∴交点坐标为：，，
∴其中一个交点坐标位于x轴上，
故C选项，函数图像一个交点坐标位于x轴上，而且抛物线过原点，符合题意；
故D选项，函数图像交点不在x轴上，不符合题意；
故答案为C．
7．
解：∵二次函数的图象经过P（1，3），
∴，
∴a=1，
∴二次函数的解析式为，
∵二次函数的图象经过Q（m，n），
∴即，
∴
，
∵，
∴的最小值为1，
故选：A．
8．
作DM⊥x轴于M，AN⊥DM于N，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ADC＝90°，AD＝DC，
∴∠ADN+∠CDM＝90°＝∠CDM+∠DCM，
∴∠ADN＝∠DCM，
∵∠AND＝∠DMC＝90°，
∴△ADN≌△DCM（AAS），
∴AN＝DM，DN＝CM，
设D（a，b），
∵点A、C的坐标分别是（﹣1，5）（2，0），
∴，解得，
∴D（3，4），
∵D在抛物线的图像上，
∴+3k＝4，
∴k=，
故选：B．
9．图象顶点坐标为，
可以设函数解析式为，
又∵二次函数图象的形状和开口方向与抛物线相同，
∴，
∴这个函数解析式为：，
故答案为：．
10．
解：∵抛物线解析式为，
∴抛物线对称轴为直线，
故答案为：直线．
11．
解：∵二次函数的图像经过原点，
∴，
∴，
故答案为：2．
12．
∵的图像与x轴有两个不同的交点，
∴，
∴，
∴，
故答案为：．
13．
解：抛物线的图象的对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而减小，
∵，
∴．
故答案为：．
14．
解：令，则，
解得，，
足球被踢出落地，
故答案为：4．
15．
∵抛物线与直线交于 A( 2，p) ，B(4，q)，抛物线开口向上，
∴ 2∴ ax2 mx+c故答案为： 216．
解：令，则，
解得，，
，，
，，
令，则，
，
，
，
为中点，
，
由沿折叠所得，
，
在以为圆心，为半径的圆弧上运动，
当，，在同一直线上时，最小，
过点作，垂足为，
，，
，
，
又，
，
故答案为：．
17． （1）
把点代入中，得
解之得
∴二次函数的解析式为：
（2）
对于二次函数
令得
18．
解：（1）把（-3，0）、（2，-5）代入函数解析式得，
，解得，，
抛物线解析式为，
（2）把P（-2，4）代入函数解析式，左边=4，右边=，
左边≠右边，
点P不在该二次函数上．
19．
（1）将点代入得：
则二次函数的解析式为
令得：
解得
则抛物线与轴的交点坐标为，；
（2）二次函数的开口向下
结合（1）可得：当或时，抛物线在轴下方；
（3）二次函数的顶点式为
二次函数的增减性为：当时，y随x的增大而增大；当时，y随x的增大而减小
则当时，的值随着的增大而增大．
20．
解：设销售单价为x元，销售利润为y元，依题意得，单件利润为元，月销量为件，
月销售利润，
整理得，
配方得，
所以时，y取得最大值4500．
故售价为35元时，才能在一个月内获得最大利润，最大利润为4500元．
21．
（1）∵木栏总长32米，两处各留2米宽的门，设苗圃的一边长为x米，
BC的长为32-3x+4=（36-3x）米，
故答案为：（36-3x）；
（2）根据题意得，，
解得，x=4或x=8，
∵当x=4时，36-3x=24>14，
∴x=4舍去，
∴x的值为8；
（3）设苗圃的面积为w，
，
∵4<36-3x14，
∴，
∵-3<0，图象开口向下，
∴当时，w取得最大值，w最大为；
答：当x为米时，苗圃ABCD的最大面积为平方米．
22．（1）解：建立如图所示平面直角坐标系．
由题意得∶，顶点．
可设抛物线G的解析式为，
∵在抛物线G上，
解得．
∴，自变量的取值范围为；
（2）解：当时，，
解得，
∴m的取值范围是．
23．
（1）由题意得，，，则，
∴，
∵，，，，
∴，，
∴，
∴，
（2）∵，，
∴，
∴，
解得：．
24．
（1）解：将A、B两点的坐标分别代入解析式得：
解得：
抛物线的解析式为：
（2）过点P作x轴的垂线交直线于点H，
设直线的解析式为：，
根据，的坐标代入，
解得：，
即直线的解析式为：，
设点P 的横坐标为a，
则点P 的坐标为，点H的坐标为，
点P、H都在第一象限，
＝，
＝＝＝，
∵，，
时，有最大值为，
此时，点P 的坐标为．
25．
（1）∵，
∴，
∵轴，
∴，抛物线的对称轴为直线，
∴，
设抛物线的解析式为，
把代入得，解得，
∴抛物线的解析式为，
即；
（2）∵，
∴，
设直线的解析式为，
把代入得，解得，
∴直线的解析式为；
设，
∵点N关于直线的对称点为，
∴，
把代入得，
∴N点坐标为；
（3）存在．
直线交x轴于M，作直线于N，如图，设，
∵线段绕点T逆时针旋转后，点B的对应点恰好也落在此抛物线上，
∴，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∴点的坐标为，
把代入得，解得，
∴点T的坐标为或．