勾股定理[下学期]
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文档简介
学科：数学
教学内容：勾股定理
知识精点
1．勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
2．勾股定理表达形式：
条件：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c．
结论：．
3．勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）在数轴上作出表示（n为正整数）的点．
重、难、疑点
重点：（1）掌握勾股定理，会利用拼图验证勾股定理；
（2）会利用勾股定理解决一些实际问题．
难点：勾股定理的灵活应用，
疑点：勾股定理的作用及变形公式的运用．
典例精讲
例1 已知：一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm，求第三边的长．
方法指导：因为题目没有明确这两边中有无斜边，故应分类讨论，然后再用勾股定理计算第三边．
解：设第三边长为xcm，
当x为斜边长时，由勾股定理得：，∴x=5cm．
当4为斜边长时，由勾股定理得：，，∴．
方法总结：在利用勾股定理时一定要分清斜边和直角边，若题目没有明确指出，则需分类讨论，避免漏解．
举一反三 以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形面积分别为和，求第三个正方形的面积．
解：或．
例2 直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，其斜边扩大到原来的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．不变
方法指导：可设两直角边长分别为a、b，斜边长为c，用代数式可清楚地反映它们之间的变化规律．
解：设两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则变化后两直角边长分别为2a、2b，由勾股定理得：．
那么．
由此知斜边也扩大到原来的2倍．故应选A．
方法总结：由本例知直角三角形三边同时扩大相同的倍数后仍是直角三角形．
举一反三 直角三角形三边都增加相同的长度所得三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
解：A
例3 如图，铁路上A、B两地相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C、D两村到E站距离相等，则E站应建在距A地多少km处？
方法指导：此题中的E可看作动点．当E在AB间移动时，在某处使得DE=CE．此点惟一，而AE+BE为定值25．故可利用这一关系建立方程．
解：设AE=x，则BE=25—x．
在Rt△ADE中，，
在Rt△CBE中，，
又DE=CE，
∴，
即，
解得x=10（km）．
故E站应建在距A地10km处．
方法总结：对确定点的位置这一类型题．先假定此点找到，再依据需满足的关系建立方程求解是解此类题常用方法．
举一反三 如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD．
解：设DC=x，则BD=14—x，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
．
∴．
解得：x=5．
∴
=144．
∴AD=12．
例4 如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，BC=5cm，DC=4cm，求△ABC的面积．
方法指导：在Rt△ABC中，已知BC、DC，可直接用勾股定理求出BD的长，但要求就需计算AD的长．求AD取决于AC．而AC在两个直角三角形中，故可联立关于AC的表达式从而求出AD．
解：设AD=xcm，AC=ycm．
在Rt△BCD中，
．
∴BD=3cm．
在Rt△ACD中，，
在Rt△ABC中，，
∴．
整理得：．
∴．
方法总结：联立方程组其实质是寻找中间量．
举一反三 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，CD⊥AB于D，求CD的长．
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴．
∴AB=10．
又，
∴AB·CD=BC·AC．
即．
∴CD=4.8（cm）．
例5 一个直角三角形的三边为连续自然数，求这个直角三角形的三边长．
方法指导：根据三边长为连续自然数，可设中间数为n，则其余两数分别为（n—1）和（n+1），再根据勾股定理列方程求解．
解：设中间数为n，则其余两数分别为（n—1）和（n+1）．
∵这三个数为直角三角形的三边长，
∴由勾股定理得：．
∴．
化简得：，∵n>0，
∴n=4，∴直角三角形的三边长分别为：3、4、5．
方法总结：本题主要考察未知数的设法以及勾股定理的应用．
举一反三 一个直角三形的三边长为连续偶数，求这个直角三角形的三边长．
解：设中间数为2n，则其余两数分别为2（n—1）和2（n+1）．
由勾股定理得：．
∴．
化简得：，∵n>0，
∴n=4．
∴直角三角形的三边长分别为：6、8、10．
例6 如图所示，正方形ABCD边长为1，以AE为折痕，使AD落在AC上，D与F重合．求：DE的长．
方法指导：折叠问题有它的共同特征，即折叠前后两图形关于折痕对称，这样我们就可利用对称性来解题．
解：过点E作EF⊥AC于点F，设DE=x，则EF=DE=x，CE=1—x，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
．
又∵AD=AF=1，
∴．
在Rt△CFE中，由勾股定理得：
．
即．
解得：．
∴．
方法总结：方程思想是一种重要的数学思想，将未知量用一字母表示，再寻找含未知量的等式即得方程，解之即可，同时也可将几何问题代数化．
举一反三 将长方形ABCD沿AE折叠后，D点恰与BC边上的F点重合，如图，已知AB=8，BC=10，求EC的长．
解：EC=3．
知识网络
直角三角形——三边关系
学法点津
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，我们应了解它的文化价值．勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，我们应掌握它的一些重要用途．通过观察、归纳、猜想探索勾股定理，体验由特殊到一般的探索数学问题的方法；通过拼图来验证勾股定理，尝试用数形结合的思想来解决问题．
同步练习
1．直角三角形两直角边的长分别为8和10，则斜边上的高为_________，斜边被高分成的两部分的长分别是_________、_________．
2．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，b=10，则c=_________，a=_________．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则a：b：c=_________．
4．在△ABC中，∠C=90°，AB=12cm，AC=BC，则BC=_________．
5．等边三角形边长为8cm，它的面积为_________．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，CA=8cm，动点P从C点出发，以每秒2cm的速度沿CA，AB运动到点B，则从点C出发_________s时，可使．
7．从边长为2的正方形的一个顶点到正方形四边中点的距离之和是_________．
8．如图18．1-12，在△ABC中，∠C=90°，AC：BC=4：3，D在CB延长线上，且BD=AB，则DC：AD=_________．
9．在Rt△ABC中，E是斜边AB上一点，把△ABC沿CE折叠，点A与B恰好重合，如果AC=4cm，那么AB=_________cm．
10．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．
（1）若a=8，b=6，则c=_____________．
（2）若c=20，b=12，则a=_____________．
（3）若a：b=3：4，c=10，则a=_____________，b=_____________．
11．一个直角三角形的三边长为12，5和a，则以a为半径的圆的面积是（ ）
A． B．
C．或 D．无法确定
12．若线段a，b，c能构成直角三角形，则它们之比为（ ）
A．2：3：4 B．3：4：6
C．5：12：13 D．4：6：7
13．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积为（ ）
A． B．
C． D．
14．放学以后，小红和小颖从学校分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小组知行走的速度都是40m/min．小红用15min到家，小颖用20min到家，则小红家和小颖家的距离为（ ）
A．600m B．800m
C．1000m D．不能确定
15．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一个高为2.5m的木梯，准备把拉花挂到2.4m的墙上，则梯脚与墙角的距离应为（ ）
A．0.7m B．0.8m
C．0.9m D．1.0m
16．直角三角形两直角边长分别为5，12，则它斜边上的高是（ ）
A．6 B．8.5 C． D．
17．直角三角形一直角边长为11，另两边均为自然数，则其周长为（ ）
A．121 B．120
C．123 D．以上均错
18．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．
（1）已知a=15，b=20，求c．
（2）已知c=61，b=60，求a．
（3）已知，求a．
（4）已知，求c，a．
19．如图18．1-13，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠CBD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面积．
20．直角三角形两条直角边的比为3：4，面积是24．求这个三角形的周长．
21．△ABC中，∠ACB=90°，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，△ABC的面积是24，a+b=14．求c的长．
22．某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园．如图18．1-14所示，∠ACB=90°，AC=80m，BC=60m．若线段CD为一条水渠，且D在边AB上，已知水渠的造价是10元/米，则D点在距A点多远处时此水渠的造价最低？最低造价是多少？在图上标出D点．
23．小明的叔叔家承包了一个矩形养鱼池，已知其面积为，其对角线长为10m，为建起栅栏，需要计算这个矩形养鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？
24．如图18．1-15，一个长2.5m的梯子，斜靠在一面竖直的墙上（如AB状态），这时梯子底端离墙距离BC=0.7m，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面2m，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远？
参考答案
1．；； 2．20； 3． 4． 5． 6．2或6.5 7． 8． 9． 10．（1）10 （2）16 （3）6；8 11．C 12．C 13．A 14．C 15．A 16．D
17．D 提示：设斜边为m，另一直角边为n，则，因m，n为自然数，故m+n=121，m—n=1，所以m=81，n=40．所以m+n+11=132．
18．（1）c=25 （2）11 （3）4 （4）c=26，a=10
19．
20．24 提示：设两条直角边长为3k，4k．则，∴k=2，则12k=24．
21．10 提示：由题意，得，即ab=48．又a+b=14，两边平方，得，即，又因为，所以，即c=10．
22．过C作CD⊥AB于D，由勾股定理，得AB=100m．由面积公式：，得CD=48．瑞在直角三角形ADC中利用勾股定理，得．故造价为元．答：D点在距A点64m处，此时水渠的造价最低，最低造价为480元．
23．设矩形养鱼池的长为xm，宽为ym，则由②得．③将①代入③，得，则．所以矩形周长为28cm．
24．0.8m．
教学内容：勾股定理
知识精点
1．勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方．
2．勾股定理表达形式：
条件：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c．
结论：．
3．勾股定理的作用：
（1）已知直角三角形的两边，求第三边；
（2）在数轴上作出表示（n为正整数）的点．
重、难、疑点
重点：（1）掌握勾股定理，会利用拼图验证勾股定理；
（2）会利用勾股定理解决一些实际问题．
难点：勾股定理的灵活应用，
疑点：勾股定理的作用及变形公式的运用．
典例精讲
例1 已知：一个直角三角形的两边长分别为3cm和4cm，求第三边的长．
方法指导：因为题目没有明确这两边中有无斜边，故应分类讨论，然后再用勾股定理计算第三边．
解：设第三边长为xcm，
当x为斜边长时，由勾股定理得：，∴x=5cm．
当4为斜边长时，由勾股定理得：，，∴．
方法总结：在利用勾股定理时一定要分清斜边和直角边，若题目没有明确指出，则需分类讨论，避免漏解．
举一反三 以某直角三角形三边分别作三个正方形，其中两个正方形面积分别为和，求第三个正方形的面积．
解：或．
例2 直角三角形的两直角边同时扩大到原来的2倍，其斜边扩大到原来的（ ）
A．2倍 B．3倍 C．4倍 D．不变
方法指导：可设两直角边长分别为a、b，斜边长为c，用代数式可清楚地反映它们之间的变化规律．
解：设两直角边长分别为a、b，斜边长为c，则变化后两直角边长分别为2a、2b，由勾股定理得：．
那么．
由此知斜边也扩大到原来的2倍．故应选A．
方法总结：由本例知直角三角形三边同时扩大相同的倍数后仍是直角三角形．
举一反三 直角三角形三边都增加相同的长度所得三角形是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
解：A
例3 如图，铁路上A、B两地相距25km，C、D为两村庄，DA⊥AB于A，CB⊥AB于B，已知DA=15km，CB=10km，现在要在铁路AB上建一个土特产收购站E，使得C、D两村到E站距离相等，则E站应建在距A地多少km处？
方法指导：此题中的E可看作动点．当E在AB间移动时，在某处使得DE=CE．此点惟一，而AE+BE为定值25．故可利用这一关系建立方程．
解：设AE=x，则BE=25—x．
在Rt△ADE中，，
在Rt△CBE中，，
又DE=CE，
∴，
即，
解得x=10（km）．
故E站应建在距A地10km处．
方法总结：对确定点的位置这一类型题．先假定此点找到，再依据需满足的关系建立方程求解是解此类题常用方法．
举一反三 如图，在△ABC中，AB=15，BC=14，CA=13，求BC边上的高AD．
解：设DC=x，则BD=14—x，
在Rt△ADB中，由勾股定理得：
，
在Rt△ADC中，由勾股定理得：
．
∴．
解得：x=5．
∴
=144．
∴AD=12．
例4 如图，在△ABC中，∠C=90°，CD⊥AB，垂足为D，BC=5cm，DC=4cm，求△ABC的面积．
方法指导：在Rt△ABC中，已知BC、DC，可直接用勾股定理求出BD的长，但要求就需计算AD的长．求AD取决于AC．而AC在两个直角三角形中，故可联立关于AC的表达式从而求出AD．
解：设AD=xcm，AC=ycm．
在Rt△BCD中，
．
∴BD=3cm．
在Rt△ACD中，，
在Rt△ABC中，，
∴．
整理得：．
∴．
方法总结：联立方程组其实质是寻找中间量．
举一反三 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=6cm，CD⊥AB于D，求CD的长．
解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，
∴．
∴AB=10．
又，
∴AB·CD=BC·AC．
即．
∴CD=4.8（cm）．
例5 一个直角三角形的三边为连续自然数，求这个直角三角形的三边长．
方法指导：根据三边长为连续自然数，可设中间数为n，则其余两数分别为（n—1）和（n+1），再根据勾股定理列方程求解．
解：设中间数为n，则其余两数分别为（n—1）和（n+1）．
∵这三个数为直角三角形的三边长，
∴由勾股定理得：．
∴．
化简得：，∵n>0，
∴n=4，∴直角三角形的三边长分别为：3、4、5．
方法总结：本题主要考察未知数的设法以及勾股定理的应用．
举一反三 一个直角三形的三边长为连续偶数，求这个直角三角形的三边长．
解：设中间数为2n，则其余两数分别为2（n—1）和2（n+1）．
由勾股定理得：．
∴．
化简得：，∵n>0，
∴n=4．
∴直角三角形的三边长分别为：6、8、10．
例6 如图所示，正方形ABCD边长为1，以AE为折痕，使AD落在AC上，D与F重合．求：DE的长．
方法指导：折叠问题有它的共同特征，即折叠前后两图形关于折痕对称，这样我们就可利用对称性来解题．
解：过点E作EF⊥AC于点F，设DE=x，则EF=DE=x，CE=1—x，在Rt△ABC中，由勾股定理得：
．
又∵AD=AF=1，
∴．
在Rt△CFE中，由勾股定理得：
．
即．
解得：．
∴．
方法总结：方程思想是一种重要的数学思想，将未知量用一字母表示，再寻找含未知量的等式即得方程，解之即可，同时也可将几何问题代数化．
举一反三 将长方形ABCD沿AE折叠后，D点恰与BC边上的F点重合，如图，已知AB=8，BC=10，求EC的长．
解：EC=3．
知识网络
直角三角形——三边关系
学法点津
勾股定理是反映自然界基本规律的一条重要结论，它有着悠久的历史，我们应了解它的文化价值．勾股定理从边的角度进一步刻画了直角三角形的特征，我们应掌握它的一些重要用途．通过观察、归纳、猜想探索勾股定理，体验由特殊到一般的探索数学问题的方法；通过拼图来验证勾股定理，尝试用数形结合的思想来解决问题．
同步练习
1．直角三角形两直角边的长分别为8和10，则斜边上的高为_________，斜边被高分成的两部分的长分别是_________、_________．
2．Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=30°，b=10，则c=_________，a=_________．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，则a：b：c=_________．
4．在△ABC中，∠C=90°，AB=12cm，AC=BC，则BC=_________．
5．等边三角形边长为8cm，它的面积为_________．
6．在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6cm，CA=8cm，动点P从C点出发，以每秒2cm的速度沿CA，AB运动到点B，则从点C出发_________s时，可使．
7．从边长为2的正方形的一个顶点到正方形四边中点的距离之和是_________．
8．如图18．1-12，在△ABC中，∠C=90°，AC：BC=4：3，D在CB延长线上，且BD=AB，则DC：AD=_________．
9．在Rt△ABC中，E是斜边AB上一点，把△ABC沿CE折叠，点A与B恰好重合，如果AC=4cm，那么AB=_________cm．
10．在△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．
（1）若a=8，b=6，则c=_____________．
（2）若c=20，b=12，则a=_____________．
（3）若a：b=3：4，c=10，则a=_____________，b=_____________．
11．一个直角三角形的三边长为12，5和a，则以a为半径的圆的面积是（ ）
A． B．
C．或 D．无法确定
12．若线段a，b，c能构成直角三角形，则它们之比为（ ）
A．2：3：4 B．3：4：6
C．5：12：13 D．4：6：7
13．已知Rt△ABC中，∠C=90°，若a+b=14cm，c=10cm，则Rt△ABC的面积为（ ）
A． B．
C． D．
14．放学以后，小红和小颖从学校分别沿东南方向和西南方向回家，若小红和小组知行走的速度都是40m/min．小红用15min到家，小颖用20min到家，则小红家和小颖家的距离为（ ）
A．600m B．800m
C．1000m D．不能确定
15．为迎接新年的到来，同学们做了许多拉花布置教室，准备召开新年晚会，小刚搬来一个高为2.5m的木梯，准备把拉花挂到2.4m的墙上，则梯脚与墙角的距离应为（ ）
A．0.7m B．0.8m
C．0.9m D．1.0m
16．直角三角形两直角边长分别为5，12，则它斜边上的高是（ ）
A．6 B．8.5 C． D．
17．直角三角形一直角边长为11，另两边均为自然数，则其周长为（ ）
A．121 B．120
C．123 D．以上均错
18．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c．
（1）已知a=15，b=20，求c．
（2）已知c=61，b=60，求a．
（3）已知，求a．
（4）已知，求c，a．
19．如图18．1-13，在四边形ABCD中，∠BAD=90°，∠CBD=90°，AD=4，AB=3，BC=12，求正方形DCEF的面积．
20．直角三角形两条直角边的比为3：4，面积是24．求这个三角形的周长．
21．△ABC中，∠ACB=90°，a，b，c是∠A，∠B，∠C的对边，△ABC的面积是24，a+b=14．求c的长．
22．某校要把一块形状是直角三角形的废地开发为生物园．如图18．1-14所示，∠ACB=90°，AC=80m，BC=60m．若线段CD为一条水渠，且D在边AB上，已知水渠的造价是10元/米，则D点在距A点多远处时此水渠的造价最低？最低造价是多少？在图上标出D点．
23．小明的叔叔家承包了一个矩形养鱼池，已知其面积为，其对角线长为10m，为建起栅栏，需要计算这个矩形养鱼池的周长，你能帮助小明算一算吗？
24．如图18．1-15，一个长2.5m的梯子，斜靠在一面竖直的墙上（如AB状态），这时梯子底端离墙距离BC=0.7m，为了安装壁灯，梯子顶端需离地面2m，请你计算一下，此时梯子底端应再向远离墙的方向拉多远？
参考答案
1．；； 2．20； 3． 4． 5． 6．2或6.5 7． 8． 9． 10．（1）10 （2）16 （3）6；8 11．C 12．C 13．A 14．C 15．A 16．D
17．D 提示：设斜边为m，另一直角边为n，则，因m，n为自然数，故m+n=121，m—n=1，所以m=81，n=40．所以m+n+11=132．
18．（1）c=25 （2）11 （3）4 （4）c=26，a=10
19．
20．24 提示：设两条直角边长为3k，4k．则，∴k=2，则12k=24．
21．10 提示：由题意，得，即ab=48．又a+b=14，两边平方，得，即，又因为，所以，即c=10．
22．过C作CD⊥AB于D，由勾股定理，得AB=100m．由面积公式：，得CD=48．瑞在直角三角形ADC中利用勾股定理，得．故造价为元．答：D点在距A点64m处，此时水渠的造价最低，最低造价为480元．
23．设矩形养鱼池的长为xm，宽为ym，则由②得．③将①代入③，得，则．所以矩形周长为28cm．
24．0.8m．