4.1.1 n次方根与分数指数幂 说课课件（共23张PPT）

4.1 指数
4.1.1 ????次方根与分数指数幂
?
（一）了解背景，统领全章
问题1：请同学们先阅读教材第103页章头图与章引言，回答下面问题：
（1）本章将要学习的内容是什么？
（2）从文中你了解这些函数可以解决哪些实际问题？
（二）复习旧知，梳理路径
数学中引入一个新的概念或法则时，要与已有的概念或法则相容
问题2：在小学和初中的学习中，“数”的扩充经历了怎样的过程？
数系的扩充为指数幂的扩充指明了方向
（????） ????+????=????+???? ????×????=????×????
?
（????）????×????+????=????×????+????×????
?
（????）(????+????)+????=????+(????+????)
?
(????×????)×????=????×(????×????)
?
运算性质是否发生了变化？
自然数
负整数
整数
分数
有理数
无理数
实数
（二）复习旧知，梳理路径
（????）????????????????=????????+????(????>????,????,????∈?????);
（????）(????????)????=????????????(????>????,????,????∈?????);
（????）(????????)????=????????????????(????>????,????,????∈?????);
?
????????=????×????×????×??×????(????∈?????);
?
?????????=???? ????????(????∈?????);
?
（????）????????????????=????????+????(????>????,????,????∈????);
（????）(????????)????=????????????(????>????,????,????∈????);
（????）(????????)????=????????????????(????>????,????,????∈????);
?
问题3：谈到指数，在初中学习了正整数指数幂，你能说出正整数指数幂的意义和运算性质吗？
初中还把指数进行了扩充，使其可以取负整数，你能说出负整数指数幂意义是什么呢？
（二）复习旧知，梳理路径
问题4：在数系扩充的背景下，还想引进什么样的指数使指数幂进一步扩充？
自然数
负整数
整数
分数
有理数
无理数
实数
正整数指数幂
负整数整数指数幂
整数指数幂
分数指数幂
有理数指数幂
扩充的原则：
保持运算的协调性
运算性质的不变性
你认为扩充的原则是什么？
（三）类比学习，形成概念
????=±????
?
????=3????
?
如果????????=????，那么????叫做????的平方根（二次方根）.记作 ；
?
如果????????=????，那么????叫做????的立方根（三次方根）.记作 ；
?
比如：±????????=????，那么±????叫做4的平方根.
?
比如：?????????=?????，那么?????叫做?8的立方根.
?
问题5：在初中我们由平方、立方的运算，引入了平方根、立方根。你能举例说明它们的概念吗？
（三）类比学习，形成概念
如果 ，那么????叫做????的四次方根.记作 ；
?
????4=????
?
????=±4????
?
如果 ，那么????叫做????的五次方根.记作 ；
?
????5=????
?
????=5????
?
如果 ，那么????叫做????的????次方根.其中????>????，且????∈????? .
?
????????=????
?
追问1：类比二次方根、三次方根的定义，你能说出四次方根，五次方根的定义吗？
追问2：你能归纳出更一般的n次方根的定义吗？并举例说明.
比如：±????????=????????，那么±????叫做64的6次方根.
?
（三）类比学习，形成概念
如果 ，那么????叫做????的二次方根.记作 ；
?
如果 ，那么????叫做????的五次方根.记作 ；
?
如果 ，那么????叫做????的四次方根.记作 ；
?
如果 ，那么????叫做????的三次方根.记作 ；
?
????2=????
?
????=±????
?
????3=????
?
????=3????
?
????4=????
?
????5=????
?
????=±4????
?
????=5????
?
追问3：讨论任意实数????都有n次方根吗？有几个？该如何表示实数????的n次方根？可以举例说明.
?
如果 ，那么????叫做????的????次方根.其中????>????，且????∈????? .
?
????????=????
?
（三）类比学习，形成概念
分????为奇数与偶数
分????为正数、负数、零
?
????????叫做根式，
????叫做根指数,
????叫做被开方数
?
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
????为奇数
????为偶数
????>????
????????=????
{5C22544A-7EE6-4342-B048-85BDC9FD1C3A}
存在，有一个，是正数????????
?
存在，有两个，是相反数±????????
?
存在，有一个，是负数????????
?
不存在
????????=????
?
比如：
10的5次方根是_______;
10的6次方根是________;
????(????>????)的6次方根是______;
????????(????>????)的7次方根是_____;
?
510
?
±610
?
±6????
?
7????2
?
（四）回归定义，发现性质
问题6：回顾二次根式的学习过程，我们先定义了二次根式，又探究了二次根式的性质(????)????=????,????????=????，那么n次根式有什么性质呢？
?
（四）回归定义，发现性质
????
?
????
?
????
?
?????
?
?????
?
问题6：回顾二次根式的学习过程，我们先定义了二次根式，又探究了二次根式的性质(????)????=????,????????=????，那么n次根式有什么性质呢？
?
(????????)????=????
?
追问：根据(????)????=????，你认为????次根式????????有什么类似性质？
?
（四）回归定义，感悟性质
追问：根据????????=????，你认为????次根式????????也有这样的性质吗？
?
????
?
????
?
????
?
????
?
????
?
?????
?
????
?
?????
?
根据运算中地不变性，得出
????????????=
?
计算下列根式的值？
????,????为奇数????,????为偶数
?
（五）深思熟虑，深化概念
例1.利用????次方根的性质，计算下列值
?
追问：观察????????????????=????????，2与5,10之间有什么关系？
????????????????=????????，3与4,12之间有什么关系？
?
当根式的被开方数的指数能被根指数整除时，
根式可以表示为分数指数幂的形式.
5????25=????2
?
4????34=??3
?
=????????????????
?
由此你能得出什么结论？
=????????????????
?
=????????????×????????
?
=????????????????????
?
=????????????×????????=????????????????????
?
（五）深思熟虑，深化概念
问题7：当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时，根式是否也可以表示为分数指数幂的形式？
????????????
?
????????????
?
????????????
?
????????????
?
????????????
?
????????=????
?
= ? ????
?
指数幂的运算性质不发生变化
????????????=????=(???????? ????)????
?
????????????=????=(????????????)????
?
????????????????=????????=(???????? ????)????
?
????????????????=????????=(???????? ????)????
?
（五）深思熟虑，深化概念
?????????????=_________ (????>??,????,????∈?????,????>????)
?
1????????????
?
0的正分数指数幂等于0，0负分数指数幂不存在
追问1：类比?????????=????????????(????∈????,????≠????),你能得到负分数指数幂的定义吗？
?
追问2：0的正分数指数幂等于几？0有负分数指数幂吗？
规定：正数的正分数指数幂????????????=_________ (????>????,????,????∈?????,????>????)
?
????????????
?
整数指数幂的运算性质确实对有理数指数幂的运算适用，我们用计算机来加以验证.
（????）????????????????=????????+????(????>????,????,????∈????);
（????）(????????)????=????????????(????>????,????,????∈????);
（????）(????????)????=????????????????(????>????,????,????∈????);
?
（五）深思熟虑，深化概念
有理数指数幂的其他性质(????>????,????∈????)
?
1.若????>????时,????????随????的增大而增大.
?
2.若?????
（六）巩固知识，典例应用
例2.求值
（六）巩固知识，典例应用
例3.用分数指数幂的形式表示并计算下列各式(其中????>????)
?

（七）归纳总结，强化思想
1.回顾本节的内容和学习过程谈谈你的收获？
n次方根
定义
表示
性质
根式
整数指数幂
有理数指数幂
分数指数幂
二次方根
三次方根
……
（七）归纳总结，强化思想
2.在数系扩充的背景下，你还希望将指数的范围如何扩充？扩充的原则是什么？
实数
有理数


整数
自然数
？
有理数指数幂


整数指数幂
正整数指数幂
（八）强化训练，布置作业
1.基础性作业
P107页1，2，3
P109页1，4
2.探究性作业
P110页拓广探索10题
3.课前任务
估算????的值
?
感谢聆听