2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》解答题专题提升训练 （含答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》解答题专题提升训练 （含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 697.0KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-12-20 08:03:05 | ||
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文档简介
2022-2023学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB＝5米．
（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）
（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？（参考数据：tan40°＝0.84，sin40°＝0.64，cos40°＝）
2．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E沿AB滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．
（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；
（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）
3．如图，为了测量建筑物AB的高度，在D处竖立标杆CD，标杆的高是2m，在DB上选取观测点E、F，从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°．从F测得C、A的仰角分别为22°、70°．求建筑物AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75．）
4．如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的
俯角为α其中tanα＝2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1255米．
①求点H到桥左端点P的距离；
②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB．
5．如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为25cm．
（1）求B点到OP的距离；
（2）求滑动支架的长．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
6．如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图．已知长方体货厢的高度BC为米，tanA＝，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD的长．（结果保留根号）
7．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．
（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；
（2）连接PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝4，求cosA的值；
（3）连接PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝3，ED＝5，求线段PD的长．
8．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．连接AD，BC，AD＝5，cos∠BCD＝．
（1）求弦CD的长；
（2）求⊙O的半径．
9．动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
10．随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上，且满足∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC是∠BAD的平分线，sinB＝，BC＝4，求⊙O的半径．
12．如图，以△ABC的边AC上一点O作⊙O经过点B、C，交AC于点D．连接BD，作OG∥BD交⊙O于点G，交BC于点E，连接DG交BC于点F．
（1）当∠ABD＝∠C时，求证：AB为⊙O的切线；
（2）若GB＝4，GD＝8，求FD的长；
（3）若sin∠GDB＝，求tan∠BGD的值．
13．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．
（1）求证：CD是圆的切线；
（2）已知sin∠OCD＝，AB＝4，求AC长度及阴影部分面积．
14．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求坡面CB的坡度；
（2）求基站塔AB的高．
15．北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
16．某一时刻，一缕阳光照射在教学楼上，教学楼的影子恰好映射到后面的小山包的D处，已知教学楼底部B距离小山包底部C的水平距离BC＝10米，小山包坡面CD与水平线的夹角为45°，且CD的长为米，阳光光线与水平线的夹角为35°，A、B、C、D均在同一平面上，求教学楼的高AB．（参考数据：tan35°≈0.7，sin35°≈0.5735，cos35°≈0.8192）
17．某商场拟将地下一楼改建为地下停车库，将原步行楼梯入口AC改造为车库斜坡入口AD．已知入口高AB＝4m，且AB⊥BD，点C处测得∠ACB＝45°，新坡面坡角∠ADB＝30°．
（1）求斜坡底部增加的长度CD为多少米？（保留根号）
（2）入口处水平线AE＝6m，地下停车库坡道入口上方点E处有悬挂广告牌EF，EF⊥BD，EF＝1.3m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所驾车辆能否安全驶入，请求出限制高度为多少米？（结果精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7）
18．某居民楼MN后有一个坡度为i＝1：2.4的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ（如图所示），已知QA＝5.2米，水平地面上居民楼MN距坡底A点的距离AN＝1.2米．当太阳光线与水平线成53°角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
19．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．
（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）
20．数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM＝30°（图中各点均在同一平面内）．
（1）求斜坡BC的长；
（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），
（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）
参考答案
1．解：（1）在Rt△BCD中，，
∴≈6.7；（3分）
（2）在Rt△BCD中，BC＝5，∴BD＝5tan40°＝4.2．（4分）
过E作AB的垂线，垂足为F，
在Rt△AFE中，AE＝1.6，∠EAF＝180°﹣120°＝60°，
AF＝＝0.8（6分）
∴FB＝AF+AD+BD＝0.8+2+4.20＝7米．（7分）
答：钢缆CD的长度为6.7米，灯的顶端E距离地面7米．（8分）
2．解：（1）如图①，作DH⊥BE于H，
在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BD＝5，∠ABC＝37°，
∴，＝cos37°，
∴DH＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm），BH＝5cos37°≈5×0.8＝4（cm）．
∵AB＝BC＝15cm，AE＝2cm，
∴EH＝AB﹣AE﹣BH＝15﹣2﹣4＝9（cm），
∴DE＝＝＝3（cm）．
答：连接杆DE的长度为cm．
（2）如图②，作DH⊥AB的延长线于点H，
∵∠ABC＝127°，
∴∠DBH＝53°，∠BDH＝37°，
在Rt△DBH中，＝＝sin37°≈0.6，
∴BH＝3cm，
∴DH＝4cm，
在Rt△DEH中，EH2+DH2＝DE2，
∴（EB+3）2+16＝90，
∴EB＝（）（cm），
∴点E滑动的距离为：15﹣（﹣3）﹣2＝（16﹣）（cm）．
答：这个过程中点E滑动的距离为（16﹣）cm．
3．解：在Rt△CED中，∠CED＝58°，
∵tan58°＝，
∴DE＝，
在Rt△CFD中，∠CFD＝22°，
∵tan22°＝，
∴DF＝，
∴EF＝DF﹣DE＝，
同理：EF＝BE﹣BF＝，
∴，
解得：AB≈5.9（米），
答：建筑物AB的高度约为5.9米．
4．解：①在Rt△AHP中，∵AH＝500米，
由tan∠APH＝tanα＝＝＝2，可得PH＝250米．
∴点H到桥左端点P的距离为250米．
②设BC⊥HQ于C．
在Rt△BCQ中，∵BC＝AH＝500米，∠BQC＝30°，
∴CQ＝＝1500米，
∵PQ＝1255米，
∴CP＝245米，
∵HP＝250米，
∴AB＝HC＝250﹣245＝5米．
答：这架无人机的长度AB为5米．
5．解：（1）如图所示：在Rt△BOE中，∵∠MON＝35°，
∴∠BOD＝55°，
∴tan55°＝，
∴OE＝，
同理，DE＝，
∴OD＝OE+DE＝+＝25，
解得：BE＝8.8，
答：B点到OP的距离为8.8cm；
（2）在Rt△BDE中，
∵sin∠BDE＝，
∴BD＝＝≈21.0（cm），
答：滑动支架的长约为21.0cm．
6．解：如图，点D与点C重合时，B′C＝BD，∠B′CB＝∠CBD＝∠A，
∵tanA＝，
∴tan∠BCB′＝＝，
∴设B′B＝x米，则B′C＝3x米，
在Rt△B′CB中，
B′B2+B′C2＝BC2，
即：x2+（3x）2＝（）2，
x＝（负值舍去），
∴BD＝B′C＝米．
故BD的长为米．
7．解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，
∴CP＝4，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，
∴BP＝＝2，
∵D是边AB的中点，P为AC的中点，
∴点E是△ABC的重心，
∴BE＝BP＝；
（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，
∴＝＝，
∵BD＝DA，
∴FD＝DC，BF＝AC，
∵CE＝2，ED＝4，则CD＝6，
∴EF＝6+4＝10，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴＝，
设CP＝k，则PA＝4k，
∵PD⊥AB，D是边AB的中点，
∴PA＝PB＝4k
∴BC＝＝k，
∵AC＝5k，
∴AB＝＝2k，
∴cosA＝＝；
（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，
∴CD＝BD＝AB，
∵PB2＝2CD2，
∴BP2＝2CD CD＝BD AB，
∵∠PBD＝∠ABP，
∴△PBD∽△ABP，
∴∠BPD＝∠A，
∵∠A＝∠DCA，
∴∠DPE＝∠DCP，
∵∠PDE＝∠CDP，
∴△DPE∽△DCP，
∴PD2＝DE DC，
∵CE＝3，ED＝5，
∴DC＝3+5＝8，PD＝＝2．
8．解：（1）∵AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD，
∵cos∠BCD＝，
∴cos∠A＝cos∠BCD＝
在Rt△ADE中，AD＝5，cos∠A＝
∴AE＝4，
∴DE＝3，则CD＝6，
（2）设半径为r，则OE＝4﹣r，OD＝r
在Rt△BCE中，OE2+DE2＝OD2，
∴（4﹣r）2+9＝r2，
∴r＝．
9．解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，
∴AC＝AB+BC＝104cm，
在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，
∴AE＝AC sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．
答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．
10．解：如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于F，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E，
∵AB∥CD，
∴四边形AECF是矩形，
∵∠BCD＝60°，
∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝8，
∴BE＝BC＝4，CE＝BC＝4，
∵∠ADC＝135°，
∴∠ADF＝180°﹣135°＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴DF＝AF＝CE＝4，
由于FC＝AE，即4+2＝AB+4，
∴AB＝4﹣2，
∴S梯形ABCD＝（2+4﹣2）×4＝24，
答：垂尾模型ABCD的面积为24．
11．证明：（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵，
∴，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠AOC＝2∠CAD，
∵∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，
∴2∠CAO+2∠CAD＝180°，
∴∠CAO+∠CAD＝90°，
∴∠OAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
解：（2）∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠BAC＝∠B，
∴OC⊥AB，BE＝AE，
在Rt△BEC中，
∵BC＝4，
∴sinB＝＝＝，
∴CE＝，
∴BE＝＝＝，
设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝r﹣，
在Rt△AOE中，
OA2＝OE2+AE2，
r2＝（r﹣）2+，
解得：r＝．
12．解：（1）证明：如图1，连接OB，则OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∵∠ABD＝∠C，
∴∠ABD＝∠OBC，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
即∠OBC+∠OBD＝90°，
∴∠ABO＝∠ABD+∠OBD＝∠OBC+∠OBD＝90°，
∴OB⊥AB，
∵OB是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
（2）证明：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，即CB⊥BD
∵OG∥BD，
∴OG⊥BC，
∴，
∴∠GDB＝∠GBF，
又∵∠DGB＝∠BGF，
∴△GBD∽△GFB；
∴，
∴GB2＝GF GD，
∴42＝8GF，
∴GF＝2，
∴FD＝8﹣2＝6．
（3）连接CG，如图2所示：
∵∠GDB＝∠GCB，OG⊥BC，
∴，BE＝CE，
设GE＝x，OG＝OC＝r，则OE＝r﹣x，CG＝3x
在Rt△CGE中，，
∴，
在Rt△OCE中，OE2+CE2＝OC2，
即
解得：，
∴CD＝2r＝9x，
在Rt△DBC中，BD2+BC2＝CD2，
∴，
∴BD＝7x或BD＝﹣7x（舍去），
∴．
13．（1）证明：如图，连接OD，
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC＝∠BDE，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A+∠ABO＝90°，
又∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB+∠BDE＝90°，
即OD⊥EC，
∵OD是半径，
∴EC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△COD中，由于sin∠OCD＝，
设OD＝4x，则OC＝5x，
∴CD＝＝3x＝AC，
在Rt△AOB中，OB＝OD＝4x，OA＝OC+AC＝8x，AB＝4，由勾股定理得，
OB2+OA2＝AB2，
即：（4x）2+（8x）2＝（4）2，
解得x＝1或x＝﹣1（舍去），
∴AC＝3x＝3，OC＝5x＝5，OB＝OD＝4x＝4，
∵∠ODC＝∠EOC＝90°，∠OCD＝∠ECO，
∴△COD∽△CEO，
∴＝，
即＝，
∴EC＝，
∴S阴影部分＝S△COE﹣S扇形
＝××4﹣
＝﹣4π
＝，
答：AC＝3，阴影部分的面积为．
14．解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．
由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．
在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，
∴CM＝40米，
∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；
（2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米，
∵∠ACN＝45°，
∴∠CAN＝∠ACN＝45°，
∴AN＝CN＝（40+4a）米，
∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．
在Rt△ADF中，
∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，
∴tan∠ADF＝，
∴＝，
∴解得a＝，
∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），
∵BF＝3a＝米，
∴AB＝AF﹣BF＝40﹣＝（米）．
答：基站塔AB的高为米．
15．解：设AC与GE相交于点H，
由题意得：
AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，
设CH＝x米，
∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，
在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，
∴FH＝CH tan45°＝x（米），
∵GF＝8米，
∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，
在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，
∴tan37°＝＝≈0.75，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的根，
∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），
∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
16．解：过点D分别作AB、CF的垂线，垂足分别为M、N，
则四边形MBND为矩形，
∴MD＝BN，MB＝DN，
∵∠DCN＝45°，CD＝5米，
∴CD＝BN＝5米，
∵BC＝10米，
∴DM＝BN＝15米，
∵AE∥DM，∠EAD＝35°，
∴∠ADM＝35°，
在Rt△AMD中，tan∠ADM＝，
∴AM＝DM tan∠ADM≈15×0.7＝10.5（米），
∵BM＝DN＝5米，
∴AB＝10.5+5＝15.5（米），
答：教学楼的高AB为15.5米．
17．解：（1）∵AB⊥BD，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝4m，∠ACB＝45°，
∴BC＝＝4（m），
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
∴BD＝＝＝4（m），
∴CD＝BD﹣BC＝（4﹣4）m，
∴斜坡底部增加的长度CD为（4﹣4）m；
（2）延长EF交AD于点G，过点F作FH⊥AD，垂足为H，
由题意得：
∠FHG＝∠AEG＝90°，AE∥BD，
∴∠EAD＝∠ADB＝30°，
∴∠AGF＝90°﹣∠EAD＝60°，
在Rt△AEG中，AE＝6m，
∴EG＝AE tan30°＝6×＝2（m），
∵EF＝1.3m，
∴FG＝EG﹣EF＝2.1（m），
在Rt△FHG中，FH＝FG sin60°＝2.1×≈1.8（m），
∴限制高度约为1.8米．
18．解：过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，则QG⊥BA，
∴设QG＝x米，
∵山坡的坡度为i＝1：2.4，
∴AG＝2.4x米，
由勾股定理得：x2+（2.4x）2＝5.22，
解得：x＝2，
则QG＝2米，AG＝2.4x＝4.8米，
∴EF＝NG＝4.8+1.2＝6（m），
在Rt△PEF中，∠PEF＝53°，EF＝6m，
则PF＝EF tan∠PEF＝6×tan53°≈6×＝8（m），
∵FQ＝EN﹣QG＝3﹣2＝1（m），
∴PQ＝8+1＝9（m）．
答：信号塔PQ的高约为9m．
19．解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DE＝AF，DF＝AE，
在Rt△DEC中，tanθ＝＝，
设DE＝3x米，则CE＝4x米，
∵DE2+CE2＝DC2，
∴（3x）2+（4x）2＝400，
∴x＝4或x＝﹣4（舍去），
∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，
设BF＝y米，
∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，
在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，
∴DF＝＝＝y（米），
∴AE＝DF＝y米，
∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
解得：y＝6+8，
经检验：y＝6+8是原方程的根，
∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），
∴建筑物的高度AB约为31.9米．
20．解：（1）由题意得：
∠CAE＝15°，AB＝30米，
∵∠CBE是△ABC的一个外角，
∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAE＝15°，
∴∠ACB＝∠CAE＝15°，
∴AB＝BC＝30米，
∴斜坡BC的长为30米；
（2）在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，BC＝30米，
∴CE＝BC＝15（米），
BE＝CE＝15（米），
在Rt△DEB中，∠DBE＝53°，
∴DE＝BE tan53°≈15×＝20（米），
∴DC＝DE﹣CE＝20﹣15≈20（米），
∴这棵大树CD的高度约为20米．
解答题专题提升训练（附答案）
1．如图，某广场一灯柱AB被一钢缆CD固定，CD与地面成40°夹角，且CB＝5米．
（1）求钢缆CD的长度；（精确到0.1米）
（2）若AD＝2米，灯的顶端E距离A处1.6米，且∠EAB＝120°，则灯的顶端E距离地面多少米？（参考数据：tan40°＝0.84，sin40°＝0.64，cos40°＝）
2．在日常生活中我们经常会使用到订书机，如图MN是装订机的底座，AB是装订机的托板，始终与底座平行，连接杆DE的D点固定，点E沿AB滑动，压柄BC可绕着转轴B旋转．已知压柄BC的长度为15cm，BD＝5cm，压柄与托板的长度相等．
（1）当托板与压柄夹角∠ABC＝37°时，如图①点E从A点滑动了2cm，求连接杆DE的长度；
（2）当压柄BC从（1）中的位置旋转到与底座AB的夹角∠ABC＝127°，如图②．求这个过程中点E滑动的距离．（答案保留根号）（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8．tan37°≈0.75）
3．如图，为了测量建筑物AB的高度，在D处竖立标杆CD，标杆的高是2m，在DB上选取观测点E、F，从E测得标杆和建筑物的顶部C、A的仰角分别为58°、45°．从F测得C、A的仰角分别为22°、70°．求建筑物AB的高度（精确到0.1m）．（参考数据：tan22°≈0.40，tan58°≈1.60，tan70°≈2.75．）
4．如图示一架水平飞行的无人机AB的尾端点A测得正前方的桥的左端点P的
俯角为α其中tanα＝2，无人机的飞行高度AH为500米，桥的长度为1255米．
①求点H到桥左端点P的距离；
②若无人机前端点B测得正前方的桥的右端点Q的俯角为30°，求这架无人机的长度AB．
5．如图，一扇窗户垂直打开，即OM⊥OP，AC是长度不变的滑动支架，其中一端固定在窗户的点A处，另一端在OP上滑动，将窗户OM按图示方向向内旋转35°到达ON位置，此时，点A、C的对应位置分别是点B、D．测量出∠ODB为25°，点D到点O的距离为25cm．
（1）求B点到OP的距离；
（2）求滑动支架的长．
（结果精确到0.1cm．参考数据：sin25°≈0.42，cos25°≈0.91，tan25°≈0.47，sin55°≈0.82，cos55°≈0.57，tan55°≈1.43）
6．如图是将一正方体货物沿坡面AB装进汽车货厢的平面示意图．已知长方体货厢的高度BC为米，tanA＝，现把图中的货物继续往前平移，当货物顶点D与C重合时，仍可把货物放平装进货厢，求BD的长．（结果保留根号）
7．如图，已知△ABC中，∠ACB＝90°，D是边AB的中点，P是边AC上一动点，BP与CD相交于点E．
（1）如果BC＝6，AC＝8，且P为AC的中点，求线段BE的长；
（2）连接PD，如果PD⊥AB，且CE＝2，ED＝4，求cosA的值；
（3）连接PD，如果BP2＝2CD2，且CE＝3，ED＝5，求线段PD的长．
8．如图，已知⊙O的直径AB与弦CD互相垂直，垂足为点E．连接AD，BC，AD＝5，cos∠BCD＝．
（1）求弦CD的长；
（2）求⊙O的半径．
9．动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
10．随着我国科学技术的不断发展，科学幻想变为现实．如图1是我国自主研发的某型号隐形战斗机模型，全动型后掠翼垂尾是这款战斗机亮点之一．图2是垂尾模型的轴切面，并通过垂尾模型的外围测得如下数据，BC＝8，CD＝2，∠D＝135°，∠C＝60°，且AB∥CD，求出垂尾模型ABCD的面积．（结果保留整数，参考数据：≈1.414，≈1.732）
11．如图，⊙O是△ABC的外接圆，点D在BC延长线上，且满足∠CAD＝∠B．
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）若AC是∠BAD的平分线，sinB＝，BC＝4，求⊙O的半径．
12．如图，以△ABC的边AC上一点O作⊙O经过点B、C，交AC于点D．连接BD，作OG∥BD交⊙O于点G，交BC于点E，连接DG交BC于点F．
（1）当∠ABD＝∠C时，求证：AB为⊙O的切线；
（2）若GB＝4，GD＝8，求FD的长；
（3）若sin∠GDB＝，求tan∠BGD的值．
13．如图，在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，以O为圆心，OB的长为半径的圆交边AB于点D，点C在边OA上且CD＝AC，延长CD交OB的延长线于点E．
（1）求证：CD是圆的切线；
（2）已知sin∠OCD＝，AB＝4，求AC长度及阴影部分面积．
14．随着我国科学技术的不断发展，5G移动通信技术日趋完善，某市政府为了实现5G网络全覆盖，2021～2025年拟建设5G基站3000个，如图，在斜坡CB上有一建成的5G基站塔AB，小明在坡脚C处测得塔顶A的仰角为45°，然后他沿坡面CB行走了50米到达D处，D处离地平面的距离为30米且在D处测得塔顶A的仰角53°．（点A、B、C、D、E均在同一平面内，CE为地平线）（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
（1）求坡面CB的坡度；
（2）求基站塔AB的高．
15．北京时间2022年4月16日9时56分，神舟十三号载人飞船返回舱成功着陆．为弘扬航天精神，某校在教学楼上悬挂了一幅长为8m的励志条幅（即GF＝8m）．小亮同学想知道条幅的底端F到地面的距离，他的测量过程如下：如图，首先他站在楼前点B处，在点B正上方点A处测得条幅顶端G的仰角为37°，然后向教学楼条幅方向前行12m到达点D处（楼底部点E与点B，D在一条直线上），在点D正上方点C处测得条幅底端F的仰角为45°，若AB，CD均为1.65m（即四边形ABDC为矩形），请你帮助小亮计算条幅底端F到地面的距离FE的长度．（结果精确到0.1m．参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
16．某一时刻，一缕阳光照射在教学楼上，教学楼的影子恰好映射到后面的小山包的D处，已知教学楼底部B距离小山包底部C的水平距离BC＝10米，小山包坡面CD与水平线的夹角为45°，且CD的长为米，阳光光线与水平线的夹角为35°，A、B、C、D均在同一平面上，求教学楼的高AB．（参考数据：tan35°≈0.7，sin35°≈0.5735，cos35°≈0.8192）
17．某商场拟将地下一楼改建为地下停车库，将原步行楼梯入口AC改造为车库斜坡入口AD．已知入口高AB＝4m，且AB⊥BD，点C处测得∠ACB＝45°，新坡面坡角∠ADB＝30°．
（1）求斜坡底部增加的长度CD为多少米？（保留根号）
（2）入口处水平线AE＝6m，地下停车库坡道入口上方点E处有悬挂广告牌EF，EF⊥BD，EF＝1.3m．根据规定，地下停车库坡道入口上方要张贴限高标志，以提醒驾驶员所驾车辆能否安全驶入，请求出限制高度为多少米？（结果精确到0.1，参考数据：≈1.4，≈1.7）
18．某居民楼MN后有一个坡度为i＝1：2.4的小山坡，小区物业准备在小山坡上加装一广告牌PQ（如图所示），已知QA＝5.2米，水平地面上居民楼MN距坡底A点的距离AN＝1.2米．当太阳光线与水平线成53°角时，测得广告牌PQ落在居民楼上的影子EN长为3米，求广告牌PQ的高．（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）
19．在一次综合实践活动中，某小组对一建筑物进行测量．如图，在山坡坡脚C处测得该建筑物顶端B的仰角为60°，沿山坡向上走20m到达D处，测得建筑物顶端B的仰角为30°．已知山坡坡度i＝3：4，即tanθ＝，请你帮助该小组计算建筑物的高度AB．
（结果精确到0.1m，参考数据：≈1.732）
20．数学活动小组欲测量山坡上一棵大树CD的高度，如图，DC⊥AM于点E，在A处测得大树底端C的仰角为15°，沿水平地面前进30米到达B处，测得大树顶端D的仰角为53°，测得山坡坡角∠CBM＝30°（图中各点均在同一平面内）．
（1）求斜坡BC的长；
（2）求这棵大树CD的高度（结果取整数），
（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73）
参考答案
1．解：（1）在Rt△BCD中，，
∴≈6.7；（3分）
（2）在Rt△BCD中，BC＝5，∴BD＝5tan40°＝4.2．（4分）
过E作AB的垂线，垂足为F，
在Rt△AFE中，AE＝1.6，∠EAF＝180°﹣120°＝60°，
AF＝＝0.8（6分）
∴FB＝AF+AD+BD＝0.8+2+4.20＝7米．（7分）
答：钢缆CD的长度为6.7米，灯的顶端E距离地面7米．（8分）
2．解：（1）如图①，作DH⊥BE于H，
在Rt△BDH中，∠DHB＝90°，BD＝5，∠ABC＝37°，
∴，＝cos37°，
∴DH＝5sin37°≈5×0.6＝3（cm），BH＝5cos37°≈5×0.8＝4（cm）．
∵AB＝BC＝15cm，AE＝2cm，
∴EH＝AB﹣AE﹣BH＝15﹣2﹣4＝9（cm），
∴DE＝＝＝3（cm）．
答：连接杆DE的长度为cm．
（2）如图②，作DH⊥AB的延长线于点H，
∵∠ABC＝127°，
∴∠DBH＝53°，∠BDH＝37°，
在Rt△DBH中，＝＝sin37°≈0.6，
∴BH＝3cm，
∴DH＝4cm，
在Rt△DEH中，EH2+DH2＝DE2，
∴（EB+3）2+16＝90，
∴EB＝（）（cm），
∴点E滑动的距离为：15﹣（﹣3）﹣2＝（16﹣）（cm）．
答：这个过程中点E滑动的距离为（16﹣）cm．
3．解：在Rt△CED中，∠CED＝58°，
∵tan58°＝，
∴DE＝，
在Rt△CFD中，∠CFD＝22°，
∵tan22°＝，
∴DF＝，
∴EF＝DF﹣DE＝，
同理：EF＝BE﹣BF＝，
∴，
解得：AB≈5.9（米），
答：建筑物AB的高度约为5.9米．
4．解：①在Rt△AHP中，∵AH＝500米，
由tan∠APH＝tanα＝＝＝2，可得PH＝250米．
∴点H到桥左端点P的距离为250米．
②设BC⊥HQ于C．
在Rt△BCQ中，∵BC＝AH＝500米，∠BQC＝30°，
∴CQ＝＝1500米，
∵PQ＝1255米，
∴CP＝245米，
∵HP＝250米，
∴AB＝HC＝250﹣245＝5米．
答：这架无人机的长度AB为5米．
5．解：（1）如图所示：在Rt△BOE中，∵∠MON＝35°，
∴∠BOD＝55°，
∴tan55°＝，
∴OE＝，
同理，DE＝，
∴OD＝OE+DE＝+＝25，
解得：BE＝8.8，
答：B点到OP的距离为8.8cm；
（2）在Rt△BDE中，
∵sin∠BDE＝，
∴BD＝＝≈21.0（cm），
答：滑动支架的长约为21.0cm．
6．解：如图，点D与点C重合时，B′C＝BD，∠B′CB＝∠CBD＝∠A，
∵tanA＝，
∴tan∠BCB′＝＝，
∴设B′B＝x米，则B′C＝3x米，
在Rt△B′CB中，
B′B2+B′C2＝BC2，
即：x2+（3x）2＝（）2，
x＝（负值舍去），
∴BD＝B′C＝米．
故BD的长为米．
7．解：（1）∵P为AC的中点，AC＝8，
∴CP＝4，
∵∠ACB＝90°，BC＝6，
∴BP＝＝2，
∵D是边AB的中点，P为AC的中点，
∴点E是△ABC的重心，
∴BE＝BP＝；
（2）如图1，过点B作BF∥CA交CD的延长线于点F，
∴＝＝，
∵BD＝DA，
∴FD＝DC，BF＝AC，
∵CE＝2，ED＝4，则CD＝6，
∴EF＝6+4＝10，
∴＝＝＝，
∴＝，
∴＝，
设CP＝k，则PA＝4k，
∵PD⊥AB，D是边AB的中点，
∴PA＝PB＝4k
∴BC＝＝k，
∵AC＝5k，
∴AB＝＝2k，
∴cosA＝＝；
（3）∵∠ACB＝90°，D是边AB的中点，
∴CD＝BD＝AB，
∵PB2＝2CD2，
∴BP2＝2CD CD＝BD AB，
∵∠PBD＝∠ABP，
∴△PBD∽△ABP，
∴∠BPD＝∠A，
∵∠A＝∠DCA，
∴∠DPE＝∠DCP，
∵∠PDE＝∠CDP，
∴△DPE∽△DCP，
∴PD2＝DE DC，
∵CE＝3，ED＝5，
∴DC＝3+5＝8，PD＝＝2．
8．解：（1）∵AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD，
∵cos∠BCD＝，
∴cos∠A＝cos∠BCD＝
在Rt△ADE中，AD＝5，cos∠A＝
∴AE＝4，
∴DE＝3，则CD＝6，
（2）设半径为r，则OE＝4﹣r，OD＝r
在Rt△BCE中，OE2+DE2＝OD2，
∴（4﹣r）2+9＝r2，
∴r＝．
9．解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，
∴AC＝AB+BC＝104cm，
在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，
∴AE＝AC sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．
答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．
10．解：如图，过点A作CD的垂线，交CD的延长线于F，过点C作AB的垂线，交AB的延长线于E，
∵AB∥CD，
∴四边形AECF是矩形，
∵∠BCD＝60°，
∴∠BCE＝90°﹣60°＝30°，
在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝8，
∴BE＝BC＝4，CE＝BC＝4，
∵∠ADC＝135°，
∴∠ADF＝180°﹣135°＝45°，
∴△ADF是等腰直角三角形，
∴DF＝AF＝CE＝4，
由于FC＝AE，即4+2＝AB+4，
∴AB＝4﹣2，
∴S梯形ABCD＝（2+4﹣2）×4＝24，
答：垂尾模型ABCD的面积为24．
11．证明：（1）连接OA，OC与AB相交于点E，如图，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA，
∵，
∴，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠AOC＝2∠CAD，
∵∠OCA+∠CAO+∠AOC＝180°，
∴2∠CAO+2∠CAD＝180°，
∴∠CAO+∠CAD＝90°，
∴∠OAD＝90°，
∵OA是⊙O的半径，
∴AD是⊙O的切线；
解：（2）∵AC是∠BAD的平分线，
∴∠BAC＝∠DAC，
∵∠CAD＝∠B，
∴∠BAC＝∠B，
∴OC⊥AB，BE＝AE，
在Rt△BEC中，
∵BC＝4，
∴sinB＝＝＝，
∴CE＝，
∴BE＝＝＝，
设⊙O的半径为r，则CE＝OC﹣CE＝r﹣，
在Rt△AOE中，
OA2＝OE2+AE2，
r2＝（r﹣）2+，
解得：r＝．
12．解：（1）证明：如图1，连接OB，则OB＝OC，
∴∠OBC＝∠C，
∵∠ABD＝∠C，
∴∠ABD＝∠OBC，
∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，
即∠OBC+∠OBD＝90°，
∴∠ABO＝∠ABD+∠OBD＝∠OBC+∠OBD＝90°，
∴OB⊥AB，
∵OB是⊙O的半径，
∴AB是⊙O的切线．
（2）证明：∵CD是⊙O的直径，
∴∠CBD＝90°，即CB⊥BD
∵OG∥BD，
∴OG⊥BC，
∴，
∴∠GDB＝∠GBF，
又∵∠DGB＝∠BGF，
∴△GBD∽△GFB；
∴，
∴GB2＝GF GD，
∴42＝8GF，
∴GF＝2，
∴FD＝8﹣2＝6．
（3）连接CG，如图2所示：
∵∠GDB＝∠GCB，OG⊥BC，
∴，BE＝CE，
设GE＝x，OG＝OC＝r，则OE＝r﹣x，CG＝3x
在Rt△CGE中，，
∴，
在Rt△OCE中，OE2+CE2＝OC2，
即
解得：，
∴CD＝2r＝9x，
在Rt△DBC中，BD2+BC2＝CD2，
∴，
∴BD＝7x或BD＝﹣7x（舍去），
∴．
13．（1）证明：如图，连接OD，
∵AC＝CD，
∴∠A＝∠ADC＝∠BDE，
∵∠AOB＝90°，
∴∠A+∠ABO＝90°，
又∵OB＝OD，
∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠ODB+∠BDE＝90°，
即OD⊥EC，
∵OD是半径，
∴EC是⊙O的切线；
（2）解：在Rt△COD中，由于sin∠OCD＝，
设OD＝4x，则OC＝5x，
∴CD＝＝3x＝AC，
在Rt△AOB中，OB＝OD＝4x，OA＝OC+AC＝8x，AB＝4，由勾股定理得，
OB2+OA2＝AB2，
即：（4x）2+（8x）2＝（4）2，
解得x＝1或x＝﹣1（舍去），
∴AC＝3x＝3，OC＝5x＝5，OB＝OD＝4x＝4，
∵∠ODC＝∠EOC＝90°，∠OCD＝∠ECO，
∴△COD∽△CEO，
∴＝，
即＝，
∴EC＝，
∴S阴影部分＝S△COE﹣S扇形
＝××4﹣
＝﹣4π
＝，
答：AC＝3，阴影部分的面积为．
14．解：（1）如图，过点D作AB的垂线，交AB的延长线于点F，过点D作DM⊥CE，垂足为M．
由题意可知：CD＝50米，DM＝30米．
在Rt△CDM中，由勾股定理得：CM2＝CD2﹣DM2，
∴CM＝40米，
∴斜坡CB的坡度＝DM：CM＝3：4；
（2）设DF＝4a米，则MN＝4a米，BF＝3a米，
∵∠ACN＝45°，
∴∠CAN＝∠ACN＝45°，
∴AN＝CN＝（40+4a）米，
∴AF＝AN﹣NF＝AN﹣DM＝40+4a﹣30＝（10+4a）米．
在Rt△ADF中，
∵DF＝4a米，AF＝（10+4a）米，∠ADF＝53°，
∴tan∠ADF＝，
∴＝，
∴解得a＝，
∴AF＝10+4a＝10+30＝40（米），
∵BF＝3a＝米，
∴AB＝AF﹣BF＝40﹣＝（米）．
答：基站塔AB的高为米．
15．解：设AC与GE相交于点H，
由题意得：
AB＝CD＝HE＝1.65米，AC＝BD＝12米，∠AHG＝90°，
设CH＝x米，
∴AH＝AC+CH＝（12+x）米，
在Rt△CHF中，∠FCH＝45°，
∴FH＝CH tan45°＝x（米），
∵GF＝8米，
∴GH＝GF+FH＝（8+x）米，
在Rt△AHG中，∠GAH＝37°，
∴tan37°＝＝≈0.75，
解得：x＝4，
经检验：x＝4是原方程的根，
∴FE＝FH+HE＝5.65≈5.7（米），
∴条幅底端F到地面的距离FE的长度约为5.7米．
16．解：过点D分别作AB、CF的垂线，垂足分别为M、N，
则四边形MBND为矩形，
∴MD＝BN，MB＝DN，
∵∠DCN＝45°，CD＝5米，
∴CD＝BN＝5米，
∵BC＝10米，
∴DM＝BN＝15米，
∵AE∥DM，∠EAD＝35°，
∴∠ADM＝35°，
在Rt△AMD中，tan∠ADM＝，
∴AM＝DM tan∠ADM≈15×0.7＝10.5（米），
∵BM＝DN＝5米，
∴AB＝10.5+5＝15.5（米），
答：教学楼的高AB为15.5米．
17．解：（1）∵AB⊥BD，
∴∠B＝90°，
在Rt△ABC中，AB＝4m，∠ACB＝45°，
∴BC＝＝4（m），
在Rt△ABD中，∠ADB＝30°，
∴BD＝＝＝4（m），
∴CD＝BD﹣BC＝（4﹣4）m，
∴斜坡底部增加的长度CD为（4﹣4）m；
（2）延长EF交AD于点G，过点F作FH⊥AD，垂足为H，
由题意得：
∠FHG＝∠AEG＝90°，AE∥BD，
∴∠EAD＝∠ADB＝30°，
∴∠AGF＝90°﹣∠EAD＝60°，
在Rt△AEG中，AE＝6m，
∴EG＝AE tan30°＝6×＝2（m），
∵EF＝1.3m，
∴FG＝EG﹣EF＝2.1（m），
在Rt△FHG中，FH＝FG sin60°＝2.1×≈1.8（m），
∴限制高度约为1.8米．
18．解：过点E作EF⊥PQ于点F，延长PQ交BA于点G，则QG⊥BA，
∴设QG＝x米，
∵山坡的坡度为i＝1：2.4，
∴AG＝2.4x米，
由勾股定理得：x2+（2.4x）2＝5.22，
解得：x＝2，
则QG＝2米，AG＝2.4x＝4.8米，
∴EF＝NG＝4.8+1.2＝6（m），
在Rt△PEF中，∠PEF＝53°，EF＝6m，
则PF＝EF tan∠PEF＝6×tan53°≈6×＝8（m），
∵FQ＝EN﹣QG＝3﹣2＝1（m），
∴PQ＝8+1＝9（m）．
答：信号塔PQ的高约为9m．
19．解：过点D作DE⊥AC，垂足为E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则DE＝AF，DF＝AE，
在Rt△DEC中，tanθ＝＝，
设DE＝3x米，则CE＝4x米，
∵DE2+CE2＝DC2，
∴（3x）2+（4x）2＝400，
∴x＝4或x＝﹣4（舍去），
∴DE＝AF＝12米，CE＝16米，
设BF＝y米，
∴AB＝BF+AF＝（12+y）米，
在Rt△DBF中，∠BDF＝30°，
∴DF＝＝＝y（米），
∴AE＝DF＝y米，
∴AC＝AE﹣CE＝（y﹣16）米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝60°，
∴tan60°＝＝＝，
解得：y＝6+8，
经检验：y＝6+8是原方程的根，
∴AB＝BF+AF＝18+8≈31.9（米），
∴建筑物的高度AB约为31.9米．
20．解：（1）由题意得：
∠CAE＝15°，AB＝30米，
∵∠CBE是△ABC的一个外角，
∴∠ACB＝∠CBE﹣∠CAE＝15°，
∴∠ACB＝∠CAE＝15°，
∴AB＝BC＝30米，
∴斜坡BC的长为30米；
（2）在Rt△CBE中，∠CBE＝30°，BC＝30米，
∴CE＝BC＝15（米），
BE＝CE＝15（米），
在Rt△DEB中，∠DBE＝53°，
∴DE＝BE tan53°≈15×＝20（米），
∴DC＝DE﹣CE＝20﹣15≈20（米），
∴这棵大树CD的高度约为20米．