2021-2022学年河北省沧州市孟村县九年级（上）期末数学试卷 (word解析版)

2021-2022学年河北省沧州市孟村县九年级（上）期末数学试卷
一、选择题．（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分；11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，﹣3） B．（﹣3，0） C．（0，2） D．（2，0）
2．（3分）已知在 Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则∠B的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
3．（3分）已知△ABC∽△DEF，相似比为，若△ABC的周长为3，则△DEF的周长为（　　）
A．1 B．3 C．9 D．27
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CO⊥AB，点D在直径AB上方的⊙O上，连接BD，CD，则∠CDB的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
5．（3分）三张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、平行四边形和等边三角形三个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）如图是东西流向且河岸平行的一段河道，点A，B分别为两岸上一点，且点B在点A正南方向，由点B向正西方向走a米到达点C，此时测得点C在点A的南偏西50°方向上，则河宽AB的长为（　　）
A．atan50°米 B．米 C．米 D．米
7．（3分）关于抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴为直线x＝﹣1
C．当x≥1时，y随x的增大而减小
D．该抛物线向上平移2个单位长度后可经过原点
8．（3分）如图中的两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（　　）
A．（0，﹣4） B．（4，﹣2） C．（3，﹣1） D．（0，0）
9．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转88°得到△AB'C'，若点B'恰好落到边BC上，则∠AB'C'的度数为（　　）
A．44° B．46° C．54° D．56°
10．（3分）在一个不透明的盒子中装有a个黑白颜色的球，小明又放入了5个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在25%左右，则a的值大约为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
11．（3分）⊙O的内接正方形和内接正六边形的边心距分别为a，b，则的值为（　　）
A． B． C． D．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
13．（3分）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，点A，D分别在反比例函数和的图象上，点B，C在x轴上，若S矩形ABCD＝4，则k的值为（　　）
A．12 B．7 C．﹣12 D．﹣7
14．（3分）如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，点D，E是切点，则下列说法不正确的是（　　）
A．CD＝CE
B．∠ABO＝45°
C．△BCO的外心在△BCO的外面
D．四边形ODCE没有外接圆
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝7cm．点P从点B开始沿边BA向点A以2cm/s的速度移动，同时点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止．当四边形APQC的面积为11cm2时，点P的运动时间为（　　）
A．1s B．1s或2.5s C．2s D．2s或5s
16．（3分）若直线y＝m（m为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜2 B．0＜m≤2 C．0＜m＜4 D．0＜m≤4
二、填空题．（本大题有3个小题，每小题有2个空，每空2分，共12分．把答案写在题中横线上）
17．（4分）若点A（a﹣2，b+2）与点B（4，﹣3）关于原点对称．
（1）点A在第 　 　象限；
（2）a﹣b的值为 　 　．
18．（4分）已知y与x成反比例，当x＝﹣1时，y＝﹣6．
（1）y与x的函数解析式为 　 　；
（2）若点A（a，﹣4），B（b，﹣8）都在该反比例函数的图象上，则a，b的大小关系是 　 　．
19．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P在边BC上（点P与点B，C不重合），∠APF＝∠B，射线PF与边AC交于点F，过点A作BC的平行线，交射线PF于点Q．
（1）若BP＝2，则CF的长为 　 　；
（2）当△AFQ是等腰三角形时，BP的长为 　 　．
三、解答题．（本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x﹣4＝0；
（2）（x﹣5）（x+2）＝8．
21．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D在边BC上，且tan∠CAD＝．
（1）求cos∠CAD的值；
（2）若BD＝2CD，求sinB的值．
22．（9分）某新冠疫苗接种点有4个完全相同的冷藏箱用来储存疫苗，同一冷藏箱里的疫苗都来自同一厂家，其有两箱储存A厂家的疫苗，另两箱分别储存B厂家和C厂家的疫苗．
（1）如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好收到A厂家疫苗的概率是 　 　；
（2）如果从中随机拿出两个箱子，送往1号和2号接种台，请用列表或画树状图的方法求拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的概率．
23．（9分）如图，已知点A（a，2），B（﹣1，b）是直线y＝2x﹣6与反比例函数y＝图象的交点，且该直线与y轴交于点C．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）根据图象，直接写出不等式2x﹣6的解集．
24．（9分）如图，正方形ABCD的边长为4，动点P在边AB上从点B沿BA向点A运动（点P不与点A，B重合），连接PC．过点P作PE⊥PC，PE交AD于点Q．
（1）求证：△APQ∽△BCP；
（2）若S△APQ：S△BCP＝1：16，求AQ的长度；
（3）连接CQ．试判断当点P运动到边AB的什么位置时，△PCQ∽△BCP？并说明理由．
25．（10分）如图1，已知∠ABC＝60°，点O在射线BC上，且OB＝4．以点O为圆心，r（r＞0）为半径作⊙O，交直线BC于点D，E．
（1）当⊙O与∠ABC只有两个交点时，r的取值范围是 　 　；
（2）当时，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°）．
①当α为多少时，射线BA与⊙O相切；
②如图2，射线BA与⊙O交于M，N两点，若MN＝OB，求阴影部分的面积．
26．（12分）一小球M从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为（4，8）．
（1）求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）；
（2）小球在斜坡上的落点A的垂直高度为 　 　米；
（3）若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；
（4）求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度．
2021-2022学年河北省沧州市孟村县九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题．（本大题有16个小题，共42分．1～10小题各3分；11～16小题各2分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．（3分）抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴的交点坐标是（　　）
A．（0，﹣3） B．（﹣3，0） C．（0，2） D．（2，0）
【分析】令x＝0，求出相应的y的值，即可得到抛物线y＝x2+4x﹣1与y轴的交点坐标．
【解答】解：∵抛物线y＝x2+2x﹣3，
∴当x＝0时，y＝﹣3，
即抛物线y＝x2+2x﹣3与y轴的交点坐标是（0，﹣3），
故选：A．
2．（3分）已知在 Rt△ABC中，∠C＝90°，cosA＝，则∠B的度数为（　　）
A．30° B．45° C．60° D．无法确定
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得出∠A的度数，进而利用直角三角形的性质得出答案．
【解答】解：在 Rt△ABC中，∠C＝90°，
∵cosA＝，
∴∠A＝60°，
∴∠B的度数为：90°﹣60°＝30°．
故选：A．
3．（3分）已知△ABC∽△DEF，相似比为，若△ABC的周长为3，则△DEF的周长为（　　）
A．1 B．3 C．9 D．27
【分析】根据相似三角形的性质得△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3，然后把△ABC的周长＝3代入可计算出△DEF的周长．
【解答】解：∵△ABC与△DEF的相似比为1：3，
∴△ABC的周长：△DEF的周长＝1：3，
∴△DEF的周长＝3×3＝9．
故选：C．
4．（3分）如图，AB是⊙O的直径，CO⊥AB，点D在直径AB上方的⊙O上，连接BD，CD，则∠CDB的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
【分析】利用圆周角定理∠CDB＝＝45°．
【解答】解：∵AB是⊙O的直径，CO⊥AB，
∴∠AOC＝∠BOC＝90°，
∴∠CDB＝＝＝45°．
故选：B．
5．（3分）三张质地、大小、背面完全相同的卡片上，正面分别画有圆、平行四边形和等边三角形三个图案．现把它们的正面向下随机摆放在桌面上，从中任意抽出一张，则抽出的卡片正面图案是中心对称图形的概率为（　　）
A． B． C． D．
【分析】共有3个等可能的结果，抽出的卡片正面图案都是中心对称图形的结果有2个，再由概率公式求解即可．
【解答】解：圆、平行四边形和等边三角形三个图案是中心对称图形的是圆、平行四边形．从中任意抽出一张，抽出的卡片正面图案都是中心对称图形的结果有2个，
∴抽出的卡片正面图案都是中心对称图形的概率为，
故选：D．
6．（3分）如图是东西流向且河岸平行的一段河道，点A，B分别为两岸上一点，且点B在点A正南方向，由点B向正西方向走a米到达点C，此时测得点C在点A的南偏西50°方向上，则河宽AB的长为（　　）
A．atan50°米 B．米 C．米 D．米
【分析】根据正切的定义解答即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝50°，BC＝a米，
∵tan∠BAC＝，
∴AB＝＝（米），
故选：D．
7．（3分）关于抛物线y＝﹣3（x﹣1）2+5，下列说法正确的是（　　）
A．开口向上
B．对称轴为直线x＝﹣1
C．当x≥1时，y随x的增大而减小
D．该抛物线向上平移2个单位长度后可经过原点
【分析】由二次函数顶点式解析式，根据二次函数的性质进行解答即可．
【解答】解：由抛物线解析式可得，
a＜0，
∴开口向下，A错误；
对称轴x＝1，B错误；
∴当x≥1时，y随x的增大而减小，C正确；
∵顶点坐标为（1，5），
∴该抛物线向上平移2个单位后顶点为（1，7），
∴平移后抛物线解析式为y＝﹣3（x﹣1）2+7，
令x＝0，则y＝4≠0，
∴平移后抛物线不经过原点，
故D错误．
故选：C．
8．（3分）如图中的两个三角形是以点P为位似中心的位似图形，则点P的坐标是（　　）
A．（0，﹣4） B．（4，﹣2） C．（3，﹣1） D．（0，0）
【分析】根据位似变换的概念找出位似中心．
【解答】解：对应点所连线段所在的直线交于（4，﹣2）
∴点P的坐标为（4，﹣2），
故选：B．
9．（3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转88°得到△AB'C'，若点B'恰好落到边BC上，则∠AB'C'的度数为（　　）
A．44° B．46° C．54° D．56°
【分析】根据旋转的性质可求得AB＝AB′，∠AB′C′的度数．
【解答】解：由旋转的性质可知：AB＝AB′，旋转角∠BAB′＝88°，
∴∠B＝∠AB′C′，
∵AB＝AB′，
∴∠B＝∠BB′A＝46°，
∴∠AB'C'＝46°．
故选：B．
10．（3分）在一个不透明的盒子中装有a个黑白颜色的球，小明又放入了5个红球，这些球大小相同．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在25%左右，则a的值大约为（　　）
A．15 B．20 C．25 D．30
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．
【解答】解：由题意可得，×100%＝25%，
解得，a＝15，
经检验：a＝15是原分式方程的解，
所以a＝15，
故选：A．
11．（3分）⊙O的内接正方形和内接正六边形的边心距分别为a，b，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】设⊙O的半径为R，如图，连接OB，OC，根据正六边形的性质得到∠BOC＝60°，求得OB＝OC＝BC＝R，根据勾股定理得到OM＝＝，如图，连接OB，OC，根据正方形的性质得到∠BOC＝90°，求得BC＝OB＝R，根据等腰直角三角形的性质得到ON＝BC＝R，于是得到结论．
【解答】解：设⊙O的半径为R，
如图，连接OB，OC，
∵多边形ABCDEF是正六边形，
∴∠BOC＝60°，
∴OB＝OC＝BC＝R，
∵OM⊥BC，
∴BM＝BC＝，
∴OM＝＝，
如图，连接OB，OC，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠BOC＝90°，
∴BC＝OB＝R，
∵ON⊥BC，
∴ON＝BC＝R，
∴＝＝，
故选：D．
12．（3分）关于x的一元二次方程x2+mx﹣m﹣2＝0的根的情况是（　　）
A．有两个不相等的实数根
B．有两个相等的实数根
C．没有实数根
D．实数根的个数由m的值确定
【分析】先计算判别式的值，再配方得到Δ＝（m+2）2+4＞0，从而可判断方程根的情况．
【解答】解：∵Δ＝m2﹣4（﹣m﹣2）
＝m2+4m+8
＝（m+2）2+4＞0，
∴方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
13．（3分）如图，矩形ABCD在平面直角坐标系中，点A，D分别在反比例函数和的图象上，点B，C在x轴上，若S矩形ABCD＝4，则k的值为（　　）
A．12 B．7 C．﹣12 D．﹣7
【分析】延长AD，交y轴于E，如图，利用矩形的性质得AE∥x轴，AB⊥x轴，DC⊥x轴，则利用反比例函数的比例系数k的几何意义得到S矩形CDEO＝|﹣3|＝3，S矩形ABOE＝|k|，进而得出|k|＝3+4＝7，即可求出k＝﹣7．
【解答】解：延长AD，交y轴于E，如图，
∵四边形ABCD为矩形，
∴AE∥x轴，AB⊥x轴，DC⊥x轴，
∵点A，D分别在反比例函数和的图象上，点B，C在x轴上，
∴S矩形CDEO＝|﹣3|＝3，S矩形ABOE＝|k|，
∵S矩形ABCD＝4，
∴|k|＝3+4＝7，
∵k＜0．
∴k＝﹣7．
故选：D．
14．（3分）如图，⊙O是Rt△ABC的内切圆，点D，E是切点，则下列说法不正确的是（　　）
A．CD＝CE
B．∠ABO＝45°
C．△BCO的外心在△BCO的外面
D．四边形ODCE没有外接圆
【分析】根据三角形内切圆的性质得到OC平分∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AC，根据角平分线的性质得到CD＝CE，故A正确；根据角平分线的定义得到∠ABO＝∠CBO＝＝45°，故B正确；根据全等三角形的性质得到∠COD＝∠COE，根据三角形的内角和定理得到∠BOC＝90°+A＞90°是钝角三角形，推出△BCO的外心在△BCO的外面，故C正确；推出点O、D、C、E四点共圆，得到四边形ODCE有外接圆，故D错误．
【解答】解：∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴OC平分∠ACB，OD⊥BC，OE⊥AC，
∴CD＝CE，故A正确；
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，
∴OB平分∠ABC，
∵∠ABC＝90°，
∴∠ABO＝∠CBO＝＝45°，故B正确；
∵OD⊥BC，
∴∠BOD＝45°，
在Rt△CDO与Rt△CEO中，
，
∴Rt△CDO≌Rt△CEO（HL），
∴∠COD＝∠COE，
∵OB平分∠ABC，OC平分∠ACB，
∴∠BOC＝90°+A＞90°是钝角三角形，
∴△BCO的外心在△BCO的外面，故C正确；
∵⊙O是Rt△ABC的内切圆，点D，E是切点，
∴OD⊥BC，OE⊥AC，
∴∠ODC＝∠OEC＝90°，
∴点O、D、C、E四点共圆，
∴四边形ODCE有外接圆，故D错误，
故选：D．
15．（3分）如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝6cm，BC＝7cm．点P从点B开始沿边BA向点A以2cm/s的速度移动，同时点Q从点C开始沿边CB向点B以1cm/s的速度移动，当其中一点到达终点时，另一点随即停止．当四边形APQC的面积为11cm2时，点P的运动时间为（　　）
A．1s B．1s或2.5s C．2s D．2s或5s
【分析】设当四边形APQC的面积为11cm2时，点P的运动时间为xs，由题意：四边形APQC的面积为11 cm2，列出一元二次方程，解方程，即可解决问题．
【解答】解：由题意得：PB＝2xcm，CQ＝xcm，
则BQ＝BC﹣CQ＝（7﹣x）cm，
设当四边形APQC的面积为11cm2时，点P的运动时间为xs，
由题意得：×6×7﹣ 2x（7﹣x）＝11，
整理得：x2﹣7x+10＝0，
解得：x1＝2，x2＝5（不符合题意舍去），
∴x＝2，
即当四边形APQC的面积为11cm2时，点P的运动时间为2s，
故选：C．
16．（3分）若直线y＝m（m为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点，则m的取值范围是（　　）
A．0＜m＜2 B．0＜m≤2 C．0＜m＜4 D．0＜m≤4
【分析】根据已知解析式画出函数图象，进而得出常数m的取值范围．
【解答】解：如图所示：当x＝2时，y＝2，
故直线y＝m（m为常数）与函数的图象恒有三个不同的交点，
则常数m的取值范围是：0＜m＜2．
故选：A．
二、填空题．（本大题有3个小题，每小题有2个空，每空2分，共12分．把答案写在题中横线上）
17．（4分）若点A（a﹣2，b+2）与点B（4，﹣3）关于原点对称．
（1）点A在第 　二　象限；
（2）a﹣b的值为 　﹣3　．
【分析】两个点关于原点对称时，它们的横坐标互为相反数，纵坐标也互为相反数，直接利用关于原点对称点的性质得出a，b的值，进而得出答案．
【解答】解：（1）∵点A（a﹣2，b+2）与点B（4，﹣3）关于原点成中心对称，B在第四象限，
∴A在第二象限；
故答案为：二．
（2）由题意可知：
a﹣2＝﹣4，b+2＝3，
∴a＝﹣2，b＝1．
∴a﹣b＝﹣2﹣1＝﹣3．
故答案为：﹣3．
18．（4分）已知y与x成反比例，当x＝﹣1时，y＝﹣6．
（1）y与x的函数解析式为 　　；
（2）若点A（a，﹣4），B（b，﹣8）都在该反比例函数的图象上，则a，b的大小关系是 　b＞a　．
【分析】（1）首先设反比例函数解析式为y＝（k≠0），再把x＝﹣1，y＝﹣6代入即可算出k的值，进而得到解析式；
（2）根据反比例函数的性质即可判断．
【解答】解：（1）设所求函数解析式为y＝（k≠0），
由题意得：k＝﹣1×（﹣6）＝6，
故解析式为；
故答案为：；
（2）∵k＝6＞0，
∴反比例函数的图象在一、三象限，在每个象限y随x的增大而减小，
∵点A（a，﹣4），B（b，﹣8）都在该反比例函数的图象上，
∴点A（a，﹣4），B（b，﹣8）都在第三象限，
∵﹣4＞﹣8，
∴b＞a，
故答案为：b＞a．
19．（4分）如图，已知在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，点P在边BC上（点P与点B，C不重合），∠APF＝∠B，射线PF与边AC交于点F，过点A作BC的平行线，交射线PF于点Q．
（1）若BP＝2，则CF的长为 　　；
（2）当△AFQ是等腰三角形时，BP的长为 　5或　．
【分析】（1）由AB＝AC得到∠B＝∠C，又∠APF＝∠B可得到∠BAP＝∠CPF，故△ABP∽△PCF，从而有＝，即可得到CF的长；
（2）分类讨论，①AF＝FQ，②AQ＝AF，③AQ＝FQ，然后利用相似三角形的性质进行求解．
【解答】解：（1）∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∵∠B＝∠APF，∠APF+∠FPC＝∠B+∠BAP，
∴∠FPC＝∠BAP，
∴△ABP∽△PCF，
∴＝，
∵BP＝2，BC＝8，
∴CP＝BC﹣BP＝8﹣2＝6，
∴＝，
∴CF＝；
故答案为：；
（2）①如图1，当AF＝FQ时，∠FAQ＝∠FQA，
∵AQ∥BC，
∴∠FQA＝∠FPC，∠FAQ＝∠C，
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C，
∴∠FQA＝∠FPC＝∠FAQ＝∠C＝∠B，
∴AB∥PQ，
∵∠APQ＝∠B，
∴△APQ∽△ABC，
∴＝，
∵AQ∥BC，AB∥PQ，
∴四边形ABPQ是平行四边形，
∴PQ＝AB＝5，AQ＝BP，
∴＝，
∴BP＝；
②如图2，当AQ＝AF时，∠AQF＝∠AFQ，
∵∠AFQ＝∠PFC，∠AQF＝∠FPC，
∴∠CFP＝∠CPF，
∴CP＝CF，
由（1）得∠FPC＝∠PAB，
∵∠B＝∠C，
∴△BAP∽△CPF，
∴＝，
∴AB＝BP＝5；
③如图3，当AQ＝QF时，∠QAF＝∠QFA，
∵∠QFA＝∠PFC，∠QAF＝∠C，
∴∠PFC＝∠C，
∵∠C＝∠B＝∠APQ，
∴∠APQ＝∠PFC，
∴AP∥CF，矛盾，舍去，
综上所述，BP的长为5或，
故答案为：5或．
三、解答题．（本大题共7个小题，共66分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20．（8分）用适当的方法解下列方程．
（1）x2﹣2x﹣4＝0；
（2）（x﹣5）（x+2）＝8．
【分析】（1）利用配方法得到（x﹣1）2＝5，然后利用直接开平方法解方程；
（2）先把方程变形为x2﹣3x﹣18＝0，然后利用因式分解法解方程．
【解答】解：（1）x2﹣2x﹣4＝0，
x2﹣2x＝4，
x2﹣2x+1＝5，即（x﹣1）2＝5，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣；
（2）（x﹣5）（x+2）＝8，
x2﹣3x﹣18＝0，
（x﹣6）（x+3）＝0，
∴x﹣6＝0或x+3＝0，
∴x1＝6，x2＝﹣3．
21．（9分）如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，点D在边BC上，且tan∠CAD＝．
（1）求cos∠CAD的值；
（2）若BD＝2CD，求sinB的值．
【分析】（1）在Rt△ACD中，利用锐角三角函数的定义求出CD＝2，从而利用勾股定理求出AD＝，然后再利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答；
（2）根据已知可得BC＝3CD＝6，然后在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AB的长，从而利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答．
【解答】解：（1）在Rt△ACD中，tan∠CAD＝，AC＝3，
∴CD＝AC tan∠CAD＝3×＝2，
∴AD＝＝＝，
∴cos∠CAD＝＝＝，
∴cos∠CAD的值为；
（2）∵BD＝2CD，CD＝2，
∴BC＝3CD＝6，
在Rt△ABC中，根据勾股定理可得：AB＝＝＝3，
∴sinB＝＝＝，
∴sinB的值为．
22．（9分）某新冠疫苗接种点有4个完全相同的冷藏箱用来储存疫苗，同一冷藏箱里的疫苗都来自同一厂家，其有两箱储存A厂家的疫苗，另两箱分别储存B厂家和C厂家的疫苗．
（1）如果将4个箱子随机送往4个接种台，每个接种台接受一个箱子，那么1号台恰好收到A厂家疫苗的概率是 　　；
（2）如果从中随机拿出两个箱子，送往1号和2号接种台，请用列表或画树状图的方法求拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的概率．
【分析】（1）根据有两箱储存A厂家的疫苗，4个箱子随机送往4个接种台，得出1号台恰好收到A厂家疫苗的概率；
（2）根据4个箱子随机拿出两个箱子，列树形图，从图中可知，共有12种等可能的结果，其中有A厂家疫苗的结果有10种，从而求出拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的概率．
【解答】解：（1）根据题意，得P1＝＝，
故答案为：；
（2）树状图如图，
，
由树状图可知，共有12种等可能的结果，其中有A厂家疫苗的结果有10种，
∴P（拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗）＝＝，
答：拿出的两个冷藏箱里有A厂家疫苗的概率是．
23．（9分）如图，已知点A（a，2），B（﹣1，b）是直线y＝2x﹣6与反比例函数y＝图象的交点，且该直线与y轴交于点C．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）连接OA，OB，求△AOB的面积；
（3）根据图象，直接写出不等式2x﹣6的解集．
【分析】（1）由一次函数的解析式求得A、B的坐标，然后利用待定系数法即可求得反比例函数的解析式；
（2）由于直线AB与y轴交于点C，所以三角形AOB的面积是三角形AOC和三角形OCB的面积之和，依此列式计算即可；
（3）根据图象求解即可．
【解答】解：（1）∵点A（a，2），B（﹣1，b）是直线y＝2x﹣6上的点，
∴2＝2a﹣6，b＝﹣2﹣6，
∴a＝4，b＝﹣8，
∴A（4，2），B（﹣1，﹣8），
把A的坐标代入y＝得，2＝，
∴m＝8，
∴反比例函数的解析式为y＝；
（2）∵直线AB与y轴交于点C，
∴当x＝0时，y＝﹣6．
∴点C（0，﹣6），
∴OC＝6，
∴S△AOB＝S△ACO+S△BCO＝×4+＝15；
（3）观察图象，不等式2x﹣6的解集﹣1≤x＜0或x≥4．
24．（9分）如图，正方形ABCD的边长为4，动点P在边AB上从点B沿BA向点A运动（点P不与点A，B重合），连接PC．过点P作PE⊥PC，PE交AD于点Q．
（1）求证：△APQ∽△BCP；
（2）若S△APQ：S△BCP＝1：16，求AQ的长度；
（3）连接CQ．试判断当点P运动到边AB的什么位置时，△PCQ∽△BCP？并说明理由．
【分析】（1）利用等角的余角相等得到∠AQP＝∠BPC，再证明三角形相似即可；
（2）根据相似的性质可得＝＝，设BP＝x，则AP＝4﹣x，求出x的值即可求AQ；
（3）根据△APQ∽△BCP，求出AQ＝1，即可分别求出PQ＝，PC＝2，再由＝＝，∠CPQ＝∠B＝90°，可得到△PCQ∽△BCP．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴∠A＝∠B＝90°，
∴∠APQ+∠AQP＝90°，
∵PE⊥PC，
∴∠APQ+∠BPC＝90°，
∴∠AQP＝∠BPC，
∴△APQ∽△BCP；
（2）解：∵S△APQ：S△BCP＝1：16，△APQ∽△BCP，
∴＝＝，
设BP＝x，则AP＝4﹣x，
∴＝，
解得x＝3，
∴AQ＝；
（3）解：当点P运动到边AB的中点时，△PCQ∽△BCP，理由如下：
∵P是AB的中点，
∴AP＝BP＝2，
∵△APQ∽△BCP，
∴＝，即＝，
∴AQ＝1，
∴PQ＝，PC＝2，
∴＝＝，
又∵∠CPQ＝∠B＝90°，
∴△PCQ∽△BCP．
25．（10分）如图1，已知∠ABC＝60°，点O在射线BC上，且OB＝4．以点O为圆心，r（r＞0）为半径作⊙O，交直线BC于点D，E．
（1）当⊙O与∠ABC只有两个交点时，r的取值范围是 　0＜r＜2或r＞4　；
（2）当时，将射线BA绕点B按顺时针方向旋转α（0°＜α＜180°）．
①当α为多少时，射线BA与⊙O相切；
②如图2，射线BA与⊙O交于M，N两点，若MN＝OB，求阴影部分的面积．
【分析】（1）根据题意，需要分两种情况：①在点D未到达点B前，圆O与射线BC有两个交点；②在点D到达点B后，圆O分别与射线BA，BC有一个交点，求出临界状态的r即可得出结论；
（2）①需要分两种情况：当射线BA在射线BC的上方与⊙O相切时，当射线BA在射线BC的下方与⊙O相切时，分别求出对应的α即可；
②连接OM，ON，过点O作OQ⊥MN于点Q由垂径定理可知，MQ＝NQ＝MN＝2，进而根据三角形三边关系可得出∠MON＝90°，再利用弓形的面积公式可得出结论．
【解答】解：（1）根据题意，需要分两种情况：①在点D未到达点B前，圆O与射线BC有两个交点；
当圆O与AB相切与点G，连接OG，则OG⊥AB，
∵∠ABC＝60°，
∴∠BOG＝30°，
∴BG＝OB＝2，OG＝BG＝2．
即此时r＝2．
②在点D到达点B后，圆O分别与射线BA，BC有一个交点，
如图，当点D刚好于点B重合，
此时r＝4，
结合图形可知，r的取值范围为：0＜r＜2或r＞4；
（2）①如图，当射线BA在射线BC的上方与⊙O相切时，设切点为P，连接OP．
∵OB＝4，OP＝2，
∴sin∠ABC＝＝，
∴∠ABC＝45°，
∴α＝60°﹣45°＝15°．
如图，当射线BA在射线BC的下方与⊙O相切时，设切点为P，连接OP．
同理可得，∠ABC＝45°，
∴α＝60°+45°＝105°．
综上所述，当α为15°或105°时，射线BA与⊙O相切；
②如图，连接OM，ON，过点O作OQ⊥MN于点Q，
∴MQ＝NQ＝MN＝2．
∵OM＝2，
∴sin∠MOQ＝＝，
∴∠MOQ＝45°，
∴∠MON＝2∠MOQ＝90°，
∴S阴影＝﹣×（2）2＝2π﹣4．
26．（12分）一小球M从斜坡OA上的点O处抛出，球的抛出路线是抛物线的一部分，建立如图所示的平面直角坐标系，斜坡可以用一次函数刻画．若小球到达最高点的坐标为（4，8）．
（1）求抛物线的函数解析式（不写自变量x的取值范围）；
（2）小球在斜坡上的落点A的垂直高度为 　　米；
（3）若要在斜坡OA上的点B处竖直立一个高4米的广告牌，点B的横坐标为2，请判断小球M能否飞过这个广告牌？通过计算说明理由；
（4）求小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度．
【分析】（1）设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+8，把（0，0）代入即可得到答案；
（2）联立抛物线解析式和一次函数解析式，解方程组求出A点坐标即可；
（3）把x＝2分别代入y＝﹣（x﹣4）2+8和y＝x，即可得到答案；
（4）根据二次函数的性质即可得到结论．
【解答】解：（1）∵小球到达的最高的点坐标为（4，8），
∴设抛物线的表达式为y＝a（x﹣4）2+8，
把（0，0）代入得，0＝a（0﹣4）2+8，
解得：a＝﹣，
∴抛物线的表达式为y＝﹣（x﹣4）2+8；
（2）联立方程组，
解得或，
∴A（7，），
∴小球在斜坡上的落点A的垂直高度为米，
故答案为：；
（3）当x＝2时，y1＝x＝1，y2＝﹣（x﹣4）2+8＝6，
∵6﹣1＞4，
∴小球M能飞过这棵树；
（4）小球M在飞行的过程中离斜坡OA的高度h＝﹣（x﹣4）2+8﹣x＝﹣（x﹣）2+，
∴小球M在飞行的过程中离斜坡OA的最大高度为 ．