2021-2022学年河北省秦皇岛市海港区九年级（上）期末数学试卷 (word解析版)

2021-2022学年河北省秦皇岛市海港区九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）反比例函数的图象在第二、四象限，那么实数m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2
2．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣3x﹣2＝0有实根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k≥ C．k≥且k≠1 D．k≥且k≠1
3．（3分）如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上．若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，则点B1的坐标是（　　）
A．（3，2） B．（﹣2，﹣3）
C．（2，3）或（﹣2，﹣3） D．（3，2）或（﹣3，﹣2）
4．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值（　　）
A．不变化 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．不能确定
5．（3分）如图，菱形ABCD周长为8，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，那么EF＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，BA⊥y轴于点A，BC⊥x轴于点C，函数y＝（x＞0）的图象分别交BA，BC于点D，E．当AD：BD＝1：3，且△BDE的面积为18时，则k的值是（　　）
A．9.6 B．12 C．14.4 D．16
7．（3分）若α为锐角，且tanα＝，则有（　　）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
8．（3分）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）下列说法：
①平分弦的直径垂直于弦
②三点确定一个圆，
③相等的圆心角所对的弧相等
④垂直于半径的直线是圆的切线
⑤三角形的内心到三条边的距离相等
其中不正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：（1）c＜0；（2）b＞0；（3）4a+2b+c＞0；（4）（a+c）2＜b2，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题：（每题3分，共15分）
11．（3分）圆的一条弦把圆分为5：1两部分，如果圆的半径是2cm，则这条弦的长是　 　cm．
12．（3分）已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）和C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　 　．（用“＜”连接）
13．（3分）已知两个相似三角形，其中一个三角形的三边的长分别为2，5，6，另一个三角形的最长边为15cm，则它的最短边是　 　cm．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B′处，则点B′的坐标为 　 　．
15．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是　 　．
三、解答题（共8道题，共75分）
16．（10分）（1）解方程（3x﹣1）2＝（x+1）2；
（2）计算tan60°﹣sin30°×tan45°+cos60°．
17．（9分）将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．
（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是　 　；
（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是　 　；
（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．
18．（9分）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E，连接OC，OC＝5，CD＝8，求BE的长．
19．（9分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象上两点P，R，O为坐标原点，连接PO，PR且2PO＝PR，x轴正半轴点A（a，0），PB⊥y轴于RB⊥x轴点，两垂线交于点B，连接OB，过R点做x轴的平行线交OB于点N连接PN．
（1）求证，四边形PNRB是矩形；
（2）求证2∠AOB＝∠POB．
20．（9分）某校课外活动小组，在距离湖面7米高的观测台A处，看湖面上空一热气球P的仰角为37°，看P在湖中的倒影P′的俯角为53°（P′为P关于湖而的对称点）．请你算出这个热气球P距湖面得高度PC约为多少米？
注：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．
21．（9分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE＝45度．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
22．（9分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），与y轴相交于点C，点C坐标为（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．A点在B点左侧，N为抛物线上的点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△NCB的面积S△NCB＝2S△MCB．求N点的坐标．
23．（11分）如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．
2021-2022学年河北省秦皇岛市海港区九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（每小题3分，共30分）
1．（3分）反比例函数的图象在第二、四象限，那么实数m的取值范围是（　　）
A．m＞0 B．m＜0 C．m＞2 D．m＜2
【分析】由于反比例函数的图象在二、四象限内，则m﹣2＜0，解得m的取值范围即可．
【解答】解：由题意得，反比例函数的图象在二、四象限内，
则m﹣2＜0，
解得m＜2．
故选：D．
2．（3分）关于x的一元二次方程（k﹣1）x2﹣3x﹣2＝0有实根，则k的取值范围是（　　）
A．k＞﹣ B．k≥ C．k≥且k≠1 D．k≥且k≠1
【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且Δ≥0，然后解两个不等式求出它们的公共部分即可．
【解答】解：根据题意得k﹣1≠0且Δ＝（﹣3）2﹣4（k﹣1）×（﹣2）≥0，
解得k≥﹣且k≠1．
故选：C．
3．（3分）如图，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，边OC在y轴上．若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，则点B1的坐标是（　　）
A．（3，2） B．（﹣2，﹣3）
C．（2，3）或（﹣2，﹣3） D．（3，2）或（﹣3，﹣2）
【分析】根据位似图形的位似比求得相似比，然后根据B点的坐标确定其对应点的坐标即可．
【解答】解：∵若矩形OA1B1C1与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA1B1C1的面积等于矩形OABC面积的，
∴两矩形的相似比为1：2，
∵B点的坐标为（6，4），
∴点B1的坐标是（3，2）或（﹣3，﹣2）．
故选：D．
4．（3分）在Rt△ABC中，如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值（　　）
A．不变化 B．扩大2倍 C．缩小2倍 D．不能确定
【分析】锐角三角函数的概念：在直角三角形中，锐角A的正切值为对边和邻边的比值．
一个角的锐角三角函数值只和角的大小有关，与角的边的长短无关．
【解答】解：根据锐角三角函数的定义，知
如果各边长度都扩大2倍，那么锐角A的正切值不变．
故选：A．
5．（3分）如图，菱形ABCD周长为8，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，那么EF＝（　　）
A．4 B．3 C．2 D．1
【分析】由菱形的性质得出BC＝2，证出EF是△ABC的中位线，由三角形中位线定理即可得出结果．
【解答】解：∵菱形ABCD周长为8，
∴BC＝2，
∵E是AC中点，EF∥BC，
∴AE＝CE，
∴EF是△ABC的中位线，
∴EF＝BC＝1，
故选：D．
6．（3分）如图，在平面直角坐标系中，BA⊥y轴于点A，BC⊥x轴于点C，函数y＝（x＞0）的图象分别交BA，BC于点D，E．当AD：BD＝1：3，且△BDE的面积为18时，则k的值是（　　）
A．9.6 B．12 C．14.4 D．16
【分析】首先设B（4a，b），E（4a，d），利用AD：BD＝1：3，则D（a，b），进而利用△BDE的面积为18得出ab﹣ad＝12，结合反比例函数图象上的性质得出ab＝4ad，进而得出ad的值，即可得出答案．
【解答】解：如图，过点D作DF⊥x轴于点F，过点E作EG⊥y轴于点G．
设B（4a，b），E（4a，d）．
∵AD：BD＝1：3，
∴D（a，b）．
又∵△BDE的面积为18，
∴BD＝3a，BE＝b﹣d，
∴×3a（b﹣d）＝18，
∴a（b﹣d）＝12，即ab﹣ad＝12，
∵D，E都在反比例函数图象上，
∴ab＝4ad，
∴4ad﹣ad＝12，
解得：ad＝4，
∴k＝4ad＝16．
故选：D．
7．（3分）若α为锐角，且tanα＝，则有（　　）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
【分析】首先明确tan45°＝1，tan60°＝，再根据正切值随着角的增大而增大，进行分析．
【解答】解：∵tan45°＝1，tan60°＝，α为锐角，α越大，正切值越大．
又1＜＜，
∴45°＜α＜60°．
故选：C．
8．（3分）下列几何体中，主视图和俯视图都为矩形的是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】分别确定四个几何体从正面和上面看所得到的视图即可．
【解答】解：A、此几何体的主视图是等腰三角形，俯视图是圆，故此选项错误；
B、此几何体的主视图是矩形，俯视图是矩形，故此选项正确；
C、此几何体的主视图是矩形，俯视图是圆，故此选项错误；
D、此几何体的主视图是梯形，俯视图是矩形，故此选项错误；
故选：B．
9．（3分）下列说法：
①平分弦的直径垂直于弦
②三点确定一个圆，
③相等的圆心角所对的弧相等
④垂直于半径的直线是圆的切线
⑤三角形的内心到三条边的距离相等
其中不正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】举出反例图形，即可判断①②③④；根据角平分线性质即可推出⑤．
【解答】解：如图
∵弦CD和直径AB，符合AB平分弦CD，且AB是直径，但AB和CD不垂直，∴①错误；
∵在同一直线上的三点不能确定一个圆，∴②错误；
∵如图圆心角∠COD＝∠AOB，但弧AB和弧CD不相等，∴③错误；
∵如图CD⊥半径OA，但CD不是圆的切线，∴④错误；
∵根据角平分线的性质即可得出三角形的内心到三角形的三边距离相等，∴⑤正确；
∴不正确的有4个，
故选：D．
10．（3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：（1）c＜0；（2）b＞0；（3）4a+2b+c＞0；（4）（a+c）2＜b2，其中正确的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】（1）由图象与y轴交于y轴负半轴可以确定c的符号；
（2）由对称轴x＝﹣＝1和开口向下可以得到a＜0，由此可以确定b的符号；
（3）由于当x＝2时，y＜0，由此可以确定4a+2b+c的符号；
（4）由于（a+c）2＜b2可化为（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，由于当x＝1时，a+b+c＞0，所以当x＝﹣1时，可以确定a﹣b+c的符号，最后确定（a+c）2＜b2是否正确．
【解答】解：（1）∵图象与y轴交于y轴负半轴，则c＜0，正确；
（2）∵对称轴x＝﹣＝1，开口向下，
∴a＜0，故b＞0，正确；
（3）由于对称轴x＝1，可知当x＝2时，y＜0，即4a+2b+c＞0错误；
（4）（a+c）2＜b2可化为（a﹣b+c）（a+b+c）＜0，
而当x＝1时，a+b+c＞0，当x＝﹣1时，a﹣b+c＜0，故（a+c）2＜b2正确．
故选：C．
二、填空题：（每题3分，共15分）
11．（3分）圆的一条弦把圆分为5：1两部分，如果圆的半径是2cm，则这条弦的长是　2　cm．
【分析】先利用“圆的一条弦把圆分为5：1两部分”求出这条弦对的圆心角的度数，则弦长易求．
【解答】解：∵圆的一条弦把圆分为5：1两部分，
∴这条弦对的圆心角的度数＝360°÷6＝60°，
所以由这条弦与这条弦的两个端点与圆心的连线成等边三角形，
∵圆的半径是2cm，
∴这条弦的长是2cm．
故答案为：2．
12．（3分）已知点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）和C（3，y3）都在反比例函数y＝（k＜0）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为　y3＜y2＜y1　．（用“＜”连接）
【分析】先根据函数解析式中的比例系数k确定函数图象所在的象限，再根据各象限内点的坐标特点及函数的增减性解答．
【解答】解：∵在反比例函数y＝（k＜0）中，k＜0，
∴此函数图象在二、四象限，
∵﹣2＜﹣1＜0，
∴点A（﹣1，y1），B（﹣2，y2）在第二象限，∴y1＞0，y2＞0，
∵函数图象在第二象限内为增函数，﹣2＜﹣1＜0，∴0＜y2＜y1．
∵3＞0，∴C（3，y3）点在第四象限，
∴y3＜0，
∴y1，y2，y3的大小关系为y3＜y2＜y1．
故答案为y3＜y2＜y1．
13．（3分）已知两个相似三角形，其中一个三角形的三边的长分别为2，5，6，另一个三角形的最长边为15cm，则它的最短边是　5　cm．
【分析】首先根据相似三角形的性质求出相似比，找出最长边和最短边，然后求出另一个三角形的最短边．
【解答】解：由题意知，两个三角形的相似比是2：5；
设另一个三角形的最短边为x；
则得到2：x＝2：5；
解得x＝5．
则它的最短边是5cm．
14．（3分）如图，在平面直角坐标系中，四边形OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形OABC，折叠后，点B落在平面内的点B′处，则点B′的坐标为 　（2，4﹣2）　．
【分析】过点B′作B′D⊥OC，因为∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4，所以∠B′CD＝30°，B′D＝2，根据勾股定理得DC＝2，故OD＝4﹣2，即B′点的坐标即可求解．
【解答】解：过点B′作B′D⊥OC，如图所示：
∵四边形OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），
∴∠B＝∠B'DC＝90°，CB′＝CB＝OC＝OA＝4，
∵∠CPB＝60°，
∴∠BCP＝90°﹣∠CPB＝30°，
由折叠的性质可得：∠PCB'＝∠BCP＝30°，
∴∠B′CD＝30°，
∴B′D＝CB'＝2，
在Rt△B'CD中，根据勾股定理得DC＝＝2，
∴OD＝4﹣2，
即B′点的坐标为（2，4﹣2），
故答案为：（2，4﹣2）．
15．（3分）已知关于x的二次函数y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a的图象与x轴的一个交点的坐标为（m，0）．若2＜m＜3，则a的取值范围是　＜a＜或﹣3＜a＜﹣2　．
【分析】先用a表示出抛物线与x轴的交点，再分a＞0与a＜0两种情况进行讨论即可．
【解答】解：∵y＝ax2+（a2﹣1）x﹣a＝（ax﹣1）（x+a），
∴当y＝0时，x1＝，x2＝﹣a，
∴抛物线与x轴的交点为（，0）和（﹣a，0）．
∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为（m，0）且2＜m＜3，
∴当a＞0时，2＜＜3，解得＜a＜；
当a＜0时，2＜﹣a＜3，解得﹣3＜a＜﹣2．
故答案为：＜a＜或﹣3＜a＜﹣2．
三、解答题（共8道题，共75分）
16．（10分）（1）解方程（3x﹣1）2＝（x+1）2；
（2）计算tan60°﹣sin30°×tan45°+cos60°．
【分析】（1）方程利用平方差公式因式分解求解即可；
（2）利用特殊角的三角函数值计算即可．
【解答】解：（1）（3x﹣1）2＝（x+1）2，
（3x﹣1）2﹣（x+1）2＝0，
（3x﹣1+x+1）（3x﹣1﹣x﹣1）＝0，
8x（x﹣1）＝0，
8x＝0或x﹣1＝0，
解得x1＝0，x2＝1；
（2）tan60°﹣sin30°×tan45°+cos60°
＝
＝．
17．（9分）将如图所示的牌面数字分别是1，2，3，4的四张扑克牌背面朝上，洗匀后放在桌面上．
（1）从中随机抽出一张牌，牌面数字是偶数的概率是　　；
（2）从中随机抽出二张牌，两张牌牌面数字的和是5的概率是　　；
（3）先从中随机抽出一张牌，将牌面数字作为十位上的数字，然后将该牌放回并重新洗匀，再随机抽取一张，将牌面数字作为个位上的数字，请用画树状图或列表的方法求组成的两位数恰好是4的倍数的概率．
【分析】依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率即可．
【解答】解：（1）A，2，3，4共有4张牌，随意抽取一张为偶数的概率为＝；
（2）1+4＝5；2+3＝5，但组合一共有3+2+1＝6，故概率为＝；
（3）根据题意，画树状图：
由树状图可知，共有16种等可能的结果：11，12，13，14，21，22，23，24，31，32，33，34，41，42，43，44．
其中恰好是4的倍数的共有4种：12，24，32，44．
所以，P（4的倍数）＝．
或根据题意，画表格：
第一次第二次 1 2 3 4
1 11 12 13 14
2 21 22 23 24
3 31 32 33 34
4 41 42 43 44
由表格可知，共有16种等可能的结果，其中是4的倍数的有4种，所以，P（4的倍数）＝．
18．（9分）已知：如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，且AB⊥CD，垂足为E，连接OC，OC＝5，CD＝8，求BE的长．
【分析】由于AB⊥CD，而AB是直径，根据垂径定理易求CE，再根据勾股定理可求CE，进而可求BE．
【解答】解：∵AB为直径，AB⊥CD，
∴CE＝DE＝CD＝4，
在Rt△COE中，OE＝＝＝3，
∴BE＝OB﹣OE＝5﹣3＝2，
故BE＝2．
19．（9分）如图，反比例函数y＝（x＞0）的图象上两点P，R，O为坐标原点，连接PO，PR且2PO＝PR，x轴正半轴点A（a，0），PB⊥y轴于RB⊥x轴点，两垂线交于点B，连接OB，过R点做x轴的平行线交OB于点N连接PN．
（1）求证，四边形PNRB是矩形；
（2）求证2∠AOB＝∠POB．
【分析】（1）直接利用坐标的特点和反比例函数的解析式即可得出结论；
（2）先判断出PR，BN是矩形的对角线，设PR与BN交于点S，进而得出∠PSO＝2∠AOB，再由PR＝2OP即可得出PS＝OP，即：∠PSO＝∠POS，最后代换即可得出结论．
【解答】证明：（1）设点B的坐标为（t，n），
∴直线OB的解析式为：y＝x，
∵BR⊥x轴，BP⊥y轴，点P，R在反比例函数y＝（x＞0）图象上，
∴R（t，），P（，n），
∵NP∥x轴，
∵N（，），
∴PN⊥x轴，
∴∠PNR＝∠PBR＝∠BRN＝90°，
∴四边形PNRB是矩形．
（2）由（1）四边形PNRB是矩形，设PR，BN交于点S，
∴PS＝RS＝NS，
∴∠BNR＝∠PRN，
∴∠PSO＝2∠BNR，
∵NR∥OA，
∴∠BNR＝∠BOA，
∴∠PSO＝2∠BOA，
∵PR＝2OP，PR＝2PS，
∴PO＝PS，
∴∠PSO＝∠POS，
∴∠POS＝2∠BOA．
20．（9分）某校课外活动小组，在距离湖面7米高的观测台A处，看湖面上空一热气球P的仰角为37°，看P在湖中的倒影P′的俯角为53°（P′为P关于湖而的对称点）．请你算出这个热气球P距湖面得高度PC约为多少米？
注：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈．
【分析】过点A作AD⊥PP′，垂足为D，构造矩形ABCD和直角三角形，根据三角函数的定义求出AD的长，根据AD＝AD，列出方程解答即可．
【解答】解：过点A作AD⊥PP′，垂足为D，则有CD＝AB＝7米，
设PC为x米，则P′C＝x米，PD＝（x﹣7）米，P′D＝（x+7）米，
在Rt△PDA中，AD＝≈（x﹣7），
在Rt△P′DA中，AD＝≈（x+7），
∴（x﹣7）＝（x+7），
解得：x＝25．
答：热气球P距湖面的高度PC约为25米．
21．（9分）如图，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，点D是BC上一个动点（不与B、C重合），在AC上取E点，使∠ADE＝45度．
（1）求证：△ABD∽△DCE；
（2）设BD＝x，AE＝y，求y关于x的函数关系式；
（3）当△ADE是等腰三角形时，求AE的长．
【分析】此题有三问，（1）证明△ABD∽△DCE，已经有∠B＝∠C，只需要再找一对角相等就可以了；
（2）由（1）证得△ABD∽△DCE，有相似就线段成比例，于是利用（1）的结果可证得（2）；
（3）当△ABD∽△DCE时，可能是DA＝DE，也可能是ED＝EA，所以要分两种情况证明结论．
【解答】（1）证明：∵△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝1，
∴∠ABC＝∠ACB＝45°．
∵∠ADE＝45°，
∴∠BDA+∠CDE＝135°．
又∠BDA+∠BAD＝135°，
∴∠BAD＝∠CDE．
∴△ABD∽△DCE．
（2）解：∵△ABD∽△DCE，
∴；
∵BD＝x，
∴CD＝BC﹣BD＝﹣x．
∴，
∴CE＝x﹣x2．
∴AE＝AC﹣CE＝1﹣（x﹣x2）＝x2﹣x+1．
即y＝x2﹣x+1．
（3）解：∠DAE＜∠BAC＝90°，∠ADE＝45°，
∴当△ADE是等腰三角形时，第一种可能是AD＝DE．
又∵△ABD∽△DCE，
∴△ABD≌△DCE．
∴CD＝AB＝1．
∴BD＝﹣1．
∵BD＝CE，
∴AE＝AC﹣CE＝2﹣．
当△ADE是等腰三角形时，第二种可能是ED＝EA．
∵∠ADE＝45°，
∴此时有∠DEA＝90°．
即△ADE为等腰直角三角形．
∴AE＝DE＝AC＝．
当AD＝EA时，点D与点B重合，不合题意，所以舍去，
因此AE的长为2﹣或．
22．（9分）已知：二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为（﹣1，0），与y轴相交于点C，点C坐标为（0，5），另抛物线经过点（1，8），M为它的顶点．A点在B点左侧，N为抛物线上的点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若△NCB的面积S△NCB＝2S△MCB．求N点的坐标．
【分析】（1）将A（﹣1，0），C（0，5），（1，8）代入y＝ax2+bx+c，列方程组并且解该方程组求出a、b、c的值，即得到抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；
（2）作AD⊥x轴，作BD⊥BC交AD于点D，连接CD，先求得抛物线的顶点M的坐标为（2，9），B（5，0），作ME⊥y轴于点E，即可求得S△MCB＝15，再证明AD＝AB＝5+1＝6，则D（﹣1，﹣6），BD＝6，而BC＝5，所以S△DCB＝×5×6＝30，可知S△DCB＝2S△MCB，过点D作DN∥BC交抛物线于点N、点N′，连接BN、CN、BN′、CN′，则S△NCB＝S△N′CB＝2S△MCB，再求得直线DN的解析式为y＝﹣x﹣7，将其与抛物线的解析式联立方程组，解该方程组即可求得点N和点N′的坐标．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），C（0，5），（1，8），
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5，
（2）如图，作AD⊥x轴，作BD⊥BC交AD于点D，连接CD，
∵y＝﹣x2+4x+5＝﹣（x﹣2）2+9，
∴抛物线的顶点M的坐标为（2，9），
当y＝0时，则﹣x2+4x+5＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴B（5，0），AB＝5，
作ME⊥y轴于点E，则E（0，9），
∴CE＝9﹣5＝4，EM＝2，
∴S△MCB＝×9×（2+5）﹣×4×2﹣×5×5＝15，
∵∠BOC＝∠CBD＝∠BAD＝90°，OB＝OC＝5，
∴∠OBC＝∠OCB＝45°，
∴∠ABD＝∠ADB＝45°，
∴AD＝AB＝5+1＝6，
∴D（﹣1，﹣6），BD＝＝＝6，
∵BC＝＝＝5，
∴S△DCB＝×5×6＝30，
∴S△DCB＝2S△MCB，
过点D作DN∥BC交抛物线于点N、点N′，连接BN、CN、BN′、CN′，
∴S△NCB＝S△N′CB＝2S△MCB，
设直线BC的解析式为y＝kx+5，则5k+5＝0，
解得k＝﹣1，
设直线DN的解析式为y＝﹣x+m，则1+m＝﹣6，
解得m＝﹣7，
∴y＝﹣x﹣7，
解方程组，得，，
∴N（，）或N′（，）．
23．（11分）如图①，已知△ABC是等腰直角三角形，∠BAC＝90°，点D是BC的中点．作正方形DEFG，使点A，C分别在DG和DE上，连接AE，BG．
（1）试猜想线段BG和AE的数量关系，请直接写出你得到的结论；
（2）将正方形DEFG绕点D逆时针方向旋转一定角度后（旋转角度大于0°，小于或等于360°），如图②，通过观察或测量等方法判断（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请予以证明；如果不成立，请说明理由；
（3）若BC＝DE＝2，在（2）的旋转过程中，当AE为最大值时，求AF的值．
【分析】（1）在Rt△BDG与Rt△EDA；根据边角边定理易得Rt△BDG≌Rt△EDA；故BG＝AE；
（2）连接AD，根据直角三角形与正方形的性质可得Rt△BDG≌Rt△EDA；进而可得BG＝AE；
（3）根据（2）的结论，求BG的最大值，分析可得此时F的位置，由勾股定理可得答案．
【解答】解：（1）BG＝AE，
证明：∵△ABC是等腰直角三角形，AD⊥BC，
∴BD＝DA，
又∵正方形DEFG中：GD＝DE，∠GDB＝∠EDA；
∴Rt△BDG≌Rt△ADE；
∴BG＝AE；
（2）成立：
证明：连接AD，
∵Rt△BAC中，D为斜边BC的中点，
∴AD＝BD，AD⊥BC，
∴∠ADG+∠GDB＝90°，
∵EFGD为正方形，
∴DE＝DG，且∠GDE＝90°，
∴∠ADG+∠ADE＝90°，
∴∠BDG＝∠ADE，
在△BDG和△ADE中，
∴△BDG≌△ADE（SAS），
∴BG＝AE；
（3）由（2）可得BG＝AE，当BG取得最大值时，AE取得最大值；
分析可得：当旋转角度为270°时，BG＝AE最大值为1+2＝3，
此时如图：AF＝．