2021-2022学年陕西省安康市汉滨区瀛湖片区六校九年级（上）期末数学试卷 (word解析版)

2021-2022学年陕西省安康市汉滨区瀛湖片区六校九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形（　　）
A． B．
C． D．
2．（3分）已知关于x的方程x2+ax+1＝0的一个根为x＝1，则实数a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
3．（3分）下列事件中是必然事件的是（　　）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一班级
C．△ABC的三个内角之和为100°
D．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
4．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，当点C'落在边AB上时，线段CC'的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
5．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2 B．x＞4 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
6．（3分）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（　　）
A．25° B．50° C．65° D．75°
7．（3分）不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“﹣1”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为0的概率是（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
x … 0 1 3 4 …
y … 2 4 2 ﹣2 …
下列结论正确的是（　　）
A．抛物线的开口向上
B．当0＜x＜2时，2＜y≤
C．y的最大值为4
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）一元二次方程3x2﹣6x＝0的根是　 　．
10．（3分）若一个圆内接正方形的周长为24，则该正方形的边心距为 　 　．
11．（3分）对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：
抽取只数（只） 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000
合格频率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84
估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为　 　．
12．（3分）若圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图的面积为6πcm2，则圆锥的母线长为 　 　cm．
13．（3分）如图，正方形AOBC的顶点O在原点，边AO，BO分别在x轴和y轴上，点C坐标为（4，4），点D是BO的中点，点P是边OA上的一个动点，连接PD，以P为圆心，PD为半径作圆，设点P横坐标为t，当⊙P与正方形AOBC的边相切时，t的值为　 　．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）已知关于x的方程3x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
15．（5分）如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°得到三角形EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，求∠ADC的度数．
16．（5分）如图是一块残缺的圆轮片，点A、B、C在上，请用尺规作图法作出所在的⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）
17．（5分）一个口袋中放有290个涂有红、白两种色的质地相同的小球，若从袋中任取一个球是白球的概率是，求袋中红球的个数．
18．（5分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB交于点E，且BE＝BC，求证：△ADE是等腰三角形．
19．（5分）把一个足球垂直水平地面向上踢，如果不考虑空气阻力，足球的飞行高度h（米）与时间t（秒）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2（0≤t≤4），求该足球飞行高度h的最大值．
20．（5分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接OC、AC、BD．
（1）求证：∠ACO＝∠CDB；
（2）若∠A＝30°，OA＝6，求的长．
21．（6分）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移5个单位得到一条新的抛物线，设新抛物线的顶点为C，求△ABC的面积．
22．（7分）如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）请直接写出点A关于原点O对称的点的坐标 　 　；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，画出图形，并直接写出点A的对应点A的坐标．
23．（7分）如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个面积为10平方米的长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米，求这个隔离区的长和宽分别是多少米？
24．（8分）“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点 疫苗种类
医院 A 新冠病毒灭活疫苗
B 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心 C 新冠病毒灭活疫苗
D 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
（1）居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率为 　 　；
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
25．（8分）如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已知DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O切线；
（2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长．
26．（10分）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4）、B（5，0）和原点O．点D（m，0）（0＜m≤5）是上一动点，过点D作x轴的垂线与二次函数的图象交于点P，与直线OA交于点C．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
2021-2022学年陕西省安康市汉滨区瀛湖片区六校九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分.每小题只有一个选项是符合题意的）
1．（3分）下列图形是我国国产品牌汽车的标识，这些汽车标识中，是中心对称图形（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根据把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心进行分析．
【解答】解：选项B能找到这样的一个点，使图形绕这一点旋转180°后原来的图形重合，所以是中心对称图形；
选项A、C、D不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180°后原来的图形重合，所以不是中心对称图形；
故选：B．
2．（3分）已知关于x的方程x2+ax+1＝0的一个根为x＝1，则实数a的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C．﹣1 D．1
【分析】根据题意可得：把x＝1代入方程x2+ax+1＝0中得：12+a+1＝0，然后进行计算即可解答．
【解答】解：由题意得：
把x＝1代入方程x2+ax+1＝0中得：
12+a+1＝0，
解得：a＝﹣2，
故选：A．
3．（3分）下列事件中是必然事件的是（　　）
A．抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上
B．从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一班级
C．△ABC的三个内角之和为100°
D．随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数
【分析】根据随机事件的定义解答即可．
【解答】解：A、抛掷一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意；
B、从两个班级中任选三名学生，至少有两名学生来自同一班级是必然事件，符合题意；
C、△ABC的三个内角之和为100°是不可能事件，不符合题意；
D、随意翻到一本书的某页，这一页的页码是偶数随机事件，不符合题意．
故选：B．
4．（3分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，当点C'落在边AB上时，线段CC'的长为（　　）
A． B．1 C． D．2
【分析】由∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，得AC＝2，∠CAC'＝60°，再根据旋转的性质可推出△CAC'为等边三角形，从而得到CC'＝AC＝2．
【解答】解：∵∠ACB＝90°，∠B＝30°，AB＝4，
∴AC＝2，∠CAC'＝60°，
∵将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB'C'，
∴AC'＝AC＝2，
∴△CAC'为等边三角形，
∴CC'＝AC＝2，
故选：D．
5．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴相交于（﹣2，0）和（4，0）两点，当函数值y＜0时，自变量x的取值范围是（　　）
A．x＜﹣2 B．x＞4 C．﹣2＜x＜4 D．x＜﹣2或x＞4
【分析】由抛物线与x轴的交点坐标，结合图象即可解决问题．
【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于（﹣2，0）和（4，0）两点，函数开口向下，
∴函数值y＜0时，自变量x的取值范围是x＜﹣2或x＞4，
故选：D．
6．（3分）如图，△ABC的顶点A、B、C均在⊙O上，若∠ABC+∠AOC＝75°，则∠OAC的大小是（　　）
A．25° B．50° C．65° D．75°
【分析】根据圆周角定理得出∠AOC＝2∠ABC，求出∠AOC＝50°，再根据等腰三角形的性质和进行内角和定理求出即可．
【解答】解：∵根据圆周角定理得：∠AOC＝2∠ABC，
∵∠ABC+∠AOC＝75°，
∴∠AOC＝×75°＝50°，
∵OA＝OC，
∴∠OAC＝∠OCA＝（180°﹣∠AOC）＝65°，
故选：C．
7．（3分）不透明的袋子中装有两个小球，上面分别写着“1”，“﹣1”，除数字外两个小球无其他差别．从中随机摸出一个小球，记录其数字，放回并摇匀，再从中随机摸出一个小球，记录其数字，那么两次记录的数字之和为0的概率是（　　）
A． B． C． D．
【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格求得所有等可能的结果与两次记录的数字之和为0的情况，再利用概率公式即可求得答案．
【解答】解：列表如下：
1 ﹣1
1 2 0
﹣1 0 ﹣2
由表可知，共有4种等可能结果，其中两次记录的数字之和为0的有2种结果，
所以两次记录的数字之和为0的概率为＝．
故选：C．
8．（3分）已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）的y与x的部分对应值如下表：
x … 0 1 3 4 …
y … 2 4 2 ﹣2 …
下列结论正确的是（　　）
A．抛物线的开口向上
B．当0＜x＜2时，2＜y≤
C．y的最大值为4
D．当x＞1时，y随x的增大而减小
【分析】利用表格中数据得出抛物线对称轴以及对应坐标轴交点，进而根据图表内容找到方程ax2+bx+c＝0即y＝0时x的取值范围，得出答案即可．
【解答】解：A、由图表中数据可得出：x＝1.5时，y有最大值，故此函数开口向下，故此选项错误；
B、把（0，2），（1，4）（3，2）分别代入解析式，得，解得，
函数解析式为y＝﹣x2+3x+2，顶点坐标为（，），
当0＜x＜2时，2＜y≤，故此选项正确；
C、当x＝1时，y＝4，低于顶点坐标，故此选项错误；
D、当x＞1.5时，y随著x的增大而减小，故此选项错误．
故选：B．
二、填空题（共5小题，每小题3分，计15分）
9．（3分）一元二次方程3x2﹣6x＝0的根是　x1＝2，x2＝0　．
【分析】根据因式分解法即可求出答案．
【解答】解：∵3x2﹣6x＝0，
∴3x（x﹣2）＝0，
∴3x＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝2，x2＝0，
故答案为：x1＝2，x2＝0．
10．（3分）若一个圆内接正方形的周长为24，则该正方形的边心距为 　3　．
【分析】运用正方形的性质，以及与外接圆的关系，可求出边心距．
【解答】解：∵一个正方形的周长为24，
∴正方形的边长为6，
由中心角只有四个可得出360°÷4＝90°，
∴中心角是：90°，
∴边心距是边长的一半，为3，
故答案为：3．
11．（3分）对一批口罩进行抽检，统计合格口罩的只数，得到合格口罩的频率如下：
抽取只数（只） 50 100 150 500 1000 2000 10000 50000
合格频率 0.82 0.83 0.82 0.83 0.84 0.84 0.84 0.84
估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为　0.84　．
【分析】观察表格合格的频率趋近于0.84，从而由此得到口罩合格的概率即可．
【解答】解：∵随着抽样数量的增多，合格的频率趋近于0.84，
∴估计从该批次口罩中任抽一只口罩是合格品的概率为0.84．
故答案为：0.84．
12．（3分）若圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图的面积为6πcm2，则圆锥的母线长为 　3　cm．
【分析】根据圆锥侧面积公式S＝πrl代入数据求出圆锥的母线长即可．
【解答】解：根据圆锥侧面积公式：S＝πrl，圆锥的底面半径为2cm，侧面展开图的面积为6πcm2，
故6π＝π×2×l，
解得：l＝3（cm）．
故答案为：3．
13．（3分）如图，正方形AOBC的顶点O在原点，边AO，BO分别在x轴和y轴上，点C坐标为（4，4），点D是BO的中点，点P是边OA上的一个动点，连接PD，以P为圆心，PD为半径作圆，设点P横坐标为t，当⊙P与正方形AOBC的边相切时，t的值为　或2　．
【分析】由点C的坐标可得出OA，OB的长度，结合点D是BO的中点可得出OD的长度．分⊙P与AC相切和⊙P与BC相切两种情况考虑：①当⊙P与AC相切时，在Rt△DOP中，利用勾股定理可得出关于t的一元一次方程，解之即可求出t值；②当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE，由切线的性质可得出PE的长度，进而可得出PD的长度，在Rt△POD中，利用勾股定理可得出关于t的一元二次方程，解之取其正值即可得出t值．综上，此题得解．
【解答】解：∵点C坐标为（4，4），点D是BO的中点，
∴OA＝OB＝4，OD＝OB＝2．
分⊙P与AC相切和⊙P与BC相切两种情况考虑：
①当⊙P与AC相切时，如图1所示．
∵点P横坐标为t，
∴PA＝4﹣t．
在Rt△DOP中，OD＝2，OP＝t，PD＝PA＝4﹣t，
∴PD2＝OD2+OP2，即（4﹣t）2＝22+t2，
解得：t＝；
②当⊙P与BC相切时，设切点为E，连接PE，如图2所示．
∵PE⊥BC，AC⊥BC，
∴PE∥AC．
∵PA∥EC，
∴四边形ACEP为矩形，
∴PE＝AC＝4，
∴PD＝PE＝4．
在Rt△POD中，OP＝t，OD＝2，PD＝4，
∴PD2＝OD2+OP2，即42＝22+t2，
解得：t1＝2，t2＝﹣2（不合题意，舍去）．
综上所述：t的值为或2．
故答案为：或2．
三、解答题（共13小题，计81分.解答应写出过程）
14．（5分）已知关于x的方程3x2+2x﹣m＝0有两个不相等的实数根，求实数m的取值范围．
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝22﹣4×3×（﹣m）＞0，然后解不等式即可．
【解答】解：根据题意得Δ＝22﹣4×3×（﹣m）＞0，
解得m＞﹣，
即实数m的取值范围为m＞﹣．
15．（5分）如图，将三角形ABC绕点C顺时针旋转90°得到三角形EDC．若点A，D，E在同一条直线上，∠ACB＝20°，求∠ADC的度数．
【分析】根据旋转的性质和三角形内角和解答即可．
【解答】解：∵将△ABC绕点C顺时针旋转90°得到△EDC．
∴∠DCE＝∠ACB＝20°，∠BCD＝∠ACE＝90°，AC＝CE，
∴∠ACD＝90°﹣20°＝70°，
∵点A，D，E在同一条直线上，
∴∠ADC+∠EDC＝180°，
∵∠EDC+∠E+∠DCE＝180°，
∴∠ADC＝∠E+20°，
∵∠ACE＝90°，AC＝CE
∴∠DAC+∠E＝90°，∠E＝∠DAC＝45°
在△ADC中，∠ADC+∠DAC+∠DCA＝180°，
即45°+70°+∠ADC＝180°，
解得：∠ADC＝65°，
16．（5分）如图是一块残缺的圆轮片，点A、B、C在上，请用尺规作图法作出所在的⊙O．（保留作图痕迹，不写作法）
【分析】因为点A、B、C在上，所以线段AB、BC是所在的⊙O的两条弦，而弦的垂直平分线经过圆心，则作出AB、BC的垂直平分线的交点即可得到所求的圆的圆心，连接圆心和点C得到的线段就是该圆的一条半径，即可作出这个圆．
【解答】解：如图，分别作AB、BC的垂直平分线MN、PQ交于点O，连接OC，以O为圆心、OC长为半径作圆，
⊙O所在的圆．
理由：∵点A、B、C在上，
∴AB、BC是所在的⊙O的两条弦，
∴⊙O的圆心在AB的垂直平分线上，也在BC的垂直平分线上，
∴AB、BC的垂直平分线的交点就是⊙O的圆心，
∴以O为圆心，以OC为半径的圆是所在的⊙O．
17．（5分）一个口袋中放有290个涂有红、白两种色的质地相同的小球，若从袋中任取一个球是白球的概率是，求袋中红球的个数．
【分析】先用球的总个数乘以白球的概率求出其个数，继而可得答案．
【解答】解：由题意知，袋中白球的个数为290×＝29（个），
所以袋中红球的个数约为290﹣29＝261（个），
答：袋中红球约有261个．
18．（5分）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，延长DC，AB交于点E，且BE＝BC，求证：△ADE是等腰三角形．
【分析】根据圆内接四边形的性质和等腰三角形的判定定理证明．
【解答】证明：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形，
∴∠A＝∠BCE，
∵BE＝BC，
∴∠BCE＝∠BEC，
∴∠A＝∠BEC，
∴DA＝DE，即△ADE是等腰三角形；
19．（5分）把一个足球垂直水平地面向上踢，如果不考虑空气阻力，足球的飞行高度h（米）与时间t（秒）之间具有函数关系h＝20t﹣5t2（0≤t≤4），求该足球飞行高度h的最大值．
【分析】将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．
【解答】解：h＝20t﹣5t2＝﹣5（t﹣2）2+20．
∵﹣5＜0，
∴当t＝2时，足球飞行高度h的最大值为20米．
20．（5分）如图，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为点E，连接OC、AC、BD．
（1）求证：∠ACO＝∠CDB；
（2）若∠A＝30°，OA＝6，求的长．
【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠ACO，根据圆周角定理证明结论；
（2）根据垂径定理、圆周角定理求出圆周角，再根据弧长公式计算得到答案．
【解答】（1）证明：∵OC＝OA，
∴∠A＝∠ACO，
∵∠A＝∠CDB，
∴∠ACO＝∠CDB；
（2）解：∵⊙O的直径AB垂直于弦CD，
∴＝，
∵∠A＝30°，
∴∠BOC＝60°，
∵OA＝6，
∴的长＝＝2π，
∴的长为2π．
21．（6分）如图，已知抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴交于A、B两点．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）将抛物线向左平移1个单位，再向上平移5个单位得到一条新的抛物线，设新抛物线的顶点为C，求△ABC的面积．
【分析】（1）令x2﹣2x﹣3＝0，求出方程的解即可；
（2）根据平移的规律得出平移后的抛物线的解析式，求出点C的坐标，再关键三角形的面积公式计算即可．
【解答】解：（1）y＝x2﹣2x﹣3，
令y＝0，
即x2﹣2x﹣3＝0，
（x﹣3）（x+1）＝0，
x1＝3，x2＝﹣1，
故A（﹣1，0），B（3，0）；
（2）y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，
∴将抛物线向左平移1个单位，再向上平移5个单位得到一条新的抛物线得到y＝（x﹣1+1）2﹣4+5，即y＝x2+1，
∴C（0，1），
∴△ABC的面积为：＝2．
22．（7分）如图所示，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣6，0），C（﹣1，0）．
（1）请直接写出点A关于原点O对称的点的坐标 　（1，﹣3）　；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，画出图形，并直接写出点A的对应点A的坐标．
【分析】（1）根据对称性质即可写出点A关于点O对称的点的坐标；
（2）根据旋转的性质即可将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°，得到△A1B1C1，进而可以写出点A1的坐标．
【解答】解：（1）点A关于点O对称的点的坐标为（2，﹣3）；
故答案为：（2，﹣3）．
（2）如图，△A1B1C1即为所求，
A1（﹣3，﹣2）．
23．（7分）如图，根据防疫的相关要求，学生入校需晨检，体温超标的同学须进入临时隔离区进行留观．我校要建一个面积为10平方米的长方形临时隔离区，隔离区的一面利用学校边墙（墙长4.5米），其它三面用防疫隔离材料搭建，与墙垂直的一边还要开一扇1米宽的进出口（不需材料），共用防疫隔离材料8米，求这个隔离区的长和宽分别是多少米？
【分析】设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（8﹣x+1）米，根据隔离区面积为10平方米，列出方程并解答．
【解答】解：设这个隔离区一边AB长为x米，则另一边BC长为（8﹣x+1）米．
依题意，得x （8﹣x+1）＝10，
解得x1＝5，x2＝4．
当x＝5时，5＞4.5（舍去），
当x＝4时，4＜4.5米．
答：隔离区的长为4米，宽为2.5米．
24．（8分）“共和国勋章”获得者钟南山院士说：按照疫苗保护率达到70%计算，中国的新冠疫苗覆盖率需要达到近80%，才有可能形成群体免疫．本着自愿的原则，18至60周岁符合身体条件的中国公民均可免费接种新冠疫苗．居民甲、乙准备接种疫苗，其居住地及工作单位附近有两个大型医院和两个社区卫生服务中心均可免费接种疫苗，提供疫苗种类如下表：
接种地点 疫苗种类
医院 A 新冠病毒灭活疫苗
B 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
社区卫生服务中心 C 新冠病毒灭活疫苗
D 重组新冠病毒疫苗（CHO细胞）
若居民甲、乙均在A、B、C、D中随机独立选取一个接种点接种疫苗，且选择每个接种点的机会均等．（提示：用A、B、C、D表示选取结果）
（1）居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率为 　　；
（2）请用列表或画树状图的方法求居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率．
【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）画树状图，共有16种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有8种，再由概率公式求解即可．
【解答】解：（1）居民甲接种的是新冠病毒灭活疫苗的概率为＝，
故答案为：；
（2）画树状图如下：
共有16种等可能的结果，居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的结果有8种，
∴居民甲、乙接种的是相同种类疫苗的概率为＝．
25．（8分）如图，以四边形ABCD的对角线BD为直径作圆，圆心为O，过点A作AE⊥CD的延长线于点E，已知DA平分∠BDE．
（1）求证：AE是⊙O切线；
（2）若AE＝4，CD＝6，求⊙O的半径和AD的长．
【分析】（1）连接OA，根据已知条件证明OA⊥AE即可解决问题；
（2）取CD中点F，连接OF，根据垂径定理可得OF⊥CD，所以四边形AEFO是矩形，利用勾股定理即可求出结果．
【解答】（1）证明：如图，连接OA，
∵AE⊥CD，
∴∠DAE+∠ADE＝90°．
∵DA平分∠BDE，
∴∠ADE＝∠ADO，
又∵OA＝OD，
∴∠OAD＝∠ADO，
∴∠DAE+∠OAD＝90°，
∴OA⊥AE，
∴AE是⊙O切线；
（2）解：如图，取CD中点F，连接OF，
∴OF⊥CD于点F．
∴四边形AEFO是矩形，
∵CD＝6，
∴DF＝FC＝3．
在Rt△OFD中，OF＝AE＝4，
∴OD＝＝＝5，
在Rt△AED中，AE＝4，ED＝EF﹣DF＝OA﹣DF＝OD﹣DF＝5﹣3＝2，
∴AD＝，
∴AD的长是．
26．（10分）如图，已知二次函数的图象经过点A（4，4）、B（5，0）和原点O．点D（m，0）（0＜m≤5）是上一动点，过点D作x轴的垂线与二次函数的图象交于点P，与直线OA交于点C．
（1）求出二次函数的解析式；
（2）是否存在点P，使得△PCO为等腰三角形，如果存在，求出点P的坐标；如果不存在，请说明理由．
【分析】（1）用待定系数法可得二次函数的解析式为y＝﹣x2+5x；
（2）由A（4，4）可得直线OA解析式为y＝x，故PC＝﹣m2+5m﹣m＝﹣m2+4m，OC＝m，OP＝，分两种情况：当P在OA上方时，﹣m2+4m＝m，当P在OA下方时，＝﹣m2+4m，分别解方程可得答案．
【解答】解：（1）由抛物线过B（5，0）和原点O，设二次函数的解析式为y＝ax（x﹣5），
把A（4，4）代入得：4＝﹣4a，
解得a＝﹣1，
∴y＝﹣x（x﹣5）＝﹣x2+5x，
∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+5x；
（2）存在点P，使得△PCO为等腰三角形，理由如下：
由A（4，4）可得直线OA解析式为y＝x，
∵D（m，0），
∴P（m，﹣m2+5m），C（m，m），
∴PC＝﹣m2+5m﹣m＝﹣m2+4m，OC＝m，OP＝，
当P在OA上方时，如图：
∵∠PCO为钝角，
∴△PCO为等腰三角形，只能OC＝PC，
∴﹣m2+4m＝m，
解得m＝0（不能构成三角形，舍去）或m＝4﹣，
∴P（4﹣，2+3），
当P在OA下方时，如图：
∵∠CPO≥90°，
∴△PCO为等腰三角形，只能OP＝PC，
∴＝﹣m2+4m
∴m2+m2（m﹣5）2＝m2（m﹣4）2，
∴m2[1+（m﹣5）2﹣（m﹣4）2]＝0，
∴m2＝0或1+（m﹣5）2﹣（m﹣4）2＝0，
解得m＝0（舍去）m＝5，
∴P（5，0）；
综上所述，P的坐标为（4﹣，2+3）或（5，0）．