2021-2022学年湖南博才中学九年级（上）期末数学试卷（含解析）

2021-2022学年湖南博才中学九年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列说法中，正确的是（　　）
A．“打开电视，正在播放湖北新闻节目”是必然事件
B．“某种彩票中奖概率为10%”是指买十张一定有一张中奖
C．“掷一次骰子，向上一面的数字是2”是随机事件
D．“明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨
2．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+3的对称轴为（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝﹣1
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，AB＝5，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）二次函数y＝（x﹣2）2+5的最小值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5
5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，则∠ADC的度数为（　　）
A．60° B．70° C．80° D．110°
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E是AB，AC的中点，若△ADE的面积是1，则四边形BDEC的面积为（　　）
A．14 B．2 C．3 D．4
7．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，那么抛物线与x轴的另一个交点坐标为（　　）
A．（1，0） B．（0，0） C．（2，0） D．（，0）
8．（3分）已知点A（0，3），B（﹣4，8），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，点D与点B对应．则点D的坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2）或（1，﹣2） D．（2，﹣1）或（﹣2，1）
9．（3分）如图，一架人字梯，若AB＝AC，梯子离地面的垂直距离AD为2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（　　）
A．2tanα米 B．米 C．4tanα米 D．米
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；其中一定成立的是（　　）
A．①③⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分。满分18分）
11．（3分）点P（﹣1，3）关于原点对称的点的坐标是　 　．
12．（3分）已知，则＝　 　．
13．（3分）若方程x2﹣3x＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝　 　．
14．（3分）已知∠A是锐角，且1﹣2sinA＝0，则∠A＝　 　．
15．（3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则2m2﹣4m＝　 　．
16．（3分）如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O和相交于点C，AB＝8，AC＝4，则⊙O的半径长为 　 　．
三、解答题（本题共9个小题，其中17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各9分，24、25题各10分，满分72分）
17．（6分）计算：．
18．（6分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
19．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径作弧，分别交于两点，连接这两点的直线与BC交于点D，与AB交于点F，连结AD；
②以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别与AD、AC交于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点间距离的一半的长度为半径作弧，两弧交于一点，连结点A与这一点交BC于点E．
（1）通过以上作图，可以发现直线DF是 　 　，射线AE是 　 　；（在横线上填上合适的选项）
A．线段AB的垂直平分线 B．∠ADB的角平分线
C．△ACD的中线 D．∠DAC的角平分线
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
20．（8分）我市某中学举行“中国梦 我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有 　 　名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 　 　度，图中m的值为 　 　；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边上一点，∠EAB＝∠EBC．
（1）求证：△ABE∽△BEC；
（2）若AB＝4，DE＝3，求BE的长．
22．（9分）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为53°，从楼AB的顶部点测得楼CD的底部点C的俯角为45°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
（1）求∠CAD的大小；
（2）求楼AB、CD的高度．（结果保留1位小数）
23．（9分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E，点D在AC上，满足AD＝DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB2＝BE BC；
（3）若OA＝CE，求tan∠B的值．
24．（10分）平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为[P]，即[P]＝|x|+|y|．
（1）已知点A（﹣1，3），，则[A]＝　 　，[B]＝　 　；
（2）若点C在一次函数y＝2x+2的图象上，且[C]＝4，求点C的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点D，已知点D在第一象限，且2≤[D]≤4，令t＝2b2﹣4a+2022，试求t的取值范围．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx﹣c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
2021-2022学年湖南博才中学九年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）
1．（3分）下列说法中，正确的是（　　）
A．“打开电视，正在播放湖北新闻节目”是必然事件
B．“某种彩票中奖概率为10%”是指买十张一定有一张中奖
C．“掷一次骰子，向上一面的数字是2”是随机事件
D．“明天降雨的概率是50%”表示明天有半天都在降雨
【分析】根据概率的意义，事件发生可能性的大小，可得答案．
【解答】解：A、打开电视，正在播放湖北新闻节目”是随机事件；
B、某种彩票中奖概率为10%是指买十张有可能中奖；
C、“掷一次骰子，向上一面的数字是2”是随机事件；
D、明天降雨的概率是50%表示明天有可能降雨；
故选：C．
2．（3分）二次函数y＝x2﹣2x+3的对称轴为（　　）
A．x＝﹣2 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝﹣1
【分析】根据二次函数的对称轴公式直接解答即可．
【解答】解：y＝x2﹣2x+3中，
a＝1，b＝﹣2，c＝3，
x＝﹣＝﹣＝1．
故选：C．
3．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝3，AB＝5，则cosA的值为（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据余弦的定义计算即可．
【解答】解：在Rt△ABC中，cosA＝＝，
故选：D．
4．（3分）二次函数y＝（x﹣2）2+5的最小值是（　　）
A．2 B．﹣2 C．5 D．﹣5
【分析】根据二次函数的最值问题解答即可．
【解答】解：二次函数y＝（x﹣2）2+5的最小值是5．
故选：C．
5．（3分）如图，四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，则∠ADC的度数为（　　）
A．60° B．70° C．80° D．110°
【分析】根据圆内接四边形的性质即可得到结论．
【解答】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC＝110°，
∴∠ADC＝180°﹣∠ABC＝180°﹣110°＝70°，
故选：B．
6．（3分）如图，在△ABC中，点D、E是AB，AC的中点，若△ADE的面积是1，则四边形BDEC的面积为（　　）
A．14 B．2 C．3 D．4
【分析】根据三角形中位线定理可得DE∥BC，＝，，从而得到△ADE∽△ABC，进而得到，可得到△ABC的面积是4，即可求解．
【解答】解：∵点D、E是AB，AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE∥BC，＝，
∴△ADE∽△ABC，
∴，
∵△ADE的面积是1，
∴△ABC的面积是4，
∴四边形BDEC的面积为3．
故选：C．
7．（3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a＞0）的部分图象如图所示，它与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，那么抛物线与x轴的另一个交点坐标为（　　）
A．（1，0） B．（0，0） C．（2，0） D．（，0）
【分析】根据抛物线的对称性解答即可．
【解答】解：∵与x轴的一个交点坐标为（﹣3，0），对称轴为直线x＝﹣1，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为（1，0），
故选：A．
8．（3分）已知点A（0，3），B（﹣4，8），以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，点D与点B对应．则点D的坐标为（　　）
A．（﹣1，2） B．（1，﹣2）
C．（﹣1，2）或（1，﹣2） D．（2，﹣1）或（﹣2，1）
【分析】根据位似变换的性质计算得到答案．
【解答】解：∵以原点O为位似中心，把线段AB缩短为原来的，点B的坐标为（﹣4，8），
∴点D的坐标为（﹣4×，8×）或，
即（﹣1，2）或（1，﹣2）．
故选：C．
9．（3分）如图，一架人字梯，若AB＝AC，梯子离地面的垂直距离AD为2米，AC与地面BC的夹角为α，则两梯脚之间的距离BC为（　　）
A．2tanα米 B．米 C．4tanα米 D．米
【分析】根据等腰三角形的性质得到，根据正切的定义即可，得到答案．
【解答】解：过点A作AD⊥BC于点D，如图所示：
∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝DC，
∵，
∴（米），
∴（米），
故选：D．
10．（3分）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的点，且OC∥BD，AD分别与BC，OC相交于点E，F，则下列结论：①AD⊥BD；②∠AOC＝∠AEC；③BC平分∠ABD；④AF＝DF；⑤BD＝2OF；其中一定成立的是（　　）
A．①③⑤ B．②③④ C．②④⑤ D．①③④⑤
【分析】①由直径所对圆周角是直角进行判断；
②根据圆周角定理进行判断；
③由平行线得到∠OCB＝∠DBC，再由圆的性质得到结论判断出∠OBC＝∠DBC；
④用半径垂直于不是直径的弦，必平分弦；
⑤用三角形的中位线得到结论．
【解答】解：①∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，故①正确；
②∵∠AOC＝2∠ABC，
而∠AEC＝∠EAB+∠EBA≠2∠EBA，
∴∠AOC≠∠AEC，故②错误；
③∵OC∥BD，
∴∠OCB＝∠DBC，
∵OC＝OB，
∴∠OCB＝∠OBC，
∴∠OBC＝∠DBC，
∴CB平分∠ABD，故③正确；
④∵AB是⊙O的直径，
∴∠ADB＝90°，
∴AD⊥BD，
∵OC∥BD，
∴∠AFO＝90°，
∵点O为圆心，
∴AF＝DF，故④正确；
⑤∵AF＝DF，点O为AB中点，
∴OF是△ABD的中位线，
∴BD＝2OF，故⑤正确，
正确的有①③④⑤，
故选：D．
二、填空题（本题共6个小题，每小题3分。满分18分）
11．（3分）点P（﹣1，3）关于原点对称的点的坐标是　（1，﹣3）　．
【分析】关于原点对称的点，横、纵坐标都互为相反数．
【解答】解：点关于原点的对称点，可以通过作图知道（x，y）关于原点的对称点是（﹣x，﹣y），
因此点P（﹣1，3）关于原点对称的点的坐标是（1，﹣3）．
12．（3分）已知，则＝　　．
【分析】根据比例的性质可进行求解．
【解答】解：∵，
∴，
∴；
故答案为：．
13．（3分）若方程x2﹣3x＝0的两根分别为x1、x2，则x1+x2＝　3　．
【分析】直接根据根与系数的关系求解．
【解答】解：∵方程x2﹣3x＝0的两根分别为x1，x2，a＝1，b＝﹣3，
∴x1+x2＝﹣b＝3，
故答案是：3．
14．（3分）已知∠A是锐角，且1﹣2sinA＝0，则∠A＝　30°　．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而计算得出答案．
【解答】解：∵1﹣2sinA＝0，
∴sinA＝，
∴∠A＝30°．
故答案为：30°．
15．（3分）已知m是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，则2m2﹣4m＝　2　．
【分析】根据m是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，通过变形可以得到2m2﹣4m值，本题得以解决．
【解答】解：∵m是关于x的方程x2﹣2x﹣1＝0的一个根，
∴m2﹣2m﹣1＝0，
∴m2﹣2m＝1，
∴2m2﹣4m＝2（m2﹣2m）＝2×1＝2，
故答案为：2．
16．（3分）如图，线段AB与⊙O相切于点B，线段AO与⊙O和相交于点C，AB＝8，AC＝4，则⊙O的半径长为 　6　．
【分析】设⊙O的半径是R，连接OB，根据切线的性质得出∠OBA＝90°，根据勾股定理得出关于R的方程，求出方程的解即可．
【解答】解：设⊙O的半径是R，连接OB，
则OB＝OC＝R，
∵线段AB与⊙O相切于点B，
∴OB⊥AB，
∴∠OBA＝90°，
由勾股定理得：OA2＝AB2+OB2，
（R+4）2＝R2+82，
即得：R＝6，
即⊙O的半径是6，
故答案为：6．
三、解答题（本题共9个小题，其中17、18、19题各6分，20、21题各8分，22、23题各9分，24、25题各10分，满分72分）
17．（6分）计算：．
【分析】根据特殊三角函数值、零次幂及负整数指数幂可进行求解．
【解答】解：原式＝2+×﹣+1
＝2+﹣+1
＝4．
18．（6分）先化简，再求值：，其中a＝﹣1．
【分析】先计算括号内的，再计算除法，然后把a＝﹣1代入，即可求解．
【解答】解：
＝
＝a+2
当a＝﹣1时，原式＝﹣1+2＝1．
19．（6分）如图，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝50°．
①分别以点A、B为圆心，以大于AB的长度为半径作弧，分别交于两点，连接这两点的直线与BC交于点D，与AB交于点F，连结AD；
②以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别与AD、AC交于两点，再以这两点为圆心，以大于这两点间距离的一半的长度为半径作弧，两弧交于一点，连结点A与这一点交BC于点E．
（1）通过以上作图，可以发现直线DF是 　A　，射线AE是 　D　；（在横线上填上合适的选项）
A．线段AB的垂直平分线 B．∠ADB的角平分线
C．△ACD的中线 D．∠DAC的角平分线
（2）在（1）所作的图中，求∠DAE的度数．
【分析】（1）直接根据题意及尺规作图可进行求解；
（2）由线段垂直平分线的性质可得AD＝BD，则有∠BAD＝∠B＝40°，然后可得∠ADC＝80°，进而根据三角形内角和及角平分线的定义可求解．
【解答】解：（1）通过以上作图，可以发现直线DF是线段AB的垂直平分线，射线AE是∠DAC的角平分线；
故选A，D；
（2）解：∵DF是线段AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，
∵∠B＝40°，
∴∠BAD＝∠B＝40°，
∴∠ADC＝2∠B＝80°，
∴∠DAC＝180°﹣∠ADC﹣∠C＝50°，
∵AE是∠DAC的角平分线，
∴．
20．（8分）我市某中学举行“中国梦 我的梦”的演讲比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为A，B，C，D四个等级，并将结果绘制成如图所示的条形统计图和扇形统计图，但均不完整，请你根据统计图解答下列问题．
（1）参加比赛的学生人数共有 　20　名，在扇形统计图中，表示“D等级”的扇形的圆心角为 　72　度，图中m的值为 　40　；
（2）补全条形统计图；
（3）组委会决定从本次比赛中获得A等级的学生中，选出两名去参加市中学生演讲比赛，已知A等级中男生只有1名，请用画树状图或列表的方法求出所选学生恰是一男一女的概率．
【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比求出总人数，用360°乘以D等级对应比例可得其圆心角度数，根据百分比的概念可得m的值；
（2）求出等级B的人数，补全条形统计图即可；
（3）列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，即可求出所求的概率．
【解答】（1）解：根据题意得：总人数为：3÷15%＝20（人），
表示“D等级”的扇形的圆心角为；
C等级所占的百分比为，
所以m＝40，
故答案为：20，72，40．
（2）解：等级B的人数为20﹣（3+8+4）＝5（人），
补全统计图，如图所示：
（3）解：根据题意，列出表格，如下：
男 女1 女2
男 女1、男 女2、男
女1 男、女1 女2、女1
女2 男、女2 女1、女2
共有6种等可能结果，其中恰是一男一女的有4种，
所以恰是一男一女的概率为．
21．（8分）如图，在平行四边形ABCD中，E为DC边上一点，∠EAB＝∠EBC．
（1）求证：△ABE∽△BEC；
（2）若AB＝4，DE＝3，求BE的长．
【分析】（1）利用平行四边形的性质得到∠EBA＝∠BEC，再判定相似即可．
（2）利用（1）中的相似三角形的性质求线段长度即可．
【解答】（1）证明：∵平行四边形ABCD，
∴AB∥CD，
∴∠EBA＝∠BEC，
又∵∠EAB＝∠EBC，
∴△ABE∽△BEC．
（2）解：∵四边形ABCD平行四边形，
∴AB＝DC＝4，
∵DE＝3，
∴CE＝1，
∵△ABE∽△BEC，
∴，
∴AB CE＝BE2＝4×1＝4，
∴BE＝2．
22．（9分）如图，AB和CD两幢楼地面距离BC为30米，从楼AB的顶部点A测得楼CD的顶部点D的仰角为53°，从楼AB的顶部点测得楼CD的底部点C的俯角为45°．（参考数据：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）
（1）求∠CAD的大小；
（2）求楼AB、CD的高度．（结果保留1位小数）
【分析】（1）过A作AE⊥CD于点E，连接AC，根据题意得出∠DAE＝53°，∠CAE＝45°即可求解；
（2）证明出四边形ABCE是矩形，得出AB＝EC，AE＝BC，根据∠EAC＝45°，得出AB＝BC＝30，再在Rt△AED中求出DE＝39.9，根据CD＝DE+CE即可求解．
【解答】（1）解：过A作AE⊥CD于点E，连接AC，
根据题意得：∠DAE＝53°，∠CAE＝45°，
∴∠CAD＝∠CAE+∠DAE＝98°；
（2）解：∵AE⊥DC，AB∥CD，
∴AB＝CE，∠AEC＝90°，
∴四边形ABCE是矩形，
∴AB＝EC，AE＝BC，
∵∠EAC＝45°，∠ABC＝90°，
∴△ABC是等腰直角三角形，
∴AB＝BC＝30（米），
∵AE＝BC＝30（米）
在Rt△AED中，∠DAE＝53°，，
解得：DE＝39.9（米），
∴CD＝DE+CE＝39.9+30＝69.9（米）．
23．（9分）如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，BC交⊙O于E，点D在AC上，满足AD＝DE．
（1）求证：DE是⊙O的切线；
（2）求证：AB2＝BE BC；
（3）若OA＝CE，求tan∠B的值．
【分析】（1）连接AE、OE，由题意易得∠CAB＝90°，∠DAE＝∠DEA，∠OAE＝∠OEA，然后可得∠OEA+∠DEA＝90°，进而问题可求证；
（2）由（1）易证△ABC∽△EBA，然后根据相似三角形的性质可求证；
（3）由题意可设CE＝x，则，由（2）可得BE＝4x，然后根据勾股定理及三角函数可进行求解．
【解答】（1）证明：连接AE、OE，如图所示：
∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAB＝90°，
∴∠DAE+∠EAO＝90°，
∵AD＝DE，OA＝OE，
∴∠DAE＝∠DEA，∠OAE＝∠OEA，
∴∠OEA+∠DEA＝90°，即∠DEO＝90°，
∴DE是⊙O的切线；
（2）证明：由（1）可知：∠CAB＝90°，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°＝∠CAB，
∵∠B＝∠B，
∴△ABC∽△EBA，
∴，
∴AB2＝BE BC；
（3）解：由题意可设CE＝x，则，
由（2）可知AB2＝BE BC，
∴，
解得：BE＝4x，（负根舍去），
∴BC＝5x，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：，
∴．
24．（10分）平面直角坐标系中，点P（x，y）的横坐标x的绝对值表示为|x|，纵坐标y的绝对值表示为|y|，我们把点P（x，y）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做点P（x，y）的勾股值，记为[P]，即[P]＝|x|+|y|．
（1）已知点A（﹣1，3），，则[A]＝　3　，[B]＝　3　；
（2）若点C在一次函数y＝2x+2的图象上，且[C]＝4，求点C的坐标；
（3）若抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点D，已知点D在第一象限，且2≤[D]≤4，令t＝2b2﹣4a+2022，试求t的取值范围．
【分析】（1）根据题目中所给定义勾股值，分别计算出[A]和[B]即可；
（2）不妨设C（a，2a+2），此时需要进行分类讨论求解当a＞0时；当﹣1≤a≤0时；当a＜﹣1时；
（3）根据二次函数图象性质直接判断．
【解答】（1）解：∵A（﹣1，3），，
∴[A]＝|﹣1|+|3|＝1+3＝4，，
故答案为：3，3．
（2）解：设C（a，2a+2），即[C]＝|a|+|2a+2|＝4，
当a＞0时，a+2a+2＝4，
解得：，
∴；
当﹣1≤a≤0时，﹣a+2a+2＝4，
解得：a＝2，（不符合题意，舍去）；
当a＜﹣1时，﹣a﹣2a﹣2＝4，
解得：a＝﹣2，
∴C（2，2）；
故满足条件的有：或（2，2）；
（3）解：∵抛物线y＝ax2+bx+1与直线y＝x只有一个交点D，
∴方程组只有一组解．
消去y得：ax2+（b﹣1）x+1＝0，
∴Δ＝（b﹣1）2﹣4a＝0，
∴，
∴ax2+（b﹣1）x+1＝0可化为：，
∴[（b﹣1）x+2]2＝0，
∴．
∴，
∵D在第一象限，
∴1﹣b＞0，
∴b＜1．
∵2≤|D|≤4，
∴，
∴，
∴﹣1≤b≤0，
∴t＝2b2﹣4a+2022＝2b2﹣（b﹣1）2+2022＝（b+1）2+2020，
∵﹣1≤b＜0，抛物线开口向下，对称轴是b＝﹣1，
∴t随b的增大而增大，
∴2020≤t≤2021．
25．（10分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2﹣bx﹣c交x轴于点A，B，点B的坐标为（4，0），与y轴于交于点C（0，﹣2）．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）在抛物线上取点D，若点D的横坐标为5，求点D的坐标及∠ADB的度数；
（3）在（2）的条件下，设抛物线对称轴l交x轴于点H，△ABD的外接圆圆心为M（如图1），过点B作⊙M的切线交于点P（如图2），设Q为⊙M上一动点，则在点运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，请说明理由．
【分析】（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式，用待定系数求函数解析式即可；
（2）S△ABD＝＝，则BN＝，sin∠BDH＝sin∠BDN＝＝＝，即可求解；
（3）连接MQ，MB，PH＝HB＝5，则＝＝，＝＝，故△HMQ∽△QMP，则＝＝，即可求解．
【解答】解：（1）将点B、C的坐标代入抛物线表达式得：，
解得：，
∴抛物线的解析式为y＝x2﹣x﹣2；
（2）当x＝5时，y＝x2﹣x﹣2＝3，故D的坐标为（5，3），
令y＝0，则x＝4（舍去）或﹣1，故点A（﹣1，0），
如图，连接BD，作BN⊥AD于N，
∵A（﹣1，0），B（4，0），C（0，﹣2），
∴AD＝3，BD＝，AB＝5，
∵S△ABD＝＝，
∴BN＝，
∴sin∠BDN＝＝＝，
∴∠BDN＝45°，
∴∠ADB＝∠BDN＝45°；
（3）不变．
如图，连接MQ，MB，
∵过点B作⊙M的切线交1于点P，
∴∠MBP＝90°，
∵∠MBO＝45°，
∴∠PBH＝45°，
∴PH＝HB＝2.5，
∵＝＝，＝＝，
∵∠HMQ＝∠QMP，
∴△HMQ∽△QMP，
∴＝＝，
∴在点Q运动过程中的值不变，其值为．