重庆市“五区”2014届高三学业调研抽测(第一次）数学文试题

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高2014级学生学业调研抽测(第一次)
数学试题卷（文科）
数学试题卷（文科）共4页．满分150分．考试时间120分钟．
注意事项：
1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡规定的位置上．
2．答选择题时，必须使用2B铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．
3．答非选择题时，必须使用毫米的黑色签字笔，将答案书写在答题卡规定的位置上．
4．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷上答题无效．
5．考试结束后，将试题卷和答题卡一并收回．
一、选择题：本大题10个小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个备选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知全集,，则
A． B． C． D．
2．命题“存在，使得”的否定是
A．不存在，使得 B．存在，使得
C．对任意，都有 D．对任意，使得
3．函数的定义域是
A． B． C． D．
4．过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为
A． B． C． D．
5．下图是某人在5天中每天加工零件个数的茎叶图，则该组数据的方差为
A． B．
C． D．
6．执行如右图所示的程序框图,输出的值为
A． B．
C． D．
7．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是
A． B．
C． D．
8．若函数有两个不同的零点，则
实数的取值范围是
A． B．
C． D．
9．已知是定义在上的函数，并满足
当时，
，则
A． B．
C． D．
10. 设双曲线的两条渐近线与直线
分别交于两点，为该双曲线的右焦点．
若, 则该双曲线的离心率的取值
范围是
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题5个小题，每小题5分，共25分，把答案填写在答题卡相应的位置上．
11．已知复数（是虚数单位），则 ．
12．正项等比数列中，，，则 ．
13．在1个单位长度的线段上任取一点，则点到、两点的距离都不小于的
概率为 ．
14．若向量 , ,且与垂直,则实数的值为 ．
15．函数的值域为 ．
三、解答题：本大题6个小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、演算步骤或推理过程，并答在答题卡相应的位置上．
16．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
已知等差数列满足：．
（Ⅰ）求的通项公式及前项和；
（Ⅱ）若等比数列的前项和为，且，求．
17．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问9分，（Ⅱ）小问2分，（Ⅲ）小问2分）
由某种设备的使用年限（年）与所支出的维修费（万元）的数据资料，算得
，，， ．
（Ⅰ）求所支出的维修费对使用年限的线性回归方程；
（Ⅱ）判断变量与之间是正相关还是负相关；
（Ⅲ）估计使用年限为8年时，支出的维修费约是多少．
附：在线性回归方程中，，，其中，为
样本平均值，线性回归方程也可写为．
18．（本小题满分13分，（Ⅰ）小问7分，（Ⅱ）小问6分）
在中，角、、的对边分别为、、，且．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的取值范围.
19．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
如图，四棱锥中，底面是菱形，，，,,,是的中点，上的点满足．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求三棱锥的体积．
20．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问5分，（Ⅱ）小问7分）
经调查统计，某种型号的汽车在匀速行驶中，每小时的耗油量（升）关于行驶速度
（千米/时）的函数可表示为．已知甲、乙两
地相距千米，在匀速行驶速度不超过千米/时的条件下,该种型号的汽车从甲地
到乙地的耗油量记为（升）．
(Ⅰ) 求函数的解析式；
（Ⅱ）讨论函数的单调性，当为多少时，耗油量为最少？最少为多少升？
21．（本小题满分12分，（Ⅰ）小问4分，（Ⅱ）小问8分）
已知椭圆的左、右焦点分别为、，
椭圆上的点满足，且的面积．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线，使与椭圆交于不同的两点、，且线段恰被直线
平分？若存在，求出的斜率取值范围；若不存在，请说明理由．
高2014级学生学业调研抽测 (第一次)
数学(文科)参考答案及评分意见
一、选择题：
1—5．BDCAB； 6—10．BADCB．
二、填空题：
11．； 12．； 13. ； 14．或； 15．．
三、解答题：
16．解：
（Ⅰ）设等差数列的公差为,由题设得:
，　　　　　　　　　 ………………………………（2分）
即，解得． 　………………………………（4分）
， ………………………………（5分）
． ………………………………（7分）
（Ⅱ）设等比数列的公比为,由（Ⅰ）和题设得:
, ． ………………………………（9分）
， ………………………………（10分）
． ………………………………（11分）
数列是以为首项,公比的等比数列.
． ……………………………（13分）
17．解：
（Ⅰ）， ，
，． ………………………………（4分）
， ………………………………（7分）
． ………………………………（8分）
线性回归方程． ………………………………（9分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
变量与之间是正相关． ………………………………（11分）
（Ⅲ）由（Ⅰ）知，当时，（万元），即估计使用年限为8年时，支出的维修费约是万元． ………………………………（13分）
18．解：
（Ⅰ）在中，∵，
由正弦定理，得．………………………（3分）
．…………（5分）
∵ , ∴， ∴ ． ……………………………（6分）
∵，∴ ． ………………………………（7分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得且 ， ………………………………（8分）
．
………………………………（11分）
，． ………………………………（12分）
的取值范围是． ………………………………（13分）
19．解：
（Ⅰ）证明： ，是的中点，
． …………………（2分）
，，，
是正三角形， …………………（3分）
． …………………（4分）
又，
平面． …………………（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）和题设知：在中，，
，，
． …………………………（6分）
,，满足，
． …………………………（7分）
又，，
平面． …………………………（8分）
过作于，则，平面，
，． …………………………（10分）
．…………………………（12分）
20．解：
(Ⅰ)由题意得，汽车从甲地到乙地行驶了小时， …………………………（2分）
． …………………………（5分）
（Ⅱ）由(Ⅰ)有，． ……………………（8分）
令，得，． …………………………（9分）
①当时，，是减函数； …………………………（10分）
②当时，，是增函数； …………………………（11分）
当，即汽车的行驶速度为（千米/时）时，从甲地到乙地的耗油量为最少，最少耗油量为（升）． …………………………（12分）
21．解：
（Ⅰ）由题意知：， …………………………（1分）
椭圆上的点满足，且，
．
，．
． …………………………（2分）
又． …………………………（3分）
椭圆的方程为． …………………………（4分）
（Ⅱ）假设这样的直线存在．与直线相交，直线的斜率存在.
设的方程为， …………………………（5分）
由 得．（*）………………（6分）
直线与椭圆有两个交点，
（*）的判别式，即．①
…………………………（7分）
设、，则 ．　…………………………（8分）
被直线平分，可知，
　　，． ②　　　…………………………（9分）
把②代入①，得，即．………………（10分）
，． …………………………（11分）
或．即存在满足题设条件的直线，且的斜率取值范围是
． …………………………（12分）
[机密]2014年
1月15日前
5题图
是
否
结束
输出
开始
6题图
正视图
俯视图
侧视图
2
2
1
2
1
7题图
19题图
P
F
E
D
C
B
A
19题答图
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