湘教版2022-2023学年度八年级上学期期末练习数学试题4（含解析）

中小学教育资源及组卷应用平台
湘教版2022-2023学年八年级上学期期末练习试题4
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题
下列分式中,最简分式是(　　)
A． B． C． D．
若++1在实数范围内有意义，则x满足的条件是（　　）
A．x≥ B．x≤ C．x= D．x≠
如图，为估计南开中学桃李湖岸边A．B两点之间的距离，小华在湖的一侧选取一点O，测得OA=15米，OB=10米，则A．B间的距离可能是( )
A．5米 B．15米 C．25米 D．30米
在中，，平分，交于点，，垂足为点，若，则的长为（ ）
A．3 B． C．2 D．6
边长为2的正方形的面积是4，边长为3的正方形的面积是9，则面积是6的正方形的边长a满足（　　）
A．a是整数 B．2＜a＜3
C．2＜a＜3，且a为分数 D．a不存在
不等式＞x的解为（　　）
A．x＜1 B．x＜﹣1 C．x＞1 D．x＞﹣1
如图，已知 BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB 于点 E，DF⊥BC 于点 F，DE=6，则 DF 的长度是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．6
如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，EC=4，△ABC的周长为23，则△ABD的周长为（　　）
A．13 B．15 C．17 D．19
如图，△ABC中，AB=AC，∠A=36°，∠ABC和∠ACB的平分线交于点F，则图中共有等腰三角形（ ）
A． 7个 B. 8个 C. 9个 D. 10个
若关于的分式方程有增根，则的值为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
1 、填空题
的倒数等于______
一个纳米粒子的直径是0.000 000 035米，用科学记数法表示为　　　　　　米．
若要与长为4、7的两根木条组成三角形，那么第三条木棍x取值范围应为________。
到三角形三边距离相等的点叫做三角形的
△ABC中其周长为7，AB=3，当BC=________时，△ABC为等腰三角形．
不等式组的解集是______．
如图，直线，点在直线上，点在直线上，，，，则______．
已知，化简得____________．
1 、解答题
先化简，再求值：，其中．
解不等式组
已知：如图，AD、BC相交于点O，AD=BC，∠C=∠D=90°．
求证：AO=BO，CO=DO．
某商场的运动服装专柜，对A，B两种品牌的运动服分两次采购试销后，效益可观，计划继续采购进行销售．已知这两种服装过去两次的进货情况如下表：
第一次 第二次
A品牌运动服装数/件 20 30
B品牌运动服装数/件 30 40
累计采购款/元 10200 14400
（1）问A，B两种品牌运动服的进货单价各是多少元？
（2）由于B品牌运动服的销量明显好于A品牌，商家决定采购B品牌的件数比A品牌件数的倍多5件，在采购总价不超过21300元的情况下，最多能购进多少件B品牌运动服？
（1）探索：先观察并计算下列各式，在空白处填上“＞”、“＜”或“=”，并完成后面的问题．
×　 　，×　 　，×　 　，×　 　…
用，，表示上述规律为：　 　；
（2）利用（1）中的结论，求×的值
（3）设x=，y=试用含x，y的式子表示．
为了尽快实施“脱贫致富奔小康”宏伟意图，某县扶贫工作队为朝阳沟村购买了一批苹果树苗和梨树苗，已知一棵苹果树苗比一棵梨树苗贵2元，购买苹果树苗的费用和购买梨树苗的费用分别是3500元和2500元．
（1）若两种树苗购买的棵数一样多，求梨树苗的单价；
（2）若两种树苗共购买1100棵，且购买两种树苗的总费用不超过6000元，根据（1）中两种树苗的单价，求梨树苗至少购买多少棵．
如图所示，在不等边中，，，的垂直平分线交边于点，交边于点，垂直平分线交边于点，交边于点．
（1）若，求的度数；
（2）若边长为整数，求的周长．
△ABC和△ADE都是等边三角形．
（1）将△ADE绕点A旋转到图①的位置时，连接BD，CE并延长相交于点P（点P与点A重合），有PA+PB＝PC（或PA+PC＝PB）成立（不需证明），
（2）将△ADE绕点A旋转到图②的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA．PB、PC之间有怎样的数量关系？并加以证明，
（3）将△ADE绕点A旋转到图③的位置时，连接BD，CE相交于点P，连接PA，猜想线段PA．PB、PC之间有怎样的数量关系？直接写出结论，不需要证明．
答案解析
1 、选择题
【考点】最简分式
【分析】最简分式的标准是分子，分母中不含有公因式，不能再约分．判断的方法是把分子、分母分解因式，并且观察有无互为相反数的因式，这样的因式可以通过符号变化化为相同的因式从而进行约分．
解：A． 符合最简分式；
B、不符合最简分式，
C. ＝不符合最简分式，
D. =不符合最简分式.
故选A．
【点评】此题考查最简分式问题，分式的化简过程，首先要把分子分母分解因式，互为相反数的因式是比较易忽视的问题．在解题中一定要引起注意．
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出x的值．
解：由题意可知：
解得：x=
故选C
【点评】本题考查二次根式有意义的条件,解题的关键是正确理解二次根式有意义的条件,本题属于基础题型。　
【考点】三角形三边关系．
【分析】本题是一个三角形第三边取值范围的题，第三边值在其他两边之和，和两边之差之间．
解：依题意，在三角形AOB中，
OA﹣OB＜AB＜OA+OB，OA=15米，OB=10米，
即5米＜AB＜25米．
所以15米符合题意．
故选B．
【点评】本题考查了三角形三边关系，第三边的在范围中选得．
【考点】全等三角形的判定和性质，角平分线的性质
【分析】证明△ABD≌△AED即可得出DE的长．
解：∵DE⊥AC，
∴∠AED=∠B=90°，
∵AD平分∠BAC，
∴∠BAD=∠EAD，
又∵AD=AD，
∴△ABD≌△AED，
∴DE=BE=3，
故选：A．
【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，掌握全等三角形的判定定理是解题关键．
【考点】估算无理数的大小
【分析】由正方形的面积等于边长的平方，可得到a2=6，∵4＜6＜9，∴22＜a2＜32，即：2＜a＜3．
解：∵正方形的面积等于边长的平方，
∴a2=6，
∵4＜6＜9，
∴22＜a2＜32，
即：2＜a＜3．
故选：B．
【点评】本题考查了估算无理数的大小，解题的关键是找出和6左右最接近的两个能完全开方的数．
【考点】解一元一次不等式
【分析】去分母、移项，合并同类项，系数化成1即可．
解：＞x，
3﹣x＞2x，
3＞3x，
x＜1，
故选：A．
【点评】本题考查了解一元一次不等式，注意：解一元一次不等式的步骤是：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1．
【考点】角平分线的性质
【分析】根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等即可得．
解：∵BG 是∠ABC 的平分线，DE⊥AB，DF⊥BC，
∴DE=DF=6， 故选：D．
【点评】本题主要考查角平分线的性质，解题的关键是掌握角的平分线上的点到 角的两边的距离相等．
【考点】线段垂直平分线的性质．
【分析】根据线段垂直平分线性质得出AD=DC，AE=CE=4，求出AC=8，AB+BC=15，求出△ABD的周长为AB+BC，代入求出即可．
解：∵AC的垂直平分线分别交AC、BC于E，D两点，
∴AD=DC，AE=CE=4，
即AC=8，
∵△ABC的周长为23，
∴AB+BC+AC=23，
∴AB+BC=23﹣8=15，
∴△ABD的周长为AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15，
故选B．
【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．　
【考点】等腰三角形的判定与性质，三角形内角和定理，三角外角的性质
【分析】由在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，根据等边对等角，即可求得∠ABC与∠ACB的度数，又由BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，即可求得∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE=∠A=36°，然后利用三角形内角和定理与三角形外角的性质，即可求得∠BEF=∠BFE=∠ABC=∠ACB=∠CDF=∠CFD=72°，由等角对等边，即可求得答案．
解：∵在△ABC中，AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠ACB= =72°，
∵BD、CE分别为∠ABC与∠ACB的角平分线，
∴∠ABD=∠CBD=∠ACE=∠BCE=∠A=36°，
∴AE=CE，AD=BD，BF=CF，
∴△ABC，△ABD，△ACE，△BFC是等腰三角形，
∵∠BEC=180°﹣∠ABC﹣∠BCE=72°，∠CDB=180°﹣∠BCD﹣∠CBD=72°，∠EFB=∠DFC=∠CBD+∠BCE=72°，
∴∠BEF=∠BFE=∠ABC=∠ACB=∠CDF=∠CFD=72°，
∴BE=BO，CF=CD，BC=BD=CF，
∴△BEF，△CDF，△BCD，△CBE是等腰三角形．
∴图中的等腰三角形有8个．
故选B．
【点评】本题考查了等腰三角新的判定与性质、三角形内角和定理以及三角外角的性质．此题难度不大，解题的关键是求得各角的度数，掌握等角对等边与等边对等角定理的应用．
【考点】分式方程的增根
【分析】根据分式方程有增根可求出，方程去分母后将代入求解即可.
解：∵分式方程有增根，
∴，
去分母，得，
将代入，得，
解得．
故选：D．
【点评】本题考查了分式方程的无解问题，掌握分式方程中增根的定义及增根产生的原因是解题的关键．
1 、填空题
【考点】实数的性质
【分析】先化简，再求倒数即可.
解：∵=3，
∴的倒数等于.
【点评】本题考查了算术平方根的意义及倒数的定义，根据算术平方根的定义正确化简是解答本题的关键.
【考点】科学记数法—表示较小的数．
【分析】绝对值小于1的数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与绝对值大于1数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
解：0.000 000 035=3.5×10﹣8．
故答案是：3.5×10﹣8．
【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【考点】三角形三条边的关系
【分析】根据三角形的三边关系解答即可.
解：∵要与长为4、7的两根木条组成三角形，
∴7-4故答案为：3【点评】本题考查三角形三边的关系，三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，熟练掌握三角形三边的关系是解题关键.
【考点】三角形的内心
【分析】根据三角形的内心的定义直接写出答案
解：到三角形三边距离相等的点是三条角平分线的交点，叫做三角形的内心
答案：内心
【点评】本题考查了三角形的内心，熟记定义是关键。
【考点】等腰三角形的判定
【分析】由于等腰三角形的两腰相等，题目给出了周长，根据三角形的条件即可求解．
解：因为△ABC中其周长为7，AB=3，
设AB为腰，BC为底时，则BC=7﹣3﹣3=1，可构成三角形；
设AB为腰，BC为腰时，则BC=3，可构成三角形。
设AB为底，则BC= ，可构成三角形；
故答案为：1或2或3
【点评】此题考查了等腰三角形两腰相等的性质，关键是根据三角形的条件解答．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别求出两个不等式的解集，再找出两个解集的公共部分即可得答案．
解：
解不等式得：，
解不等式得：，
∴不等式组的解集是，
故答案为：
【点评】本题考查解一元一次不等式组，正确得出两个不等式的解集是解题关键．
【考点】等腰三角形的性质，平行线的性质，三角形内角和定理
【分析】利用等腰三角形的性质得到∠C=∠4=，利用平行线的性质得到∠1=∠3=，再根据三角形内角和定理即可求解．
解：如图，延长CB交于点D，
∵AB=BC，∠C=，
∴∠C=∠4=，
∵，∠1=，
∴∠1=∠3=，
∵∠C +∠3+∠2+∠4 =，即
∴
故答案为：．
【点评】本题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质以及三角形内角和定理的应用，解决问题的关键是辅助线的作法，注意运用两直线平行，同位角相等．
【考点】二次根式的性质与化简
【分析】根据完全平方公式结合二次根式的性质进行化简即可求得答案.
解：∵0∴>1，
∴
=
=
=，
故答案为：.
【点评】本题考查了二次根式的性质与化简，熟练掌握完全平方公式的结构特征是解本题的关键.
1 、解答题
【考点】分式的化简求值
【分析】第一个小括号，先通分再求和，结合平方差公式、完全平方公式将因式分解成，再将分式的除法转化为乘法运算，约分化简，最后代入数值计算即可．
解：
当时，
原式
．
【点评】本题考查分式的化简求值，涉及平方差、完全平方公式等因式分解法，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．
【考点】解一元一次不等式组
【分析】分别解出每个不等式的解，再得出不等式组的解集.
解： ，
解不等式①得：x>-1，
解不等式②得：x<2,
∴不等式组的解集为：-1【考点】全等三角形的性质和判定
【分析】根据HL证明Rt△ACB≌Rt△ADB，得∠ABC=∠BAD，根据等角对等边，得OA=OB，所以，由AD﹣OA=BC﹣OB，得OD=OC．
证明：∵∠C=∠D=90°，
∴△ACB和△ADB为直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△ADB中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△ADB，
∴∠ABC=∠BAD，
∴OA=OB，
∵AD=BC，
∴AD﹣OA=BC﹣OB，
即OD=OC．
【点评】本题考核知识点：全等三角形，等腰三角形. 解题关键点：运用全等三角形的性质和等腰三角形性质证明线段相等.
【考点】二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用
【分析】（1）直接利用两次采购的总费用得出等式进而得出答案，
（2）利用采购B品牌的件数比A品牌件数的倍多5件，在采购总价不超过21300元，进而得出不等式求出答案．
解：（1）设A，B两种品牌运动服的进货单价各是x元和y元，根据题意可得：
，
解得：，
答：A，B两种品牌运动服的进货单价各是240元和180元，
（2）设购进A品牌运动服m件，购进B品牌运动服（m+5）件，
则240m+180（m+5）≤21300，
解得：m≤40，
经检验，不等式的解符合题意，
∴m+5≤×40+5＝65，
答：最多能购进65件B品牌运动服．
【点评】此题主要考查了一元一次不等式的应用和二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．
【考点】二次根式的乘除法
【分析】（1）先求出每个式子的值，再比较即可；
（2）根据规律，把被开方数相乘，根指数不变，即可求出答案；
（3）先分解质因数，再根据规律得出，即可得出答案．
解：（1）∵×=2×4=8，==8，
∴×=，
×=，
×=
×=，
故答案为：=，=，=，=， =（a≥0，b≥0）；
（2）×
=
=
=2；
（3）∵x=，y=，
∴=
=
=x x y
=x2y．
【点评】本题考查了二次根式的乘除，能根据求出的结果得出规律是解此题的关键．　
【考点】分式方程的应用；一元一次不等式的应用．
【分析】（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，根据两种树苗购买的棵树一样多列出方程求出其解即可；
（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，根据购买两种树苗的总费用不超过6000元建立不等式求出其解即可．
解：（1）设梨树苗的单价为x元，则苹果树苗的单价为（x+2）元，
依题意得： =，
解得x=5．
经检验x=5是原方程的解，且符合题意．
答：梨树苗的单价是5元；
（2）设购买梨树苗种树苗a棵，苹果树苗则购买棵，
依题意得：（5+2）+5a≤6000，
解得a≥850．
答：梨树苗至少购买850棵．
【点评】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，一元一次不等式解实际问题的运用，解答时由方程求出两种树苗的单价是关键．　
【考点】线段垂直平分线的性质，三角形三边关系，三角形内角和定理
【分析】（1）根据垂直平分线的性质得到和，再根据三角形内角和去算出角的度数；
（2）根据三角形三边关系求出BC长，再根据垂直平分线的性质证明的周长等于BC的长．
解：（1）∵DE、MN分别是线段AB和线段AC的垂直平分线，
∴AE=BE，AN=CN，
∴，，
∵，
∴，
∴；
（2）在中，，即，
∵BC边长是整数，
∴BC的长度可以取2、3、4，
∵是不等边的，
∴BC=4，
由（1）知AE=BE，AN=CN，
∴．
【点评】本题考查垂直平分线的性质，三角形三边关系和内角和，解题的关键是掌握垂直平分线的性质．
【考点】全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质．
【分析】（2）证明△ABD≌△ACE（SAS）和△BAF≌△CAP（SAS），得AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，再证明△AFP是等边三角形，最后由线段的和可得结论，
（3）如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，同理可得结论．
解：（2）PB＝PA+PC，理由如下：
如图②，在BP上截取BF＝PC，连接AF，
∵△ABC、△ADE都是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝60°，
∴∠BAC+∠CAD＝∠CAD+∠DAE，
即∠DAB＝∠EAC，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，BF＝CP，
∴△BAF≌△CAP（SAS），
∴AF＝AP，∠BAF＝∠CAP，
∴∠BAC＝∠PAF＝90°，
∴△AFP是等边三角形，
∴PF＝PA，
∴PB＝BF+PF＝PC+PA，
（3）PC＝PA+PB，理由如下：
如图③，在PC上截取CM＝PB，连接AM，
同理得：△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠ABD＝∠ACE，
∵AB＝AC，PB＝CM，
∴△AMC≌△APB（SAS），
∴AM＝AP，∠BAP＝∠CAM，
∴∠BAC＝∠PAM＝60°，
∴△AMP是等边三角形，
∴PM＝PA，
∴PC＝PM+CM＝PA+PB．
【点评】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握等边三角形的性质，证明△ABD≌△ACE是解题的关键，属于中考常考题型．
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://21世纪教育网(www.21cnjy.com)
" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)