湘教版2022-2023学年九年级上学期期末练习试题1（含解析）

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湘教版2022-2023学年九年级上学期期末练习试题1
考试范围：九上-九下第一章
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
1 、选择题
方程的根是（ ）
A．，
C．，，
已知线段a＝2，c＝6，线段b是a、c的比例中项，则线段b的值为（ ）
A． ±2 B． ±4 C． 2 D． 12
sin60°的值等于（　　）
A． B． C． D．
2016年5月某日我国部分城市的最高气温统计如下表所示：
请问这组数据的平均数是( )
A．24 B．25 C．26 D．27
解放路上一座人行天桥如图所示，坡面BC的坡度（坡面的铅直高度与水平宽度的比成为坡度）为1:2，为了方便市民推车过天桥，有关部门决定在保持天桥高度的前提下，降低坡度，使新坡面AC的坡度为1:3，AB=6m，则天桥高度CD为 ( )
A． 6m B． 6m C． 7m D． 8m
抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，其部分图象如图所示，则此抛物线与x轴的另一个交点坐标是（ ）
A． B． C． D．
验光师测得一组关于近视眼镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）的对应数据如下表，根据表中数据，可得y关于x的函数表达式为（　　）
近视眼镜的度数y（度） 200 250 400 500 1000
镜片焦距x（米） 0.50 0.40 0.25 0.20 0.10
A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝
我们发现：＝3，＝3，＝3，…，＝3，一般地，对于正整数a，b，如果满足＝a时，称（a，b）为一组完美方根数对．如上面（3，6）是一组完美方根数对，则下面4个结论：①（4，12）是完美方根数对，②（9，91）是完美方根数对，③若（a，380）是完美方根数对，则a＝20，④若（x，y）是完美方根数对，则点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
某市从2017年开始大力发展“竹文化”旅游产业．据统计，该市2017年“竹文化”旅游收入约为2亿元．预计2019“竹文化”旅游收入达到2.88亿元，据此估计该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为（　　）
A．2% B．4.4% C．20% D．44%
一个钢筋三角架三边长分别为，，，现在要做一个和它相似的钢筋三角架，而只有长为和的两根钢筋，要求以其中的一根为一边，从另一根上截两段（允许有余料）作为另两边，则不同的截法有（ ）
A． 一种 B． 两种 C． 三种 D． 四种或四种以上
如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于点B，点A，以线段AB为边作正方形，且点C在反比例函数的图象上，则k的值为（ ）
A． C．42 D．
已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，对称轴是直线x=1．下列结论：
①abc＞O，②2a+b=O，③b2﹣4ac＜O，④4a+2b+c＞O
其中正确的是（　　）
A．①③ B． 只有② C． ②④ D． ③④
1 、填空题
如果关于x的方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，那么m的值是____．
计算：﹣6+tan60°=　 　．
小明某学期的数学平时成绩70分，期中考试80分，期末考试85分，若计算学期总评成绩的方法如下：平时：期中：期末＝3：3：4，则小明总评成绩是　 　分．
若，，为二次函数的图象上的三点，则，，大小关系是______．
反比例函数y＝的图象上有一点P（2，n），将点P向右平移1个单位，再向下平移1个单位得到点Q，若点Q也在该函数的图象上，则k＝　 　．
将一个面积为1的等边三角形挖去连结三边中点所组成的三角形(如图1)后，继续挖去连结剩余各个三角形三边中点所成的三角形(如图2、图3)…如此进行挖下去，第4个图中，剩余图形的面积为________，那么第n(n为正整数)个图中，挖去的所有三角形的面积和为________(用含n的代数式表示)．
1 、解答题
（1）计算：．
（2）解不等式组：
为了解学生掌握垃圾分类知识的情况，增强学生环保意识，某学校举行了“垃圾分类人人有责”的知识测试活动，现从该校七、八年级中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分10分，6分及6分以上为合格）进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息．
七年级20名学生的测试成绩为：
7，8，7，9，7，6，5，9，10，9，8，5，8，7，6，7，9，7，10，6．
如图，直线y=3x与双曲线y=（k≠0，且x＞0）交于点A，点A的横坐标是1．
（1）求点A的坐标及双曲线的解析式；
（2）点B是双曲线上一点，且点B的纵坐标是1，连接OB，AB，求△AOB的面积．
如图,两座建筑物的水平距离为.从点测得点的仰角为53° ,从点测得点的俯角为37° ,求两座建筑物的高度(参考数据:
若矩形的一个短边与长边的比值为，（黄金分割数），我们把这样的矩形叫做黄金矩形
（1）操作：请你在如图所示的黄金矩形ABCD（AB＞AD）中，以短边AD为一边作正方形AEFD。
（2）探究：在（1）中的四边形EBCF是不是黄金矩形？若是，请予以证明；若不是，请说明理由。
（3）归纳：通过上述操作及探究，请概括出具体有一般性的结论（不需证明）
如图，一名运动员推铅球，已知铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系始终是y＝ax2+x+（a为常数，a＜0）．
（1）解释上述函数表达式中“”的实际意义；
（2）当a＝﹣时，这名运动员能把铅球推出多远？
（3）若这名运动员某次将铅球推出的距离不小于（2）中的距离，写出此时a的取值范围．
正方形ABCD的边长为1，点O是BC边上的一个动点（与B，C不重合），以O为顶点在BC所在直线的上方作∠MON=90°．
（1）当OM经过点A时，
①请直接填空：ON　 　（可能，不可能）过D点；（图1仅供分析）
②如图2，在ON上截取OE=OA，过E点作EF垂直于直线BC，垂足为点F，作EH⊥CD于H，求证：四边形EFCH为正方形．
（2）当OM不过点A时，设OM交边AB于G，且OG=1．在ON上存在点P，过P点作PK垂直于直线BC，垂足为点K，使得S△PKO=4S△OBG，连接GP，求四边形PKBG的最大面积．
已知直线y=kx+b与抛物线y=ax2（a＞0）相交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴正半轴相交于点C，过点A作AD⊥x轴，垂足为D．
（1）若∠AOB=60°，AB∥x轴，AB=2，求a的值；
（2）若∠AOB=90°，点A的横坐标为﹣4，AC=4BC，求点B的坐标；
（3）延长AD、BO相交于点E，求证：DE=CO．
答案解析
1 、选择题
【考点】解一元二次方程-直接开方
【分析】直接移项合并同类项，进而利用直接开平方法解方程．
解：
整理得：4x2=1，
则
解得：
故选：A．
【点评】考查直接开方法，掌握直接开方法解一元二次方程的是解题的关键.
【考点】比例的性质
【分析】根据比例中项的意义代入数值进行计算即可.
解：∵ 线段b是a、c的比例中项，
∴ac.
∴2=12，
∴b= 2 ，
故选C.
【点评】本题考查了比例中项的定义，正确理解比例中项的意义是解题的关键.
【考点】特殊角的三角函数值．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值求出答案．
解：sin60°=．
故选：C．
【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟记30°、45°、60°角的三角函数值是解题的关键．　
【考点】算术平均数
【分析】求这组数据的算术平均数，用8个城市的温度和÷8即为所求．
解：（27+27+24+25+28+28+23+26）÷8
=208÷8
=26（℃）．
故选：C．
【点评】考查了算术平均数，只要运用求平均数公式：即可求出，为简单题．
【考点】解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】根据坡度的意义：坡面的铅直高度与水平宽度的比成为坡度，构成比例式，然后求解即可.
解：根据题意，可设CD=x，
可得
解得BD=2CD
同理可得
∵AB=6m
∴CD=5m
故选：A．
【点评】此题主要考查学生对坡度坡角的掌握及三角函数的运用能力．需注意的是坡度（即坡比）是坡角的正切函数，不要混淆概念．
【考点】二次函数的图象与性质，抛物线与x轴的交点
【分析】由函数的对称性可得结论．
解：设此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（x，0），
∵抛物线与x轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
∴，解得x=3,
此抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），
故选：B．
【点评】此题主要考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的对称性是解答此题的关键．
【考点】反比例函数的应用
【分析】直接利用已知数据可得xy＝100，进而得出答案．
解：由表格中数据可得：xy＝100，
故y关于x的函数表达式为：y＝．
故选：A．
【点评】此题主要考查了反比例函数的应用，正确得出函数关系式是解题关键．
【考点】二次函数图象上点的坐标特征，算术平方根，
【分析】将（4，12），（9，91）代入验证即可判断①②，将（a，380）代入公式，建立方程可得出结论，若（x，y）是完美方根数对，则满足给出公式，化简可得出结论．
解：将（4，12）代入＝4，＝4，＝4，…，
∴（4，12）是完美方根数对，故①正确，
将（9，91）代入＝10≠9，＝，
∴（9，91）不是完美方根数对，故②错误，
③∵（a，380）是完美方根数对，
∴将（a，380）代入公式，＝a，＝a，
解得a＝20或a＝﹣19（舍去），故③正确，
④若（x，y）是完美方根数对，则＝x，＝x，
整理得y＝x2﹣x，
∴点P（x，y）在抛物线y＝x2﹣x上，故④正确，
故选：C．
【点评】本题属于新定义类问题，主要考查算术平方根的性质与定义，理解完美方根数对的定义对是解题关键．
【考点】一元二次方程的应用
【分析】设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，根据2017年及2019年“竹文化”旅游收入总额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论．
解：设该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率为x，
根据题意得：2（1+x）2=2.88，
解得：x1=0.2=20%，x2=﹣2.2（不合题意，舍去）．
答：该市2018年、2019年“竹文化”旅游收入的年平均增长率约为20%．
故选：C．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【考点】相似三角形的应用
【分析】根据相似三角形对应边成比例，列方程即可解答．
解：由相似三角形对应边成比例可知，只能将30cm长的作为一边，将50cm长的截成两段，
设从50cm的钢筋上截下的两段分别长xcm，ycm，
当30cm长的边对应20cm长的边时, ==,x=75(cm),x>50(cm)，不成立；
当30cm长的边对应50cm长的边时, ==,x=12(cm),y=36(cm)，x+y=48cm<50cm，成立；
当30cm长的边对应60cm长的边时, ==,x=10(cm),y=25(cm)，x+y=35cm<50cm，成立.
故有两种截法.
故答案选B.
【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是熟练的掌握相似三角形的应用.
【考点】一次函数与坐标轴的交点，待定系数法求函数解析式，正方形的性质，全等三角形的判定与性质
【分析】过点C作CE⊥x轴于E，证明△AOB≌△BEC，可得点C坐标，代入求解即可；
解：∵当x=0时，，∴A(0，4)， ∴OA=4；
∵当y=0时，，∴x=-3，∴B(-3，0)， ∴OB=3；
过点C作CE⊥x轴于E，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠ABC=90°，AB=BC，
∵∠CBE+∠ABO=90°，∠BAO+∠ABO=90°，
∴∠CBE =∠BAO．
在△AOB和△BEC中，
，
∴△AOB≌△BEC，
∴BE=AO=4，CE=OB=3，
∴OE=3+4=7，
∴C点坐标为（-7，3），
∵点A在反比例函数的图象上，
∴k=-7×3=-21．
故选D．
【点评】本题考查了一次函数与坐标轴的交点、待定系数法求函数解析式、正方形的性质，以及全等三角形的判定与性质，解答此题的关键是正确作出辅助线及数形结合思想的运用．
【考点】二次函数图象与系数的关系．
【分析】由抛物线开口方向、对称轴、与y轴交点的位置可分别求得a、b、c的符号，可判断①；由对称轴为x=1可判断②；当x=1时y＜0，可判断③；由图象可判断出当x=2时，y＞0，可判断④；可求得答案．
解：∵抛物线的开口向上，∴a＞0，
∵﹣＞0，∴b＜0，
∵抛物线与y轴交于正半轴，∴c＞0，
∴abc＜0，①错误；
∵对称轴为直线x=1，∴﹣=1，即2a+b=0，②正确，
∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2﹣4ac＞0，③错误；
∵对称轴为直线x=1，
∴x=2与x=0时的函数值相等，而x=0时对应的函数值为正数，
∴4a+2b+c＞0，④正确；
则其中正确的有②④．
故选C．
【点评】本题主要考查二次函数的图象与系数的关系，解答此题的关键是要明确：①二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；②一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右．（简称：左同右异）③常数项c决定抛物线与y轴交点． 抛物线与y轴交于（0，c）．
1 、填空题
【考点】根的判别式
【分析】一元二次方程有两个相等的实根，即根的判别式△=b2-4ac=0，即可求m值．
解：依题意．
∵方程x2﹣4x+m=0有两个相等的实数根，
∴△=b2﹣4ac=(﹣4)2﹣4m=0，
解得：m=4．
故答案为：4．
【点评】此题主要考查的是一元二次方程的根判别式，当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实根，当△=b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实根，当△=b2-4ac＜0时，方程无实数根．
【考点】实数的运算；特殊角的三角函数值．
【分析】首先计算开方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的值是多少即可．
解：﹣6+tan60°
=3﹣6×+
=3﹣2+
=2
故答案为：2．
【点评】本题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级 到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
【考点】加权平均数
【分析】按3：3：4的比例算出本学期数学总评分即可．
解：本学期数学总评分＝70×30%+80×30%+85×40%＝79（分）．
故答案为：79．
【点评】本题考查了加权成绩的计算，平时成绩：期中考试成绩：期末考试成绩＝3：3：4的含义就是分别占总数的30%、30%、40%．
【考点】二次函数的图像与性质，二次函数图象上点的坐标特征
【分析】先求出抛物线的对称轴和开口方向，根据二次函数的性质比较即可．
解：∵抛物线y=-2（x-2）2+3的开口向下，对称轴是直线x=2，
∴当x＜2时，y随x的增大而增大，
∵-4＜-1＜2，
∴y1＜y2＜y3，
故答案为：．
【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征和二次函数的性质，能熟记二次函数的性质是解此题的关键．
【考点】反比例函数图象上点的坐标特征，坐标与图形变化﹣平移
【分析】根据平移的特性写出点Q的坐标，由点P、Q均在反比例函数y＝的图象上，即可得出k＝2n＝3（n﹣1），解得即可．
解：∵点P的坐标为（2，n），则点Q的坐标为（3，n﹣1），
依题意得：k＝2n＝3（n﹣1），
解得：n＝3，
∴k＝2×3＝6，
故答案为：6．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数k的几何意义，解题的关键：由P点坐标表示出Q点坐标．
【考点】相似三角形的判定与性质，三角形中位线定理
【分析】观察这几个图，可以看出来，分别在每个图形中，以每个小白三角形为一个基本图形，那么在这个图形中，就会有很多以一个白色三角形为基础的图形，从中发现规律在第N个图形中，会有4n个基本形；也可以看出有3n白色三角形．那么剩余部分的面积为()n×大三角形的面积，然后即可求出挖去的所有三角形的面积和．
解：观察这几个图，可以看出来，分别在每个图形中，以每个小白三角形为一个基本图形，那么在这个图形中，就会有很多以一个白色三角形为基础的图形．则可以观察出规律，在第n个图形中，会有4n个基本形；也可以看出有3n个白色三角形．那么剩余部分的面积就应该是：×大三角形的面积，即×大三角形的面积，那么第4个图中，剩余图形的面积为或，
∵三角形的面积是1，
∴第n(n为正整数)个图中，挖去的所有三角形的面积和为：1－.
答案　或　1－
【点评】此题主要考查相似三角形的判定与性质和三角形中位线定理等知识点，解答此题的关键是求出剩余部分的面积为()n×大三角形的面积．然后问题可解．
1 、解答题
【考点】特殊角的三角函数值，负整数指数幂，绝对值，二次根式的性质与化简，解一元一次不等式
【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂性质、绝对值的性质及二次根式的化简分别求出各数的值，由此进一步计算即可；
（2）首先将原不等式组中各个不等式的解集求出来，然后进一步分析得出答案即可.
解：（1）原式=
=
=；
（2）解不等式可得：，
解不等式可得：，
∴原不等式组的解集为．
【点评】本题主要考查了含有特殊角的三角函数值的实数的混合运算以及解不等式组，熟练掌握相关概念及方法是解题关键.
【考点】平均数，众数，中位数，条形统计图
【分析】（1）七年级20名学生的测试成绩的众数找出现次数最多的即可得出a的值，由条形统计图即可得出八年级抽取的学生的测试成绩的中位数，八年级8分及以上人数除以总人数20人即可得出c的值；
（2）分别比较七年级和八年级的平均数、众数、中位数、8分及以上人数所占百分比即可得出结论；
（3）用七八年级的合格总人数除以总人数40人，得到这两个年级测试活动成绩合格的百分比，再乘以1200即可得出答案．
解：（1）七年级20名学生的测试成绩的众数是：7，
∴，
由条形统计图可得，八年级抽取的学生的测试成绩的中位数是：，
∴，
八年级8分及以上人数有10人，所占百分比为：50%
∴，
（2）八年级学生掌握垃圾分类知识较好，理由：根据以上数据，七、八年级的平均数相同，八年级的众数、中位数、8分及以上人数所占百分比比七年级的高；
（3）七年级合格人数：18人，
八年级合格人数：18人，
人，
答：估计参加此次测试活动成绩合格的人数有1080人．
【点评】本题考查了平均数，众数，中位数，条形统计图等知识，熟练掌握平均数的求法，众数、中位数的概念是解决本题的关键．
【考点】反比例函数与一次函数的交点问题．
【分析】（1）把x=1代入直线解析式求出y的值，确定出A坐标，将A坐标代入反比例解析式求出k的值即可；
（2）先求出点B的坐标，再利用割补法求解可得．
解：（1）将x=1代入y=3x，得：y=3，
∴点A的坐标为（1，3），
将A（1，3）代入y=，得：k=3，
∴反比例函数的解析式为y=；
（2）在y=中y=1时，x=3，
∴点B（3，1），
如图，S△AOB=S矩形OCED﹣S△AOC﹣S△BOD﹣S△ABE
=3×3﹣×1×3﹣×1×3﹣×2×2
=4．
【点评】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题：反比例函数与一次函数的交点坐标满足两函数的解析式．也考查了三角形面积公式．　
【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】过点D作DE⊥AB于于E，则DE=BC=60m．在Rt△ABC中，求出AB．在Rt△ADE中求出AE即可解决问题．
解：过点D作DE⊥AB于于E，则DE=BC=60m，
在Rt△ABC中，tan53°==，
∴AB=80（m）．
在Rt△ADE中，tan37°==，
∴AE=45（m），
∴BE=CD=AB﹣AE=35（m）．
答：两座建筑物的高度分别为80m和35m．
【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
【考点】相似多边形的定义
【分析】（1）如图，分两种情况：正方形中，AD的对边在矩形的内部或外部；
（2）矩形EBCF不是黄金矩形， 设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，由已知得=，所以==÷（1+）=÷（1+）=≠，对应边不成比例，故矩形EBCF不是黄金矩形；矩形E′BCF′是黄金矩形，
理由：==（1-）÷=（1-）÷=，即对应边成比例，故两个矩形相似.
（3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.
解：（1）以AD为边可作出两个正方形AEFD与AE′F′D′（AB＞AD），如图所示
（2）矩形EBCF不是黄金矩形，理由如下：
设AB=a，AD=b（a＞b），则BE=BA+AE=a+b，BE′=BA-E′A=a-b，
由ABCD为黄金矩形，得=
∴==÷（1+）=÷（1+）=≠
∴矩形EBCF不是黄金矩形;
矩形E′BCF′是黄金矩形.
证明：如图，∵==（1-）÷=（1-）÷=
∴E′BCF′是黄金矩形
（3）由（1）、（2）可发现结论：若以黄金矩形的短边为边在矩形内作（截割）正方形，则剩余矩形必为黄金矩形.
【点评】本题考核知识点：相似多边形. 解题关键点：熟记对应边成比例且对应角相等的多边形相似.
【考点】二次函数的应用
【分析】（1）上述函数表达式中“”是运动员推出铅球前铅球被举起的高度；
（2）当a=-时，令y=0，得到关于x的一元二次方程，解方程并根据问题的实际意义对方程的解作出取舍即可；
（3）二次函数的二次项系数的绝对值越大，图象开口越小，反之亦然，据此求解即可．
解：（1）“”的实际意义是运动员推出铅球前铅球被举起的高度．
（2）当a＝﹣时，y＝﹣x2+x+
当y＝0时，﹣x2+x+＝0
解得：x1＝10，x2＝﹣2（不合题意，舍去）
∴这名运动员能把铅球推出10m远．
（3）若这名运动员某次将铅球推出的距离不小于（2）中的距离，
则铅球的落地点要等于或远于（2）中的落地点，从二次函数图象来看，当开口变大时即可达到要求．
∵二次函数的二次项系数a的绝对值越小，则开口越大，又已知a＜0
∴﹣≤a＜0．
【点评】本题考查了二次函数在实际问题中的应用、二次函数与一元二次方程的关系等知识点，熟练掌握二次函数的相关性质是解题的关键．
【考点】四边形综合题．
【分析】（1）①若ON过点D时，则在△OAD中不满足勾股定理，可知不可能过D点；
②由条件可先判业四边形EFCH为矩形，再证明△OFE≌△ABO，可证得结论；
（2）由条件可证明△PKO∽△OBG，利用相似三角形的性质可求得OP=2，可求得△POG面积为定值及△PKO和△OBG的关系，只要△CGB的面积有最大值时，则四边形PKBG的面积就最大，设OB=a，BG=b，由勾股定理可用b表示出a，则可用a表示出△CBG的面积，利用二次函数的性质可求得其最大值，则可求得四边形PKBG面积的最大值．21·世纪*教育网
解：
（1）①若ON过点D，则OA＞AB，OD＞CD，
∴OA2＞AD2，OD2＞AD2，
∴OA2+OD2＞2AD2≠AD2，
∴∠AOD≠90°，这与∠MON=90°矛盾，
∴ON不可能过D点，
故答案为：不可能；
②∵EH⊥CD，EF⊥BC，
∴∠EHC=∠EFC=90°，且∠HCF=90°，
∴四边形EFCH为矩形，
∵∠MON=90°，
∴∠EOF=90°﹣∠AOB，
在正方形ABCD中，∠BAO=90°﹣∠AOB，
∴∠EOF=∠BAO，
在△OFE和△ABO中
∴△OFE≌△ABO（AAS），
∴EF=OB，OF=AB，
又OF=CF+OC=AB=BC=BO+OC=EF+OC，
∴CF=EF，
∴四边形EFCH为正方形；
（2）∵∠POK=∠OGB，∠PKO=∠OBG，
∴△PKO∽△OBG，
∵S△PKO=4S△OBG，
∴=（）2=4，
∴OP=2，
∴S△POG=OG OP=×1×2=1，
设OB=a，BG=b，则a2+b2=OG2=1，
∴b=，
∴S△OBG=ab=a==，
∴当a2=时，△OBG有最大值，此时S△PKO=4S△OBG=1，
∴四边形PKBG的最大面积为1+1+=．
【点评】本题为四边形的综合应用，涉及矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质、三角形的面 积、二次函数的性质及方程思想等知识．在（1）①中注意反证法的应用，在（1）②中证得CE=EF是解题的关键，在（2）中确定出△OBG面积的最大值是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）如图1，由条件可知△AOB为等边三角形，则可求得OA的长，在Rt△AOD中可求得AD和OD的长，可求得A点坐标，代入抛物线解析式可得a的值；
（2）如图2，作辅助线，构建平行线和相似三角形，根据CF∥BG，由A的横坐标为﹣4，得B的横坐标为1，所以A（﹣4，16a），B（1，a），证明△ADO∽△OEB，则，得a的值及B的坐标；
（3）如图3，设AC=nBC由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，则设B（m，am2），则A（﹣mn，am2n2），分别根据两三角形相似计算DE和CO的长即可得出结论．
解：（1）如图1，∵抛物线y=ax2的对称轴是y轴，且AB∥x轴，
∴A与B是对称点，O是抛物线的顶点，
∴OA=OB，
∵∠AOB=60°，
∴△AOB是等边三角形，
∵AB=2，AB⊥OC，
∴AC=BC=1，∠BOC=30°，
∴OC=，
∴A（﹣1，），
把A（﹣1，）代入抛物线y=ax2（a＞0）中得：a=；
（2）如图2，过B作BE⊥x轴于E，过A作AG⊥BE，交BE延长线于点G，交y轴于F，
∵CF∥BG，
∴，
∵AC=4BC，
∴=4，
∴AF=4FG，
∵A的横坐标为﹣4，
∴B的横坐标为1，
∴A（﹣4，16a），B（1，a），
∵∠AOB=90°，
∴∠AOD+∠BOE=90°，
∵∠AOD+∠DAO=90°，
∴∠BOE=∠DAO，
∵∠ADO=∠OEB=90°，
∴△ADO∽△OEB，
∴，
∴，
∴16a2=4，
a=±，
∵a＞0，
∴a=；
∴B（1，）；
（3）如图3，设AC=nBC，
由（2）同理可知：A的横坐标是B的横坐标的n倍，
则设B（m，am2），则A（﹣mn，am2n2），
∴AD=am2n2，
过B作BF⊥x轴于F，
∴DE∥BF，
∴△BOF∽△EOD，
∴==，
∴，
∴=，DE=am2n，
∴=，
∵OC∥AE，
∴△BCO∽△BAE，
∴，
∴=，
∴CO==am2n，
∴DE=CO．
【点评】本题是二次函数的综合题，考查了利用三角形相似计算二次函数的解析式、三角形相似的性质和判定、函数图象上点的坐标与解析式的关系、等边三角形的性质和判定，要注意第三问不能直接应用（1）（2）问的结论，第三问可以根据第二问中AC=4BC，确定A．B两点横坐标的关系，利用两点的纵坐标和三角形相似列比例式解决问题．
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