1.6利用三角函数测高 教案
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1.6利用三角函数测高 教学设计
课题 1.6利用三角函数测高 单元 第1 单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程，能够对所得到的数据进行分析．能够对测倾器进行调整及对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果．
核心素养分析 掌握测量底部可以达到及底部不可以达到的物体的高度的方法．培养学生的使用工具的能力.进一步培养了学生运用数形结合思想分析和解决问题的能力，帮助学生树立学好数学的信心.
学习目标 1．经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.2．能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果．3．能够设计方案测量物体的高度，综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题，提高解决问题的能力.
重点 经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.
难点 综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题）问题1：在现实生活中需要测量像旗杆、高楼、塔等较高且顶部不可到达的物体的高度，根据我们所学的知识，同学们有哪些测量方案 问题2：这些测量的方法都用到了什么知识？问题3：如何利用直角三角形的边角关系，测量底部不可以直接到达的物体的高度呢？今天让我们一起去探究学习如何利用三角函数测高.（板书：1.6 利用三角函数测高），学完本节内容相信大家就能轻松解决上面的问题了．活动一：测量倾斜角（多媒体课件展示）测量倾斜角可以用测倾器，简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成（如图）．使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:1.把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线,铅垂线和度盘的0刻度线重合,这时度盘的顶线PQ在水平位置.2.转动度盘,使度盘的直径对准目标M,记下此时铅垂线所指的度数.根据刚才测量数据,你能求出目标M的仰角或俯角吗 说说你的理由（学生分组讨论后回答）.∵∠3=30°，∠3+∠2=90°， ∠1+∠2=90° ∴∠1=∠3=30° ∴目标M的仰角为30°（依据是同角的余角相等）.也就是说，测倾器上铅垂线所示的度数就是物体仰角的度数． 思考自议学生思考，想出解决问题的办法，并给出自己的答案. 通过创设情境，既复习巩固了三角形相似的内容，又极大地激发了学生学习兴趣，为下面的学习作铺垫，效果非常好.
讲授新课 提炼概念 下面我们来看看怎样利用测倾器测量物体的高度. 活动二：测量底部可以到达的物体的高度所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.如何测量旗杆的高度？在现实生活中，我们可以直接在旗杆下来回行走，所以只需测量一次角度（如图中的α）就可以确定旗杆的高度.1.在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE＝α．2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l．3.量出测倾器(即测角仪)的高度AC＝a,可求出MN的高度.根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗 说说你的理由.解：在Rt△MEC中，因为tanα=，所以ME=tana·EC＝l·tanα.所以MN＝ME+EN＝l·tanα+a.同学们能利用自角三角形的边角关系用测角仪和皮尺测出底部可以到达的物体的高度.但现实生活中，还存在有底部不可以到达的物体.它们的高度如何测量呢 活动三:测量底部不可以直接到达的物体的高度 所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离. 在黄浦江的另一端，你能否测量东方明珠的高度呢？在现实生活中，我们不可以直接从测点到达被测点的脚下，这时我们能利用两次测量仰角（图中α和β），再结合解三角形的知识来求出东方明珠的高度.1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α.2.在测点A与物体之间的B处安置测倾(A,B与N在一条直线上),测得M的仰角∠MDE=β.3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB=b.提问：根据测量数据,你能求出物体MN的高度吗 说说你的理由.学生根据测量数据,写出计算物体MN的高度过程：解：∵在Rt△MDE中，ED=ME/tanβ在Rt△MCE中，EC =ME/tanα∴EC-ED=b∴∴∴典例精讲 如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是5m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m).总结：与仰角(或俯角)有关的计算问题的解决方法： 首先弄清哪个角是仰角(或俯角)，再选择或构造恰当的直角三角形，将仰角或俯角置于这个三角形中，选择正确的三角函数，并借助计算器求出要求的量． 学生思考、讨论、交流，尝试自己解决问题. 关注学生是否积极参与，是否真正理解. 进一步培养学生运用所学，解决实际应用问题的意识.
课堂练习 四、巩固训练1．如图，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD=1米，当太阳光线与水平线成α=60°角时，光线刚好不能直接射人室内，则m的值是（ ）A．m=√3+0.8 B．m=√3+0.2 C．m=√3-0.2 D．m=√3-0.8C2.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( )A. B．30sin α米C．30tan α米 D．30cos α米C3．如图，航模小组用无人机来测量建筑物BC的高度，无人机从A处测得建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，若此时无人机与该建筑物的水平距离AD为30m，则该建筑物的高度BC为_____m．（结果保留根号）【答案】（30√3+30）．【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD tan∠BAD，在 Rt△ACD中，求得CD=AD tan∠CAD，再根据BC=BD+CD， 代入数据计算即可．【详解】解：∵在Rt△ABD中，AD＝90，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝30（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴CD＝AD tan60°＝30×√3＝30√3（m），∴BC＝BD+CD＝30√3+30（m）答：该建筑物的高度BC约为（30√3+30）米．故答案为：（30√3+30）．4．如图，小丽的房间内有一张长200m，高50cm的床靠墙摆放，在上方安装空调，空调下沿与EF墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与EF夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了让空调风不直接吹到床上，空调安装的高度(BC的长)至少为多少？(精确到个位)(参考数据：cos46°≈0.69，tan46°≈1.04，sin46°≈0.72)【详解】当A、F在一条直线时,就正好不会吹到床上,连接AF,过点F作FH⊥AD,∵AD=200,HD=20,∴AH=180,∵∠EFA=136°,∴∠FAD=46°,∴FH=AH·tan46°=180×1.04=187.2∴ED=FH=187.2,∴EC=187.2+50=237.2≈237．故答案为237． 5. 如图，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在N处看塔顶，仰角为60°.乙：我站在M处看塔顶，仰角为30°.甲：我们的身高都是1.5 m.乙：我们和塔在一条直线上，且我们相距20 m.请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度．(结果精确到1 m)．6．数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高，如图所示，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°，已知AB＝10m，AD＝30m．求灯塔CF的高（结果保留整数）．（参考数据：tan28°≈0.53， cos28°≈0.88，sin28°≈0.47，√2≈1.41）解：延长BE交CD于点G，交CF于点H，在Rt△DEG中，∠EDG＝45°，∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°设CH＝xm，在Rt△CGH中，∠CGH=∠EGD＝45°，∴GH＝xm在Rt△CBH中，∠CBH＝28°，∴tan∠CBH＝CH/BH，即：X/30+10+x＝tan28°解这个方程得：x≈45.1，经检验：x≈45.1符合题意．∴灯塔的高CF＝55.1≈55（m）答：灯塔的高为55米．
课堂小结
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1.6利用三角函数测高 教学设计
课题 1.6利用三角函数测高 单元 第1 单元 学科 数学 年级 九年级（下）
教材分析 经历运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程，能够对所得到的数据进行分析．能够对测倾器进行调整及对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果．
核心素养分析 掌握测量底部可以达到及底部不可以达到的物体的高度的方法．培养学生的使用工具的能力.进一步培养了学生运用数形结合思想分析和解决问题的能力，帮助学生树立学好数学的信心.
学习目标 1．经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.2．能够对所得到的数据进行分析，能够对仪器进行调整和对测量的结果进行矫正，从而得出符合实际的结果．3．能够设计方案测量物体的高度，综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题，提高解决问题的能力.
重点 经历设计活动方案、自制仪器或运用仪器进行实地测量以及撰写活动报告的过程.
难点 综合运用直角三角形边角关系的知识解决实际问题．
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 一、创设情景，引出课题）问题1：在现实生活中需要测量像旗杆、高楼、塔等较高且顶部不可到达的物体的高度，根据我们所学的知识，同学们有哪些测量方案 问题2：这些测量的方法都用到了什么知识？问题3：如何利用直角三角形的边角关系，测量底部不可以直接到达的物体的高度呢？今天让我们一起去探究学习如何利用三角函数测高.（板书：1.6 利用三角函数测高），学完本节内容相信大家就能轻松解决上面的问题了．活动一：测量倾斜角（多媒体课件展示）测量倾斜角可以用测倾器，简单的测倾器由度盘、铅锤和支杆组成（如图）．使用测倾器测量倾斜角的步骤如下:1.把支杆竖直插入地面,使支杆的中心线,铅垂线和度盘的0刻度线重合,这时度盘的顶线PQ在水平位置.2.转动度盘,使度盘的直径对准目标M,记下此时铅垂线所指的度数.根据刚才测量数据,你能求出目标M的仰角或俯角吗 说说你的理由（学生分组讨论后回答）.∵∠3=30°，∠3+∠2=90°， ∠1+∠2=90° ∴∠1=∠3=30° ∴目标M的仰角为30°（依据是同角的余角相等）.也就是说，测倾器上铅垂线所示的度数就是物体仰角的度数． 思考自议学生思考，想出解决问题的办法，并给出自己的答案. 通过创设情境，既复习巩固了三角形相似的内容，又极大地激发了学生学习兴趣，为下面的学习作铺垫，效果非常好.
讲授新课 提炼概念 下面我们来看看怎样利用测倾器测量物体的高度. 活动二：测量底部可以到达的物体的高度所谓“底部可以到达”,就是在地面上可以无障碍地直接测得测点与被测物体的底部之间的距离.如何测量旗杆的高度？在现实生活中，我们可以直接在旗杆下来回行走，所以只需测量一次角度（如图中的α）就可以确定旗杆的高度.1.在测点A处安置测倾器，测得M的仰角∠MCE＝α．2.量出测点A到物体底部N的水平距离AN＝l．3.量出测倾器(即测角仪)的高度AC＝a,可求出MN的高度.根据测量数据，你能求出物体MN的高度吗 说说你的理由.解：在Rt△MEC中，因为tanα=，所以ME=tana·EC＝l·tanα.所以MN＝ME+EN＝l·tanα+a.同学们能利用自角三角形的边角关系用测角仪和皮尺测出底部可以到达的物体的高度.但现实生活中，还存在有底部不可以到达的物体.它们的高度如何测量呢 活动三:测量底部不可以直接到达的物体的高度 所谓“底部不可以到达”,就是在地面上不能直接测得测点与被测物体底部之间的距离. 在黄浦江的另一端，你能否测量东方明珠的高度呢？在现实生活中，我们不可以直接从测点到达被测点的脚下，这时我们能利用两次测量仰角（图中α和β），再结合解三角形的知识来求出东方明珠的高度.1.在测点A处安置测倾器,测得M的仰角∠MCE=α.2.在测点A与物体之间的B处安置测倾(A,B与N在一条直线上),测得M的仰角∠MDE=β.3.量出测倾器的高度AC=BD=a,以及测点A,B之间的距离AB=b.提问：根据测量数据,你能求出物体MN的高度吗 说说你的理由.学生根据测量数据,写出计算物体MN的高度过程：解：∵在Rt△MDE中，ED=ME/tanβ在Rt△MCE中，EC =ME/tanα∴EC-ED=b∴∴∴典例精讲 如图，某中学在主楼的顶部和大门的上方之间挂一些彩旗．经测量，得到大门的高度是5m，大门距主楼的距离是30m，在大门处测得主楼顶部的仰角是30°，而当时测倾器离地面1.4m,求学校主楼的高度(精确到0.01m).总结：与仰角(或俯角)有关的计算问题的解决方法： 首先弄清哪个角是仰角(或俯角)，再选择或构造恰当的直角三角形，将仰角或俯角置于这个三角形中，选择正确的三角函数，并借助计算器求出要求的量． 学生思考、讨论、交流，尝试自己解决问题. 关注学生是否积极参与，是否真正理解. 进一步培养学生运用所学，解决实际应用问题的意识.
课堂练习 四、巩固训练1．如图，窗子高AB=m米，窗子外面上方0.2米的点C处安装水平遮阳板CD=1米，当太阳光线与水平线成α=60°角时，光线刚好不能直接射人室内，则m的值是（ ）A．m=√3+0.8 B．m=√3+0.2 C．m=√3-0.2 D．m=√3-0.8C2.如图，为测量一棵与地面垂直的树OA的高度，在距离树的底端30米的B处，测得树顶A的仰角∠ABO为α，则树OA的高度为( )A. B．30sin α米C．30tan α米 D．30cos α米C3．如图，航模小组用无人机来测量建筑物BC的高度，无人机从A处测得建筑物顶部B的仰角为45°，测得底部C的俯角为60°，若此时无人机与该建筑物的水平距离AD为30m，则该建筑物的高度BC为_____m．（结果保留根号）【答案】（30√3+30）．【分析】在Rt△ABD中，根据正切函数求得BD=AD tan∠BAD，在 Rt△ACD中，求得CD=AD tan∠CAD，再根据BC=BD+CD， 代入数据计算即可．【详解】解：∵在Rt△ABD中，AD＝90，∠BAD＝45°，∴BD＝AD＝30（m），∵在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，∴CD＝AD tan60°＝30×√3＝30√3（m），∴BC＝BD+CD＝30√3+30（m）答：该建筑物的高度BC约为（30√3+30）米．故答案为：（30√3+30）．4．如图，小丽的房间内有一张长200m，高50cm的床靠墙摆放，在上方安装空调，空调下沿与EF墙垂直，出风口F离墙20cm，空调开启后，挡风板FG与EF夹角成136°，风沿FG方向吹出，为了让空调风不直接吹到床上，空调安装的高度(BC的长)至少为多少？(精确到个位)(参考数据：cos46°≈0.69，tan46°≈1.04，sin46°≈0.72)【详解】当A、F在一条直线时,就正好不会吹到床上,连接AF,过点F作FH⊥AD,∵AD=200,HD=20,∴AH=180,∵∠EFA=136°,∴∠FAD=46°,∴FH=AH·tan46°=180×1.04=187.2∴ED=FH=187.2,∴EC=187.2+50=237.2≈237．故答案为237． 5. 如图，某班学生利用周末到白塔山去参观“晏阳初博物馆”．下面是两位同学的一段对话：甲：我站在N处看塔顶，仰角为60°.乙：我站在M处看塔顶，仰角为30°.甲：我们的身高都是1.5 m.乙：我们和塔在一条直线上，且我们相距20 m.请你根据两位同学的对话，计算白塔的高度．(结果精确到1 m)．6．数学课外学习小组利用矩形建筑物ABED测量广场灯塔CF的高，如图所示，在点B处测得灯塔顶端C的仰角为28°，在点D处测得灯塔顶端C的仰角为45°，已知AB＝10m，AD＝30m．求灯塔CF的高（结果保留整数）．（参考数据：tan28°≈0.53， cos28°≈0.88，sin28°≈0.47，√2≈1.41）解：延长BE交CD于点G，交CF于点H，在Rt△DEG中，∠EDG＝45°，∴EG＝DE＝10m．∠EGD＝45°设CH＝xm，在Rt△CGH中，∠CGH=∠EGD＝45°，∴GH＝xm在Rt△CBH中，∠CBH＝28°，∴tan∠CBH＝CH/BH，即：X/30+10+x＝tan28°解这个方程得：x≈45.1，经检验：x≈45.1符合题意．∴灯塔的高CF＝55.1≈55（m）答：灯塔的高为55米．
课堂小结
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