湘教版2022-2023学年度上学期九年级期末练习数学试题3（含解析）

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湘教版2022-2023学年九年级上学期期末练习试题3
考试范围：九上-九下第一章
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一．选择题（共10小题）
1．已知关于x的方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，若（x1+1）（x2+1）＝3，则m的值为（　　）
A．﹣3 B．﹣1 C．﹣3或1 D．﹣1或3
2．若y与z成反比例，z与x成正比例，则y与x之间的关系是（　　）
A．成正比例
B．成反比例
C．不成正比例也不成反比例
D．无法确定
3．如图，在宽为20米、长为32米的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下部分种植草坪，要使草坪的面积为540平方米，则设道路的宽为xm，根据题意，列方程（　　）
A．32×20﹣20x﹣30x＝540
B．32×20﹣20x﹣30x﹣x2＝540
C．（32﹣x）（20﹣x）＝540
D．32×20﹣20x﹣30x+2x2＝540
4．下列各组线段中，成比例的一组线段是（　　）
A．2，3，4，6 B．2，3，4，7 C．2，3，4，8 D．2，3，4，9．
5．如图，某中学初三数学兴趣小组的学生测量教学楼AB的高度，已知测量人员与教学楼的水平距离BC为18m，在C处观测楼顶A的仰角为a，测量人员的眼睛与地面的距离CD为1.5m．则教学楼的高度是（　　）
A．18 tanαm B．（18 tanα+1.5）m
C．18 sinαm D．（18 cosα+1.5）m
6．为了估计某地区梅花鹿的数量，先捕捉20只梅花鹿做上标记，然后放走，待有标记的梅花鹿完全混合于鹿群后，第二次捕捉100只梅花鹿，发现其中5只有标记．估计这个地区的梅花鹿的数量约有（　　）只．
A．200 B．300 C．400 D．500
7．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE＝3OB，则△ABC与△DEF的面积之比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
8．二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象是抛物线G，自变量x与函数y的部分对应值如下表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 …
y … 4 0 ﹣2 ﹣2 0 4 …
下列说法正确的是（　　）
A．抛物线G的开口向下
B．抛物线G的对称轴是直线x＝﹣2
C．抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4）
D．当x＞﹣3时，y随x的增大而增大
9．如图，△ABC中，角平分线AD、BE、CF相交于点H，过H点作HG⊥AC，垂足为G，那么∠AHE和∠CHG的大小关系为（　　）
A．∠AHE＝∠CHG B．∠AHE＜∠CHG C．∠AHE＞∠CHG D．不一定
10．已知二次函数y＝（k﹣1）x2+2x﹣1与x轴有交点，则k的取值范围是（　　）
A．k＞0 B．k≤2 C．k≤2且k≠1 D．k≥0且k≠1
二．填空题（共8小题）
11．已知点A（a，3），B（a+1，﹣6）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，则k的值为 　 　．
12．已知方程x2﹣3x+1＝0的根是x1和x2，则x1+x2﹣x1x2＝　 　．
13．如图，在△ABC中，点D在AB边上，点E在AC边上，请添加一个条件 　 　，使△ADE∽△ABC．
14．已知反比例函数y＝，当x＜0时，y随x的增大而减小，那么一次函数y＝﹣kx+k的图象经过第 　 　象限．
15．点A，B在数轴上的位置如图所示，点A对应的数是x1，点B对应的数是x2，AB＝1，且x1，x2是方程x2﹣4x+k＝0的两根，则k的值为 　 　．
16．如图，△ABC中，CA＝CB＝4，cosC＝，则tanB的值为 　 　．
17．为推动“双减”政策落实，切实解决学生负担，严格控制作业时间．政教处拟对全校560名学生每天做作业所用时间进行调查，调查人员随机抽取了部分学生进行问卷调查，并把结果制成如图所示的统计图，根据统计图可以估计这所学校学生“双减”政策落实后每天做作业时间不少于1小时的人数为 　 　．
18．如图，在平面直角坐标系中，将△OBC各点的横坐标、纵坐标都乘以一个相同的数得到△OED，若B（4，6），C（6，0），D（2.5，0），则点E的坐标为 　 　．
三．解答题（共8小题）
19．二次函数y＝ax2+c（a≠0）的图象经过点A（1，﹣6），B（3，10）．
（1）求二次函数的解析式．
（2）求二次函数图象与y轴x轴的交点坐标．
（3）若一次函数y＝4x﹣2与二次函数有交点，当一次函数的值大于二次函数的值时，求自变量x的取值范围．
20．解下列方程：
（1）3x2﹣6x﹣2＝0；
（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2．
21．如图，直线与反比例面数的图象交于点A（4，m），点B（n，2n）是反比例函数图象上另一点，直线AB与x轴交于点C．
（1）求反比例函数的解析式与点B的坐标；
（2）求△AOB的面积．
22．如图，在△ABC中，AC＝BC＞AB，∠C＝36°．
（1）在线段BC上求作一点D，使得△ABC∽△DBA；（尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）；
（2）在（1）的条件下，若AB＝2，求BC的值．
23．“十一”期间，许多露营爱好者在南溪湿地露营，为遮阳和防雨会搭建一种“天幕”，其截面示意图是轴对称图形，对称轴是垂直于地面的支杆AB，用绳子拉直AD后系在树干EF上的点E处，使得A，D，E在一条直线上，通过调节点E的高度可控制“天幕”的开合，AC＝AD＝3m，BF＝4m．
（1）天晴时打开“天幕”，若∠a＝60°，求遮阳宽度CD（结果精确到0.1m）：
（2）下雨时收拢“天幕”，∠a从60°减少到45°，求点E下降的高度（结果精确到0.1m）．（参考数据：≈1.73，≈1.41）
24．在创建“福建省健康促进学校”的过程中，某数学兴趣小组针对视力情况随机抽取本校部分学生进行调查，并按照国家分类标准统计人数，绘制成两幅不完整的统计图表，请根据图表信息解答下列问题：
（1）求所抽取的学生总人数；
（2）该校共有学生约1800人，请估算该校学生中，近视程度为中度和重度的总人数．
抽取的学生视力情况统计表
类别 检查结果 人数
A 正常 88
B 轻度近视 ▲
C 中度近视 59
D 重度近视 ▲
25．11月初，某商场以每件40元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数m＝﹣2x+160．
（1）当销售价x定为50元时，此时的销售量m为 　 　件．
（2）求出商场售出这种商品每天的利润y（元）与每件的销售价x（元）之间的函数解析式；
（3）11月10日起商场开启“双11”促销活动，要想在“双11”期间每天获得最大的销售利润，那么每件商品的售价定为多少元最合适？最大的销售利润为多少元？
26．如图，在等边△ABC中，点D、E分别在AB、AC上的点，点M是DE的中点，且∠DAM＝∠BCD．
（1）∠MAE＝　 　．
（2）找出与BD相等的线段并证明；
（3）若AD＝kBD，求DE：AM的值．
答案解析
一．选择题（共10小题）
1．【考点】根的判别式
【分析】根据方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，得出x1+x2与x1x2的值，再根据（x1+1）（x2+1）＝3，即可求出m的值．
解：∵方程x2﹣（2m﹣1）x+m2＝0的两实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2m﹣1，x1x2＝m2，
∵（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝3，
∴m2+2m﹣1+1＝3，
解得：m＝1或m＝﹣3，
∵方程有两实数根，
∴Δ＝（2m﹣1）2﹣4m2≥0，
即m≤，
∴m＝1不合题意，舍去，
∴m＝﹣3；
故选：A．
【点评】本题考查了根与系数的关系及根的判别式，难度适中，关键掌握x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q．
2．【考点】反比例函数的定义；正比例函数的定义
【分析】根据已知条件设y＝（k为常数，k≠0），z＝ax（a为常数，a≠0），求出y＝，再根据反比例函数的定义判断即可．
解：设y＝（k为常数，k≠0），z＝ax（a为常数，a≠0），
则y＝＝＝，
即y与x之间的关系是成反比例，
故选：B．
【点评】本题考查了反比例函数和正比例函数的定义，能熟记反比例函数的定义和正比例函数的定义是解此题的关键．
3．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】设道路的宽为x，利用“道路的面积”作为相等关系可列方程（32﹣x）（20﹣x）＝540．
解：设道路的宽为x，根据题意得（32﹣x）（20﹣x）＝540．
故选：C．
【点评】本题考查的是根据实际问题列一元二次方程．找到关键描述语，找到等量关系准确地列出方程是解决问题的关键．
4．【考点】比例线段
【分析】根据比例线段的定义，分别计算各选项中最小的数与最大的数的积是否等于另外两个数的积可判断四条线段成比例．
解：A、2×6＝3×4，所以A选项符合题意；
B、2×7≠3×4，所以B选项不符合题意；
C、2×8≠3×4，所以C选项不符合题意；
D、2×9≠3×4，所以选项D不符合题意．
故选：A．
【点评】本题考查了比例线段：判定四条线段是否成比例，只要把四条线段按大小顺序排列好，判断前两条线段之比与后两条线段之比是否相等即可，求线段之比时，要先统一线段的长度单位，最后的结果与所选取的单位无关系．
5．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题
【分析】根据三角函数和直角三角形的性质解答即可．
解：如图，过D作DE⊥AB，
∵在D处测得教学楼的顶部A的仰角为α，
∴∠ADE＝α，
∵BC＝DE＝18m，
∴AE＝DE tanα＝18 tanαm，
∴AB＝AE+BE＝AE+CD＝（18 tanα+1.5）m，
则教学楼的高度是（18 tanα+1.5）m，
故选：B．
【点评】此题考查了解直角三角形﹣俯角仰角问题．注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键．
6．【考点】用样本估计总体
【分析】设这个地区的梅花鹿的数量约有x只，根据做标记的梅花鹿熟练所占比例等于捕捉100只梅花鹿中有标记的只数所占比例列出方程，解之即可．
解：设这个地区的梅花鹿的数量约有x只，
根据题意，得：＝，
解得x＝400，
经检验：x＝400是分式方程的解，
所以这个地区的梅花鹿的数量约400只，
故选：C．
【点评】本题考查的是通过样本去估计总体，只需将样本“成比例地放大”为总体即可．
7．【考点】位似变换
【分析】根据位似图形的概念得到△ABC∽△DEF，BC∥EF，得出△OBC∽△OEF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算，得到答案．
解：∵△ABC与△DEF位似，
∴△ABC∽△DEF，BC∥EF，
∴△OBC∽△OEF，
∴＝＝，
∴△ABC与△DEF的面积之比为1：9，
故选：D．
【点评】本题考查的是位似变换的概念、相似三角形的性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键．
8．【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的图象
【分析】根据表格中的数据和二次函数的性质，可以判断各个选项中的结论是否正确，本题得以解决．
解：由表格可知，
该函数的对称轴是直线x＝＝﹣，故选项B错误，
该抛物线开口向上，在x＝﹣时，取得最小值，故选项A错误，
当x＞﹣时，y随x的增大而最大，故选项D错误，
当x＝0时，y＝4，则抛物线G与y轴的交点坐标为（0，4），故选项C正确；
故选：C．
【点评】本题考查二次函数的性质、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的最值，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
9．【考点】三角形内角和定理；三角形的外角性质；角平分线的定义
【分析】利用角平分线的定义，可得出∠BAH＝∠BAC，∠ABH＝∠ABC，∠ACH＝∠ACB，结合三角形的外角性质，可得出∠AHE＝90°﹣∠ACB，在Rt△CHG中，利用三角形内角和定理，可求出∠CHG＝90°﹣∠ACB，进而可得出∠AHE＝∠CHG．
解：∵AD平分∠BAC，BE平分∠ABC，CF平分∠ACB，
∴∠BAH＝∠BAC，∠ABH＝∠ABC，∠ACH＝∠ACB．
∵∠AHE＝∠BAH+∠ABH＝∠BAC+∠ABC＝（∠BAC+∠ABC）＝（180°﹣∠ACB）＝90°﹣∠ACB．
∵HG⊥AC，
∴∠HGC＝90°，
∴∠CHG＝90°﹣∠GCH＝90°﹣∠ACB，
∴∠AHE＝∠CHG．
故选：A．
【点评】本题考查了三角形内角和定理、角平分线的定义以及三角形的外角性质，根据各角之间的关系，找出∠AHE＝90°﹣∠ACB及∠CHG＝90°﹣∠ACB是解题的关键．
10．【考点】二次函数图象与系数的关系；抛物线与x轴的交点
【分析】利用当二次函数图像与x轴有交点时，则b2﹣4ac≥0，即可求出，注意要考虑带二次项系数不为0．
解：∵二次函数y＝（k﹣1）x2+2x﹣1与x轴有交点，
∴，解得：k≥0且k≠1；
故答案选：D．
【点评】本题考查了抛物线与x轴交点的情况和各系数之间的关系，解题关键：当抛物线与x有交点时则b2﹣4ac≥0．
二．填空题（共8小题）
11．【考点】反比例函数图象上点的坐标特征
【分析】根据反比例函数系数k＝xy得到k＝3a＝﹣6（a+1），解方程即可求得．
解：∵点A（a，3），B（a+1，﹣6）在反比例函数y＝（k≠0）的图象上，
∴k＝3a＝﹣6（a+1），
解得a＝﹣，
∴k＝3a＝﹣2，
故答案为：﹣2．
【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，图象上点的坐标适合解析式是关键．
12．【考点】根与系数的关系；一元二次方程的解
【分析】根据根与系数的关系可得出x1+x2＝3、x1x2＝1，将其代入x1+x2﹣x1x2中即可求出结论．
解：∵方程x2﹣3x+1＝0的两个实数根为x1、x2，
∴x1+x2＝3、x1x2＝1，
∴x1+x2﹣x1x2＝3﹣1＝2．
故答案为2．
【点评】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与系数的关系为：x1+x2＝﹣，x1 x2＝．
13．【考点】相似三角形的判定
【分析】要使两三角形相似，已知一组角相等，则再添加一组角或公共角的两边对应成比例即可．
解：∵∠A＝∠A，
∴当∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝时，△ADE∽△ABC，
故答案为：∠ADE＝∠B或∠AED＝∠C或＝（答案不唯一）．
【点评】此题考查了相似三角形的判定的理解及运用，熟练应用相似三角形的判定是解题关键．
14．【考点】反比例函数的性质；一次函数的性质
【分析】先根据反比例函数的增减性判断出k的符号，再由一次函数的性质即可得出结论．
解：∵反比例函数y＝中，当x＜0时，y随x的增大而减小，
∴函数图象在第一、三象限，
∴k＜0，
∴﹣k＞0，
一次函数y＝﹣kx+k的图象经过第一、二、四象限．
故答案为：一、二、四．
【点评】本题考查的是反比例函数及一次函数的性质，先根据题意判断出k的符号是解题的关键．
15．【考点】根与系数的关系；数轴
【分析】根据AB＝1，可得|x1﹣x2|＝1，再根据根与系数的关系，得x1+x2＝﹣，，由此解答即可．
解：∵AB＝1，
∴|x1﹣x2|＝1，
∴＝1，
∵x1，x2是方程x2﹣4x+k＝0的两根，
∴x1+x2＝﹣，，
∴＝
＝
＝42﹣4k，
∴42﹣4k＝1，
16﹣4k＝1
15＝4k
k＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了根与系数的关系，掌握根与系数的关系是解题的关键．
16．【考点】解直角三角形；等腰三角形的性质
【分析】过点A作AD⊥BC，垂足为D，在Rt△ACD中可求出AD，CD的长，在Rt△ABD中，利用正切的定义可求出tanB的值．
解：过点A作AD⊥BC，垂足为D，如图所示：
在Rt△ACD中，CD＝CA cosC＝4×＝1，
∴AD＝＝＝，
在Rt△ABD中，BD＝CB﹣CD＝4﹣1＝3，AD＝，
∴tanB＝＝．
故答案为：．
【点评】本题考查了解直角三角形以及勾股定理，通过解直角三角形及勾股定理，求出AD，AB的长是解题的关键．
17．【考点】用样本估计总体
【分析】利用总人数560乘以每天做作业时间不少于1小时的同学所占的比例即可求解．
解：根据题意结合统计图知：
估计这个学校全体学生每天做作业时间不少于1小时的人数约为560×＝160（人），
故答案为：160人．
【点评】本题考查的是用样本估计总体的知识．读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．
18．【考点】位似变换；坐标与图形性质
【分析】直接利用位似图形的性质得出对应点坐标的变化规律进而得出答案．
解：∵C（6，0）对应点坐标为：（2.5，0），
∴B（4，6）对应点坐标为：（，）．
故答案为：（，）．
【点评】此题主要考查了位似变换，正确得出位似比是解题的关键．
三．解答题（共8小题）
19．【考点】二次函数与不等式（组）；待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）利用待定系数法，即可求解；
（2）令x＝0，求得y的值即可得二次函数图象与y轴的交点坐标；令y＝0，求得x的值，即可得二次函数图象与x轴的交点坐标；
（3）求得一次函数y＝4x﹣2与二次函数的交点为（﹣1，﹣6），（3，10），根据图象上点的坐标特征，即可得到结论．
解：（1）∵二次函数y＝ax2+c（a≠0）的图象经过点A（1，﹣6），B（3，10），
∴，
解得，
∴二次函数的解析式为y＝2x2﹣8；
（2）令x＝0，则y＝2x2﹣8＝﹣8，
∴二次函数y＝2x2﹣8的图象与y轴的交点坐标为（0，﹣8）；
令y＝0，则2x2﹣8＝0，解得x＝±2，
∴二次函数y＝2x2﹣8的图象与x轴的交点坐标为（2，0），（﹣2，0）；
（3）由，解得或，
∴一次函数y＝4x﹣2与二次函数的交点为（﹣1，﹣6），（3，10），
∴抛物线开口向上，
∴当一次函数的值大于二次函数的值时，自变量x的取值范围是﹣1＜x＜3．
【点评】本题主要考查了待定系数法确定抛物线的解析式，二次函数图象上点的坐标的特征，利用待定系数法确定函数的解析式是解题的关键．
20．【考点】解一元二次方程﹣配方法
【分析】（1）将常数项移到方程的右边，二次项系数化为1，两边都加上一次项系数一半的平方配成完全平方式后，再开方即可得；
（2）移项后因式分解，继而得出两个关于x的一元一次方程，再进一步求解即可．
解：（1）3x2﹣6x﹣2＝0，
x2﹣2x＝，
x2﹣2x+1＝+1，即（x﹣1）2＝，
∴x﹣1＝±，
∴x1＝1+，x2＝1﹣．
（2）x2﹣6x+9＝（5﹣2x）2，
（x﹣3）2﹣（5﹣2x）2，＝0，
（x﹣3+5﹣2x）（x﹣3﹣5+2x）＝0，
∴2﹣x＝0或3x﹣8＝0，
∴x1＝2，x2＝．
【点评】本题主要考查解一元二次方程，解一元二次方程常用的方法有：直接开平方法、因式分解法、公式法及配方法，解题的关键是根据方程的特点选择简便的方法．
21．【考点】反比例函数与一次函数的交点问题
【分析】（1）由直线解析式求得点A的坐标，进而利用待定系数法求得反比例函数的解析式，代入点B（n，2n）求得n的值，即可求得点B的坐标；
（2）求得直线AB的解析式，利用解析式求得点C的坐标，然后根据S△AOB＝S△BOC﹣S△AOC求得即可．
解：（1）∵直线点A（4，m），
∴，
∴点A的坐标为（4，2），
∵点A在反比例面数的图象上，
∴k＝4×2＝8，
∴反比例函数的解析式为：，
∵点B（n，2n）是反比例函数图象上另一点，
∴，
解得：n1＝2，n2＝﹣2（舍去），
∴点B的坐标为（2，4）；
（2）设直线AB的解析式为：y＝ax+b，
代入A（4，2），B（2，4）两点可得：，
解得：，
∴直线AB的解析式为：y＝﹣x+6，
令y＝0，则﹣x+6＝0，解得x＝6，
∴C（6，0），
∴．
【点评】本题是反比例函数与一次函数的交点问题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求反比例函数的解析式，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，求得交点坐标是解题的关键．
22．【考点】作图﹣相似变换；等腰三角形的性质
【分析】（1）以A为圆心，AB为半径画弧交BC于D即可；
（2）由△ABC∽△DBA，得∠DAB＝∠C＝36°，则AD＝CD＝AB＝2，再根据△ABC∽△DBA，得，代入可得BD的方程，从而得出答案．
解：（1）如图所示：
（2）∵△ABC∽△DBA，
∴∠DAB＝∠C＝36°，
∵AC＝BC，
∴∠CAB＝72°，
∴∠CAD＝∠DCA＝36°，
∴AD＝CD，
又∵∠BDA＝∠CAB＝72°，
∴CD＝AD＝AB＝2
∵△ABC∽△DBA，
∴
∴，
∴DB2+2DB﹣4＝0，
解得：DB＝﹣1（负值舍去），
∴BC＝BD+CD＝+1．
【点评】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，一元二次方程是解题，等腰三角形的性质与判定等知识，准确画出图形是解题的关键．
23．【考点】解直角三角形的应用；勾股定理的应用；轴对称图形
【分析】（1）根据对称性得出AD＝3m，再根据锐角三角函数求出OD，即可求出答案；
（2）过点E作EH⊥AB于H，得出EH＝BF＝4m，再分别求出∠α＝65°和45°时，AH的值，即可求出答案．
解：（1）由对称知，CD＝2OD，AD＝AC＝3m，∠AOD＝90°，
在Rt△AOD中，∠OAD＝α＝60°，
∴sinα＝，
∴OD＝AD sinα＝3×sin60°＝3×≈2.60m，
∴CD＝2OD＝5.2m，
答：遮阳宽度CD约为5.2m；
（2）如图，
过点E作EH⊥AB于H，
∴∠BHE＝90°，
∵AB⊥BF，EF⊥BF，
∴∠ABF＝∠EFB＝90°，
∴∠ABF＝∠EFB＝∠BHE＝90°，
∴EH＝BF＝4m，
在Rt△AHE中，tana＝，
∴AH＝，
当∠α＝60°时，AH＝＝2.31m，
当∠α＝45°时，AH＝＝4，
∴当∠α从65°减少到45°时，点E下降的高度约为4﹣2.31＝1.7m．
【点评】本题主要考查了锐角三角函数，矩形的判定和性质，熟练应用锐角三角函数是解本题的关键．
24．【考点】用样本估计总体；统计表
【分析】（1）根据类型A的人数和所占的百分比，可以计算出本次抽查的人数；
（2）根据扇形统计图中的数据，可以计算出近视程度为中度和重度的总人数．
解：（1）88÷44%＝200（人），
即所抽取的学生共有200人；
（2）1800×（1﹣44%﹣11%）
＝1800×45%
＝810（人），
答：估算该校学生中，近视程度为中度和重度的一共有810人．
【点评】本题考查扇形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
25．【考点】二次函数的应用
【分析】（1）把x＝50代入一次函数m＝﹣2x+160中，求出m的值即可．
（2）根据题意，可以写出这种商品每天的利润y与每件的销售价x之间的函数解析式；
（3）将（1）中的函数解析式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可求得每件商品的售价定位是多少元最合适，最大的销售利润为多少元．
解：（1）当x＝50时，m＝﹣2x+160＝﹣2×50+160＝60，．
故答案为：60．
（2）由题意可得，y＝（x﹣40）（﹣2x+160）＝﹣2x2+240x﹣6400，
即这种商品每天的利润y与每件的销售价x之间的函数解析式是y＝﹣2x2+240x﹣6400；
（3）∵y＝﹣2x2+240x﹣6400＝﹣2（x﹣60）2+800，
∴当x＝60时，y取得最大值，
此时y＝800，
答：每件商品的售价定位是60元最合适，最大的销售利润为800元．
【点评】本题考查二次函数的应用，明确题意，写出相应的函数关系式，利用二次函数的性质求最值是解答本题的关键．
26．【考点】平行线分线段成比例；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【分析】（1）如图，延长AM交BC于点J，连接DJ．利用全等三角形的性质解决问题即可；
（2）结论：BD＝AE．利用全等三角形的性质证明即可；
（3）过点J作JK⊥AB于点K，过单位E作EQ⊥AB于点Q．由AD＝kBD，设BD＝m，则AD＝mk，AE＝m，用k，m表示出DE，AM，可得结论．
解：（1）如图，延长AM交BC于点J，连接DJ．
∵△ABC是是等边三角形，
∴BA＝﹣BC，
在△ABJ和△CBD中，
，
∴△ABJ≌△CBD（ASA），
∴BJ＝BD，
∴AD＝CJ，
在△ACD和△CAJ中，
，
∴△ACD≌△CAJ（SAS），
∴∠ACD＝∠CAJ，
故答为：∠ACD.
（2）结论：BD＝AE．
理由：∵BD＝BJ，∠B＝60°，
∴△BDJ是等边三角形，
∴∠DJB＝∠ACB＝60°，
∴DJ∥AC，
∴∠MAE＝∠MJD，
在△AME和△JMD中，
，
∴△AME≌△JMD（AAS），
∴AE＝DJ，
∵BD＝DJ，
∴BD＝AE；
（3）过点J作JK⊥AB于点K，过点E作EQ⊥AB于点Q．
∵AD＝kBD，
设BD＝m，则AD＝mk，AE＝m，
∵JK⊥BD，JD＝JB＝BD＝m，
∴DK＝KB＝m，KJ＝m，
∴AJ＝＝＝m，
同法DE＝＝m，
∴AM＝AJ＝，
∴＝．
【点评】本题考查等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．
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