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5.5 三角恒等变换
5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式
学习目标 把握航向 目的明确
1.了解两角差的余弦公式的推导过程.
2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．
知识梳理 回顾教材 夯实基础
知识点 两角差的余弦公式
公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
简记符号 C(α－β)
使用条件 α，β为任意角
注意点：
(1)该公式对任意角都能成立．
(2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和．
(3)公式的逆用仍然成立．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.cos 15°的值是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：cos 15°＝cos(45°－30°)＝cos 45°cos 30°＋sin 45°sin 30°＝×＋×＝.
2.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于( )
A.0 B.1 C.－1 D.
答案：A
解析：原式＝cos(47°－137°)＝cos(－90°)＝0.
3.已知cos α＝，α∈，则cos的值为( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：因为α∈，所以sin α＝－，所以cos＝cos αcos ＋sin αsin ＝×＋×＝.
4.已知sin＝，则cos α＋sin α的值为( )
A.－ B. C.2 D.－1
答案：B
解析：cos α＋sin α＝2＝2＝2cos＝2sin＝2sin＝.
5.已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为( )
A. B.－ C. D.－
答案：A
解析：因为α，β为锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，所以sin α＝，sin(α＋β)＝，所以cos(2π－β)＝cos β＝cos[(α＋β)－α]＝cos(α＋β)·cos α＋sin(α＋β)·sin α＝×＋×＝.
6.已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是( )
A.－ B. C. D.－
答案：A
解析：∵cos α＝－，α∈，∴sin α＝.又sin β＝－，β是第三象限角，∴cos β＝－.∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝－×＋×＝－.
7.已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)的值为( )
A. B. C. D.1
答案：B
解析：因为sin α－sin β＝1－，所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝－.①
又因为cos α－cos β＝，所以cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝.②
所以①＋②得2cos(α－β)＝，所以cos(α－β)＝，故选B.
8.若cos(α＋β)＝，sin＝，α，β∈，那么cos的值为( )
A. B. C. D.
答案：C
解析：因为α，β∈，所以α＋β∈(0，π)，β－∈.又因为cos(α＋β)＝，sin＝，所以sin(α＋β)＝＝，cos＝＝，所以cos＝cos＝cos(α＋β)cos＋sin(α＋β)sin＝×＋×＝.故选C.
9.若0＜α＜＜β＜π，且cos β＝－，sin(α＋β)＝，则cos α等于( )
A. B. C. D.
答案：B
解析：∵cos β＝－，＜β＜π，∴sin β＝，∵0＜α＜＜β＜π，sin(α＋β)＝，∴＜α＋β＜π，∴cos(α＋β)＝－＝－，∴cos α＝cos[(α＋β)－β]＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝－×＋×＝.
10.(多选)若sin x＋cos x＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值是( )
A.－ B.－ C. D.
答案：AC
解析：对比公式特征知，cos＝cos(x＋φ)，所以φ＝－＋2kπ，故φ＝－，都合适．
二、填空题
11.已知sin＝，且<α<，则cos α＝ .
答案：
解析：因为sin＝，且<α<，所以<α＋<π，所以cos＝－＝－，所以cos α＝cos＝coscos ＋sinsin ＝－×＋×＝.
12.＝ .
答案：
解析：原式＝＝
＝＝cos 15°＝cos(60°－45°)＝.
13.在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos (A－B)＝ .
答案：－
解析：因为cos B＝－，且0
14.已知△ABC中，sin(A＋B)＝，cos B＝－，则sin B＝ ，cos A＝ .
答案：
解析：在△ABC中，因为cos B＝－<0，所以B为钝角，则sin B＝，所以A＋B∈，由sin(A＋B)＝，得cos(A＋B)＝－，所以cos A＝cos [(A＋B)－B]＝cos(A＋B)cos B＋sin(A＋B)sin B＝－×＋×＝.
15.函数f(x)＝cos 2xcos －sin 2xsin 的单调递增区间是 .
答案：(k∈Z)
解析： f(x)＝cos 2xcos －sin 2xsin＝cos 2xcos ＋sin 2xsin ＝cos.由2kπ－π≤2x－≤2kπ，k∈Z，得该函数的单调增区间为(k∈Z)．
三、解答题
16.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
(1)如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cos α和sin β的值；
(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值．
解：(1)∵OA＝1，OB＝1，且点A，B的纵坐标分别为，∴sin α＝，sin β＝，
又∵α为锐角，∴cos α＝＝.
(2)∵β为钝角，
∴由(1)知cos β＝－＝－，
∴cos(β－α)＝cos βcos α＋sin βsin α＝－×＋×＝.
17.已知0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，求cos的值．
解：由题设得＜＋α＜，＜－＜，
∴sin＝，sin＝，
∴cos＝cos＝coscos＋sin·sin＝.
18.已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f ＝－，f ＝，求cos(α－β)的值．
解：(1)由于函数f(x)的最小正周期为10π，所以10π＝，所以ω＝.
(2)因为f ＝－，
所以2cos＝2cos＝－，所以sin α＝，
又因为f ＝，
所以2cos＝2cos β＝，
所以cos β＝，
因为α，β∈，所以cos α＝，sin β＝，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
19.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点.
(1)求的值；
(2)已知－<β<0，且sin β＝－，求cos(α－β)的值．
解：由题意知tan α＝2.
(1)原式＝＝tan α＝2.
(2)因为α是第一象限角，且终边过点，
所以sin α＝，cos α＝，
因为－<β<0，且sin β＝－，
所以cos β＝＝，
所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.
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5.5 三角恒等变换
5.5.1 第1课时 两角差的余弦公式
学习目标 把握航向 目的明确
1.了解两角差的余弦公式的推导过程.
2.熟记两角差的余弦公式的形式及符号特征，并能利用该公式进行求值、计算．
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知识点 两角差的余弦公式
公式 cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β
简记符号 C(α－β)
使用条件 α，β为任意角
注意点：
(1)该公式对任意角都能成立．
(2)公式的结构，左端为两角差的余弦，右端为这两角的同名三角函数值积的和．
(3)公式的逆用仍然成立．
习题精练 基础落实 题题到位
选择题
1.cos 15°的值是( )
A. B. C. D.
2.cos 47°cos 137°＋sin 47°sin 137°的值等于( )
A.0 B.1 C.－1 D.
3.已知cos α＝，α∈，则cos的值为( )
A. B. C. D.
4.已知sin＝，则cos α＋sin α的值为( )
A.－ B. C.2 D.－1
5.已知锐角α，β满足cos α＝，cos(α＋β)＝－，则cos(2π－β)的值为( )
A. B.－ C. D.－
6.已知cos α＝－，α∈，sin β＝－，β是第三象限角，则cos(β－α)的值是( )
A.－ B. C. D.－
7.已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，则cos(α－β)的值为( )
A. B. C. D.1
8.若cos(α＋β)＝，sin＝，α，β∈，那么cos的值为( )
A. B. C. D.
9.若0＜α＜＜β＜π，且cos β＝－，sin(α＋β)＝，则cos α等于( )
A. B. C. D.
10.(多选)若sin x＋cos x＝cos(x＋φ)，则φ的一个可能值是( )
A.－ B.－ C. D.
二、填空题
11.已知sin＝，且<α<，则cos α＝ .
12.＝ .
13.在△ABC中，sin A＝，cos B＝－，则cos (A－B)＝ .
14.已知△ABC中，sin(A＋B)＝，cos B＝－，则sin B＝ ，cos A＝ .
15.函数f(x)＝cos 2xcos －sin 2xsin 的单调递增区间是 .
三、解答题
16.如图，在平面直角坐标系中，锐角α和钝角β的终边分别与单位圆交于A，B两点．
(1)如果A，B两点的纵坐标分别为，，求cos α和sin β的值；
(2)在(1)的条件下，求cos(β－α)的值．
17.已知0＜α＜，－＜β＜0，cos＝，cos＝，求cos的值．
18.已知函数f(x)＝2cos(其中ω>0，x∈R)的最小正周期为10π.
(1)求ω的值；
(2)设α，β∈，f ＝－，f ＝，求cos(α－β)的值．
19.已知角α的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点.
(1)求的值；
(2)已知－<β<0，且sin β＝－，求cos(α－β)的值．
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