第3讲 不等式与基本不等式 期末大总结
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必会题型一：不等关系和不等式性质
必会题型二：利用基本不等式求函数和代数式的最值
必会题型三：应用“1”的代换转化为基本不等式求最值
必会题型四：含有多个变量的条件最值及恒成立问题
必会题型五：基本不等式综合问题
第一部分：知识结构导图速看
第二部分：考点梳理知识方法技巧大总结
1．实数 a，b 大小的比较
；；
2．性质 传递性 ：如果 且 那么
3．性质 可加性 ： 如果 那么
4．性质 可乘性
如果 那么
如果 那么
5．性质 4( 同向可加性 ) ：如果 那么 ．
6．性质 5( 同向同正可乘性 )：
如果 那么
如果 那么
推论 正数乘方性 当 时其中
7．性质 6( 正数开方性 )： 当 时 其中
8．基本不等式
对于任意实数 和 总是成立的，即 所以 当且仅当 时，等号成立． 设 取 代入上述不等式可得
当且仅当 时，等号成立．
这个不等式称为基本不等式，其中， 称为 的算术平均值 称为 的几何平均值． 因此，基本不等式又称为均值不等式．
9．一个不等式链：0 )，当且仅当 时等号成立， 其中 分别叫作正数的调和平均数，几何平均数、算术平 均数、平方平均数．
10．当 均为正数时，下面的命题均成立：
(1) 若 为定值 则当且仅当 时， 取得最大值
(2) 若 为定值 则当且仅当 时， 取得最小值 ．
第三部分：必会技能常考题型及思想方法大归纳
必会题型一：不等关系和不等式性质
1．(2022·陕西西安·高一期中)已知，下列不等式中正确的是( )
A． B．
C． D．
2．[多选](2022·宁夏·银川一中高一期中)已知，则下列不等式正确的是( )
A． B． C． D．
3．(2022·浙江·杭十四中高一期中)已知，则下列四个命题中正确的是( )
A．若，则
B．若，则
C．若，则
D．若，则
4．(2022·内蒙古呼和浩特·高一期中)(1)已知，，求，取值范围；
(2)已知，，求的取值范围．
必会题型二：利用基本不等 式求函数和代数式的最值
1．(2022·湖北·高一期中)函数的最大值是( )
A． B．1 C．5 D．
2．[多选](山东省德州市、烟台市2022-2023学年高一上学期期中数学试题)已知，，且，则( )
A． B．
C． D．
3．(2022·湖南·高一期中)已知，为正实数，且，，，则( )
A．的最大值为 B．的最小值为
C．的最小值为 D．的最小值为
4．(2022·海南·海口中学高一期中)当时，则的最大值为______．
5．(2022·山东·青岛二中高一期中)已知，，且．
(1)求的最大值；
(2)求的最小值．
必会题型三：应用“1”的代换转化为基本不等式求最值
1．(2022·江苏常州·高一期中)若均为正数，且，则的最小值等于( )
A． B． C． D．5
2．(2022·吉林·辉南县第六中学高一期中)已知、均为正实数，且，则的最小值为 ( )
A． B． C． D．
3．(2021·江苏省南通中学高一阶段练习)已知，，，则的最小值为__________．
4．(山东省德州市、烟台市2022-2023学年高一上学期期中数学试题)已知，且，则的最小值为______．
5．(2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高一期中)(1)已知，求函数的最大值，并求出此时x的值；
(2)已知，且，求的最小值，并求出此时的值．
必会题型四：含有多个变量的条件最值问题
1．(2022·重庆八中高三阶段练习)已知，则的最小值为( )
A． B． C． D．
2．(2022·海南华侨中学高一期中)已知，，且，则最小值为( )
A． B． C． D．4
3．(2022·湖北·宜城市第一中学高一期中)已知，，且恒成立，则实数m的取值范围是( )
A． B．
C． D．
4．(2022·湖北·高一期中)若对任意，恒成立，则实数的取值范围是______．
5．(2022·海南华侨中学高一期中)已知正实数x，y满足，
(1)求的最小值；
(2)若恒成立，求实数a的取值范围．
必会题型五：基本不等式综合问题
1．(2021·安徽省定远中学高一阶段练习)十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“=”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次使用“”和“”符号，并逐渐被数学界接受，不等号的引人对不等式的发展影响深远．若不相等的两个正实数满足，则下列结论正确的个数是( )
①
②
③
④
A．1 B．2 C．3 D．4
2．(2022·重庆市凤鸣山中学高一期中)下列结论中，正确的结论有( )
A．如果，那么取得最大值时的值为
B．如果，，，那么的最小值为6
C．函数的最小值为2
D．如果，，且，那么的最小值为2
3．[多选](2022·广东·深圳科学高中高一期中)下列函数最小值为2的是( )
A． B．
C． D．
4．[多选](2022·山东青岛·高一期中)设正实数a，b满足，则下列说法正确的是( )
A．有最大值 B．有最小值
C．有最小值 D．有最大值1
5．[多选](2021·江西省遂川中学高一阶段练习)下列结论中，所有正确的结论是( )
A．若，则函数的最大值为
B．若，，则的最小值为
C．若，，，则的最大值为4
D．若，，，则的最小值为
6．(2022·浙江杭州·高一期中)已知a，b为正实数且，求下列式子的最值
(1)求的最大值;
(2)求的最小值;
(3)求的最小值．
7．(2022·湖北·仙桃市田家炳实验高级中学高一期中)如图，长方形ABCD表示一张6×12(单位：分米)的工艺木板，其四周有边框(图中阴影部分)，中间为薄板，木板上一瑕疵(记为点P)到外边框AB，AD的距离分别为1分米、2分米．现欲经过点P锯掉一块三角形废料MAN，其中M，N分别在AB，AD上．设AM，AN的长分别为m分米，n分米．
(1)求的值；
(2)为使剩余木板MBCDN的面积最大，试确定m，n的值．
8．(2022·浙江·慈溪市浒山中学高一期中)自2020新冠疫情爆发以来，直播电商迅猛发展，以信息流为代表的各大社交平台也相继入场，平台用短视频和直播的形式，激发起用户情感与场景的共鸣，让用户在大脑中不知不觉间自我说服，然后引起消费行动．某厂家往年不与直播平台合作时，每年都举行多次大型线下促销活动，经测算，只进行线下促销活动时总促销费用为20万元．为响应当地政府防疫政策，决定采用线上(直播促销)线下同时进行的促销模式，与某直播平台达成一个为期4年的合作协议，直播费用(单位：万元)只与4年的总直播时长x(单位：小时)成正比，比例系数为0．1．已知与直播平台合作后该厂家每年所需的线下促销费C(单位：万元)与总直播时长x(单位：小时)之间的关系为，k为常数)．记该厂家线上促销费用与4年线下促销费用之和为y(单位：万元)．
(1)写出y关于x的函数关系式；
(2)该厂家直播时长x为多少时，可使y最小？并求出y的最小值．(共44张PPT)
3.不等式与基本不等式
章末复习
目录/contents
题型一：不等关系和不等式性质
题型二：利用基本不等式求函数和代数式的最值
题型三：应用“1”的代换转化为基本不等式求最值
题型四：含有多个变量的条件最值及恒成立问题
题型五：基本不等式综合问题
思维导图
本章知识
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题型1
不等关系和不等式性质
知识点分析
作差法
知识点分析
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
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题型2
利用基本不等式求函数和代数式的最值
知识点分析
1．基本不等式
一正二定三相等
知识点分析
知识点分析
和定积最大
积定和最小
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
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题型3
应用“1”的代换转化为基本不等式求最值
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
知识点分析
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题型4
含有多个变量的条件最值问题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
必会例题
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题型5
基本不等式综合问题
必会例题
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