西师大版小学数学六年级下册 圆柱的体积 教案

圆柱的体积
教材分析：
《圆柱的体积》是数学课程标准中“空间与图形”领域内容的一部分。本课是在学生已经学过了圆面积公式的推导和长方体、正方体的体积公式的基础上进行学习的，而这节课的学习将为以后圆锥体积的学道路。学生已经有了把圆形拼成近似的长方形的经验，联想到把圆柱切拼成长方体并不难，把平面图形的知识迁移到立体图形，使学生掌握类比的思想方法。教材还给学生创设情境展示自我的空间，通过自主学习、合作探究、动手操作，将圆柱转化成长方体，观察转化前后各部分的对应关系，将新知转化成旧知、利用旧知探索新知，推导圆柱的体积计算公式。同时，转化过程中体会极限思想；
教学目标：
（1）掌握圆柱的体积公式并能应用公式解决实际问题，了解直柱体的体积计算公式。
（2）学生通过合作探究、动手操作分别将圆柱体实物、圆柱体模型切割转化成长方体，在操作过程中积累活动经验，体会“转化”、“极限”、“化曲为直、化圆为方”的数学思想。
（3通过商家喜欢用又细又长的包装盒，让学生感受数学与生活的联系，体验数学的神奇，激发学生学习的兴趣。
教学重点：掌握和运用圆柱体积计算公式。
教学难点：推导圆柱体积计算公式的过程。
教学过程
一、情境导入，激发兴趣
课前我们来玩一个游戏。（实物演示）
这是一张长方形纸，我以长边为轴旋转，会是转出什么物体？ （圆柱体）以以短边为轴旋转，又会是转出什么物体？ （圆柱体）
师：电脑记录了它们运动的轨迹，我们一起来观察转的过程和结果（动画演示）
师：究竟谁的体积大呢？这节课我们一起来探究圆柱体的体积。（板书：圆柱的体积）
二、动手操作，探究圆柱的体积
1、借助旧知，猜想圆柱体体积
师：你猜圆柱的体积该怎样计算？
生：底面积×高
师: 怎么想到了底面积×高？
生1：因为长方体的体积=底面积×高（课件回顾）
生2质疑：怎么能用长方体的体积公式计算圆柱的体积？
师：看来我们还需要进一步验证。
生3：我想到了我们在推导圆的面积公式时，把圆转化成长方形；现在推导圆柱的体积，也可以将圆柱转化成长方体。
师：我们回忆一下圆的面积计算公式是怎样推导出来的（课件演示）。
小结：在数学学习中，我们常常将不会的知识转化成已会的知识来解答。转化是一种重要的数学思想。（板书：转化）。
2、动手切割实物，感知圆柱的变化过程。
（1）验证方法
师：怎样将圆柱体的体积转化成长方体的体积，同桌商量一下？（边说边拿出实物）
生：圆可以平均分成若干个小扇形，圆柱也可以平均分成若干个底面是扇形的小物体，拼成一个长方体。
我们可以利用切、割、拼的方法把圆柱转化成一个长方体。
（2）验证过程
师：手指尖上出智慧，课前给每位同学准备了学具（粗火腿肠切成的小圆柱），打开学具袋，动手研究吧！
教师巡视，发现问题，针对性地进行指导研究有困难的学生。
（3）汇报交流
师：该是展示六（1）班同学风采的时候了，哪个组先来汇报你们的研究成果。
同组三名学生汇报，投影展示
方法一：在圆柱体内切一个长方体，长方体和圆柱的体积不相等，这种“转化”改变了物体的体积。
方法二：沿着圆柱底面直径切开，把它平均分成4份，拼成一个近似长方体，但这个近似的长方体看起来不太像长方体。
方法三：沿着圆柱底面直径切开，把它平均分成8份，拼成的图形比平均分成4份更接近一个长方体。
师：谁来评价一下他们的研究？
师：表扬这个小组的同学，他们很团结，懂协作，他们团队的研究一步比一步深入。
师：还有没有不同的方法？
方法四：我是沿着圆柱底面直径切开，把它平均分成16份，拼成的图形更接近长方体。
师：真是一位心灵手巧的孩子，我觉得此处应该有掌声!
师：照这样分下去，应该平均分成多少份？
生：平均分成32份、64份┉（课件演示变化过程）
师：看完动画后，你有什么发现？
生：平均分的份数越多，拼成的图形越接近长方体。
师：大家闭着眼睛想，平均分的份数越多，每一份小扇形的弧长就会越短，当它短到一个点，曲线可以变成直线，圆就变成了方。这就是数学中的“化曲为直，化圆为方”。
【思考：这个过程中从“平均分成16份、32份、64份”到“这样一直分下去”，学生经历了从16份、32份、64份到极限的过程，体验了极限思想。以上计算公式的推导过程，采用了“变曲为直”、“化圆为方”极限分割思路。在通过有限想象无限，根据图形分割拼合的变化趋势，想象它们的最终结果。既使学生掌握了计算公式，又萌发了无限逼近的极限思想。】
3、借助模型教具，探寻圆柱体积计算公式。
（1）学生动手操作，组内讨论
通过电脑演示，同学们观察了圆柱转化成长方体的过程，现在同学们的课桌上有圆柱体模型（学生学具），请大家把它展开，拼成一个长方体，同时思考下列问题：
（2）全班汇报，得出结论
a.第一小组的同学先汇报。（学生边说边用实物演示）
先沿着圆柱底面直径分开，再把它拼成一个长方体，长方体的体积=圆柱的体积，长方体的底面积=圆柱的底面积，长方体的高=圆柱的高。因为长方体的体积=底面积×高，所以圆柱的体积= 底面积×高。
学生说完后，电脑边演示，教师边板书。
板书：长方体的体积 = 底面积 × 高
圆柱的体积 = 底面积 × 高
V = Sh
如果已知圆的半径和高，又该怎样求圆柱的体积呢？
V=∏r2h
师：在刚才的转化过程中，你还有什么发现？
b.第二小组的同学汇报。（学生边说边用实物演示）
生1：侧面积变大了。
生2：如果把长方体倒过来，长方体的底面积不等于圆柱的底面积，长方体的高不等于圆柱的高，长方体的体积还等于圆柱的体积吗？
师：现在长方体的底面积相当于圆柱的什么？（侧面积的一半）
长方体的高相当于圆柱的什么？ （半径）
长方体的体积该怎样计算？
引导学生进行下列推理
师：从数的角度，我们再次推导出长方体的体积=圆柱的体积= 2 ，从形的角度，我们观察发现转化过程中，它们的体积不变。同时可以得出圆柱体积的另一个公式，圆柱的体积=侧面积的一半×半径，为了研究方便，通常情况下我们用底面积×高。学了这么好的知识，我们要把它应用到生活中去。
4、借助圆柱体积计算公式，解决生活中的实际问题。
例1.一根圆柱体木头底面积是2平方米，高6米，求木头的体积？
学生独立完成： V＝ Sh
＝ 2 ×6
＝ 12(立方米)
答：木头的体积是12立方米。
师：谁来评价一下他的做法。
生：计算结果用上了立方米这个体积单位，
师：体积单位还有哪些？
例2：下图中的杯子能不能装下这袋牛奶 （数据是从杯子里面测量得到的）
师:从图中，你可以得到哪些信息？
学生独立完成
3.14×（）2×10 =50.24(cm2 )= 50.24(ml)
答：因为502.4 ml大于498 ml，所以杯子能装下这袋牛奶.
小结：数据是从杯子里面测量的，计算出的结果是杯子的容积；从杯子外面测量，计算出的结果是杯子的体积，当然杯子要盖上盖。因为容器有一定的厚度，所以通常情况下，容器的体积大于容积。
三、再度迁移，知识延伸
1.直柱体的体积公式。
课件出示：你能找出这几个立体图形的相同点吗？
生1：它们上下一样粗。
生2：上下面平行且相等。
生3：体积都是底面积×高
师：像长方体、正方体、圆柱这样，都有两个形状相同、面积相等且相互平行的底面，我们给它一个共同的名称——直柱体。
师：所有直柱体的体积都可以用 V=Sh吗？生活中，你还见过哪些直柱体？
课件出示这两个立体图形，并将它们的底面上下移动。
生：左图体积：16×4＝ 64(立方米)
右图体积：15×10＝ 150(立方米)
【思考：数学知识的教学，要注重知识的“生长点”与“延伸点”，把每堂课教学的知识置于整体知识的体系中。此处，圆柱的体积就是“生长点”，直柱体的体积则是“延伸点”，以点带面，将学生的数学思维带到一个更广阔的天地。】
2.如何旋转长方形，得到的圆柱体积最大。
小明以长方形的长为轴旋转，小红以长方形的宽为轴旋转，他们得到的圆柱的侧面积相等吗？体积相等吗？（圆周率用π表示）
侧面积：S1=2π×4×10 =80π 相等
S2=2π×10×4=80π
体积： V1=π×42×10= π×4×10 ×4 =160π 不相等
V2=π×102×4= π×10×4 ×10 =400π
你发现了什么？
生1：我发现了侧面积相同的圆柱，底面半径越大，体积越大。
生2：以长方形短边为轴旋转比以长边为轴旋转得到的圆柱体积更大。
生3：又细长的圆柱体积是160π，而又粗又胖的圆柱体积是400π，两个圆柱看起来差不多，可后者比前者体积的两倍还要多。
师：商家早就发现了这一数学秘密，所以很多物品的包装都采用这种又细又长的圆柱体包装盒。生活中，你还见到了哪些类似的包装？
生:薯片盒、易拉罐、啤酒瓶、化妆品瓶…
四、知识积淀、启迪思考
1．学了这节课你有什么收获？
生1:知道了圆柱体积的计算公式；
生2:知道了直柱体体积的计算公式；
生3：我还发现了以长方形短边为轴旋转得到的圆柱体积更大。
师：转化是一种重要的数学思想，今天我们再次将圆柱转化成长方体，从而推导出圆柱的体积计算公式。我们还经历了猜测——验证——得出结论——运用的研究过程。
2.动画展示，启迪思考
圆柱在生活中有广泛的应用!为了谋取更多的利润，商家特别喜欢用这种又细又长的圆柱体包装。
一名高中生向某品牌牙膏建议，将出口处直径为5mm的牙膏改为6mm，获得商家十万元的奖金。你知道这是为什么？能用数学知识解释吗？
【思考：有一个学生说：“我觉得这节数学课很好玩。”我立刻想到陈省身先生说的“数学好玩”这四个字。对学生而言，一节课上得“有意思”可能比一节课上得“有意义”更重要。如果我们能在数学课上让学生“玩数学”，那么学生一定会觉得“数学确实真的好玩，有意思”。人们常说，教师要激发和呵护孩子的数学学习兴趣，这正是未来一流人才成长所需要的土壤。】
侧面积的一半
×半径
×半径
侧面积的一半