第四章 指数函数与对数函数 测试题（含答案）

第四章 指数函数与对数函数测试题
一、单选题
1．若，则(　　)
A． B．1 C． D．
2．利用二分法求方程的近似解，可以取的一个区间是（ ）
A． B． C． D．
3．函数的单调递减区间为（ ）
A． B． C． D．
4．函数的图像大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．设，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
6．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．
7．已知函数．若g（x）存在2个零点，则a的取值范围是
A．[–1，0） B．[0，+∞） C．[–1，+∞） D．[1，+∞）
8．设函数，则f(x)（ ）
A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减
C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减
二、多选题
9．已知，下列结论正确的是（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数图像经过点(4,2)，则下列命题正确的有（ ）
A．函数为增函数
B．函数为偶函数
C．若，则
D．若，则.
11．定义在上的奇函数和偶函数满足：，下列结论正确的有（ ）
A．，且
B．，总有
C．，总有
D．，使得
12．已知函数，则方程的根的个数可能为（ ）
A．2 B．6 C．5 D．4
三、填空题
13．函数的图像恒过一定点______．
14．_____________.
15．若函数在区间上是增函数，则实数的取值范围是______．
16．已知函数若，是互不相同的正数，且，则的取值范围是_____．
四、解答题
17．已知，求函数的最大值．
18．已知函数.
（1）判断并证明函数的奇偶性；
（2）判断并证明在其定义域上的单调性.
19．已知函数，
(1)当时，求函数在的值域
(2)若关于x的方程有解，求a的取值范围．
20．有一种候鸟每年都按一定的路线迁陟，飞往繁殖地产卵．科学家经过测量发现候鸟的飞行速度可以表示为函数，单位是，其中表示候鸟每分钟耗氧量的单位数，表示测量过程中候鸟每分钟的耗氧偏差．（参考数据：，，）
（1）若，候鸟每分钟的耗氧量为个单位时，它的飞行速度是多少？
（2）若，候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为多少个单位？
（3）若雄鸟的飞行速度为，雌鸟的飞行速度为，那么此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的多少倍？
21．设，且.
(1)求的值；
(2)求在区间上的最大值.
22．已知函数是偶函数，函数是奇函数．
（1）求的值；
（2）设，若对任意恒成立，求实数的取值范围．
参考答案：
1．C 2．C 3．A 4．B 5．D 6．A 7．C 8．D
9．ABD 10．ACD 11．ABC
12．ACD
详解：画出的图象如图所示：
令，则，则，
当，即时，，此时，由图与的图象有两个交点，
即方程的根的个数为2个，A正确；
当时，即时，，则
故，，
当时，即，则有2解，
当时，若，则有3解；若，则有2解，
故方程的根的个数为5个或4个，CD正确；
故选：ACD
13． 14． 15．
16．
详解：先画出函数的图象，如图所示：
因为互不相同，不妨设，且，
而，即有，可得，则，
由，且，可得，
且，
当时，，此时，但此时b，c相等，
故的范围为．
故答案为．
17．2
解：因为，
令，则，
因为，所以，即，
又因为对称轴，
所以当，即时，．
18．解：（1）的定义域为实数集，
，
所以是奇函数；
（2），设，
，
，
所以在实数集上增函数.
19．(1) (2)
解：∵，，
令，∵，∴，
∴，，而对称轴，开口向上，∴当时，当时，
∴的值域是.
（2）
解：方程有解，
即有解，
即有解，
∴有解，
令，则，
∴.
20．（1）；（2）466；（3）9
解：（1）将，代入函数式可得：
故此时候鸟飞行速度为．
（2）将，代入函数式可得：
即
于是．
故候鸟停下休息时，它每分钟的耗氧量为466个单位．
（3）设雄鸟每分钟的耗氧量为，雌鸟每分钟的耗氧量为，依题意可得：
两式相减可得：，于是．
故此时雄鸟每分钟的耗氧量是雌鸟每分钟的耗氧量的9倍．
21．（1）；（2）2
解：(1)∵，
∴，
∴；
(2)由得，
∴函数的定义域为，
，
∴当时，是增函数；当时，是减函数，
∴函数在上的最大值是．
22．（1）；（2）.
解：（1）由是偶函数，得
即
化简得：，故
由为奇函数，且定义域为，所以，
即，经检验，符合题意；
综上，可得
（2）∵，∴
又对恒成立，
即对恒成立，下面求，
又，在区间上是增函数
又在区间上是增函数，
由题意，得
所以实数的取值范围是：．