江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(四)
数 学 试 题
注意事项：
1．本试卷包括选择题(第1题～第28题,共28题84分)、非选择题(第29题～第30题，共2题16分)共两部分。满分100分,考试时间为75分钟。
2．答题前,考生务必将信息填写清楚。
一、选择题：本大题共28小题，每小题3分，共计84分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．若，则z的虚部为 （ ）
A． B． C． D．
1．A解析：，的虚部为．故选A．
2．已知集合，，若，则实数的范围是 （ ）
A．m1 B．1≤m<3 C．12．B解析：解不等式可得，所以，因为，，所以．故选B．
3． 已知向量，若，则 （ ）
A． B． C． D．或
3．D 解析：，又，，解得或．故选D．
4．若a＞b＞0，c＜d＜0，则下列结论正确的是 ( )
A．＞ B．＜ C．＞ D．＜
4．D 解析：由c＜d＜0 －＞－＞0，又a＞b＞0，故由不等式性质，得－＞－＞0，所以＜．故选D．
5．在三角形ABC中，“”是“”的 （ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
5．A 解析：当，可得，而在三角形中，当时，或，所以“”是“”的充分不必要条件．故选A．
6．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为( )
A．(1，) B．(，1) C．(，) D．(1，1)
6．D 解析：设P(x，y)，由任意角的三角函数的定义得：sinα＝sin＝＝，则y＝1；
cosα＝cos＝＝，则x＝1．∴点P的坐标为(1，1)．故选D．
7．若sinx＜0，且sin(cosx)＞0，则角x是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
7．D 解析：∵﹣1≤cosx≤1，且sin(cosx)＞0，∴0＜cosx≤1，
又sinx＜0，∴角x为第四象限角．故选D．
8．一只不透明的盒子中装有形状、大小相同的4只球，其中有2只白球，2只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是 （ ）
A． B． C． D．
8．B解析：设从中随机摸出两只球，它们颜色不同为事件A，∵基本事件总数为＝6，
事件A中包含的基本事件数为 ＝4，∴P（A）＝＝．故选B．
9．已知正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于 （ ）
A． B． C．4 D．4
9．A解析：连接AC、BD，设AC与BD相交于O，连接SO，则SO为正四棱锥的高，由正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，得OA＝AC＝，又侧棱长SA＝，∴高SO＝，∴该正四棱锥的体积等于．故选A．
10．已知直线l过点(，2)且与x轴垂直，则以直线l为准线、顶点在原点的抛物线的方程是 ( )
A．y2＝6x B．y2＝－6x C．x2＝6y D．x2＝－6y
10．B解析：设抛物线的方程为y2＝－2px(p＞0)，因为准线方程为x＝，所以＝，p＝3，
抛物线的方程是y2＝－6x．故选B．
11．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9＝ ( )
A．9 B．17 C．72 D．81
11．D解析：由等差数列的性质得：a1＋a9＝a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9＝＝9×＝81．故选D．
12．函数y＝2sin(x∈[0，π])的单调递增区间是 ( )
A． B． C． D．
12．C解析：y＝2sin＝－2sin，当2x－∈，k∈Z，即x∈，k∈Z时，函数单调递增．因为x∈，所以x∈．故选C．
13．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则 ( )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
13．A解析：设公差为d，则解得故an＝2n－5，Sn＝＝n2－4n．
故选A．
14．已知，则（ ）
A． B． C． D．
14．A解析：
．
故选A．
15． 已知不重合的两条直线m，n和两个不重合的平面，，则下列选项正确的是（ ）
A． 若，且，则 B 若，且，则
C． 若，且，则 D． 若，且，则
15．B解析：对于A，当，且，则n可能在 内，A错误．对于B，因为，故在m上可取 作为 的法向量，同理在n上可取 作为 的法向量，因为，故，即得，B正确．对于C，当，且时，可能相交，也可能平行，C错误．对于D，当，且时，可能平行或异面或相交，D错误．故选B．
16．若，，则= （ ）
A． B． C． D．
16．C解析：根据对数的换底公式得，．故选C．
17．在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断形状
17．A解析：由题意，，则均为锐角，∴，
故为锐角，综上，是锐角三角形．故选A．
18．在锐角中，角A、B所对的边长分别为，若，则角A= （ ）
A．45° B．60° C．45°或135° D．60°或120°
18．B解析：由正弦定理及已知得，因为B为的内角，所以，所以．因为A为三角形的内角，所以A=．在锐角三角形为，,所以A=．故选B．
19．已知直线若，则实数= （ ）
A．-1 B．3 C．-1或3 D．1或-3
19．A解析：由得，且,得，解得．故选A．
20．在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，，则该三棱锥外接球的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
20．A解析：如图，在等边三角形中，取中点，设其中心为，由，得．
设的外心为，在中，由，，得，则．
设的外接圆半径为，则，即．设三棱锥的外接球球心为，则外接球半径．该三棱锥外接球的表面积为．故选．
21．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( )
A． B． C． D．
21．B解析：记两个零件中恰好有一个一等品的事件为A，即仅第一个实习生加工一等品(A1)与仅第二个实习生加工一等品(A2)两种情况，则P(A)=P(A1)+P(A2)=×+×=．故选B．
22．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为 ( )
A．16 B．8 C．4 D．2
22．C解析：当n=1时，a1a2=16①；当n=2时，a2a3=256②，②÷①得=16，q2=16，解得q=4或q=﹣4，当q=﹣4时，由①得：a12×（﹣4）=16，即a12=﹣4，无解，所以q=﹣4舍去，则公比q=4．故选C．
23．函数的定义域是 ( )
A． B． C． D．
23．B解析：由题意得，．定义域为．故选B．
24．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 则不等式的解集为 ( )
A． B． C． D．
24．A解析：是定义在上的偶函数，且在上是减函数，，
，等价于，即，即不等式的解集为．故选A．
25．已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则 ( )
A． B． C． D．
25．D解析：∵∴切线的斜率，，
将代入，得．．故选D．
26．当取得最小值时， ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
26．D解析：，当且仅当，即时，等号成立．故选D．
27．设，，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
27．D解析：当，满足条件．但不成立，故A错误．当时，，故B错误．，，则，故错误．，，故D正确．故选D．
28．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
28．A解析：由关于x的不等式的解集是，得且，则关于x的不等式可化为，即，解得：或，
所求不等式的解集为：．故选A．
二、解答题：本大题共2小题,共计16分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
29．（本小题满分8分）
已知函数f(x)＝loga(3﹣ax)．
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
29．解析：(1)由题设，3﹣ax＞0对一切x∈[0，2]恒成立，a＞0且a≠1，
∵a＞0，∴g(x)＝3﹣ax在[0，2]上为减函数，
从而g(2)＝3﹣2a＞0，∴，∴a的取值范围为．
(2)假设存在这样的实数a，由题设知f(1)＝1，
即loga(3﹣a)＝1，∴，此时，
当x＝2时，f(x)没有意义，故这样的实数不存在．
30．（本小题满分8分）
如图在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，BC∥AD，AB⊥AD，E为侧棱PA上一点，且AE＝2PE，AP＝3，AB＝BC＝2，AD＝4．
（1）证明：PC∥平面BDE；
（2）求平面PCD与平面BDE所成锐二面角的余弦值．
30．解析：（1）证明：如图所示，连接交于点F，连接．
∵四边形为梯形，且，
∴，即．…………………………………2分
在中，∵，，∴．
又平面，平面，
∴平面．…………………………………4分
（2）如图所示，以点A为坐标原点，以分别以、、为x轴、y轴和z轴建立空间直角坐标系，则，，，，．
所以，，，，，
设和分别是平面和平面的法向量，
则，得，令得，，即，
，得，令得，，即，…………6分
所以，．
故平面和平面所成角锐二面角的余弦值为．…………………………………8分江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(四)
数 学 试 题
注意事项：
1．本试卷包括选择题(第1题～第28题,共28题84分)、非选择题(第29题～第30题，共2题16分)共两部分。满分100分,考试时间为75分钟。
2．答题前,考生务必将信息填写清楚。
一、选择题：本大题共28小题，每小题3分，共计84分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．
1．若，则z的虚部为 （ ）
A． B． C． D．
2．已知集合，，若，则实数的范围是 （ ）
A．m1 B．1≤m<3 C．13． 已知向量，若，则 （ ）
A． B． C． D．或
4．若a＞b＞0，c＜d＜0，则下列结论正确的是 ( )
A．＞ B．＜ C．＞ D．＜
5．在三角形ABC中，“”是“”的 （ ）
A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件 C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件
6．已知角α的始边与x轴的正半轴重合，顶点在坐标原点，角α终边上的一点P到原点的距离为，若α＝，则点P的坐标为( )
A．(1，) B．(，1) C．(，) D．(1，1)
7．若sinx＜0，且sin(cosx)＞0，则角x是( )
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
8．一只不透明的盒子中装有形状、大小相同的4只球，其中有2只白球，2只黑球，若从中随机摸出两只球，则它们颜色不同的概率是 （ ）
A． B． C． D．
9．已知正四棱锥S﹣ABCD的底面边长为2，侧棱长为，则该正四棱锥的体积等于 （ ）
A． B． C．4 D．4
10．已知直线l过点(，2)且与x轴垂直，则以直线l为准线、顶点在原点的抛物线的方程是 ( )
A．y2＝6x B．y2＝－6x C．x2＝6y D．x2＝－6y
11．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9＝ ( )
A．9 B．17 C．72 D．81
12．函数y＝2sin(x∈[0，π])的单调递增区间是 ( )
A． B． C． D．
13．记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则 ( )
A．an＝2n－5 B．an＝3n－10 C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n
14．已知，则（ ）
A． B． C． D．
15． 已知不重合的两条直线m，n和两个不重合的平面，，则下列选项正确的是（ ）
A． 若，且，则 B 若，且，则
C． 若，且，则 D． 若，且，则
16．若，，则= （ ）
A． B． C． D．
17．在中，若，则是（ ）
A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．无法判断形状
18．在锐角中，角A、B所对的边长分别为，若，则角A= （ ）
A．45° B．60° C．45°或135° D．60°或120°
19．已知直线若，则实数= （ ）
A．-1 B．3 C．-1或3 D．1或-3
20．在三棱锥中，平面平面，是边长为的等边三角形，，则该三棱锥外接球的表面积为 （ ）
A． B． C． D．
21．两个实习生每人加工一个零件．加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为 ( )
A． B． C． D．
22．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为 ( )
A．16 B．8 C．4 D．2
23．函数的定义域是 ( )
A． B． C． D．
24．已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 则不等式的解集为 ( )
A． B． C． D．
25．已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为y=2x+b，则 ( )
A． B． C． D．
26．当取得最小值时， ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
27．设，，则下列不等式中恒成立的是（ ）
A． B． C． D．
28．已知关于x的不等式的解集是，则关于x的不等式的解集是（ ）
A． B． C． D．
二、解答题：本大题共2小题,共计16分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
29．（本小题满分8分）
已知函数f(x)＝loga(3﹣ax)．
(1)当x∈[0，2]时，函数f(x)恒有意义，求实数a的取值范围；
(2)是否存在这样的实数a，使得函数f(x)在区间[1，2]上为减函数，并且最大值为1？如果存在，试求出a的值；如果不存在，请说明理由．
30．（本小题满分8分）
如图在四棱锥P—ABCD中，PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为梯形，BC∥AD，AB⊥AD，E为侧棱PA上一点，且AE＝2PE，AP＝3，AB＝BC＝2，AD＝4．
（1）证明：PC∥平面BDE；
（2）求平面PCD与平面BDE所成锐二面角的余弦值．
