江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(七)
数 学 试 题
注意事项：
1．本试卷包括选择题(第1题～第28题,共28题84分)、非选择题(第29题～第30题，共2题16分)共两部分。满分100分,考试时间为75分钟。
2．答题前,考生务必将信息填写清楚。
一、选择题：本大题共28小题,每小题3分,共计84分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．
1．设集合A＝{x|x≥3}，B＝{y|0
A．[0，3） B．[0,3] C．（0，3） D．（0，3]
1．C解析：因为 RA＝{x|x<3}，所以( RA)∩B＝{x|02．在复平面内，复数 对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．C解析： ，其对应的点位于第三象限．故选C．
3．函数f(x)＝的定义域是 ( )
A．(－3，0) B．(－3，0] C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3，0)
3．A解析：由解得－34．已知向量，，则与的夹角为 （ ）
A． B． C． D．
4．D解析：，，所以，又，所以与的夹角为．故选D．
5．从装有2个红球，3个白球的不透明袋子中任取3个球，若事件 “所取的3个球中至少有1个红球”，则事件 的对立事件是 （ ）
A．1个白球2个红球 B．3个都是白球 C．2个白球1个红球 D．至少有一个红球
5．B解析：3个球中至少有1个红球的对立事件是3个球中至多有0个红球，即没有红球或全是白球．故选B．
6．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则 （ ）
A． B． 或 C． D． 或
6．D解析：因为，所以或，或都满足题意．故选D．
7．一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形 ，其中，则该直棱柱的体积为 （ ）
A． B． C． D．
7．C解析：根据题意，四边形为矩形，，所以矩形的面积为，所以直棱柱的体积为．故选C．
8．过球表面上一点引三条长度相等的弦，且两两夹角都为60°，若，则该球的体积为 （ ）
A． B． C． D．
8．A解析：依题意，将几何体补形成正方体，如图，由于，所以正方体的边长为，其体对角线长为，也即球的直径为，半径为，所以球的体积为．故选A．
9．渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是 ( )
A． B．1 C． D．2
9．C解析：由题意知a＝b，则e＝＝＝．故选C．
10．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝ ( )
A．4 B． C．2 D．
10．C解析：（方法1）a1a5＝16＝a，又a3＞0，故a3＝4，q＝＝2．
（方法2）由题意，得解得或(舍去)．故选C．
11．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
11．D解析：在中，，设，则，又由椭圆定义可知．则离心率．故选D．
A． B． C． D．
12．如图，某书中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），现被风折断尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的高为多少尺？现假设折断的竹子与地面的夹角（锐角）为，则（ ）
A． B． C． D．
12．A解析：由题意，设折断处离地面的高为尺，则由勾股定理得，化简得，解得．∴，∴．故选A．
13．已知a＝log52，b＝log0．50.2，c＝0.50．2，则a，b，c的大小关系为 ( )
A．a13．A 解析：因为a＝log52log0．50.25＝2，0.5114．函数f(x)＝ln(2x)－1的零点位于区间 ( )
A．(2，3) B．(3，4) C．(0，1) D．(1，2)
14．D解析：因为f(x)＝ln(2x)－1是增函数，在(0，＋∞)上图象连续不断，f(1)＝ln2－1＜0，f(2)＝ln4－1＞0，根据函数零点的存在性定理可得，函数f(x)的零点位于(1，2)内．或令f(x)＝0得x＝∈(1，2)．故选D．
15．在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－．则A= ( )
A． B． C． D．
15．B解析：在△ABC中，因为cosB＝－，所以B∈，所以sinB＝＝．由正弦定理＝得，＝，所以sinA＝．因为B∈，所以A∈，所以A＝．故选B．
16．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9＝ ( )
A．9 B．17 C．72 D．81
16．D解析：由等差数列的性质得：a1＋a9＝a2＋a8＝18，{an}的前9项和S9＝＝9×＝81．故选D．
17．若空间中四条两两不同的直线满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定
17．D解析：本题中，在平面几何中可得出，但在空间几何中，可以平行，也可以相交，也可以异面，又，故本题中的位置关系不确定．故选D．
18．已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
18．D解析：因为是偶函数，所以关于直线对称；因此，由得；
又在上单调递减，则在上单调递增；所以，当即时，由得，所以，解得；当即时，由得，所以，解得；则 的解集是．故选D．
19．曲线在点处的切线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
19．A解析：．故选A．
20． 已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
20．D解析：，由于函数在上有极值点，所以在上有零点．所以，解得．故选D．
21．已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为 （ ）
A．10 B．12 C．16 D．9
21．D解析：若不等式恒成立，则恒成立，即求的最小值，，所以．故选D．
22．设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．是的一个周期 B．的图像可由的图像向右平移得到
C．的一个零点为 D．的图像关于直线对称
22．B解析：的最小正周期为，故也是其周期．A正确．的图像可由的图像向右平移得到．B错误．．C正确．．D正确．故选B．
23．（ ）
A． B． C． D．
23．D解析：．故选D．
24．已知函数f (x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是 ( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3] C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
24．D解析：函数f (x)＝x2＋4ax的对称轴是x＝－2a，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，∴－2a≥6，解得a≤－3．故选D．
25．已知向量，，，且，，则( )
A．3 B． C． D．
25．B解析：因为向量，，，且，，所以，解得：，即，，则，．故选B．
26．已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（ ）
A．2 B． C．3 D．4
26．C解析：∵a1=12，S5=90，∴5×12+ d=90，解得d=3．故选C．
27．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( )
A．12π B．π C．8π D．4π
27．A解析：正方体的棱长为2，其体对角线为2为球的直径，球的表面积为4πR2＝(2R)2π＝12π．故选A．
28．在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（ ）
28．B解析：由余弦定理得，又
，因为成等差数列，所以，代入上式得，整理得，解得．故选B．
A． B． C． D．
二、解答题：本大题共2小题,共计16分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
29．（本小题满分8分）
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA+cosA＝2，a＝2．
（1）求A；
（2）在①acosB＝bsinA，②b2+这两个条件中任选一个作为条件，然后求△ABC的面积．
29．解析：（1）∵sinA+cosA＝2，∴，∴，…………………2分
∵A∈（0，π），∴，∴，∴A＝．………………………4分
（2）选①acosB＝bsinA，∵acosB＝bsinA，∴由正弦定理，可得sinAcosB＝sinBsinA，
∵sinA≠0，∴sinB＝cosB，即tanB＝1，又∵B∈（0，π），∴B＝，
∵A＝，B＝，a＝2，∴由正弦定理，∴，
∴．…………………………6分
∵sinC＝＝，
∴＝．…………………………8分
选②b2+，∵b2+，
∴由余弦定理可得，，
∵B∈（0，π），∴，∵A＝，B＝，a＝2，∴由正弦定理，
∴，∴．…………………………6分
∵sinC＝＝，
∴＝．…………………………8分
30．（本小题满分8分）
正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1中点．
（1）求证：BD1∥平面AEC；
（2）求证：平面B1AC⊥平面B1BDD1．
30．解析：（1）证明：设AC与BD相交于点O，连接OE，则O为BD的中点，
∵E为DD1的中点，∴OE∥BD1．…………………………2分
又OE 平面AEC，BD1 平面AEC，
∴BD1∥平面AEC．…………………………4分
（2）证明：∵正方形ABCD，∴AC⊥BD，由正方体的性质知，DD1⊥平面ABCD，
∴DD1⊥AC．…………………………6分
又BD∩DD1＝D，BD、DD1 平面B1BDD1，
∴AC⊥平面B1BDD1．
∵AC 平面B1AC，∴平面B1AC⊥平面B1BDD1．…………………………8分江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(七)
数 学 试 题
注意事项：
1．本试卷包括选择题(第1题～第28题,共28题84分)、非选择题(第29题～第30题，共2题16分)共两部分。满分100分,考试时间为75分钟。
2．答题前,考生务必将信息填写清楚。
一、选择题：本大题共28小题,每小题3分,共计84分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．
1．设集合A＝{x|x≥3}，B＝{y|0A．[0，3） B．[0,3] C．（0，3） D．（0，3]
2．在复平面内，复数 对应的点位于 （ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．函数f(x)＝的定义域是 ( )
A．(－3，0) B．(－3，0] C．(－∞，－3)∪(0，＋∞) D．(－∞，－3)∪(－3，0)
4．已知向量，，则与的夹角为 （ ）
A． B． C． D．
5．从装有2个红球，3个白球的不透明袋子中任取3个球，若事件 “所取的3个球中至少有1个红球”，则事件 的对立事件是 （ ）
A．1个白球2个红球 B．3个都是白球 C．2个白球1个红球 D．至少有一个红球
6．在中，内角，，所对的边分别为，，，若，则 （ ）
A． B． 或 C． D． 或
7．一个侧棱长为的直棱柱的底面用斜二测画法所画出的水平放置的直观图为如图所示的菱形 ，其中，则该直棱柱的体积为 （ ）
A． B． C． D．
8．过球表面上一点引三条长度相等的弦，且两两夹角都为60°，若，则该球的体积为 （ ）
A． B． C． D．
9．渐近线方程为x±y＝0的双曲线的离心率是 ( )
A． B．1 C． D．2
10．已知各项均为正数的等比数列{an}满足a1a5＝16，a2＝2，则公比q＝ ( )
A．4 B． C．2 D．
11．已知，是椭圆的两个焦点，是上的一点，若，且，则的离心率为（ ）
A． B． C． D．
12．如图，某书中记载了一个“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？意思是：有一根竹子，原高一丈（1丈=10尺），现被风折断尖端落在地上，竹尖与竹根的距离为三尺，问折断处离地面的高为多少尺？现假设折断的竹子与地面的夹角（锐角）为，则（ ）
A． B． C． D．
13．已知a＝log52，b＝log0．50.2，c＝0.50．2，则a，b，c的大小关系为 ( )
A．a14．函数f(x)＝ln(2x)－1的零点位于区间 ( )
A．(2，3) B．(3，4) C．(0，1) D．(1，2)
15．在△ABC中，a＝7，b＝8，cosB＝－．则A= ( )
A． B． C． D．
16．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝18，则{an}的前9项和S9＝ ( )
A．9 B．17 C．72 D．81
17．若空间中四条两两不同的直线满足，则下列结论一定正确的是（ ）
A． B． C．既不垂直也不平行 D．的位置关系不确定
18．已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是（ ）
A． B． C． D．
19．曲线在点处的切线的方程为 （ ）
A． B． C． D．
20． 已知在区间上有极值点，实数a的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
21．已知，，若不等式恒成立，则m的最大值为 （ ）
A．10 B．12 C．16 D．9
22．设函数，则下列结论错误的是（ ）
A．是的一个周期 B．的图像可由的图像向右平移得到
C．的一个零点为 D．的图像关于直线对称
23．（ ）
A． B． C． D．
24．已知函数f (x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是 ( )
A．[3，＋∞) B．(－∞，3] C．(－∞，－3) D．(－∞，－3]
25．已知向量，，，且，，则( )
A．3 B． C． D．
26．已知等差数列的前项和为，若，则等差数列公差（ ）
A．2 B． C．3 D．4
27．体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ( )
A．12π B．π C．8π D．4π
28．在中，分别为的对边，如果成等差数列，，的面积为，那么（ ）
A． B． C． D．
二、解答题：本大题共2小题,共计16分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
29．（本小题满分8分）
已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sinA+cosA＝2，a＝2．
（1）求A；
（2）在①acosB＝bsinA，②b2+这两个条件中任选一个作为条件，然后求△ABC的面积．
30．（本小题满分8分）
正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E为棱DD1中点．
（1）求证：BD1∥平面AEC；
（2）求证：平面B1AC⊥平面B1BDD1．