江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(八)
数 学 试 题
注意事项：
1．本试卷包括选择题(第1题～第28题,共28题84分)、非选择题(第29题～第30题，共2题16分)共两部分。满分100分,考试时间为75分钟。
2．答题前,考生务必将信息填写清楚。
一、选择题：本大题共28小题,每小题3分,共计84分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．
1．设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－2<0}，则A∩B＝ ( )
A．(－∞，2) B．(－2，2) C．(2，3) D．(3，＋∞)
1．A解：由题意得，A＝{x|x<2或x>3}，B＝{x|x<2}，则A∩B＝{x|x<2}＝(－∞，2)．故选A．
2．设函数f(x)＝log2(x－1)＋，则函数f(x)的定义域为 ( )
A．（1，2] B．(2，4] C．[1，2) D．[2，4)
2．A解：由解得1
3．若，则使“”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
3．D 解析：由得，由得，，即或，由可得，所以使“”成立的一个必要不充分条件为．故选D．
4．设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝ ( )
A． B． C．2 D．
4．A解析：由题意得a·b＝0，解得x＝2，所以|a＋b|＝|(3，－1)|＝．故选A．
5．设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是 ( )
A．(－∞，－]∪ B．(－，) C． D．(－∞，－]∪
5．B解析：直线ax＋y＋2＝0恒过点M(0，－2)，且斜率为－a，因为kMA＝＝－，kMB＝＝，由题意得－a>－且－a<，即a∈(－，)．故选B．
6．函数y＝3cos(4x＋)的最小正周期是 ( )
A．2π B． C． D．π
6．B解析：因为ω＝4，所以T＝＝＝．故选B．
7．若各项为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝ ( )
A．16 B．8 C．4 D．2
7．C解析：设数列{an}的公比为q(q＞0)，则解得则a3＝a1q2＝4．故选C．
8．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则 ( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a＝2b D．3a＝4b
8．B解析：椭圆的离心率e＝＝，c2＝a2－b2，化简得3a2＝4b2．故选B．
9．若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
9．A 解析：设向量与的夹角为，∵，设，则，
∵，∴，∴，
，，，∴．故选A．
10．7世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得（ ）
A． B． C． D．
10．C解析：由题意可得：，且，
所以，
所以．故选C．
11．已知复数的实部为，则下列说法错误的是（ ）
A． 复数的虚部为 B． 复数的共轭复数
C． D． 在复平面内对应的点位于第三象限
11．B解析：，
因为复数的实部是-1，所以，解得：，所以，
对于A,复数 的虚部是-5，A正确．对于B,复数的共轭复数，B错误．对于C,，C正确．对于D,在复平面内对应的点是，位于第三象限，D正确．故选B．
12．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝ ( )
A． B．10 C．20 D．100
12．A解析：由已知，得a＝log2m，b＝log5m，则＋＝＋＝logm2＋logm5＝logm10＝2，解得m＝．故选A．
13．已知是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若垂直于同一平面，则与平行
B．若平行于同一平面，则平行
C．若不平行，则在内不存在与平行的直线
D．若不平行，则不可能垂直于同一平面
13．D解析：选项A，若垂直于同一平面，则可以相交、平行，A错误．选项B，若平行于同一平面，则可以平行、相交、异面，B错误．选项C，若不平行，则平面内会存在平行于的直线，如平面中平行于交线的直线，C错误．故选D．
14．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则函数的周期为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
14．A解析：因为，所以，即．故选A．
15．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图像关于直线x＝对称，则f(0)的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．1
15．B解析：由题意，f＝2sin＝±2，即sin＝±1，又因为－＜φ＜， －<＋φ<，所以＋φ＝，即φ＝，所以f(x)＝2sin，f(0)＝1．故选B．
16．已知，且，则的值为（ ）
A．7 B．-7 C．-1 D．1
16．A解析：化简得，即，又 ，则，解得= 7．故选A．
17．在中，，，，则的面积为 （ ）
A． B．4 C． D．
17．C解析：由余弦定理得：，即，解得，∴的面积．故选C．
18．已知数列满足且，则（ ）
A．-3 B．3 C． D．
18．B解析：,∴数列是以2为公差的等差数列，，
，，．故选B.
19．已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
19．D解析：由题意可知直线过圆心，即,,当且仅当时，又 即时等号成立，故的最小值为9．故选D．
20．若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是 ( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
20．D解析：设f (x)＝xα，则2α＝，α＝－2，即f (x)＝x－2，单调递增区间是(－∞，0)．故选D．
21．若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围是 ( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，2)
21．A解析：二次函数y＝kx2－4x＋2图象的对称轴为x＝，当k>0时，要使函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是增函数，只需≤1，解得k≥2，当k<0时，<0，此时抛物线的对称轴在区间[1,2]的左侧，则函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是减函数，不符题意．综上，实数k的取值范围是[2，＋∞)．故选A．
22．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为 ( )
A．32 B. C. D.
22．B解析：若8为底面周长，则圆柱的高为4，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为；若4为底面周长，则圆柱的高为8，此时圆柱的底面直径为，其轴截面的面积为．故选B．
23．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(－2,2) D．(－2,2]
23．D解析：当a－2＝0，即a＝2时，－4<0恒成立；当a－2≠0，即a≠2时，
则有解得－224．函数f(x)＝在( )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数
C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
24．C解析：f(x)的定义域为{x|x≠1}．f(x)＝＝－1，根据函数y＝－的单调性及有关性质，可知f(x)在(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数．故选C．
25．函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间上单调递增 ( )
A. B．(π，2π) C. D．(2π，3π)
25．B解析：y′＝－xsin x，经验证，4个选项中只有在(π，2π)内y′>0恒成立，∴y＝xcos x－sin x在(π，2π)上单调递增．故选B．
26．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2,0.3,0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为 ( )
A．0.9 B．0.3 C．0.6 D．0.4
26．D解析：设“该射手在一次射击中不够8环”为事件A，则事件A的对立事件是“该射手在一次射击中不小于8环”．∵事件包括射中10环，9环，8环，这三个事件是互斥的，
∴P()＝0.2＋0.3＋0.1＝0.6，∴P(A)＝1－P()＝1－0.6＝0.4，即该射手在一次射击中不够8环的概率为0.4．故选D．
27．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x，若有f(m)＝g(n)，则n的取值范围是 ( )
A．(0,1) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
27．C解析：由f(x)＝ex>0，f(m)＝g(n)，则g(n)＝ln n>0，∴n>1．故选C．
28．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是 ( )
A．60 B．80 C．84 D．120
28．D解析：(利用公式C＋C＝C)(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数为C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝C＝120．故选D．
二、解答题：本大题共2小题,共计16分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
29．（本小题满分8分）
已知z1＝1+i是关于x的实系数方程x2+mx+n＝0的一个复数根．
（1）求实数m，n的值；
（2）设方程的另一根为z2，复数z1，z2对应的向量分别是．若向量t与垂直，求实数t的值．
29．解析：（1）∵z1＝1+i是关于x的实系数方程x2+mx+n＝0的一个复数根，
∴z2＝1﹣i是关于x的实系数方程x2+mx+n＝0的另一个复数根，
由根与系数的关系可得﹣m＝1++1﹣，即m＝﹣2；……………………………2分
n＝（1+）（1﹣）＝1﹣＝1+2＝3．
∴m＝﹣2，n＝3．……………………………4分
（2）由（1）知，，，
则t＝（t﹣1，），＝（1+t，），……………………………6分
由t与垂直，可得t2﹣1+2﹣2t2＝0，解得t＝±1．……………………………8分
30．（本小题满分8分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+c＝mb（m∈R）．
（1）若m＝，求∠B的最大值；
（2）若∠B为钝角，求m的取值范围．
30．解析：（1）当m＝时，，
由余弦定理定理可得，＝，……………………………2分
∵B∈，∴∠B的最大值为．……………………………4分
（2）∵由三角形的性质，可得a+c＞b，又∵a+c＝mb（m∈R），∴m＞1．
∵∠B是钝角，∴存在a＞0，c＞0，使得a2+c2＜b2．
∵a+c＝mb，∴，＝1+成立，……………………………6分
∵，∴1＜m2＜2，∴．……………………………8分江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(八)
数 学 试 题
注意事项：
1．本试卷包括选择题(第1题～第28题,共28题84分)、非选择题(第29题～第30题，共2题16分)共两部分。满分100分,考试时间为75分钟。
2．答题前,考生务必将信息填写清楚。
一、选择题：本大题共28小题,每小题3分,共计84分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．
1．设集合A＝{x|x2－5x＋6>0}，B＝{x|x－2<0}，则A∩B＝ ( )
A．(－∞，2) B．(－2，2) C．(2，3) D．(3，＋∞)
2．设函数f(x)＝log2(x－1)＋，则函数f(x)的定义域为 ( )
A．（1，2] B．(2，4] C．[1，2) D．[2，4)
3．若，则使“”成立的一个必要不充分条件为（ ）
A． B． C． D．
4．设x∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，－2)，且a⊥b，则|a＋b|＝ ( )
A． B． C．2 D．
5．设点A(－2，3)，B(3，2)，若直线ax＋y＋2＝0与线段AB没有交点，则a的取值范围是 ( )
A．(－∞，－]∪ B．(－，) C． D．(－∞，－]∪
6．函数y＝3cos(4x＋)的最小正周期是 ( )
A．2π B． C． D．π
7．若各项为正数的等比数列{an}的前4项和为15，且a5＝3a3＋4a1，则a3＝ ( )
A．16 B．8 C．4 D．2
8．已知椭圆＋＝1(a＞b＞0)的离心率为，则 ( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2 C．a＝2b D．3a＝4b
9．若非零向量，满足，且，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．7世纪德国著名的天文学家开普勒曾经这样说过：“几何学里有两件宝，一个是勾股定理，另一个是黄金分割．如果把勾股定理比作黄金矿的话，那么可以把黄金分割比作钻石矿．”黄金三角形有两种，其中底与腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形，它是一个顶角为的等腰三角形(另一种是顶角为108°的等腰三角形)．例如，五角星由五个黄金三角形与一个正五边形组成，如图所示，在其中一个黄金中，．根据这些信息，可得（ ）
A． B． C． D．
11．已知复数的实部为，则下列说法错误的是（ ）
A． 复数的虚部为 B． 复数的共轭复数
C． D． 在复平面内对应的点位于第三象限
12．设2a＝5b＝m，且＋＝2，则m＝ ( )
A． B．10 C．20 D．100
13．已知是两条不同直线，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（ ）
A．若垂直于同一平面，则与平行
B．若平行于同一平面，则平行
C．若不平行，则在内不存在与平行的直线
D．若不平行，则不可能垂直于同一平面
14．已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则函数的周期为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
15．已知函数f(x)＝2sin(2x＋φ)的图像关于直线x＝对称，则f(0)的值为（ ）
A．-1 B．1 C．-2 D．1
16．已知，且，则的值为（ ）
A．7 B．-7 C．-1 D．1
17．在中，，，，则的面积为 （ ）
A． B．4 C． D．
18．已知数列满足且，则（ ）
A．-3 B．3 C． D．
19．已知圆关于直线对称，则的最小值为（ ）
A．2 B．3 C．6 D．9
20．若幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是 ( )
A．(0，＋∞) B．[0，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，0)
21．若二次函数y＝kx2－4x＋2在区间[1,2]上是单调递增函数，则实数k的取值范围是 ( )
A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(－∞，0) D．(－∞，2)
22．用长为8，宽为4的矩形做侧面围成一个圆柱，则圆柱的轴截面的面积为 ( )
A．32 B. C. D.
23．对于任意实数x，不等式(a－2)x2－2(a－2)x－4<0恒成立，则实数a的取值范围是 ( )
A．(－∞，2) B．(－∞，2] C．(－2,2) D．(－2,2]
24．函数f(x)＝在( )
A．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是增函数 B．(－∞，1)∪(1，＋∞)上是减函数
C．(－∞，1)和(1，＋∞)上是增函数 D．(－∞，1)和(1，＋∞)上是减函数
25．函数y＝xcos x－sin x在下面哪个区间上单调递增 ( )
A. B．(π，2π) C. D．(2π，3π)
26．某射手在一次射击中，射中10环，9环，8环的概率分别是0.2,0.3,0.1，则该射手在一次射击中不够8环的概率为 ( )
A．0.9 B．0.3 C．0.6 D．0.4
27．已知函数f(x)＝ex，g(x)＝ln x，若有f(m)＝g(n)，则n的取值范围是 ( )
A．(0,1) B．(0，＋∞) C．(1，＋∞) D．[1，＋∞)
28．(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9的展开式中x2的系数是 ( )
A．60 B．80 C．84 D．120
二、解答题：本大题共2小题,共计16分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
29．（本小题满分8分）
已知z1＝1+i是关于x的实系数方程x2+mx+n＝0的一个复数根．
（1）求实数m，n的值；
（2）设方程的另一根为z2，复数z1，z2对应的向量分别是．若向量t与垂直，求实数t的值．
30．（本小题满分8分）
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a+c＝mb（m∈R）．
（1）若m＝，求∠B的最大值；
（2）若∠B为钝角，求m的取值范围．