江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(九)
数 学 试 题
注意事项:
1．本试卷包括选择题(第1题～第28题,共28题84分)、非选择题(第29题～第30题，共2题16分)共两部分。满分100分,考试时间为75分钟。
2．答题前,考生务必将信息填写清楚。
一、选择题：本大题共28小题,每小题3分,共计84分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
1． B 解析：由题意得，，则．故选B．
2．若复数，则（ ）
A． B． C． D．
2．C 解析：，．
故选C．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
3．C 解析：，，．
，．故选C．
4．函数y＝的值域是 ( )
A．[0，＋∞) B．[0，4] C．[0，4) D．(0，4)
4．C 解析：由已知得0≤16－4x<16，则0≤<4，即函数y＝的值域是[0，4)．故选C．
5．已知某校有教职工560人，其中女职工240人，现按性别用分层抽样的方法从该校教职工中抽取28人，则抽取的男职工人数与抽取的女职工人数之差是（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
5．B解析：抽取的女职工人数为：人,抽取的男职工人数为：人．
则抽取的男职工人数与抽取的女职工人数之差为：人．故选B．
6．“”是“”的（ ）
A． 充要条件 B． 充分不必要条件 C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
6．B解析：由题，，则，
即，所以，解得或，所以“”是“”的充分不必要条件．故选B．
7． 若，则（ ）
A． B． C． D．
7．C解析：由，平方可得，
解得，即，又由．
故选C．
8．若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝ ( )
( )
A．0 B．4 C．－ D．－
8．D解析：由条件可得2k－1－4k＝0，k＝－，m＝，m·n＝－2×4－＝－．故选D．
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，则数列{an}的公差为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
9．B解析：设等差数列{an}的公差为d，则由题意，得解得故选B．
10．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m= ( )
A． B． C．2 D．4
10．A解析：由x2＋＝1及题意知，2＝2×2×1，解得m＝．故选A．
11．自新型冠状病毒爆发以来，全国各地医护人员勇当“逆行者”支援湖北．重庆第一批共派出甲、乙、丙、丁4支医疗队奔赴武汉、孝感、黄冈三个地方，每个地方至少一支医疗队，每支医疗队只去一个地方，则甲、乙都在武汉的概率为（ ）
A． B． C． D．
11．D 解析：4支队伍分配到三个地方，每个地方至少一支队伍，每支队伍只去一个地方，共有种情况，甲、乙都在武汉共种情况，．故选D．
12．设a＝22．5，b＝2．50，c＝，则a，b，c的大小关系是 ( )
A．a>c>b B．c>a>b C．a>b>c D．b>a>c
12．C 解析：因为a＝22．5>1，b＝2．50＝1，c＝<＝1，所以a>b>c．故选C．
13．若tan＝2，则 ( )
A．tanα＝ B．tanα＝ C．tan2α＝ D．tan2α＝
13．D解析：因为tanα＝tan＝＝，所以tan2α＝＝，即选项A，B，C错误，选项D正确．故选D．
14．设a，b是不共线的两个向量，已知＝a＋2b，＝4a－4b，＝－a＋2b，则 ( )
A．A，B，D三点共线 B．B，C，D三点共线 C．A，B，C三点共线 D．A，C，D三点共线
14．D解析：因为＝a＋2b，＝4a－4b，＝－a＋2b，所以＝＋＝3a－6b＝－3(－a＋2b)＝－3，所以，共线，又与有公共点C，所以A，C，D三点共线．故选D．
15．若，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面或相交
15．D解析：因为，通过作图分析可得到，与的关系分别是平行、异面或相交．故选D．
16．已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（ ）
A．-15 B．-7 C．3 D．15
16．A 解析：为奇函数的定义域关于原点中心对称，则,解得，因为奇函数当时,，则．故选A．
17．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x＝－π，则φ＝ （ ）
A． B． C． D．
17．C 解析：因为函数f(x)的一条对称轴是x＝－π，所以2×＋φ＝kπ＋，k∈Z，则φ＝kπ＋，k∈Z，又因为0≤φ<π，所以φ＝．故选C．
18．已知，，则 （ ）
A． B． C． D．
18．D 解析：因为，所以且，所以；
又，所以．故选D．
19．设向量，，若，则实数= （ ）
A． 1 B． -1 C． 2 D． -2
19．A 解析：向量，，且，则，解得．故选A．
20．已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
20．C 解析：由已知，得．故选C．
21．若直线与圆：相交于，两点，且为正三角形，则实数=（ ）
A． B． C．或 D．或
21．D 解析：由题意得，圆的圆心坐标为，半径．因为为正三角形，则圆心到直线的距离为， 即，解得或．故选D．
22．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为 ( )
A．[1,2) B．[1,2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
22．A 解析：令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1,2)．故选A．
23．母线长为1的圆锥，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积为 ( )
A．π B．π C．π D．π
23．C 解析：设圆锥底面圆的半径为r，高为h，圆锥的侧面积S＝πrl＝，解得r＝，从圆锥的轴截面图中可得h＝，所以圆锥的体积 V＝πr2h＝π××＝π．故选C．
24．若不等式ax2－x＋a>0对一切实数x都成立， 则实数a的取值范围为 ( )
A．a<－或a> B．a>或a<0 C．a> D．－
24．C 解析：当a＝0时，－x>0不恒成立，故a＝0不合题意；当a≠0时，即解得a>．故选C．
25．已知函数f(x)是定义域为[0，＋∞)上的减函数，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)>－1的实数x的取值范围是 ( )
A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[0,3) D．[2,3)
25．D 解析：f(x)在定义域[0，＋∞)上是减函数，且f(2)＝－1，∴f(2x－4)>－1可化为f(2x－4)>f(2)，
∴解得2≤x<3．故选D．
26．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是 ( )
A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1,1)
26．A 解析：∵f′(x)＝2x－＝(x>0)，令f′(x)＝0，得x＝1，
∴当x∈(0,1)时，f′(x)<0，f(x)单调递减；当x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，f(x)单调递增．故选A．
27．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 ( )
A． B． C． D．1
27．C 解析：设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝．即任意取出2粒恰好是同一色的概率为．故选C．
28．已知函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x的零点为b，则下列不等式中成立的是 ( )
A．f(a)28．C 解析：由题意可知函数f(x)在R上单调递增，f(0)＝e0＋0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e－1>0，
∴函数f(x)的零点a∈(0,1)，又函数g(x)的零点b＝1，∴0二、解答题：本大题共2小题,共计16分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
29．（本小题满分8分）
记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
29．解析：(1)由等差数列的性质可得：，则：，
设等差数列的公差为，从而有：，
，……………………………2分
从而：，由于公差不为零，故：，
数列的通项公式为：．……………………………4分
(2)由数列的通项公式可得：，则：，
则不等式即：，整理可得：，……………………………6分
解得：或，又为正整数，故的最小值为．……………………………8分
30．（本小题满分8分）
已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）若直线l与椭圆C相切于点D，且与直线交于点E．试问在x轴上是否存在定点P，使得点P在以线段为直径的圆上？若存在，求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．
30．解析：（1）由题意得．……………………………2分
所以椭圆C的标准方程为．……………………………4分
（2）由题意，可知椭圆的切线方程的斜率一定存在，设切线方程的切点为，切线方程为，下面证明：
联立，消得，
又，则，所以，所以，
及直线与椭圆只有一个公共点，直线与椭圆相切，
所以椭圆上切点为的切线方程为．
切线方程与联立得．……………………………6分
则线段为直径的圆的方程为，
设，则．……………………………7分
化简整理得，由题意可知，此式恒成立，故当满足题意．
此时．故存在定点P，使得点P在以线段为直径的圆上．……………………………8分江苏省2023年普通高中学业水平合格性考试数学试卷(九)
数 学 试 题
注意事项:
1．本试卷包括选择题(第1题～第28题,共28题84分)、非选择题(第29题～第30题，共2题16分)共两部分。满分100分,考试时间为75分钟。
2．答题前,考生务必将信息填写清楚。
一、选择题：本大题共28小题,每小题3分,共计84分．在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求．
1．设集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．若复数，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知，则（ ）
A． B． C． D．
4．函数y＝的值域是 ( )
A．[0，＋∞) B．[0，4] C．[0，4) D．(0，4)
5．已知某校有教职工560人，其中女职工240人，现按性别用分层抽样的方法从该校教职工中抽取28人，则抽取的男职工人数与抽取的女职工人数之差是（ ）
A． 2 B． 4 C． 6 D． 8
6．“”是“”的（ ）
A． 充要条件 B． 充分不必要条件 C． 必要不充分条件 D． 既不充分也不必要条件
7． 若，则（ ）
A． B． C． D．
8．若向量m＝(2k－1，k)与向量n＝(4，1)共线，则m·n＝ ( )
( )
A．0 B．4 C．－ D．－
9．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且a1＋a5＝10，S4＝16，则数列{an}的公差为 ( )
A．1 B．2 C．3 D．4
10．椭圆x2＋my2＝1的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m= ( )
A． B． C．2 D．4
11．自新型冠状病毒爆发以来，全国各地医护人员勇当“逆行者”支援湖北．重庆第一批共派出甲、乙、丙、丁4支医疗队奔赴武汉、孝感、黄冈三个地方，每个地方至少一支医疗队，每支医疗队只去一个地方，则甲、乙都在武汉的概率为（ ）
A． B． C． D．
12．设a＝22．5，b＝2．50，c＝，则a，b，c的大小关系是 ( )
A．a>c>b B．c>a>b C．a>b>c D．b>a>c
13．若tan＝2，则 ( )
A．tanα＝ B．tanα＝ C．tan2α＝ D．tan2α＝
14．设a，b是不共线的两个向量，已知＝a＋2b，＝4a－4b，＝－a＋2b，则 ( )
A．A，B，D三点共线 B．B，C，D三点共线 C．A，B，C三点共线 D．A，C，D三点共线
15．若，则与的位置关系是（ ）
A．平行 B．异面 C．相交 D．平行或异面或相交
16．已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（ ）
A．-15 B．-7 C．3 D．15
17．已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)(0≤φ<π)的一条对称轴是x＝－π，则φ＝ （ ）
A． B． C． D．
18．已知，，则 （ ）
A． B． C． D．
19．设向量，，若，则实数= （ ）
A． 1 B． -1 C． 2 D． -2
20．已知等差数列的前n项和为，且，，则（ ）
A． B．1 C． D．2
21．若直线与圆：相交于，两点，且为正三角形，则实数=（ ）
A． B． C．或 D．或
22．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上单调递减，则a的取值范围为 ( )
A．[1,2) B．[1,2] C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)
23．母线长为1的圆锥，其侧面展开图的面积为，则该圆锥的体积为 ( )
A．π B．π C．π D．π
24．若不等式ax2－x＋a>0对一切实数x都成立， 则实数a的取值范围为 ( )
A．a<－或a> B．a>或a<0 C．a> D．－25．已知函数f(x)是定义域为[0，＋∞)上的减函数，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)>－1的实数x的取值范围是 ( )
A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[0,3) D．[2,3)
26．函数f(x)＝x2－2ln x的单调递减区间是 ( )
A．(0,1) B．(1，＋∞) C．(－∞，1) D．(－1,1)
27．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率是，则从中任意取出2粒恰好是同一色的概率是 ( )
A． B． C． D．1
28．已知函数f(x)＝ex＋x－2的零点为a，函数g(x)＝ln x的零点为b，则下列不等式中成立的是 ( )
A．f(a)二、解答题：本大题共2小题,共计16分,解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
29．（本小题满分8分）
记是公差不为0的等差数列的前n项和，若．
（1）求数列的通项公式；
（2）求使成立的n的最小值．
30．（本小题满分8分）
已知椭圆的离心率为，点在椭圆C上．
（1）求椭圆C的标准方程．
（2）若直线l与椭圆C相切于点D，且与直线交于点E．试问在x轴上是否存在定点P，使得点P在以线段为直径的圆上？若存在，求出P点的坐标；若不存在．请说明理由．