【核心素养目标】1.3不共线三点确定二次函数的表达式 教学设计

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湘教版版九年级下册数学1.3不共线三点确定二次函数的表达式教学设计
课题 1.3不共线三点确定二次函数的表达式 单元 第一单元 学科 数学 年级 九
教材分析 前面一节学生学习了二次函数的y=ax2、y=a(x-h)2 、y=a(x-h)2 +k、y=ax2+bx+c 等形式，学生掌握了这几种形式后，如何求出函数的解析式，就是这节的重点内容了。本节主要介绍待定系数法求解二次函数的解析式，并根据条件的不同选择对应的解析式，来求出二次函数解析式。
核心素养分析 本节通过三元一次方程组来求二次函数解析式,锻炼了学生的计算能力。利用数学结合思想,探索函数模型与图象之间的关系,培养孩子模型的观念。
学习目标 1.理解不共线三点确定的二次函数解析式是唯一存在的道理；2.会根据不共线三个点的坐标求二次函数的表达式。3.求二次函数的表达式的常见的两种函数形式。4.感受数形结合思想，点的坐标与函数图象的关系。
重点 会根据不共线三个点的坐标求二次函数的表达式
难点 求二次函数的表达式的常见的两种函数形式
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 怎样用待定系数法求一次函数的表达式？一次函数的表达式是y=kx+b,只要求出k和b的值,就可以确定一次函数的表达式.已知一次函数经过（0,6),(3,5），求一次函数的解析式解：设一次函数y=kx+b（k≠0）经过（0,6),(3,9）代入，得所以， 回顾一次函数解析式的求法，运用二元一次方程来解。 学生回忆待定系数法，导入本节待定系数法求二次函数解析式。
讲授新课 二次函数的表达式是y=ax2+bx+c (a≠0)，因此，要确定这个表达式,就需要求出a,b,c的值. 与一次函数相类似,如果已知二次函数图象上三个点的坐标(也就是函数的三组对应值),将它们代入函数表达式,列出一个关于待定系数a,b,c 的三元一次方程组,求出a,b,c的值,就可以确定二次函数的表达式。例1 已知一个二次函数的图象经过三点(1, 3)（-1,-5),(3,-13)， 求这个二次函数的表达式. 解 设该二次函数的表达式为y=ax2+bx+c.将三个点的坐标(1,3）,(-1,-5）,(3,-13）分别代入函数表达式， 得到关于a,b,c的三元一次方程组：解得，a=-3,b=4,c=2 因此，所求的二次函数的表达式为y=-3x2+4x+2。用待定系数法求二次函数的表达式步骤:1.设:设二次函数解析式2.代:将三个点的坐标代入3.解:三元一次方程组4.写:写解析式例2 已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图象经过这三个点？(1) P(1，-5)， Q(-1，3)， R(2，-3)；(2) P(1，-5)， Q(-1，3)， M(2，-9)。解 (1)设有二次函数y=ax +bx+c的图象经过P，Q，R三点,则得到关于a，b，c的三元一次方程组：解得 a=2，b=-4，c=-3. 因此，二次函数y=2x -4x-3的图象经过P，Q，R三点. (2)解 设有二次函数y=ax +bx+c的图象经过P，Q，M三点，则得到关于a，b，c的三元一次方程组：解得 a=0，b=-4，c=-1. 因此,一次函数y=-4x-1的图象经过P,Q,M三点. 这说明没有这样的二次一函数,它的图象经过P，Q，M三点. 动脑筋你从例2中发现了什么？例2又表明了什么呢？例2中，两点P(1,-5)，Q(-1,3)确定了一个一次函数 y=-4x-1.点R(2,-3)的坐标不适合y=-4x-1，因此点R不在直线PQ上，即P，Q，R三点不共线。点M(2，-9)的坐标适合y=-4x-1，因此点M在直线PQ上，即P，Q，M三点共线。若给定不共线三点的坐标，且它们的横坐标两两不等， 则可以确定一个二次函数；而给定共线三点的坐标，不能确定二次函数.二次函数y=ax2+bx+c的图象上任意三个不同的点都不在一条直线上. 若给定不共线三点的坐标,且它们的横坐标两两不等,则可以确定唯一的一个二次函数,它的图象经过这三点。变式1：己知抛物线的顶点为(1,-3)，且经过点(2,-4)，试确定该抛物线的函数表达式.解:∵抛物线的顶点为(1,-3)，∴可设函数表达式为y=a(x-1)2-3，∵抛物线经过点(2,-4)，∴-4=a-3，∴a=-1，∴所求抛物线的函数表达式为y=- (x-1)2-3.变式2: 已知:抛物线有y=-x2+bx+c经过A(-1,0)、B(5,0)两点，顶点为P.求:(1)求b，c的值;(2)求△ABP的面积.解:(1)由题可得抛物线的解析式为y=-(x +1)(x-5)，所以y=-x2+4x+5，所以b =4，c = 5;(2)因为y=-x2+4x＋5=-(x-2)2+9，则P点坐标为(2,9)，所以△ABP的面积为×6×9 = 27.设函数表达式的技巧：1、当抛物线经过任意不共线三点时,该抛物线所表示的二次函数的表达式可设为y=ax2+bx+c ( a≠0);2、当已知抛物线的顶点(h,k)时,该抛物线所表示的二次函数表达式可设为y=a(x-h)2+k(a≠0)；3、当已知抛物线与x轴两交点横坐标为x1 ,x2时,表达式可设为:y =a(x-x1) (x-x2). 学生独立思考、小组合作，给出3个点，代入函数解析式，运用含a,b,c 的三元一次方程组，求出二次函数解析式。学生记笔记，并理解运用。 学生总结，利用待定系数法求二次函数中a,b,c，并总结三个点是否在一条直线上。 学生给定不共线三点的坐标，可以确定一个二次函数，共线三点坐标，不能确定二次函数。 提出问题，激发学生学习兴趣，熟悉待定系数法，解三元一次方程组，求出函数解析式。学生熟记待定系数法求二次函数的表达式步骤。 学生发现经过不共线的三个点可以确定唯一的二次函数解析式。学生自己总结规律：不共线的三点，横坐标两两不等，可以确定唯一的二次函数，二次函数上任意三个点均不共线。
课堂练习 1.已知三个点的坐标，是否有一个二次函数，它的图形经过这三个点？(1)P(1,6)，Q(2,11)，R(-1,14)；(2)P(1,6)，Q(2,11)，M(-1,-4)；解：(1)设直线PQ的解析式为y=kx+b，把P(1,6)，Q(2,11)代入得， 解得k=5,b=1 ，∴直线PQ：y=5x+1， 把x=-1代入得y=-4，∴点R(-1,14)不在直线PQ上，∴有二次函数的图形经过P(1,6)，Q(2,11)，R(-1,14)三点.(2)∵M(-1,-4)在直线PQ上，∴没有二次函数的图形经过P(1,6)，Q(2,11)，M(-1,-4)三点． 2.若二次函数y=x2+bx+c的图象经过(0,1)和(1,-2)两点，求此二次函数的表达式．解：∵二次函数y=x2+bx+c的图象经过(0,1)和(1,-2)两点， ∴ 解得b=-4,c=1∴二次函数的表达式为y=x2-4x+1。3.已知一个二次函数的图象经过点A(-1,0)、B(3,0)和C(0,-3)三点．(1)求此二次函数的解析式；(2)求此二次函数的图象的对称轴和顶点坐标． 解：(1)设二次函数解析式为y=a(x+1)(x-3)，∵抛物线过点C(0,-3)，∴-3=a(0+1)(0-3)，解得a=1，∴y=(x+1)(x-3)，∴二次函数的解析式=x2-2x-3．(2)由y=x2-2x-3=(x 1)2 4，∴对称轴是直线x=1，顶点坐标是(1, 4)． 学生做练习，互相补充，有问题的地方教师进行订正 ，做最后总结，学生共同完成问题的解决。 练习是为了巩固学生所学的新知，并让学生学会利用待定系数法求二次函数。
课堂小结 学生先发言总结，在教师的引导下总结归纳确定二次函数解析式的条件。 让学生自己对本节课知识进行整合归纳，培养学生养成及时总结的习惯，形成自己的知识体系。
板书 课题：1.3不共线三点确定二次函数的表达式1.待定系数法求二次函数y=ax +bx+c2.不共线三点确定二次函数的表达式
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