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第3讲 分式
一、知识梳理
分式的概念
分式的概念 定义 形如________(A、B是整式，且B中含有字母，且B≠0)的式子叫做分式
有意义的条件
值为0 的条件
分式的基本性质及相关概念
分式的基本性质 ＝， ＝ (M是不为零的整式)
约分 把分式的 与 中的 约去，叫做分式的约分 应用注意：约分的最终目标是将分式化为最简分式，即分子和分母没有公因式的分式
通分 利用分式的基本性质，使______和______同时乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分 应用注意：通分的关键是确定几个分式的公分母
最简公分母 异分母的分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母
分式的运算
分式的加减 同分母分式相加减 分母不变，把分子相加减，即 ＝________
异分母分式相加减 先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即 ＝_____ ±____ _＝_________
分式的乘除 乘法法则 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即 ＝________
除法法则 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 ＝______×________＝________(b≠0, c≠0, d≠0)
二、题型、技巧归纳
考点1 分式的概念
例1（1） 若分式有意义，则x的取值范围是( )
A．x≠3 B．x＝3 C．x<3 D．x>3
(2) 若代数式 的值为零，则x＝________.
技巧归纳：
(1)分式有意义的条件是分母不为零；分母为零时分式无意义．
(2)分式的值为零的条件是：分式的分子为零，且分母不为零．
(3)分式的值为正的条件是：分子与分母同号；分式的值为负的条件是：分子与分母异号．分式的值为正(负)经常与不等式组结合考查．
考点2 分式的基本性质及相关概念
例2 下列计算错误的是( )
A.＝
B.＝
C.＝－1
D.＋＝
技巧归纳：利用分式的加减运算法则与约分的性质
考点3 分式的运算
例3先化简，再求值：其中X=6.
技巧归纳：先把括号里的异分母通分变成同分母，进行同分母分式的加减，再把除变乘，进行分式的乘法
例4 1－2÷，其中x＝－.
技巧归纳：化简时应注意，有除法时先变为乘法，然后按运算顺序计算，能运用运算定律的尽可能运用．
例5 ÷
例6 先化简，再求值：
＋×，其中a＝＋1.
技巧归纳：
(1)解有条件的分式化简与求值时，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要利用整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下的技巧：①取倒数或利用倒数关系；②整体代入；③拆项变形或拆分变形等．
(2)化简求值时，近几年出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．
三、随堂检测
1．在式子，，，，中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．分式无意义的条件是（ ）
A．x≠—3 B． x=－3 C．x=0 D．x=3
3．当x= 时，分式值为零.
4．计算．= .
5．若方程无解,则__________________.
6．先化简，再求值：，其中.
参考答案
例1、
(1)由分式分母3－x不为0得不等式3－x≠0，解这个不等式得x≠3.故选择A.
(2)的值为零，则3-X=0，且分母X-1不能等于零， 所以X=3
例2、A
例3、解：÷
＝÷
＝÷
＝×
＝x－1.
当x＝6时，原式＝6－1＝5.
例4、
解：原式＝1－2·
＝1－(x2－x＋1)＝－x2＋x.
当x＝－时，原式＝－2－＝－.
例5、解：原式＝÷＝×＝.
例6、:
解：＋×＝＋×＝＋＝. 当a＝＋1时，原式＝＝.
随堂检测
1. C
2. B
3．-2
4．a4b6
5．1
6.原式=.代入x=2，得原式=1.
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第3讲:分式
一、复习目标
1．能确定分式有意义、无意义和分式的值为零时的条件．
2．能熟练应用分式的基本性质进行分式的约分和通分．
3．能熟练进行分式的四则运算及其混合运算，并会解决与之相关的化简、求值问题.
二、课时安排
1课时
三、复习重难点
能熟练进行分式的四则运算及其混合运算，并会解决与之相关的化简、求值问题.
四、教学过程
（一）、知识梳理
分式的概念
分式的概念 定义 形如________(A、B是整式，且B中含有字母，且B≠0)的式子叫做分式
有意义的条件
值为0 的条件
分式的基本性质及相关概念
分式的基本性质 ＝， ＝ (M是不为零的整式)
约分 把分式的 与 中的 约去，叫做分式的约分 应用注意：约分的最终目标是将分式化为最简分式，即分子和分母没有公因式的分式
通分 利用分式的基本性质，使______和______同时乘适当的整式，不改变分式的值，把异分母化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分 应用注意：通分的关键是确定几个分式的公分母
最简公分母 异分母的分式通分时，通常取各分母所有因式的最高次幂的积作为公分母，这样的公分母叫做最简公分母
分式的运算
分式的加减 同分母分式相加减 分母不变，把分子相加减，即 ＝________
异分母分式相加减 先通分，变为同分母的分式，然后相加减，即 ＝_____ ±____ _＝_________
分式的乘除 乘法法则 分式乘分式，用分子的积做积的分子，分母的积做积的分母，即 ＝________
除法法则 分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘，即 ＝______×________＝________(b≠0, c≠0, d≠0)
（二）题型、方法归纳
考点1 分式的概念
技巧归纳：
(1)分式有意义的条件是分母不为零；分母为零时分式无意义．
(2)分式的值为零的条件是：分式的分子为零，且分母不为零．
(3)分式的值为正的条件是：分子与分母同号；分式的值为负的条件是：分子与分母异号．分式的值为正(负)经常与不等式组结合考查．
考点2 分式的基本性质及相关概念
技巧归纳：利用分式的加减运算法则与约分的性质
考点3 分式的运算
技巧归纳：括号里的异分母通分变成同分母，进行同分母分式的加减，再把除变乘，进行分式的乘法。
(1)解有条件的分式化简与求值时，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要利用整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下的技巧：①取倒数或利用倒数关系；②整体代入；③拆项变形或拆分变形等．
(2)化简求值时，近几年出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．
（三）典例精讲
例1（1） 若分式有意义，则x的取值范围是( )
A．x≠3 B．x＝3 C．x<3 D．x>3
(2) 若代数式 的值为零，则x＝________.
解析
(1)由分式分母3－x不为0得不等式3－x≠0，解这个不等式得x≠3.故选择A.
(2)的值为零，则3-X=0，且分母X-1不能等于零， 所以X=3
点析：(1)分式有意义的条件是分母不为零；分母为零时分式无意义．(2)分式的值为零的条件是：分式的分子为零，且分母不为零．(3)分式的值为正的条件是：分子与分母同号；分式的值为负的条件是：分子与分母异号．分式的值为正(负)经常与不等式组结合考查
例2 下列计算错误的是( )
A.＝
B.＝
C.＝－1
D.＋＝
解析：利用分式的加减运算法则与约分的性质，即可求得答案，注意排除法在解选择题中的应用，选项A的计算结果为 ，故本选项错误
点析： (1)在应用分式基本性质进行变形时，要注意“都”，“同一个”，“不等于0”这些字眼的意义，否则容易出现错误．(2)在进行通分和约分时，如果分式的分子或分母是多项式时，则先要将这些多项式进行因式分解．
例3先化简，再求值：其中X=6.
[解析]先把括号里的异分母通分变成同分母，进行同分母分式的加减，再把除变乘，进行分式的乘法，最后把x＝6代入化简后的式子求值．
解：÷
＝÷
＝÷
＝×
＝x－1.
当x＝6时，原式＝6－1＝5.
点析：(1)解有条件的分式化简与求值时，既要瞄准目标，又要抓住条件，既要根据目标变换条件，又要依据条件来调整目标，除了要利用整式化简求值的知识方法外，还常常用到如下的技巧：①取倒数或利用倒数关系；②整体代入；③拆项变形或拆分变形等．
(2)化简求值时，近几年出现了一种开放型问题，题目中给定几个数字要考虑分母有意义的条件，不要盲目代入．
例4、1－2÷，其中x＝－.
解：原式＝1－2·
＝1－(x2－x＋1)＝－x2＋x.
当x＝－时，原式＝－2－＝－.
例5、÷
解：原式＝÷＝×＝.
例6、先化简，再求值：
＋×，其中a＝＋1.
解：＋×＝＋×＝＋＝. 当a＝＋1时，原式＝＝.
（四）归纳小结
本部分内容要求熟练掌握分式的概念、分式的基本性质及相关概念、分式的运算。
（五）随堂检测
1．在式子，，，，中，分式有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．分式无意义的条件是（ ）
A．x≠—3 B． x=－3 C．x=0 D．x=3
3．当x= 时，分式值为零.
4．计算．= .
5．若方程无解,则__________________.
6．先化简，再求值：，其中.
五、板书设计
概念 意义
六、作业布置
分式课时作业
七、教学反思
借助多媒体形式，使同学们能直观感受本模块内容，以促进学生对所学知识的充分理解与掌握。采用启发、诱思、讲解和讨论相结合的方法使学生充分掌握知识。进行多种题型的训练，使同学们能灵活运用本节重点知识。
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第3讲：分式检测
一、夯实基础
1．下列式子是分式的是( )
A． B． C．＋y D．
2．如果把分式中的x和y都扩大3倍，那么分式的值( )
A．扩大3倍 B．缩小3倍
C．扩大9倍 D．不变
3．当分式的值为0时，x的值是( )
A．0 B．1 C．－1 D．－2
4．化简：(1)＝__________.
(2)＋＝__________.
二、能力提升
5．若分式有意义，则a的取值范围是( )
A．a＝0 B．a＝1 C．a≠－1 D．a≠0
6．化简÷的结果是( )
A．. B． C． D．2(x＋1)
7．化简得__________；当m＝－1时，原式的值为__________．
三、课外拓展
8．化简÷(m＋2)的结果是( )
A．0 B．1 C．－1 D．(m＋2)2
9．下列等式中，不成立的是( )
A．＝x－y B．＝x－y
C．＝ D．－＝
10．已知－＝，则的值是( )
A． B．－ C．2 D．－2
11．当x＝__________时，分式的值为零．
12．计算（—）·的结果是（ ）
A． 4 B． －4 C．2a D．－2a
13．分式方程的解是（ ）
A．x=－2 B．x=2 C． x=±2 D．无解
14．把分式中的,都扩大3倍，那么分式的值（ ）
A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的
C．扩大为原来的9倍 D．不变
四、中考链接
15．(临沂)先化简，再求值：
(1)÷，其中a＝－1.
(2)÷，其中x＝－3.
参考答案
一、夯实基础
1．B B项分母中含有字母．
2．A 因为x和y都扩大3倍，则2xy扩大9倍，x＋y扩大3倍，所以扩大3倍．
3．B 由题意得x－1＝0且x＋2≠0，解得x＝1.
4．(1)x＋3 (2)1 (1)原式＝＝x＋3；(2)原式＝－＝＝1.
二、能力提升
5．C 因为分式有意义，则a＋1≠0，所以a≠－1.
6．C 原式＝·(x－1)＝.
7． 1 原式＝＝.当m＝－1时，原式＝＝1.
三、课外拓展
8．B 原式＝·＝·＝1.
9．A ＝＝x＋y.
10．D 因为－＝，所以＝，所以ab＝－2(a－b)，所以＝＝－2.
11．2 由题意得x－2＝0且x＋2≠0，解得x＝2.
12. B
13. B
14. A
四、中考链接
15．解：(1)÷＝·＝.当a＝－1时，原式＝＝＝.
(2)÷＝÷
＝÷＝·
＝.∵x＝－3，∴原式＝＝.
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